번역(기하학)

변환은 도형 또는 공간의 모든 점을 주어진 방향으로 같은 양만큼 이동합니다.

축에 대한 빨간색 형상의 반사에 이어 첫 번째 축에 평행한 두 번째 축에 대한 녹색 형상의 반사에 의해 총 운동이 발생하며, 이는 빨간색 형상의 파란색 형상의 위치로 변환됩니다.

유클리드 기하학에서, 변환은 도형, 모양 또는 공간의 모든 점을 주어진 방향으로 같은 거리만큼 이동하는 기하학적 변환이다.변환은 모든 점에 상수 벡터를 추가하거나 좌표계의 원점을 이동하는 것으로도 해석할 수 있습니다.유클리드 공간에서, 어떤 번역도 등각선이다.

함수로서

$\mathbf {v}$ {\ $displaystyle \mathbf {v}}$ 이 $\mathbf {v}$ (가) 변환 벡터이고 $\mathbf {p}$ {\ $displaystyle \mathbf$ ${$ $p$ $}}$ 이 $\mathbf {p}$ $($ 가) 일부 객체의 초기 $T_{\mathbf {v} }$ 인 $T_{\mathbf {v} }$ 변환 함수 $T_{\mathbf {v} }$ T v $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ v v {\ $displaystyle$ T_{\ $mathbf$ {v $}}}}}$ 는 $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ V ( $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ $=$ p + $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ + $display_displaystyle$ { $mathb}$ 로 $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$ 합니다. ${p} =\mathbf {p}$ +\ $mathbf$ {v $}$ 。

$T_{\mathbf {v} }$ $({displaystyle$ T $})$ 가 $T$ $T$ 된 경우 $,$ T({ $displaystyle$ T $T$ }) $함수$ $A$ 의 $서브셋$ A({ $displaystyle$ A $})$ 의 $이미지$ 는 A({ $displaystyle$ A $})$ 를 $A$ $A$ T $({$ $T_\mathbf})$ 에 의해 $T_{\mathbf {v} }$ 번역된 것입니다 $.$ $A+\mathbf {v}$ + $A+\mathbf {v}$ \ $displaystyle$ A + \ $mathbf$ { $v$ $。$

가로 및 세로 번역

기하학에서 수직변환(vertical translation, 수직변환이라고도 함)은 기하학적 객체를 ^[1]^[2]^[3]데카르트 좌표계의 수직축과 평행한 방향으로 변환한 것입니다.

함수 f(x) = 3x² - 2의 서로 다른 역도함수에 대한 그래프입니다.모두 서로 수직 번역한 것입니다.

함수의 그래프에는 종종 수직변환이 고려됩니다.f가 x의 함수일 경우 f(x)+c(f의 값에 상수 c를 더함으로써 얻을 수 있는 값)의 그래프는 f(x)의 그래프를 거리 c로 수직 변환하여 얻을 수 있다.이러한 이유로 f(x) + c 함수를 f(x)^[4]의 수직 변환이라고 부르기도 합니다.예를 들어, 함수의 역도함수는 모두 적분 상수에 의해 서로 다르며,^[5] 따라서 서로 수직변환이다.

함수그래프에서 수평변환이란 베이스그래프를 x축 방향으로 좌우로 이동시키는 것과 동등한 그래프를 만드는 변환이다.그래프 k 단위의 각 점을 수평으로 이동함으로써 그래프는 k 단위의 수평으로 변환됩니다.

기본 함수 f(x) 및 상수 k에 대해, g(x) = f(x - k)로 주어진 함수는 수평으로 이동된 f(x) k 단위를 스케치할 수 있다.

함수 변환이 기하학적 변환의 관점에서 논의되었다면, 함수가 왜 수평으로 변환되는지를 더 명확하게 알 수 있습니다.데카르트 평면에서 변환을 취급할 때는 다음과 같은 표기의 변환을 도입하는 것이 당연합니다.

{\displaystyle (x,y)\rightarrow (x+a,y+b)

또는

T(x,y)=(x+a,y+b)

$a$ 서 a $\displaystyle$ $b$ 와 $a$ b $\display b$ 는 $b$ 각각 수평 및 수직 변화입니다.

예

포물선 y = x를² 취하면 오른쪽에 있는 5단위의 수평 변환은 T(x, y) = (x + 5, y)로 표시됩니다.이제 이 변환 표기법을 대수 표기법에 연결해야 합니다.원래 포물선의 점(a, b)이 변환 포물선의 점(c, d)으로 이동하는 것을 고려한다.이 번역에 따르면 c = a + 5 및 d = b입니다.원래 포물선의 점은 b = a였다².우리의 새로운 점은 같은 방정식에서 d와 c를 관련지어 설명할 수 있다. b = d와 a = c - 5. 따라서 d = b = a² = (c - 5).²새 포물선의 모든 점에 해당하므로 새 방정식은 y = (x - 5)²입니다.

고전 물리학에서의 응용

고전 물리학에서, 번역 운동은 회전과 반대로 물체의 위치를 바꾸는 운동이다.예를 들어 Whittaker에 ^[6]따르면:

물체를 한 위치에서 다른 위치로 이동시키고, 물체의 각 점의 초기점과 최종점을 연결하는 선이 길이 θ의 평행직선 세트이며, 공간에서의 물체의 방향이 변하지 않는 경우, 변위는 거리 θ를 통해 선 방향과 평행한 변환이라고 한다.
--

변환이란 공식에 따라 객체의 모든 점 $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ $)$ { $displaystyle(x, y$ , $z)}$ 의 $(x,y,z)$ 위치를 변경하는 작업입니다.

(x,y,z)\to(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}

여기서 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ ( $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ x , $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ , $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ z $){$ $displaystyle$ ( \ $Delta x$ , \ $Delta y$ , \ $Delta$ z )는 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ 객체의 각 포인트에서 같은 벡터입니다.객체의 모든 점에 공통되는 변환 벡터 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ x, $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ y $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ z $)(\displaystyle(\Delta$ x $,\Delta$ y $,\Delta$ z))는 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ 회전과 관련된 변위와 구별하기 위해 일반적으로 선형 변위라고 하는 객체의 특정 유형을 나타냅니다.

시공간을 고려할 때 시간 좌표의 변화는 번역으로 간주됩니다.

오퍼레이터로서

변환 연산자는 원래 위치의 함수 $(\displaystyle$ f $(\mathbf {v$ 를 최종 위치의 $displaystyle$ f $(\mathbf {v} +\mathbf {delta$ 로 변환합니다. 즉, $T_{\mathbf {\delta } }$ { $displaystyle$ T_ ${delb}$ 입니다 $T_\mathbf{\delta}$ . $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ ( $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ + $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ ) $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ . { \ $displaystyle$ T _ { \ $mathbf { v$ } $= f$ ( \ $mathbf$ { $v$ } + \ $mathbf$ { $v } }$ } 이 연산자는 함수보다 추상적입니다. 왜냐하면 T $T_{\mathbf {\delta } }$ { $displaystyle$ T_{ \ $mathbf }$ 는 $T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).$ $T_\mathbf{\delta}$ $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).$ 함수 사이의 관계를 정의하기 $T_{\mathbf {\delta } }$ 입니다.번역 연산자는 양자역학 분야에서 연구되고 있는 파동함수에 대해 번역 연산자가 작용했을 때처럼 많은 종류의 기능에 대해 작용할 수 있다.

단체로

모든 변환의 집합은 공간 자체와 동형인 변환 $\mathbb {T}$ T {\ $displaystyle \mathbb {T$ 와 $E(n)$ 그룹 $E(n)$ E ( $E(n)$ n ) \ $displaystyle$ E ( $n$ )의 정규 서브그룹을 형성합니다.T $\mathbb {T}$ {\ $displaystyle \mathbb {T}$ 에 $\mathbb {T}$ 의한 E $n)$ { $displaystyle$ E $(n)}$ 의 $E(n)$ 몫군은 $O(n)$ O $)$ { $displaystyle$ O $(n$ 과 동형입니다.

\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}

번역은 가환적이기 때문에 번역 그룹은 아벨어입니다.가능한 번역의 수는 무한하기 때문에 변환 그룹은 무한 그룹입니다.

상대성 이론에서, 공간과 시간을 하나의 시공간으로 취급하기 때문에, 번역은 시간 좌표의 변화를 언급할 수도 있다.예를 들어, 갈릴레오 그룹과 푸앵카레 그룹은 시간에 관한 번역을 포함한다.

격자군

3차원 변환군 중 하나의 서브그룹은 격자군인데, 격자군은 무한군이지만 변환군과는 달리 최종적으로 생성된다.즉, 유한 생성 집합은 그룹 전체를 생성합니다.

행렬 표현

변환은 고정점이 없는 아핀 변환입니다.행렬 곱셈에는 항상 원점이 고정점으로 지정됩니다.단, 행렬 곱셈을 사용한 벡터 공간의 변환을 나타내기 위해 동종 좌표를 사용하는 일반적인 회피책이 있습니다.4개의 균일한 좌표를 v $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ ( $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ , $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ y , v $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ $)({displaystyle \mathbf {v$ $}$ =( $v_{$ $x},$ $v_{y$ }, $v_{z})$ 로 $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ 하여 3차원 $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ v $=$ ( $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ x , $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ y , $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$ 1 $),$ { $displaystyle \mathbf {v},$ {v $},$ {z}, {v}, {z}, {z})로 씁니다 $.$

객체를 $\mathbf {v}$ v {\ $display\mathbf {v$ 로 변환하려면 각 균질 $\mathbf {p}$ p {\ $display\mathbf {p}}($ 균질 좌표로 작성)에 다음 변환 행렬을 곱하면 됩니다.

T_{\mathbf {v} = {b { bmatrix }1&0&0&v_{y}\\0&1&v_{z}\0&0&1\end{bmatrix}

아래 그림과 같이 곱셈은 예상된 결과를 제공합니다.

T_{\mathbf {v}\mathbf {p} = {{ { bmatrix } 1 & 0 & 0 & v _ { y } \ 0 & 0 & 1 & v _ { z } \ 0 & 0 & 1 \ end { b matrix } { p }}\\p_{z}+v_{z}\1\end{bmatrix}=\mathbf {p}+\mathbf {v}

변환 행렬의 역행렬은 벡터의 방향을 반대로 하면 얻을 수 있습니다.

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!

마찬가지로, 변환 행렬의 곱은 벡터를 더함으로써 얻을 수 있습니다.

\displaystyle T_{\mathbf {v} } T_{\mathbf {w} = T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} } }.\!}

벡터의 덧셈은 가환성이기 때문에 변환행렬의 곱셈도 가환성이 된다(임의행렬의 곱셈과는 달리).

축의 변환

기하학적 변환은 종종 기하학적 객체의 위치를 바꾸는 활성 과정으로 간주되지만, 좌표계 자체를 이동시키지만 객체를 고정된 상태로 두는 수동적 변환에 의해 유사한 결과를 얻을 수 있습니다.능동 기하 변환의 수동 버전은 축 변환으로 알려져 있습니다.

병진 대칭

번역 전후가 같은 것을 대칭이라고 한다.일반적인 예로는 변환 연산자의 고유 함수인 주기 함수를 들 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

외부 링크

즉석에서 번역 변환
수학에서의 기하학 번역(인터랙티브 애니메이션)은 재미있다
Wolfram 데모 프로젝트, Roger Germundsson의 2D 번역 이해 및 3D 번역 이해

레퍼런스

^ 를 클릭합니다De Berg, Mark; Cheong, Otfried; Van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008), Computational Geometry Algorithms and Applications, Berlin: Springer, p. 91, doi:10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.
^ 를 클릭합니다Smith, James T. (2011), Methods of Geometry, John Wiley & Sons, p. 356, ISBN 9781118031032.
^ 를 클릭합니다Faulkner, John R. (2014), The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 159, American Mathematical Society, p. 13, ISBN 9781470418496.
^ 를 클릭합니다Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Nonlinear Filters for Image Processing, SPIE/IEEE series on imaging science & engineering, vol. 59, SPIE Press, p. 169, ISBN 9780819430335.
^ 를 클릭합니다Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Jones & Bartlett Learning, p. 269, ISBN 9780763749651.
^ Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-35883-3.
^ Richard Paul, 1981년, 로봇 조작자: 수학, 프로그래밍 및 제어: 로봇 조작자의 컴퓨터 제어, MIT Press, Cambridge, MA

Zazkis, R., Liljedahl, P. 및 Gadowsky, K. 함수 번역 개념: 장애물, 직관 및 재루팅.수학 행동 저널, 22, 437-4502014년 4월 29일 www.elsevier.com/locate/jmathb에서 취득
그래프의 변환: 수평 번역(2006년 1월 1일).BioMath: 그래프의 변환.2014년 4월 29일 취득

[1] 를 클릭합니다De Berg, Mark; Cheong, Otfried; Van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008), Computational Geometry Algorithms and Applications, Berlin: Springer, p. 91, doi:10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.

[2] 를 클릭합니다Smith, James T. (2011), Methods of Geometry, John Wiley & Sons, p. 356, ISBN 9781118031032.

[3] 를 클릭합니다Faulkner, John R. (2014), The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 159, American Mathematical Society, p. 13, ISBN 9781470418496.

[4] 를 클릭합니다Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Nonlinear Filters for Image Processing, SPIE/IEEE series on imaging science & engineering, vol. 59, SPIE Press, p. 169, ISBN 9780819430335.

[5] 를 클릭합니다Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Jones & Bartlett Learning, p. 269, ISBN 9780763749651.

[Whittaker-6] Edmund Taylor Whittaker (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. p. 1. ISBN 0-521-35883-3.

[7] Richard Paul, 1981년, 로봇 조작자: 수학, 프로그래밍 및 제어: 로봇 조작자의 컴퓨터 제어, MIT Press, Cambridge, MA

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