선형독립

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "선형 독립성" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (1919년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

벡터 공간 이론에서 벡터 집합은 0 벡터와 동일한 벡터의 비종교적 선형 결합이 있을 경우 선형적으로 종속된다고 한다. 그러한 선형 결합이 존재하지 않는다면 벡터는 선형적으로 독립적이라고 한다. 이 개념들은 차원 정의의 중심이다.^[1]

벡터 공간은 선형 독립 벡터의 최대 수에 따라 유한 치수 또는 무한 치수가 될 수 있다. 선형 의존의 정의와 벡터 공간의 벡터 부분집합이 선형적으로 종속되어 있는지 여부를 결정하는 능력은 벡터 공간의 치수를 결정하는 데 중심적이다.

정의

A sequence of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ from a vector space V is said to be linearly dependent, if there exist scalars ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$ not all zero, such that

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0},}$

여기서 $0{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 0 벡터를 나타낸다$$.

이는 스칼라 중 적어도 하나가 0이 ${\displaystyle \mathrm{아니라는}}$ 것을 의미하며, ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle a_{1}\neq$ 0$\}$ 이라고 하며, 위의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}:{1}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{1}}{1}}}\mathbf {v} _{k}}}}}}}$

> ,${\displaystyle$ $k$$>1,}$ 및 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$인 경우$$$,$ $k{\displaystyle }$= 0${\displaystyle$$\mathbf {v} _{1}=\mathbf${$0}.$$}$

따라서 벡터 집합은 이들 중 하나가 0이거나 다른 벡터의 선형 결합인 경우에만 선형적으로 의존한다.

벡터 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$v ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 순서는 선형 의존적이지 않으면 선형 독립적이라고 한다$$.

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0},}$

${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,$$… , n . {\displaystyle i${\displaystyle =}$1,\$dots,n.}$에 ${\displaystyle {대한}_{}}$i = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ $a_{i$$}=$$0}$로만 만족할 수 있다. 이는$$ 시퀀스의 어떤 벡터도 시퀀스에 남아 있는 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 없음을 의미한다. 즉, 벡터의 선형 조합으로서$$ $0{\displaystyle \mathbf{}}$ {\$displaystyle \mathbf {0}}$을(^[2]를)$$유일하게 나타내는 것이 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 스칼라 a {\displaystyle $a_{i}$가 0인$$ 사소한 표현이라면 벡터의 시퀀스는 선형 독립적이다. 더욱 간결하게, 벡터의 시퀀스는 $0{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 고유한 방식으로 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있는$$ 경우에만 선형적으로 독립적이다.

벡터 시퀀스가 동일한 벡터를 두 배 포함하는 경우, 반드시 종속적이다. 벡터 시퀀스의 선형 종속성은 시퀀스의 용어 순서에 따라 달라지지 않는다. 이로써 유한 벡터 집합에 대해 선형 독립성을 정의할 수 있다: 벡터 집합의 순서가 선형 독립적일 경우 유한한 벡터 집합은 선형 독립적이다. 즉, 사람은 흔히 유용한 다음과 같은 결과를 가지고 있다.

벡터의 순서는 두 배의 동일한 벡터를 포함하지 않고 벡터의 집합이 선형적으로 독립된 경우에만 선형적으로 독립적이다.

무한케이스

모든 비어 있지 않은 유한 부분 집합이 선형적으로 독립된 경우 벡터의 무한 집합은 선형적으로 독립적이다. 반대로 벡터의 무한 집합은 선형 종속적인 유한 부분집합을 포함하는 경우 또는 집합의 일부 벡터가 집합의 다른 벡터의 선형 결합인 경우 등가적으로 선형 종속된 벡터의 무한 집합은 선형 종속적이다.

인덱스 벡터 계열은 동일한 벡터를 두 번 포함하지 않고 벡터 집합이 선형 독립적일 경우 선형 독립적이다. 그렇지 않으면 그 가족은 선형적으로 의존한다고 한다.

선형적으로 독립적이며 일부 벡터 공간에 걸쳐 있는 벡터 집합은 벡터 공간의 기초를 형성한다. 예를 들어, reals 위의 x에 있는 모든 다항식의 벡터 공간에는 (무한) 부분 집합 {1, x, x², x, ...이 있다.}을(를) 기본으로.

기하학적 예

• ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$→ ${\$ $v$ → ${\$}}은$($는) 독립적이며$$ 평면 P를 정의한다.
• ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$→ ${\$ $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ w$$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은(는) 동일한 평면에 포함되어 있기 때문에 $종속적$이다.
• ${\displaystyle \stackrel{}{u}}$→ ${\$ $j$ → ${\$은(는) 서로 평행하기 때문에 종속적이다$$.
• ${\displaystyle \stackrel{}{}}$$u{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$$displaystyle$${\vec{u}},$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ $k$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→$$${\deplaystyle$ ${\vc$${k}},$ k$$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→$${$displaystyle$ ${\$$vec$ {k}은$($는) 서로$$ 독립적이기$$$$ $때문$에 {\deplaystystyle ${\{\{\}$그것들의 귀 조합 또는 같은 것은, 그것들이 공통 평면에 속하지 않기 때문이다. 3개의 벡터는 3차원 공간을 정의한다.
• 벡터 $o{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$Null 벡터, 구성 요소가 0인 ${\displaystyle 경우\stackrel{}{}}$) 및 $k{\displaystyle \stackrel{}{}}$ →${\$$displaystyle$ ${\$$vec$ {$k$$}}}$은(는) $o{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ =${\displaystyle \stackrel{}{}\mathrm{0k}}$ → ${\vec}=0${\vec$}}}}}}}$이(가) 이후 종속적이다$$.

지리적 위치

어떤 장소의 위치를 설명하는 사람은 "여기에서 북쪽으로 3마일, 동쪽으로 4마일 떨어져 있다"라고 말할지도 모른다. 지리적 좌표계가 2차원 벡터 공간(점화 고도 및 지구 표면의 곡률)으로 간주될 수 있기 때문에, 이것은 위치를 설명하기에 충분한 정보다. 그 사람은 아마 "그곳은 여기서 북동쪽으로 5마일 떨어져 있다."라고 덧붙일 것이다. 이 마지막 진술은 사실이지만 굳이 장소를 찾을 필요는 없다.

이 예에서 "북쪽으로 3마일" 벡터와 "동쪽으로 4마일" 벡터는 선형적으로 독립적이다. 즉, 북쪽 벡터는 동쪽 벡터라는 용어로 설명할 수 없으며, 그 반대도 마찬가지다. 세 번째 "동북쪽으로 5마일" 벡터는 다른 두 벡터의 선형 결합으로 벡터 세트를 선형 종속적으로 만들며, 즉, 세 벡터 중 하나가 평면의 특정 위치를 정의할 필요가 없다.

또한 고도를 무시하지 않을 경우 선형 독립 집합에 세 번째 벡터를 추가할 필요가 있다. 일반적으로 n차원 공간의 모든 위치를 설명하려면 n개의 선형 독립 벡터가 필요하다.

선형 독립성 평가

제로 벡터

If one or more vectors from a given sequence of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ is the zero vector ${\displaystyle \mathbf {0} }$ then the vector ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ are necessarily linearly dependent (그리고 결과적으로, 그들은 선형적으로 독립적이지 않다. To see why, suppose that ${\displaystyle i}$ is an index (i.e. an element of ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$) such that ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ Then let ${\displaystyle a_{i}:=1}$ (alternatively, letting ${\displaystyle a_{i}}$ be equal 0이 아닌 다른 스칼라도 작동한다)를 한 다음 다른 $모든{\displaystyle }$ 스칼라를 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $0$$}$이(가) 되도록 두십시오($$이 $말$은 i ${\displaystyle i}($예: $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ i ${\displaysty j\neq$i}).$$${\displaystyle j_{}}$ : ${\displaystyle 0}$ $=$ 0 = ${j:0}$이 ${\displaystyle {되도록}_{}}$ 두십시오.${\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\$ . ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle k_{}}$ v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 단순화하면 다음과 같은 효과를$$ 얻을 수 있다.

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

모든 스칼라가 0인 것은 아니기 때문에($특히{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}),$ 벡터 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 선형 종속적이라는 것을 증명한다$$.

결과적으로, 제로 벡터는 선형적으로 독립된 벡터의 어떤 집합에도 속할 수 없다.

$이제{\displaystyle }$ v ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 시퀀스에$길이$1 ${\$displaystyle 1$}($$예$: $k$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty k=1})$이 $있는{\displaystyle \mathrm{}}$ 특수한 경우를 고려해 보십시오.$$ 정확히 하나의 벡터로 구성된 벡터의 집합은 벡터가 0인 경우에만 선형적으로 의존한다. Explicitly, if ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ is any vector then the sequence ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ (which is a sequence of length ${\displaystyle 1}$) is linearly dependent if and only if ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$; alternatively, the collection $$${\displaystyle {\mathbf{v}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle v\mathbf{}}$$} _{1$}은(는) $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $≠$ 0$$. {\$displaystyle$ \mathbf ${v} _{1}\neq$\mathbf {$0} .}$인 경우에만 선형 독립적이다$$.

두 벡터의 선형 의존성 및 독립성

이 예에서는 실제 또는 복잡한 벡터 공간에서 정확히$$ 두 $개$의$$벡터$u$ {\displaystyle \$mathbf${$u$}과(와$)$ v {\$displaystyle$ \$mathbf$ {v$}$이(가) 있는 특수한 경우를 고려한다$.$ 벡터 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$및{\displaystyle \mathbf{}}$ v$$ ${\$은(는) 다음 중 하나 이상이 참인 경우에만 선형 종속적이다.

1. ${\displaystyle \mathbf{u}}$ ${\$은(는) v ${\$의 스칼라 배수로$$,$$ $u{\displaystyle \mathbf{}}$= $c {\displaystyle \mathbf {u$}$또는$$}$과(와$$)와 같은 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\$$mathbf$ {$v}$이$($으)가 있음을 의미한다.
2. ${\displaystyle \mathbf{v}}$ ${\$$mathbf {v$$}}$은(는) $u{\displaystyle \mathbf{}}${$u}($으)의 스칼라$$ 배수로, 즉${\displaystyle }v{\displaystyle \mathbf{}}$ = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle u\mathbf{}}$$$${\$ =$c\mathbf {u}$과($$으$$)와 $같은{\displaystyle }$ 스칼라 c {\$displaysty$ c$}$이 존재함을 의미한다.

If ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ then by setting ${\displaystyle c:=0}$ we have ${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$ (this equality holds no matter what the value of ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is), which shows that (1) is true 이 경우에 Similarly, if ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ then (2) is true because ${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ If ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ (for instance, if they are both equal to the zero vector ${\displaystyle \mathbf {0} }$) then both (1) and (2) 참이다($두{\displaystyle }$ 가지 모두에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ c ${\displaystyle :=}$ 1 ${\displaystyle$ c$:=1$}을$($를) 사용).

If ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ then ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ is only possible if ${\displaystyle c\neq 0}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$; in this case, it is possible to multiply both sides by ${\textstyle {\frac$${1}{c}}}$ to conclude ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ This shows that if ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ then (1) is true if and only if (2) is true; that is, in this particular case either both (1) 그리고 (2)가 참(그리고 벡터는 선형적으로 종속됨) 또는 (1)과 (2)가 모두 거짓(그리고 벡터는 선형적으로 독립됨)이다. $u{\displaystyle \mathbf{}}$= c ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\$= $c\mathbf {v}$이(가) 아니라$$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ 0 {\$displaystyle$ \$mathbf {0}$인 경우 c {\$displaystyc}$ 및$$ $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$v}$중 하나 이상이 0이어야 한다$$$$. 더욱이 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\$$mathbf {u}$과($와{\displaystyle \mathbf{}}$$)$ v {\$displaystyle$ \$mathbf$$${$v}$ 중 정확히 하나가$0$이면($$다른 것은 0이 아닌 경우) (1)과 (2) 중 하나가 참(다른 것은 거짓)이다.

The vectors ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are linearly independent if and only if ${\displaystyle \mathbf {u} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mathbf {v} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mat$$hbf {u}$ $\}.$

벡터²: R

Three vectors: Consider the set of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$ then the condition for linear dependence seeks a set of non-zero scalars, such that

${\displaystyle a_{1}{\\bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+a_{2}}{{\\\\2\end{bmatrix}}+a_{3}}{{\\bmatrix}2\\4\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},}$

또는

${\displaystyle{bmatrix}1&-3&2\\1&4\end{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{bmatrix}={\matrix}0\0\end{bmatrix}.}$

행은 두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼서 이 행렬 방정식을 줄인다.

${\displaystyle{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{bmatrix}}={\matrix}0\end{bmatrix}}.}$

(i) 두 번째 행을 5로 나눈 다음 (ii) 3을 곱하여 첫 번째 행에 추가하는 방식으로 행 축소를 계속한다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}{\nd{bmatrix}a_{1}\a_{3}\end{bmatrix}}={\matrix}0\end{bmatrix}.}$

이 방정식을 재배열하면

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

which shows that non-zero a_i exist such that ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ can be defined in terms of ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).$$}$ 따라서$$ 3개의 벡터는 선형적으로 의존한다.

두 개의 벡터: 이제 두 벡터 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)$및$$ v ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 2),}$ ${\displaysty \mathbf {v} _{2}=(-3,2)$의 선형 의존성을 고려하여$$,

${\displaystyle a_{1}{\\bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+a_{2}{{\\\bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},}$

또는

${\displaystyle {\bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}{bmatrix}a_{1}\a_{2}\end{bmatrix}={\matrix}0\0\end{bmatrix}}.}$

수율 위에 제시된 동일한 행 감소량,

${\displaystyle {\bmatrix}1&#0\0&1\end{bmatrix}{bmatrix}{1}a_{2}\end{bmatrix}}={\nd{bmatrix}}}}}.}$

${\displaystyle {이}_{}}$는 벡터 v₁ = (1, 1) 및 v₂ = (-3, 2)가 선형적으로 독립적이라는 것을 의미하는$$ $i{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle a_{i}=0,}$을(를) 보여준다.

벡터⁴: R

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{4}$의 벡터 3개 확인

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

선형 종속적인 매트릭스 방정식을 형성하고

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

행은 이 방정식을 얻기 위해 줄인다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

v에₃ 대해 해결하려면 다시 정렬하고,

${\displaystyle{bmatrix}1&7\\\0&-18\end{bmatrix}{bmatrix}a_{1}\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\nd{bmatrix}-}{bmatrix}-nd{bmatrix}}.}$

이 방정식은 0이 아닌 a를 정의하기_i 위해 쉽게 풀린다.

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 3${\$를 임의로 선택할 수 있다$$. 따라서 벡터 $v{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$v ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},$ v$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 선형 종속적이다$$.

결정요소를 이용한 대안법

대체 방법은 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 벡터가$$ 벡터를 열로 취함으로써 형성된 행렬의 결정요인이 0이 아닌 경우에만 선형 독립적이라는 사실에 의존한다.

이 경우 벡터에 의해 형성된 행렬은

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\\1&2\end{bmatrix}.}$

우리는 다음과 같이 기둥의 선형 결합을 쓸 수 있다.

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}{\bmatrix}}{\bmatrix}}{\bgin{bmatrix}}}}{1}\lambda _{2}\end{bmatrix}}}}}}}}.}$

우리는 일부 0이 아닌 벡터 λ에 대해 A = = 0인지 여부에 관심이 있다. $이$는 $A$의 결정요인에 따라 달라진다$.$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot(-3)=5\neq 0.}$

결정요소가 0이 아니기 때문에 벡터$({\displaystyle 1}$, 1${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일$(1,1)}$과$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 2}$)$${\$디스플레이$ 스타일$(-3,2$)은 선형적으로 독립적이다$.$

$그렇지$ 않으면 m < ..$$$.$. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 그러면 A는 n×m 행렬이고 λ은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 항목이$$ 있는 컬럼 벡터인데, 우리는 다시 A = = 0에 관심이 있다. 앞에서 $보았듯이{\displaystyle }$이것은 n {\$displaystyn}$ 방정식의$$ 목록과 같다. $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A}의$$첫 $번째{\displaystyle }$ m ${\$$displaystyle$ m$}$ 행$$$,$ 첫 $번째{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$ 방정식을$$ 고려하십시오. 전체 방정식 목록의 해결책도 축소된 리스트에서 참이어야 한다. 실제로 ⟨i₁, ...i_m⟩가 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 행의$$ 목록이라면, 그 행에 대한 방정식은 참이어야 한다.

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots,i_{m}\angle }\Lambda =\mathbf {0}}$

더욱이 그 반대는 사실이다. 즉, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 벡터가$$ 선형적으로 종속되어 있는지 여부를 테스트할 수 있다.

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\angle }=0}$

$가능$한 모든 m ${\displaystyle m}$ 행의$$ 리스트에 대해. ($경우{\displaystyle m}$ =$$n {\$displaystyle m=n$ 이에는 위와 같이 하나의 결정인자만 필요하다. > ${\displaystyle m>n$인 경우 벡터는 선형적으로 의존해야 하는 것이 정리다.) 이 사실은 이론에 가치가 있다; 실제적인 계산에서는 더 효율적인 방법을 이용할 수 있다.

치수보다 벡터가 더 많음

치수보다 벡터가 많을 경우 벡터는 선형적으로 의존한다. 이는 R ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{2$}의 벡터 3개에 대한 위의 예에 설명되어 있다$.$$}$

자연근거 벡터

$V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ V$=\mathb {R} ^{n}}$을(를) 두고 자연 기반 벡터로 알려진$$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$의 다음 요소를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{{11}}}$

그러면 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle \dots ,}$e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 선형 독립적이다$$.

함수의 선형 독립성

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 실제 $변수{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t$의 모든 가변 기능의 벡터 공간이 되도록 하십시오. $그러면{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ $V$$}$의 $e$ t$$ ${\$ $e$$^{2t}$와 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ e$^{2t}$는 선형 독립적이다$$.

증명

${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 다음과 같은 두 개의 실제 숫자라고 가정하십시오.

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

위 방정식의 첫 번째 파생형을 취하십시오.

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

$t{\displaystyle }$. ${\displaystyle t.}$의 모든 값에 대해 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0}$ 및 $b$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle b=0$}을(를) 표시해야 한다$.$$}}$ 이를 위해$$ 두 $번째$에서 첫 번째 방정식을 빼서 b ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle be^{2t}=0}$을 부여한다$.$ $e{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle t^{}}$ ${\$는 일부 t ${\displaystyt t},$${\displaystyle \mathrm{b}}$= 0$. {\displaystystyle$ b$=$$0$.$}$ 그$$ $다음$도 ${\displaystyle \mathrm{a}}$=$$0 {\$displaystyle a=0$}이다$$. 따라서 선형 ${\displaystyle {독립성}^{}}$의 정의에 따라 e $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\$와 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ e$^{2t}$는 선형 독립적이다$$.

선형 종속 공간

벡터 v₁, ..., v 간의_n 선형 종속성 또는 선형 관계는 다음과 같은 n개의 스칼라 구성 요소를 가진 튜플(a₁, ..., a_n)이다.

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}}$

이러한 선형 의존성이 0이 아닌 성분으로 존재하는 경우, n 벡터는 선형 종속적이다. v₁, ..., v 간의_n 선형 종속성은 벡터 공간을 형성한다.

벡터가 좌표에 의해 표현되는 경우, 선형 의존성은 벡터의 좌표를 계수로 하여 선형 방정식의 동질적인 시스템의 해결책이다. 따라서 선형 의존성의 벡터 공간의 기초는 가우스 제거를 통해 계산할 수 있다.

일반화

아핀 독립

벡터 세트는 세트 내 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터들의 아핀 조합으로 정의될 수 있는 경우 부속적으로 결정된다고 한다. 그렇지 않으면 그 세트를 아첨하듯 독립적이라고 부른다. 모든 아핀 조합은 선형 결합이다. 따라서 모든 아핀 의존 집합은 선형적으로 의존한다. 반대로 모든 선형 독립 집합은 친절하게 독립적이다.

$n$ $크기{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ $n$$}$의 m $displaystyle \mathbf {v}$m$$} $각각{\displaystyle }$m {\$displaystystyle$ m} 증강 벡터 집합$([\begin{array}{}1\\ {\mathbf{}}_{}\end{array}$v$$], [$1$ $\begin{array}{c}{}_{}\end{array}$ $\begin{array}{c}{}_{}\end{array}$ $)$을 고려하십시오$.$$yle{\displaystyle }$ $\left$${\displaystyle (}$$왼쪽[{\matrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}\right],\ldots,\ldts,\[{\nd{m}\end}\mathbf$ {$v}$_${smatrix$}\$right}\$$right$$]}}}}}}}}}오른쪽$$$) ${\displaystyle \mathrm{크기}}$ $n+1$}. 원래 벡터는 증강 벡터가 선형적으로 독립적일 경우에만 부속적으로 독립적이다.^{[3]: 256}

선형 독립 벡터 서브스페이스

벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 $두{\displaystyle }$ 벡터 $서브{\displaystyle }$ 스페이스 M ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cap }$ N${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ . ${\displaystyle M\cap$ N$=\{0\}$일 경우 선형 독립적이라고 한다$$.X{X\displaystyle}의 subspaces의}[4]더 일반적으로, 컬렉션 M1,…, Md{\displaystyle M_{1},\ldots},M_{d}만약 Mi∑ k∩ 일차 독립되고 있다고 한다 ≠ 나는 Mk={0}{\textstyle M_{나는}\cap \sum _{k\neq 나는}M_{k}=\{0\}}를 위해 지수 나는,{\displaystyle 나는,}이∑ k≠ i. m${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,$$i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$^[4] The vector space ${\displaystyle X}$ is said to be a direct sum of ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ if these subspaces are linearly independent and ${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.$$}$

참고 항목

• Matroid – 선형 독립성을 모델링하고 일반화하는 추상적 구조

참조

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984.

외부 링크

• "Linear independence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• WolframMathWorld의 선형 종속 함수.
• 선형 독립성에 대한 자습서 및 대화형 프로그램.
• KhanAcademy에서 선형 독립에 대한 소개.