점 반사

중심이 서로 대칭인 이중 사면체

기하학에서, 점 반사(점 반전 또는 중심 반전이라고도 함)는 모든 점이 특정 고정점에 걸쳐 반사되는 아핀 공간의 변환입니다.

포인트 리플렉션은 혁신입니다. 포인트 리플렉션을 두 번 적용하는 것이 아이덴티티 변환입니다.이는 척도 인자가 $-1인$ 동치 변환과 같습니다.반전점을 동태 중심이라고도 합니다.

점 반사 하에서 불변하는 물체는 점 대칭을 갖는다고 합니다; 만약 그것이 그것의 중심을 통한 점 반사 하에서 불변한다면, 그것은 중심 대칭 또는 중심 대칭을 갖는다고 합니다.대칭 사이에 점 반사를 포함하는 점군을 중심 대칭이라고 합니다.

유클리드 공간에서 점 반사는 등각도입니다(거리 유지).유클리드 평면에서 점 반사는 반회전(180° 또는 µ 라디안)과 같고, 물체의 중심을 통과하는 점 반사는 반회전 스핀과 같습니다.

용어.

반사라는 용어는 느슨하며, 반전이 선호되는 언어의 남용으로 간주됩니다. 하지만 포인트 반사는 널리 사용됩니다.이러한 맵은 2차를 갖는다는 것을 의미하는 인버전스입니다. 즉, 2차를 적용하면 ID 맵이 생성됩니다. 이는 반사라고 하는 다른 맵에서도 마찬가지입니다.더 좁은 의미에서, 반사는 초평면 (n - 1 \ displaystyle n-1 ) 차원 아핀 부분 공간에서의 반사를 가리키며, 초평면은 고정되지만, 더 넓게는 유클리드 공간의 어떤 혁신에도 적용된다, $1\leq k\leq n-1$ 서 1 $1\leq k\leq n-1$ ≤ $1\leq k\leq n-1$ ≤ $1\leq k\leq n-1$ - $1\leq k\leq n-1$ ({ $displaystyle$ 1 $\leq$ k $\leq n-1$ 을 거울이라고 합니다.1차원에서 점이 선의 초평면이기 때문에 이것들은 일치합니다.

선형 대수학의 관점에서 원점이 고정되어 있다고 가정하면, 인볼션은 정확히 모든 고유값이 1 또는 -1인 대각화 가능 맵입니다.초평면에서의 반사는 단일 -1 고윳값(및 1 고윳값에 $n-1$ 다중도 $n-1$ n $n-1$ { $displaystyle$ n-1 $n-1$ })을 갖는 반면, 점 반사는 -1 고윳값(다중도 n 포함)만 갖습니다.

반전이라는 용어는 반전이 원에 대해 정의되는 반전 기하학과 혼동되어서는 안 됩니다.

예

2D 예제
육각 평행선	팔각형

2차원에서 점 반사는 180도 회전과 동일합니다.3차원에서 점 반사는 회전 축에 수직인 회전 평면을 가로지르는 반사로 구성된 180도 회전으로 설명될 수 있습니다.차원 n에서 점 반사는 n이 짝수이면 방향 보존이고, n이 홀수이면 방향 반전입니다.

공식

유클리드 공간ⁿ R의 벡터 a가 주어지면, 점 p를 가로지르는 a의 반사 공식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathrm {Ref} _{\mathbf {p}(\mathbf {a})=2\mathbf {p} -\mathbf {a}

p가 원점인 경우, 점 반사는 단순히 벡터 a의 부정입니다.

유클리드 기하학에서, 점 P에 대한 점 X의 반전은 점 X*이고, P는 점 X와 X*를 갖는 선분의 중간점입니다.즉, X에서 P까지의 벡터는 P에서 X*까지의 벡터와 동일합니다.

P의 반전 공식은 다음과 같습니다.

x* = 2p - x

여기서 p, x 및 x*는 각각 P, X 및 X*의 위치 벡터입니다.

이 매핑은 정확히 하나의 고정점, 즉 P를 갖는 등축적 인동사 아핀 변환입니다.

균일한 스케일링 또는 균질성의 특수한 경우로서의 포인트 리플렉션

반전점 P가 원점과 일치하면 점 반사는 척도 계수가 -1과 동일한 척도 계수의 균일한 척도의 특수한 경우와 같습니다.이것은 선형 변환의 예입니다.

P가 원점과 일치하지 않을 때, 점 반사는 동치 변환의 특별한 경우와 같습니다: P와 일치하는 동치 중심을 가진 동치 변환 및 척도 인자 -1. (이것은 비선형 아핀 변환의 예입니다.)

점 반사군

두 점 반사의 구성은 번역입니다.구체적으로, p의 점 반사와 q의 점 반사는 벡터 2(q - p)에 의한 변환입니다.

모든 점 반사와 변환으로 구성된 집합은 유클리드 그룹의 Lie 부분군입니다.이것은 순서 2의 고리형 그룹을 갖는 R의ⁿ 반직접 생성물이며, 후자는 부정에 의해 R에 작용합니다ⁿ.선을 점으로 고정하는 것은 정확히 유클리드 그룹의 부분군입니다.

n = 1인 경우, 점 반사 그룹은 선의 완전 등각형 그룹입니다.

수학에서의 점 반사

구면의 중심을 가로지르는 점 반사는 대척점 지도를 생성합니다.
대칭 공간은 각 점에 대한 등각 반사를 갖는 리만 다양체입니다.대칭 공간은 리에 군과 리만 기하학 연구에서 중요한 역할을 합니다.

해석 기하학에서의 점 반사

점 $C(x_{c},y_{c})$ $P(x,y)$ $,$ $)({x$ , y $})({$ $displaystyle$ $P$ $P'(x',y')$ $x',$ $P'(x',y')$ y $')({$ $x$ ', y')({ $displaystyle$ P $'(x$ $C(x_{c},y_{c})$ $C(x_{c},y_{c})$ $')$ 의 $P'(x',y')$ 점 C $xc)({xc$ $P'(x',y')$ y)에 대한 $반사$ P'(x $',$ y $')({$ displaysty $')$ 를 고려할 때, 후자는 세그먼트 P $'$ 의 중간점입니다 ${\overline {PP'}}$

디스플레이({style}{tyle{cases}x_{c}=tftfrac{x+x'}{2}}\\y_{c}=nbfrac{y+y'}{2}}\end{cases}}

따라서, 반사점의 좌표를 구하는 방정식은

{\style{cases}x=2x_{c}-x\y'=2y_{c}-y\end{cases}를 표시합니다.}

점 C가 좌표 $0, 0)$ 를 갖는 경우가 특히 해당됩니다 $(아래$ 단락 참조). $(0,0)$

{\style{cases}x'=-x\y'=-y\end{cases}를 표시합니다.

특성.

짝수차원 유클리드 공간에서, 예를 들어 2N차원 공간에서, 점 P에서의 반전은 P에서 교차하는 임의의 N 상호 직교 평면 집합의 각 평면에서 각도 $θ$ 에 대한 N 회전과 같습니다.이러한 회전은 상호 교환적입니다.따라서 짝수 차원 공간의 한 점에서의 반전은 방향 보존 등각 또는 직접 등각입니다.

홀수차원 유클리드 공간, 예를 들어 (2N + 1)차원 공간에서, 이 회전 평면들이 차지하는 2N차원 부분 공간에서의 반사와 결합하여, P에서 교차하는 임의의 N 상호 직교 평면들의 각 평면에서 $π$ 에 대한 N 회전과 같습니다.따라서 방향을 유지하기보다는 반대로 간접 등각도입니다.

기하학적으로 3D에서는 축에서 P까지의 방향을 180° 각도로 회전하는 것이며, 축에서 수직인 평면에서 P까지의 반사와 결합됩니다. 결과는 축의 방향(다른 의미에서는)에 의존하지 않습니다.연산 유형 또는 생성되는 그룹 유형에 대한 ${\overline {1}}$ 은 1µ ${{$ C_i, S₂ 및 1x입니다.그룹 유형은 순수한 회전 대칭이 없는 3D의 세 가지 대칭 그룹 유형 중 하나입니다. n = 1인 순환 대칭을 참조하십시오.

3차원의 다음 점 그룹은 반전을 포함합니다.

짝수에_nh 대한 C와_nh D
홀수_2n n에 대한 S 및 D_nd
T_h, O_h, 그리고_h I

점에서 역과 밀접하게 관련된 것은 평면에 대한 반사이며, 이는 "평면의 반전"으로 생각할 수 있습니다.

결정학의 반전 중심

분자는 모든 원자가 대칭을 유지하면서 반사할 수 있는 점이 존재할 때 반전 중심을 포함합니다.결정학에서 반전 중심의 존재는 중심 대칭 화합물과 비중심 대칭 화합물을 구별합니다.결정 구조는 좌표 수와 결합 각도로 분류되는 다양한 다면체로 구성됩니다.예를 들어, 4좌표 다면체는 사면체로 분류되는 반면, 5좌표 환경은 결합 각도에 따라 사각뿔 또는 삼각 쌍뿔일 수 있습니다.모든 결정성 화합물은 단위 셀로 알려진 원자 구성 블록의 반복으로부터 나오고, 이 단위 셀들은 어떤 다면체를 형성하고 어떤 순서로 형성하는지를 정의합니다.이러한 다면체는 공통 결합을 공유하는 원자에 따라 모서리, 모서리 또는 면 공유를 통해 함께 연결됩니다.반전 중심을 포함하는 다면체를 중심 대칭이라고 하며, 반전 중심이 없는 다면체는 비중심 대칭이라고 합니다.중심 원자가 6개의 결합된 원자가 대칭을 유지하는 반전 중심으로 작용하기 때문에 6좌표 팔면체는 중심 대칭 다면체의 한 예입니다.반면에, 사면체는 중심 원자를 통한 반전이 다면체의 반전을 초래할 것이기 때문에 비대칭입니다.이러한 다면체는 반전 중심을 포함하지 않기 때문에 홀수 좌표 번호를 가진 결합 기하학은 비대칭이어야 합니다.

실제 다면체 결정은 종종 결합 기하학에서 예상되는 균일성이 부족합니다.결정학에서 발견되는 일반적인 불규칙성에는 왜곡과 무질서가 포함됩니다.왜곡은 종종 이종 원자 간의 상이한 정전기적 인력으로 인해 불균일한 결합 길이로 인해 다면체의 뒤틀림을 수반합니다.예를 들어, 티타늄 중심은 팔면체에서 6개의 산소와 균일하게 결합할 가능성이 높지만, 산소 중 하나가 더 음의 불소로 대체되면 왜곡이 발생합니다.왜곡은 다면체의 고유한 기하학적 구조를 바꾸지 않을 것입니다. 왜곡된 팔면체는 여전히 팔면체로 분류되지만, 충분히 강한 왜곡은 화합물의 중심 대칭에 영향을 미칠 수 있습니다.장애는 원자가 다면체의 특정 비율에서 하나의 결정학적 위치를 차지하고 나머지 위치에서 다른 하나를 차지하는 두 개 이상의 부위에 대한 분할 점유를 포함합니다.장애는 이미 존재하는 반전 중심에 점유가 분할되는지 여부에 따라 특정 다면체의 중심 대칭에도 영향을 미칠 수 있습니다.

중심 대칭은 결정 구조 전체에도 적용됩니다.결정체는 32개의 결정학적 점군으로 분류되며, 이는 벌크 구조에서 서로 다른 다면체가 공간에서 어떻게 배열되는지를 설명합니다.이 32개의 점군 중 11개는 중심 대칭입니다.비대칭 다면체의 존재는 점군이 동일하다는 것을 보장하지 않습니다. 두 개의 비대칭 도형은 둘 사이의 반전 중심을 포함하는 방식으로 공간에서 방향을 잡을 수 있습니다.서로 마주보는 두 개의 사면체는 각각의 원자가 반사된 쌍을 가질 수 있기 때문에 중간에 반전 중심을 가질 수 있습니다.여러 개의 중심 대칭 다면체가 비중심 대칭 점군을 형성하도록 배열될 수 있기 때문에 그 반대도 참입니다.

비대칭 화합물은 비선형 광학에 적용하는 데 유용할 수 있습니다.반전 중심을 통한 대칭의 부족은 결정의 영역이 들어오는 빛과 다르게 상호 작용할 수 있게 합니다.빛의 파장, 주파수 및 강도는 전자기 복사가 구조 전체의 다른 에너지 상태와 상호 작용함에 따라 변경될 수 있습니다.인산 티타닐 칼륨, KTiOPO₄(KTP).비중심 대칭, 오르토롬 Pna21 공간군에서 결정화되며 유용한 비선형 결정입니다.KTP는 제2 고조파 생성으로 알려진 비선형 광학 특성을 이용하여 주파수를 두 배로 증가시키는 네오디뮴 도핑 레이저에 사용됩니다.비선형 재료에 대한 적용은 여전히 연구되고 있지만, 이러한 특성은 반전 중심의 존재(또는 존재하지 않음)에서 비롯됩니다.

원점에 대한 반전

원점에 대한 반전은 위치 벡터의 가법 반전에 해당하며 -1에 의한 스칼라 곱셈에도 해당합니다.연산은 다른 모든 선형 변환과 함께 통근하지만 변환과 함께 통근하지는 않습니다. 일반 선형 그룹의 중앙에 있습니다."점 안", "선 안" 또는 "평면 안"을 나타내지 않는 "반전"은 이러한 반전을 의미합니다. 물리학에서는 원점을 통한 3차원 반사를 패리티 변환이라고도 합니다.

수학에서 원점을 통한 반사는 데카르트 좌표계의 원점을 가로지르는 유클리드 공간ⁿ R의 점 반사를 의미합니다.원점을 통한 반사는 $-1$ 의 스칼라 곱셈에 해당하는 직교 변환이며 ${displaystyle -1$ 로도 $-I$ 쓸 수 있으며, $I$ 서 I ${displaystyle$ I $}$ 는 $I$ 항등 행렬입니다.3차원에서는 ( $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ , $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ ) $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ ( $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ - $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ ) {{ $displaystyle (x, y, z$ )\ $mapsto$ (- $x,$ y, $-z$ 등을 $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ 전송합니다.

표현

스칼라 행렬로서, 그것은 모든 기저에서 $-1$ 대각선에 $-1$ {displaystyle $-1}$ 을 $-1$ 가진 $-1$ 행렬로 표현되며, 동일성과 함께 직교군 $)$ {{ $displaystyle$ O $(n$ 의 중심입니다.

이는 직교 반사(직교 기준 축을 통한 반사)의 산물입니다. 직교 반사는 통근합니다.

2차원에서는 실제로 180도 회전하고 $,$ $2차원$ 에서는 직교 ^[a]평면에서 180도 회전합니다 $2n$ 다시 한 번 말씀드리지만, 직교 평면에서의 회전은 통근합니다.

특성.

행렬식 $(-1)^{n}$ ${$ 행렬에 의한 표현 또는 반사의 곱)을 가지고 있습니다.따라서 그것은 짝수 차원에서 방향 보존, 즉 특수 직교군 SO(2n)의 요소이며, 홀수 차원에서 방향 보존되므로 SO(2n + 1)의 요소가 아니며 대신 $O(2n+1)\to \pm 1$ O $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)\to \pm 1$ ± ${\displaystyle$ O( $2n$ + $1)\to \pm$ 1 $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ $=$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ + $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ × $}({displaystyle$ O $(2n$ + $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ 1) = 표시 $SO(2n+1)\times \{\pm$ I $\}}$ 를 $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ 내부 직접 생성물로 사용합니다.

항등식과 함께 직교군의 중심을 형성합니다.
Q $Q(-v)=Q(v)$ $=$ $)$ {\ $displaystyle$ Q $(-v$ ) = $Q(v$ 를 $Q(-v)=Q(v)$ 하는 모든 2차 형식을 보존하므로 모든 무한 직교 그룹의 요소이기도 합니다.
특성이 2인 경우에만 동일성과 같습니다.
그것은 부호 있는 순열의 콕서터 그룹 중 가장 긴 요소입니다.

유사하게, 그것은 반사의 생성 집합과 관련하여 직교군의 가장 긴 요소입니다: 직교군의 요소들은 모두 ^[b]반사의 생성 집합과 관련하여 최대 n개의 길이를 가지며, 원점을 통한 반사는 n개의 길이를 갖습니다.이것이 유일한 것은 아니지만, 다른 최대 회전 조합(그리고 가능하면 반사)도 최대 길이를 가집니다.

기하학.

SO(2r)에서 원점을 통한 반사는 일반적인 메트릭과 관련하여 ID 요소에서 가장 먼 지점입니다.O(2r + 1)에서 원점을 통한 반사는 SO(2r + 1)에 있지 않으며(비동일성 성분에 있음), 비동일성 성분의 다른 점보다 "원점"이라는 자연스러운 의미는 없지만 다른 성분의 기준점을 제공합니다.

클리포드 대수학 및 스핀 군

스핀 그룹의 요소 $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ - $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ 스핀 $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ ( $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ ) \ $displaystyle -1\in \mathrm {Spin}(n)}$ 과 $-1 \in \mathrm{Spin}(n)$ (와) 혼동해서는 안 됩니다. $-I\in SO(2n)$ 는 - I $-I\in SO(2n)$ $-I\in SO(2n)$ ( $)$ {\ $displaystyle -I\in$ SO $(2n$ 따라서 스핀 $\operatorname {Spin} (n)$ ( $n)$ {{displaystyle $\operator$ name { $Spin}(n)}$ 에는 $\operatorname {Spin} (n)$ ${displaystyle$ $-1$ $}$ 과 $-1$ $-I$ 의 리프트 2개가 $-1$ 모두 있기 $-I\in SO(2n)$ 때문에 심지어 스핀 그룹에도 특히 혼란스럽습니다.

정체성을 통한 반사는 주 회전 또는 등급 회전이라고 불리는 클리포드 대수의 자기 형태로 확장됩니다.

정체성을 통한 반사는 유사 스칼라로 올라갑니다.

참고 항목

메모들

^ "직교 평면"은 모든 요소가 직교하고 평면이 0에서만 교차한다는 것을 의미하며, 선으로 교차하고 이면각이 90°인 것은 아닙니다.
^ 이것은 예를 들어 스펙트럼 정리에서 나오는 회전과 반사의 직접적인 합으로 직교 변환을 분류하는 것입니다.

레퍼런스

[1] "직교 평면"은 모든 요소가 직교하고 평면이 0에서만 교차한다는 것을 의미하며, 선으로 교차하고 이면각이 90°인 것은 아닙니다.

[2] 이것은 예를 들어 스펙트럼 정리에서 나오는 회전과 반사의 직접적인 합으로 직교 변환을 분류하는 것입니다.

[a]

[b]

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