부적절한 회전

Improper rotation
회전 대칭이 있는 폴리헤드라 예제
그룹 S4 S6 S8 S10 S12
부분군 C2 C3, S2 = Ci C4, C2 C5, S2 = Ci C6, S4, C3, C2
예 2-antiprism rotoreflection.png
편협한 반감. 		3-antiprism rotoreflection.png
삼각 항정신병 		Rotoreflection example square antiprism.png
사각 반감 		Rotoreflection example antiprism.png
오각적 반감 		6-antiprism rotorereflection.png
육각 항정신병
지시된 가장자리가 있는 항정신병에는 회전 대칭이 있다.
홀수 p에 대한 p-antiprisms는 반전 대칭인 C를i 포함한다.

기하학에서 회전반사,[2] 회전반사,[1][3] 회전반사 또는 회전반사라고도[4] [1]하는 부적절한 회전은 상황에 따라 축을 중심으로 한 회전과 그 축에 수직인 평면의 반사의 조합인 선형 변환 또는 부착 변환이다.[5]

삼차원

추가 정보: 3차원의 점 그룹
S에서2 S까지의20 쇤파리 그룹에 대한 부분군

3D에서 동등하게 축의 한 점에서 회전과 역전의 조합이다.[1] 따라서 로또인버전 또는 회전인버전이라고도 한다. 고정점이 하나만 있는 3차원 대칭은 반드시 부적절한 회전이다.[3]

두 경우 모두 운영이 통근한다. 회전각과 회전각은 180°씩 차이가 날 경우 회전각과 회전각은 동일하며, 반전점은 반사면에 있다.

따라서 물체의 부적절한 회전은 물체의 거울 이미지를 회전시킨다. 그 축을 회전반사축이라고 한다.[6] 이를 반사 전 또는 후 회전각이 360°/n(여기서 n은 짝수여야 함)이면 n배 부적절한 회전이라고 한다.[6] 개별적인 부적절한 회전 이름을 붙이는 몇 가지 다른 시스템이 있다.

  • 쇤파리에서 기호 Sn(독일어, 슈피겔, 거울용)를 표기하는데 여기서 n은 반드시 짝수여야 하며 n-배 부적절한 회전으로 생성된 대칭 그룹을 나타낸다. 예를 들어 대칭 연산 S는6 (360°/6)=60°의 회전과 미러 평면 반사의 조합이다. (이것은 대칭 그룹에 대해 동일한 표기법과 혼동해서는 안 된다.[6]
  • 헤르만-마우긴 표기법에서 기호 n은 n-폴드 회전각, 즉 360°/n의 회전 각도로 반전하는 데 사용된다. n이 짝수인 경우에는 4로 나누어져야 한다. (참고 2는 단순히 반사일 뿐이며 일반적으로 m으로 표시된다.) n이 홀수일 경우 이는 2n배 부적절한 회전(또는 회전반사)에 해당한다.
  • S에2n 대한 Coxeter 표기법은 [2n+,2+]와, [2n,2]의 색인 4 부분군으로서 3개의 반사의 산물로 생성된다.
  • 오비폴드 표기법은 n× 순서 2n이다.

지수 2의 S의2n 직접 부분군은 Cn, [n]+ 또는 (nn) 순서 n의 (nn)로, 두 번 적용되는 회전 선택 발생기 입니다.

홀수 n에 대한2n S는 C로i 표시된 역전을 포함한다. 이 대칭은 정상 회전 C와n 역전의 조합(또는 제품)과 동일하다. n S도2n C를n 포함하지만 역전을 포함하지는 않는다. 일반적으로 홀수 p가 n의 구분자라면 S는2n/p S의2n 부분군이다. 예를 들어 S는4 S의12 부분군이다.

간접 등위법으로

더 넓은 의미에서 부적절한 회전은 간접 등위법으로 정의될 수 있다. 즉, E(3)\E+(3)의 요소: 따라서 평면에 순수하게 반사되거나 활공면을 가질 수도 있다. 간접 등위변환이란 -1의 결정인자를 갖는 직교 행렬을 갖는 아핀 변환이다.

적당한 회전은 보통 회전이다. 넓은 의미에서 적절한 회전은 직접 등사계로 정의된다. 즉, E+(3)의 원소: 또한 정체성, 축을 따라 번역이 있는 회전 또는 순수 번역이 될 수 있다. 직접 이등변형은 직교 행렬이 있는 아핀 변환으로 결정인자가 1인 직교차 행렬은 1이다.

좁은 감각이나 넓은 감각에서 두 번의 부적절한 회전 구성은 적절한 회전이고, 부적절한 회전과 적절한 회전 구성은 부적절한 회전이다.

물리적 시스템

부적절한 회전(예를 들어, 시스템이 거울 대칭면을 가지고 있는 경우)에서 물리적 시스템의 대칭을 연구할 때, 벡터와 유사체(스칼라, 유사체, 일반적으로 텐서 및 유사체)를 구별하는 것이 중요하다. 후자는 적절하지 않은 로타티에서 다르게 변하기 때문이다.ons (3차원에서는 유사벡터가 반전하에서는 불변함).

참고 항목

참조

  1. ^ Jump up to: a b c Morawiec, Adam (2004), Orientations and Rotations: Computations in Crystallographic Textures, Springer, p. 7, ISBN 9783540407348.
  2. ^ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Inorganic Chemistry (5 ed.), Pearson, p. 78
  3. ^ Jump up to: a b Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E. (2002), Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry, Springer, p. 267, ISBN 9781930190092.
  4. ^ Klein, Philpotts (2013). Earth Materials. Cambridge University Press. pp. 89–90. ISBN 9780521145213.
  5. ^ Salomon, David (1999), Computer Graphics and Geometric Modeling, Springer, p. 84, ISBN 9780387986821.
  6. ^ Jump up to: a b c Bishop, David M. (1993), Group Theory and Chemistry, Courier Dover Publications, p. 13, ISBN 9780486673554.