펜션

표현식의 처음 세 값은 x[5]2이다. 3[5]2의 값은 약 7.626 × 10이며¹², 높은 x 값은 너무 커서 그래프에 표시할 수 없다.

수학에서 펜션(또는 하이퍼-5)은 테트레이션 후와 16진 전 다음 초동작용을 말한다. 그것은 테트레이션이 반복된 지수와 마찬가지로 반복된(반복된) 테트레이션으로 정의된다.^[1] a와 b의 두 숫자로 정의된 2진법 연산인데, 여기서 a는 b-1회 스스로 테트화된다. 예를 들어, 억눌림과 테트레이션을 위해 하이퍼 작동 표기법을 사용하는 경우, $2[5]3$ [ $2[5]3$ $2[5]3$ 3 ${\displaystyle$ 2 $2[4](2[4]2)$ $5]3}$ 은(는) 2 ~ 그 자체 또는 2 $2[4](2[4]2)$ [ $2[4](2[4]2)$ $2[4](2[4]2)$ $2[4](2[4]2)$ [ $2[4](2[4]2)$ $]{\displaystyle 2[4](2[4]2)}}}$ 을(는)의 테트레이팅하는 것을 의미한다 $2[5]3$ $2[4](2[4]2)$ 그런 다음 이 값을 $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ [ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ ( $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ ) $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ [ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ 4 $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = 2 4 = 2 4 $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ = $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ 으로 줄일 수 있다 $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$ ${\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}=2^{4}}}=2^{16}=65536.$ $}$

어원

'용사'라는 단어는 1947년 루벤 굿스타인(Leuben Goodstein)이 펜타-(5)와 반복의 뿌리에서 만들어 낸 말이다. 그것은 그의 과대 운용을 위한 일반적인 이름 지정 계획의 일부다.^[2]

표기법

펜트레이닝 표기법에 대한 공감대가 거의 없다. 따라서 작문 방법에는 여러 가지가 있다. 그러나 어떤 것들은 다른 것들보다 더 많이 사용되고, 어떤 것들은 다른 것에 비해 분명한 장단점을 가지고 있다.

펜션 $a[5]b$ 은 $a[5]b$ [5 ] b {\ $displaystyle$ a $[5]b}$ 로서 초동작용으로 쓸 $a[3]b$ 있다 $a[5]b$ 이 형식에서 $a[3]b$ [ $3$ ] b {\ $displaystyle$ a[ $3]b}$ 은 1부터 $b$ 하여 b ${\displaystytle$ b $}$ 의 $b$ 반복에 $x\mapsto a[2]x$ $함수$ x $↦$ a $x\mapsto a[2]x$ a $x\mapsto a[2]x$ 를 반복적으로 적용한 결과로 해석할 $a[3]b$ 수 있다. $a[4]b$ 와 유사하게 $a[4]b$ [ $a[4]b$ $a[4]b$ b ${\displaystyle a[4]b$ 테트레이션은 $숫자$ 1에서 시작하여 b $b$ 반복에 $b$ $x\mapsto a[3]x$ x $x\mapsto a[3]x$ ↦ [ $3]x}을 반복적$ 으로 적용하여 얻은 값을 나타내며 $a[5]b$ $펜트레이션$ $a[5]b$ [ $a[5]b$ $a[5]b$ $a[5]b$ {\ $displaysty[5]b}$ 은 얻은 값을 나타낸다 $a[5]b$ . $b$ $b$ 의 $b$ 반복에 대해 함수 $x\mapsto a[4]x$ a [ $x\mapsto a[4]x$ $x\mapsto a[4]x$ $x\mapsto a[4]x$ $x\mapsto a[4]x$ 을 $x\mapsto a[4]x$ 를) 반복 적용(숫자 1부터)^[3]^[4] 이것은 기사의 나머지 부분에 사용되는 표기법이 될 것이다.

In Knuth's up-arrow notation, $a[5]b$ is represented as $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ or $a\uparrow ^{3}b$ . In this notation, $a\uparrow b$ represents the exponentiation function $a^{b}$ and $a\uparrow \uparrow b$ $a\uparrow \uparrow b$ $[\displaystyle a\uparrow$ \uparrow $\uparrow$ b}는 테트레이션을 나타낸다 $a\uparrow \uparrow b$ . 다른 화살표를 추가하여 16진법에 맞게 조작할 수 있다.

Conway 체인 화살표 표기법에서는 $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ [ $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ = a $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ → $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ → b $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ → $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ ${\displaystyle a[5]b$ =a $\오른쪽 화살표 b\오른쪽$ 화살표 3 $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ ^[5]을(를) 표시한다.

또 다른 제안된 표기법은 ${_{b}a}$ ${\$ 인데 ${_{b}a}$ 이는 더 높은 하이퍼 오퍼레이션으로 확장할 수 없다.^[6]

예

The values of the pentation function may also be obtained from the values in the fourth row of the table of values of a variant of the Ackermann function: if $A(n,m)$ is defined by the Ackermann recurrence $A(m-1,A(m,n-1))$ with the initial conditions $A(1,n)=an$ $A(1,n)=an$ ) $A(1,n)=an$ = $A(1,n)=an$ ${\displaystyle$ A $(1,n)=an}$ $A(m,1)=a$ $A(m,1)=a$ 1 $A(m,1)=a$ ) $A(m,1)=a$ = ${\displaystyle A(m,1)=a$ 그 다음 $a[5]b=A(4,b)$ [ $a[5]b=A(4,b)$ = A $a[5]b=A(4,b)$ b)} ${\displaystystyle a[5]b=A(4,b$ ^[7]

그 기본 작동인 테트레이션이 비정수자 높이로 확장되지 않았기 때문에 $a[5]b$ [ $a[5]b$ $a[5]b$ $a[5]b$ $a[5]b$ 의 억제는 현재 a와 b의 정수 값에만 정의되어 있으며 $a[5]b$ , 여기서 a는 0과 b ≥ -1이고, 고유하게 정의될 수 있는 몇 가지 다른 정수 값만 정의되어 있다. 순서 3(배제) 이상의 모든 하이퍼 오퍼레이션과 마찬가지로, 펜션에는 도메인 내 a와 b의 모든 값을 유지하는 다음과 같은 사소한 사례(식별)가 있다.

$1[5]b=1$
$a[5]1=a} 표시$

또한 다음을 정의할 수 있다.

$a[5]0=1$
$a[5](-1)=0$

위에 나타낸 사소한 경우를 제외하고, 억제는 매우 빠른 속도로 매우 큰 숫자를 발생시켜, 아래 그림과 같이 재래식 표기법으로 쓸 수 있는 숫자를 생산하는 비독점적인 사례가 몇 개 없을 뿐이다.

$2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
$2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2}}=2^{2^{2}}=2^{4}}}}}=2^{16}=6,536$
${\displaystyle 2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536)$ $}}}\cHB \exp _{$ 10 $}^{65,533}(4$ .29508 $)}($ 이곳에서는 전통적인 표기법으로 쓰기에는 너무 커서 반복된 지수 표기법에 표시된다. 참고 $\exp _{10}(n)=10^{n}$ $\exp _{10}(n)=10^{n}$ $\exp _{10}(n)=10^{n}$ $\exp _{10}(n)=10^{n}$ ) $\exp _{10}(n)=10^{n}$ = $\exp _{10}(n)=10^{n}$ $\exp _{10}(n)=10^{n}$ ${\$ )
$3[5]2=3[4]3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
$3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987={\textet{3]}}}}{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3^{3}}}}}}.^^{.^{3}}}}{\mbox{7,625,597,484,987}}}}}}}}}}}}{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
$4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ [ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ = $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ = $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ 4 $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ 4 $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ = 4 $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ 10 3 $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ ( 2. $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ ) $displaystyle 4[5]2=4^{4^{4$ }}{4 $^{4}}}}{4^{256}}}}}}\대략적으로 \exp$ _ ${10}^{3$ }{3 $}{3$ ¹⁵³}(2 $.19}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{$ 2.19}}}}}}} $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$
$5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$ (a number with more than 10^10²¹⁸⁴ digits)

참고 항목

참조

^ Perstein, Millard H. (June 1962), "Algorithm 93: General Order Arithmetic", Communications of the ACM, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160, S2CID 581764.
^ Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12 (4): 123–129, doi:10.2307/2266486, JSTOR 2266486, MR 0022537.
^ Knuth, D. E. (1976), "Mathematics and computer science: Coping with finiteness", Science, 194 (4271): 1235–1242, Bibcode:1976Sci...194.1235K, doi:10.1126/science.194.4271.1235, PMID 17797067, S2CID 1690489.
^ Blakley, G. R.; Borosh, I. (1979), "Knuth's iterated powers", Advances in Mathematics, 34 (2): 109–136, doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5, MR 0549780.
^ Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 61, ISBN 9780387979939.
^ http://www.tetration.org/Tetration/index.html
^ Nambiar, K. K. (1995), "Ackermann functions and transfinite ordinals", Applied Mathematics Letters, 8 (6): 51–53, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4, MR 1368037.

[1] Perstein, Millard H. (June 1962), "Algorithm 93: General Order Arithmetic", Communications of the ACM, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160, S2CID 581764.

[2] Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12 (4): 123–129, doi:10.2307/2266486, JSTOR 2266486, MR 0022537.

[3] Knuth, D. E. (1976), "Mathematics and computer science: Coping with finiteness", Science, 194 (4271): 1235–1242, Bibcode:1976Sci...194.1235K, doi:10.1126/science.194.4271.1235, PMID 17797067, S2CID 1690489.

[4] Blakley, G. R.; Borosh, I. (1979), "Knuth's iterated powers", Advances in Mathematics, 34 (2): 109–136, doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5, MR 0549780.

[5] Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 61, ISBN 9780387979939.

[6] ttp://www.tetration.org/Tetration/index.html

[7] Nambiar, K. K. (1995), "Ackermann functions and transfinite ordinals", Applied Mathematics Letters, 8 (6): 51–53, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4, MR 1368037.

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v t 오버오퍼레이션
1차	후계자(0) 덧셈(1) 곱하기 (2) 지수 (3) 테트라제 (4) 펜션(5)
왼쪽 인수의 역행	감산(1) 분할(2) 루트 추출(3) 슈퍼루트(4)
올바른 인수의 역행	감산(1) 분할(2) 로그(3) 슈퍼로그(4)
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