조건부 수렴

수학에서 직렬이나 적분은 수렴하면 조건적으로 수렴된다고 하지만 절대적으로 수렴하지는 않는다.

정의

More precisely, a series of real numbers ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ is said to converge conditionally if ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ exists (as a finite real number, i.e. not $\infty$ or $-\infty$ ${\displaystyle -\fty })$ 그러나 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$ = ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$ a = ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$ = ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$ {\ $textstyle \sum \{n=0}^{\ft }\왼쪽 a_{n}\right =\ft.}$

고전적인 예로는 다음과 같이 주어지는 교류 고조파 시리즈가 있다.

1-{{1 \{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \sum \sum _{n=1}^{(-1)^{n+1} \n}}}}}

\ln(2)

\ln(2)

은 ln

\ln(2)

( 2

\ln(2)

)

{\displaystyle \ln(2

에 수렴되지만 절대적으로 수렴되지는 않는다(하모닉 시리즈 참조).

베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 조건부 수렴 시리즈가 ∞ 또는 -∞을 포함한 어떤 값으로도 수렴되도록 재배열될 수 있음을 증명했다. 리만 시리즈 정리를 참조하라. 레비-슈타인츠 정리는 R에서ⁿ 일련의 용어들이 수렴할 수 있는 값들의 집합을 식별한다.

일반적인 조건부 수렴 적분은 ${\textstyle \sin(x^{2})}$ ${\textstyle \sin(x^{2})}$ ( ${\textstyle \sin(x^{2})}$ ${\textstyle \sin(x^{2})}$ ) ${\textstyle \sin(x^{2})}$ 의 비음성 실질 축에 있는 것이다( ${\textstyle \sin(x^{2})}$ Freshnel 적분 참조).

참고 항목

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월터 루딘, 수학 분석의 원리 (McGraw-Hill: New York, 1964).

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