정수 modulo n의 승법군

모듈식 산술에서, n 비 음의 정수의 집합$$${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ 1, ${\displaystyle \dots ,}$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\}}${\$displaystyle \{0,1,\dots,n-1\}}$에서 n까지의 정수는 정수 모듈로 n의 곱셈모듈로 n에 따라 그룹을 형성한다.동등하게, 이 집단의 요소들은 n에 복사되는 잔류물 modulo n으로도 알려져 있는 결합 등급으로 생각할 수 있다.따라서 또 다른 이름은 원시 잔여물 등급 modulo n의 그룹이다.추상대수의 한 갈래인 고리 이론에서는 정수모듈로n의 고리 단위의 집단으로 기술된다.여기서 단위는 승수 역이 있는 원소를 가리키는데, 이 고리에서는 정확히 n과 같은 조합이다.

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

보통${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ $\}\}\}\}\}\}$로 표기되는 이 지수 집단은 수 이론에서 기본이다.암호학, 정수 인자화, 소수성 시험에서 응용 분야를 찾아냈다.${\displaystyle 오일러}$의 토털함수${\displaystyle (}$Z / n Z ) ${\displaystyle {\times }^{}{}^{}}$= ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (\mathb {Z} /n\mathb {Z})^{\time$}$=\varphi (n$)에 의해 순서가 주어지는 아벨리안 유한군이다$.$$}$ prime n의 경우$$ 그룹은 주기적이며 일반적으로 구조는 설명하기 쉽다. prime n의 경우에도 발전기를 찾는 일반적인 공식은 알려져 있지 않다.

그룹 공리

곱셈에서 n과 짝수인 합성계급 modulo n의 집합이 아벨리아 집단의 공리를 만족시킨다는 것을 보여주는 간단한 연습이다.

실제로 a는 gcd(a, n) = 1. 같은 조합 등급의 정수 a ≡ b(mod n)가 gcd(a, n) = gcd(b, n)를 만족하는 경우에만 n과 동일하므로, 다른 것이 있는 경우에만 n과 동일하다.따라서 n과 동시발생하는 concluence class modulo n의 개념은 잘 정의되어 있다.

gcd(a, n) = 1과 gcd(b, n) = 1은 gcd(ab, n) = 1을 의미하므로, n에 대한 클래스 집합은 곱셈으로 닫힌다.

정수 곱셈은 일치 계급을 존중한다. 즉, a a'와 b ≡ b' (mod n)는 ab ≡ a'b' (mod n)를 의미한다.이것은 곱셈이 연관성이 있고, 교합성이며, 1등급이 고유한 곱셈 정체성임을 암시한다.

마지막으로, a에 주어진 modulo n의 곱셈 역은 ≡ 1 (mod n)을 만족하는 정수 x이다.이 경우 gcd(a, n) = 1과 Bézout의 보조정리에는 정수 x와 y를 만족하는 도끼 + ny = 1이 있기 때문에 a가 n과 동일할 때 정확히 존재한다.등식 도끼 + ny = 1은 x가 n에 대한 coprime이므로 곱셈 역이 그룹에 속함을 의미한다는 점에 유의한다.

표기법

덧셈과 곱셈의 연산을 가진 정수 modulo n의 (confluence classes of) 집합은 고리다.It is denoted ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ or ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ (the notation refers to taking the quotient of integers modulo the ideal ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ or ${\displaystyle (n)}$ consisting of the multiples of n).숫자 이론 외에서는 더 ${\displaystyle {}_{}}$ $표기법{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ Z n ${\$을 사용하지만$$ n이 소수일 때는 -adic 정수와 혼동될 수 있다.

The multiplicative group of integers modulo n, which is the group of units in this ring, may be written as (depending on the author) ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$ ${\displaystyl$$e \mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ (for German Einheit, which translates as unit), ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$, or similar notations.이 문서에서는${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$. . ${\displaystyle(\mathb {Z} /n\mathb {Z} )^{\times }}}$을(를) 사용한다.

$표기법{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ C ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$C$}$ $_{n$}}은 n 순서의 순환 그룹을 가리킨다$$.그것은 첨가된 정수 모듈로 n의 그룹과 이형적이다.$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$도 추가 대상 그룹을 참조할 수 있다는$$ 점에 유의하십시오.For example, the multiplicative group ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ for a prime p is cyclic and hence isomorphic to the additive group ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$, but the isomorphism is not obvious.

구조

정수 modulo n의 승수 그룹의 순서는${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \{0,1,\dots,n-1\}$ coprime$$ to n.오일러의 토털함수:${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}{}^{}}$= ${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (\mathb {Z} /n\mathb {Z} )^{\time$}$=\varphi (n)}($OEIS에서 순차 A00000010)로 주어진다.prime p의 경우, $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{p}}$- 1 ${\displaystyle \varphi (p)=p-1$

순환 케이스

그룹$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$은(는) 1, 2, 4, p^k 또는^k 2p인 경우에만 순환하며 여기서 p는 홀수 프라임이고 k > 0인 경우, n 그룹의 다른 모든 값은 순환되지 않는다.^[1][2][3]이것은 가우스에 의해 처음 증명되었다.^[4]

이는 이러한 n에 대해 다음을 의미한다.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},}$ where ${\displaystyle \varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.$$}$

By definition, the group is cyclic if and only if it has a generator g (a generating set {g} of size one), that is, the powers ${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,}$ give all possible residues modulo n coprime to n (the first ${\displaystyle \varphi (n)}$ powers ${\displaystyle g^0,\dots ,g^{\phi (n}}$${\displaystyle {)}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 각각 1회씩 정확하게$$ 준다.$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$의 생성기를 원시 루트 모듈로 n이라고 한다$$.^[5]제너레이터가 있으면 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle \phi }$ ( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle \varphi(\varphi (n)}$이(가) 있다.

파워스 오브 투

Modulo 1 또는 두 정수는 일치한다. 즉, [0], coprime to 1의 일치 클래스만 있다.따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ 1 ${\displaystyle Z{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$C} _{1$}는 φ(1) = 1원소를 가진 사소한 그룹이다$$.그 사소한 성질 때문에 일반적으로 합치법 modulo 1의 경우는 무시되고 일부 저자들은 정리문장에 n = 1의 경우를 포함하지 않기로 선택한다.

Modulo 2는 coprime congruence class가 하나뿐이므로 [1], 따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}{1}{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은 사소한 그룹이다$.$

Modulo 4에는 [1]과 [3]의 두 개의 조합 조합 조합 등급이 있으므로 $({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$×${\displaystyle {}^{}}$c C ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle$(\$mathb {Z}$ /$4\mathb$ {$Z} )^{\time }\cong \mathrm {C} _{2},},},}},},},},},},},},},}},},},}$의 순환 그룹이 있다.

Modulo 8에는 [1], [3], [5], [7]의 네 가지 조합 조합 조합 조합 등급이 있다.각각의 제곱은 1이므로${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 8\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ × × ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 , ${\displaystyle (\mathb {Z} /8\mathb {Z} )^{\time \mathrm {C} _{2}\time \mathrmet{C}},$ 클라인 4-그룹.

Modulo 16에는 8개의 동시합성 등급[1], [3], [5], [7], [9], [11], [13], [15]가 있다.${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ is the 2-torsion subgroup (i.e., the square of each element is 1), so ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$ is not cyclic.3,${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 9,}$ ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,$${\displaystyle 3}$$,9,11\}}$의 힘은 5,${\displaystyle }$1,${\displaystyle }$5,${\displaystyle 9,}$ ${\displaystyle 13\}}$의 힘과 마찬가지로 순서 4의 하위 그룹이다$$. ${\displaystyle \{1,5,9,13\}}$$$ 따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ × × ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4$$. {\$displaystyle (\mathb {Z} /16\mathb {Z} )^{\time$ }\$c}\$cong $\mathrmatrix {C} _{2}\time \mathrmathrmatrmetc} _{4}.$$}$

더 높은 힘 2k은 8과 16holds[6] 것에서 보여지듯이, k>2:{±1,2k− 1±1}≅ C2×C2,{\displaystyle\와 같이{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong\mathrm{C}_{2}\times}{C}_{2}, \mathrm은2-torsion 서브 그룹( 그렇게(Z/2kZ)×{\displaystyle(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})^{\times}}이 아니다.순환) and the powers of 3 are a cyclic subgroup of order 2^{k − 2}, so ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.$$}$

일반 합성수

유한 아벨 그룹의 기본 정리에 의해 그룹$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$은(는) 원시 전력 질서의 순환집단의 직접적인 산물에 이형성이다.

보다 구체적으로 중국인의 나머지 theorem[7]는 만약 nxp1k1p2k2p3k3…,{\displaystyle\와 같이^;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}},\ \dots, 반지의} 다음 반지 Z/nZ{\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}은 직접적인 제품 각 i.의에 해당하는 말한다이익주요 전력 요인:

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$

마찬가지로 단위 그룹$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z{}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$은 각 주요 전력 요인에 해당하는 그룹의 직접 산물이다.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$

For each odd prime power ${\displaystyle p^{k}}$ the corresponding factor ${\displaystyle (\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$ is the cyclic group of order ${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}}$, which may further factor into cyclic gr원권 명령의 발동2의 검정력의 경우${\displaystyle 인자\mathbb{}(Z{\mathrm{}}^{}}$ / ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}{}^{}}$k Z${\displaystyle {}^{}}$) $×$ {\$displaystyle$(\$mathb${Z}$/{2^{$k}}\$mathb {Z})^{\time }}}$는 k = 0, 1, 2가 아닌 한 주기적인 그룹으로 인자가 위에서$$ 설명한 대로 된다.

그룹 $\phi {\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \varphi(n)}$의 순서는 직접$$ 곱에 있는 순환 그룹 주문의 산물이다.그룹의 지수, 즉 주기 그룹 내 주문 중 최소 공통 배수는 카마이클 함수 ael ($n{\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda (n)}($OEIS의 순서 A002322)$$에 의해 주어진다.즉, $\lambda {\displaystyle }$($){\displaystyle \lambda (n)}$는 각 coprime to n에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }^{}}$($n$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1${\displaystyle }$($mod$ n$){\lambda (n)}\equiv$ 1${\pmod{n}}}}}}}}}}$이(가) 고정될 정도로 가장 작은 수이다$$.$\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \varphi (n)}$을(를) 분할하며 그룹이$$ 주기적인 경우에만 동일하다.

거짓 증인의 부분군

n이 복합적인 경우, "거짓 증인의 집단"이라고 불리는 승법 집단의 하위 그룹이 존재하는데, 이 그룹에서는 원소가 n - 1로 상승했을 때 원소가 1모듈로 n으로 응축된다(어떠한 전력으로 상승했을 때 잔류물 1이 1모듈로 n으로 응축되기 때문에 그러한 원소의 집합은 비어 있지 않다).^[8]페르마의 작은 정리 때문에 그러한 잔여물은 n의 원시성에 대해 "허위 양성" 또는 "허위 증인"이라고 말할 수 있을 것이다.숫자 2는 이 기본 원시성 검사에 가장 자주 사용되는 잔류물이며, 따라서 341 = 11 × 31은 2가³⁴⁰ 1모듈로 341과 일치하며, 341은 그러한 복합적인 숫자 중 가장 작기 때문에 유명하다(2와 관련하여).341의 경우, 거짓 증인 하위 그룹은 100개의 잔류물을 포함하며, 300 요소 승법 그룹 mod 341 안에 지수 3이 포함된다.

예

n = 9

거짓증인의 비종교적 부분군을 가진 가장 작은 예는 9 = 3 × 3이다.9에 대한 6개의 잔여물이 있다: 1, 2, 4, 5, 7, 8. 8은 -1모듈로 9에 해당하므로, 8은⁸ 1모듈로 9에 해당된다.따라서 1과 8은 9의 "우선성"에 대해 잘못된 긍정이 된다(실제로 9는 프라임이 아니기 때문이다).이들만이 사실이기 때문에 하위그룹 {1,8}이(가) 거짓증인의 하위그룹이다.동일한 주장은 n - 1이 모든 홀수 합성 n에 대한 "허위 증인"임을 보여준다.

n = 91

For n = 91 (= 7 × 13), there are ${\displaystyle \varphi (91)=72}$ residues coprime to 91, half of them (i.e., 36 of them) are false witnesses of 91, namely 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88, and 90, since for these values of x,x는⁹⁰ 1모드 91과 일치한다.

n = 561

n = 561(= 3 × 11 × 17)은 카마이클 번호로, 따라서⁵⁶⁰ s는 561에 대한 정수 s coprime에 대해 1 modulo 561에 일치한다.거짓 증인의 하위 그룹은 이 경우 적절하지 않다; 그것은 320개의 잔류물로 구성된 전체 승법 단위 모듈로 561의 그룹이다.

예

이 표는${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$의 주기적 분해와 n n 128에 대한 생성 세트를 보여준다.분해 및 생성 세트가 고유하지 않음(예:

${\displaystyle \displaystyle{\begin{정렬}(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z})^{\times}&,\cong(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}\times(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}\cong \mathrm{C}_{4}\times{C}_{6}\cong \mathrm{C}_{4}\times \mathrm{C}_{3}\cong \mathrm{C}_{2}\times \mathrm{C}_{12}\cong(\mathb{C}_{2}\times \mathrm \mathrm.b{Z}} /4\mathb {Z}^{\time }\time (\mathb {Z} /13\mathb {Z})^{\time }\&\cong (\mathb {Z} /52\mathb {Z} )^{\time }\ended}}}}}}}}}}}}}}}}$

(그러나 $\ncong {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {24}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\time \mathrmatrm {C}$ $$$_{3}).$아래 표에는 최단 분해 목록이 나와 있다(이 중 사전적 분해가 먼저 선택됨 - 이는 이형성 그룹이 동일한 분해로 나열됨을 보장함).생성 집합도 가능한 짧게 선택하며, 원시 루트가 있는 n의 경우 가장 작은 원시 루트 모듈로 n이 나열된다.

For example, take ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$. Then ${\displaystyle \varphi (20)=8}$ means that the order of the group is 8 (i.e., there are 8 numbers less than 20 and coprime to it); ${\displaystyle \lambda (20)=4}$ means the order of each element divides 4, 즉, 20에 대한 임의의 숫자 조합의 네 번째 힘은 1에 일치한다(mod 20).{3,19} 세트는 그룹을 생성하며$,{\displaystyle }$ 이는 (${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 20\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$의 모든 요소가 3^a × 19^b 형식(여기서 a는 0, 1, 2 또는 3이며, 마찬가지로 b는 19의 순서가 있기 때문에 0 또는 1)이라는$$ 것을 의미한다.

최소 원시 루트 모드는 n이다(루트가 없는 경우 0).

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (sequence A046145 in the OEIS)

최소 생성 모드 n의 원소 수는

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (sequence A046072 in the OEIS)

참고 항목

• Lenstra 타원 곡선 인자화

메모들

참조

디스퀴지스 산수화는 가우스의 키케로니아어 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었다.독일판에는 이차적 상호주의의 모든 증거, 가우스 합계의 징표 결정, 이차적 상호주의에 대한 조사, 미발표 주석 등 그의 모든 논문이 포함되어 있다.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2 {{citation}}: first2=일반 이름 포함(도움말)
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3 {{citation}}: first2=일반 이름 포함(도움말)
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
• Vinogradov, I. M. (2003), "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES", Elements of Number Theory, Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105–121, ISBN 978-0-486-49530-9

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Modulo Multiplication Group". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Primitive Root". MathWorld.
• John Jones가 그룹 테이블을 대화식으로 계산하는 웹 기반 도구