이항 관계

추이적 이원 관계
대칭 반대칭의 연결된 근거가 있다 조인 있음 만나다 재귀적 비반사적 비대칭 합계, Semicnex 안티 반사적인 등가관계 Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 예약판매(쿼시퍼) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 부분순서 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 예약주문합계 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 총주문량 ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 사전 주문 ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 준주문 ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 순서부여 ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 격자 ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ 조인-반매티시 ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ 미팅-반매티시 ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ 엄밀한 부분순서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄격한 약질서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄밀한 토탈 오더 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 대칭 반대칭의 연결된 근거가 있다 조인 있음 만나다 재귀적 비반사적 비대칭 $정의{\displaystyle :}$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ a, b$${$displaystyle$ a$, b$} $및$ S ${\displaystyle \ne }$ :$${\$displaystyle$ S$\neq \varnothing :}$ $(\displaystyle\begin{aligned}&aRb\\\오른쪽 화살표 {}&bRa\end{aligned})$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text}및\bRa\\\rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\b\rightarrow\aRb{\text{또는 }}}&bRa\end{aligned}}$ $(\displaystyle\begin{aligned}\min S\{\text{exists}}\end{aligned})$ $(\displaystyle { aligned}a \ text { } \ end { aligned } )$ $(\displaystyle\displaystyle\text{aligned}\end{aligned})$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle\text{}aRa}$ $(\displaystyle {begin{aligned}aRb\오른쪽 화살표\{\text{not}}bRa\end{aligned}})$
Y는 열의 속성이 행의 항의 정의에 필요함을 나타냅니다(맨 왼쪽).예를 들어, 동등성 관계의 정의에서는 대칭이어야 합니다."는 속성이 유지되거나 유지되지 않을 수 있음을 나타냅니다.모든 정의는 동질관계 $(\displaystyle$ R$)$을 암묵적으로 필요로 합니다.R $(\displaystyle aRb}$ $및$$$${\displaystyle B}$(\$displaystyle bRc)$의 경우 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ a$,$$displaystyle$ bRc$)$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 동질관계를 충족할 수 있는 추가 속성이 있습니다.

수학에서, 이항 관계는 도메인이라고 불리는 한 집합의 요소와 코드메인이라고 ^[1]불리는 다른 집합의 요소를 연관시킨다.집합 X 및 Y에 대한 이진 관계는 X의 요소 x와 ^[2]Y의 요소 Y로 구성된 새로운 순서 쌍(x, y)의 집합입니다.이것은 수학 함수에 대해 더 널리 알려진 개념을 일반화하지만, 제한은 더 적습니다.이것은 공통적인 관계 개념을 부호화합니다.요소 x는 요소 y와 관련지어집니다.단, 쌍(x, y)이 바이너리 관계를 정의하는 순서 있는 쌍의 세트에 속하는 경우뿐입니다.이진 관계는 집합 X₁, ..., X에_n 대한 n-ary 관계 중 가장 많이 연구된 특수 케이스 n = 2이며, 이는 데카르트 곱 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$×${\displaystyle }$δ × $.$ ${\displaystyle$X_{1}\$times$ \cdots X_${n}$의 하위 집합이다.$}$^[2]

2진수 관계의 예로는 소수$P{\displaystyle \mathbb{}}$ 세트$(\displaystyle \mathbb${P$$$})$와 정수$$Z $세트(\displaystyle$\mathbb {$Z$에 대한 "분할" 관계가 있습니다.여기서 각 소수 p는 p의 배수인 각 정수 z와 관련되지만 p의 배수가 아닌 정수에는 관련되지 않습니다.예를 들어 소수 3이 0, 6, 9와 관련되듯이 소수 2는 -4, 0, 6, 10 등의 숫자와 관련되지만 1 또는 9와는 관련되지 않는다.

이항 관계는 수학의 많은 분야에서 다양한 개념을 모델링하기 위해 사용됩니다.여기에는 다음이 포함됩니다.

• 산술에서 "보다 크다", "같다" 및 "비교적" 관계
• 기하학에서 "동일" 관계
• 그래프 이론에서 "인접" 관계
• 선형 대수의 "직교" 관계입니다.

함수는 특수한 종류의 이진 ^[3]관계로 정의될 수 있다.바이너리 관계는 컴퓨터 과학에서도 많이 사용되고 있습니다.

집합 X 및 Y에 대한 이진 관계는 X${\displaystyle }$×${\displaystyle Y}$의 거듭제곱 집합의 요소입니다$.$ ({$displaystyle$X\$times$ Y$}$ 후자의$$ 집합은 포함(displaystyle X\times Y)에 의해 정렬되므로 각 $관계$는${\displaystyle }$X ×${\displaystyle Y}$의 부분 집합 격자에 위치합니다$.$ ({$displaystyle$X\$times$ Y}) 이진$$ 관계가 X = Y일 때 이진 관계라고 합니다$.$X = Y일 필요가 없을 때 이종 관계라고 합니다.

관계는 집합이기 때문에 합집합, 교집합 및 보완을 포함한 집합 연산을 사용하여 집합 대수의 법칙을 만족시켜 조작할 수 있다.그 밖에도 에른스트 슈뢰더,^[4] 클라렌스 루이스,^[5] 군터 ^[6]슈미트의 교과서가 있는 관계 미적분의 법칙을 만족시키는 관계 역법 및 관계 구성 등의 연산을 이용할 수 있다.관계에 대한 더 깊은 분석은 개념이라고 불리는 부분 집합으로 분해하고 완전한 격자에 배치하는 것을 포함합니다.

공리 집합론의 일부 시스템에서는 관계가 집합의 일반화인 클래스로 확장됩니다.이 확장은 무엇보다도 러셀의 역설과 같은 논리적 모순에 부딪히지 않고 집합론에서 " is a element" 또는 " is a subset"의 개념을 모델링하기 위해 필요합니다.

비록 몇몇 필자는 데카르트의 제품 X× Y{\displaystyle X\times Y}의 하위 집합 X, Y와는 관계 없이 용어"이항 관계"사용하는 용어, 이진 관계에 X와 y경우지도 나쁘지도 않은을 기준으로 용어"통신"권리 양자 관계와two-place 관계는 이항 관계에 synonyms correspondence,[7].tation 필요한]

(Definition)

집합 X와 Y를 지정하면 데카르트 곱${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ×$$(\$displaystyle$ X$\times$Y)는 ${\displaystyle \{(x}$ ,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$) : x${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle yy}$}, ${\displaystyle$ \{x$,y)$: $x\in$ X {\$text{ 및 }y\in$ Y$\}$로 정의되며, 그 요소는 순서쌍이라고 불립니다.

집합 X 및 Y에 대한 이진 관계 R은${\displaystyle }$X ×${\displaystyle Y}$의 서브셋입니다$.{$ $displaystyle$X\$times$ Y$}$ 집합^[2][8] X는 R의 도메인^[2] 또는 출발 집합이며 집합 Y는 R의 코드 도메인 또는 수신처 집합입니다.집합 X와 Y의 선택을 지정하기 위해 일부 저자는 이진 관계 또는 대응 관계를 순서 3배(X, Y, G)로 정의합니다. 여기서 G는 이진 관계의 그래프라고 하는${\displaystyle }$X ×$$(\$displaystyle$ X$\times$ Y$)$의 서브셋입니다.${\displaystyle 문}$( x${\displaystyle }$, y ) ${\displaystyle r}$R \ $displaystyle ( x$, y )\$in$R$$ $\}{\displaystyle }$ " "x is R - related to y"로 표시되어 xRy로 ^{[4][5][6][note 1]}표시됩니다.R의 정의 영역 또는 활성^[2] 도메인은 적어도 1개의 y에 대해 xRy가 되는 모든 x의 집합입니다.R의 정의, 활성 코드메인,^[2] 이미지 또는 범위의 코드메인은 하나 이상의 x에 대해 xRy가 되도록 모든 y의 집합입니다.R의 장은 정의의 영역과 ^[10][11][12]정의의 코드메인의 결합이다.

X ${\displaystyle =Y}$ ,$${$style$ X$=Y,}$일 때 이항 관계를 동질 관계(또는 내인성)라고 합니다.X와 Y가 서로 다를 수 있다는 사실을 강조하기 위해,^[13][14][15] 이항 관계를 이종 관계라고도 합니다.

바이너리 관계에서는 요소의 순서가 중요합니다.x$$y { $displaystyle$ x \ $neq$y }인 경우 yRx는 xRy와 관계없이 true 또는 false가 될 수 있습니다.예를 들어 3은 9를 나누지만 9는 3을 나누지 않습니다.

예

두 번째 예시 관계

A B′	공	차	인형.	컵
존.	+	−	−	−
메리	−	−	+	−
금성	−	+	−	−

첫 번째 예시 관계

A B	공	차	인형.	컵
존.	+	−	−	−
메리	−	−	+	−
이안	−	−	−	−
금성	−	+	−	−

1) 다음 예시는 코드메인의 선택이 중요하다는 것을 보여줍니다.$A{\displaystyle }$ $=$ { ${\displaystyle \text{ball, car, doll, cup}}$ $}$ {\$displaystyle$ A=\{\$text{ball, car, doll, cup}}\}}$의 4개 오브젝트와 B $=$ { ${\displaystyle \text{John, Mary, Ian, Venus}\}}$의 $4개{\displaystyle }$ 오브젝트가 있다고 가정합니다$.{\displaystyle$ B=\{\$text}$$John, Mary, Ian, Venus}\}}$ A와 B의 가능한 관계는 R $=${ (${\displaystyle \text{ball},}$ ${\displaystyle \text{John}),}$ ( ${\displaystyle \text{doll,}\text{mary}),}$ ( car${\displaystyle \text{,}\text{venus}}$)에 $의해{\displaystyle }$ 주어지는 "소유자" 관계입니다$.$ {\$displaystyle$ R$=\{\text{ball,$ John$}},$ {$text$}, {text}, Mary$},$ {text}, {}, mary}, mary}, {\}, {$text}$에 의해 지정됩니다.즉$$, 존은 공을, 메리는 인형을, 비너스는 차를 소유합니다$.$컵은 아무도 소유하지 않고 이안도 소유하지 않습니다. 첫 번째 예를 참조하십시오.집합으로서 R은 Ian을 포함하지 않기 때문에 R은${\displaystyle }$A${\displaystyle }$× { ${\displaystyle \text{John, Mary}}$, Venus$},$ \$displaystyle$ A$\times \{\text{\$text}의 $서브셋$으로 간주될 수 있습니다.$John, Mary,$ Venus$}\},$ 즉$$ A와 $\{{\displaystyle \text{John, Mary, Venus}\},}${\$displaystyle \{\text${\text$}$에 대한 관계입니다.$John, Mary, Venus}\}$은(는) 두 번째 예를 참조하십시오.두 번째 예제 관계는 주관적이지만(아래 참조), 첫 번째 예제 관계는 주관적이지 않습니다.

과 대륙이

	디아 na				~ 듯이이 as	AU	AA
★★★★★★★★★★★★★★★★.	0	0	1	0	1	1	1
★★★	1	0	0	1	1	0	0
★★★★★★★★★★★★★★▼	1	1	1	1	0	0	1
★★★★★★★★★★★★★★★★★」	1	1	0	0	1	1	1

2) A = {인도, 북극, 대서양, 태평양}, B = { NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, 대륙.aRb가 대양 a가 대륙 b에 접해 있다고 하자.이 관계의 논리 행렬은 다음과 같습니다.

$({displaystyle R=pmatrix}0&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}).}$

지구의 연결성은 R R^T 및 R^T R을 통해 확인할 수 있으며, 전자는 A에 대한${\displaystyle }$4$$× ${\displaystyle 4}$(\$displaystyle 4\times$4$$) 관계이며, 이는 보편 관계${\displaystyle (A}$× A \$displaystyle A\times$A\times A) ${\displaystyle }$ 논리 매트릭스입니다.이 보편적인 관계는 모든 바다가 기껏해야 하나의 대륙으로 다른 바다와 분리되어 있다는 사실을 반영한다.한편, R R은 유럽에서^T 호주로 항해하기 위해서는 적어도 두 개의 바다를 건너야 하기 때문에 보편적이지 못한${\displaystyle }$B $× B의$이다.

3) 관계 시각화는 그래프 이론에 의존한다.집합의 관계(동종 관계)의 경우 방향 그래프는 관계를 나타내고 그래프는 대칭 관계를 나타냅니다.이종 관계의 경우 하이퍼 그래프는 3개 이상의 노드를 가진 에지를 가지며, 초당 그래프로 나타낼 수 있습니다.

한 집합의 관계에 집단이 필수적이듯이, 이질적인 관계를 기술하기 위해 쌍클릭이 사용됩니다.실제로, 이 쌍클릭은 관계와 관련된 격자를 생성하는 "개념"입니다.

4) 쌍곡선 직교성:시간과 공간은 서로 다른 범주이며 시간 속성은 공간 특성과 별개입니다.동시 사건의 개념은 우주론에서 각각의 시간 t가 동시 초평면을 결정하기 때문에 절대 시공간에서 간단하다.헤르만 민코프스키는 공간적 사건이 "정상"일 때 존재하는 상대적인 동시성의 개념을 속도에 의해 특징지어지는 시간으로 명확히 표현했을 때 그것을 바꿨다.그는 무한 내부 곱을 사용했고, 그 곱이 0일 때 시간 벡터는 공간 벡터에 정규라고 명시했다.구성 대수의 부정 내부곱은 다음과 같이 주어진다.

< , > $=$ + x${\$ {\ （ $displaystyle < x$ , $z$> \ =\$x displaybar {z}$ + {\$bar$ {$x}$z$\$ ; ） 오버바는 켤레를 나타냅니다.

일부 시간적 사건과 일부 공간적 사건 사이의 관계로서, 쌍곡선 직교성(분할 복소수에서 볼 수 있는)은 이질적인 ^[16]관계이다.

5) 기하학적 구성은 점과 선 사이의 관계라고 할 수 있다.그 관계는 발생으로 표현된다.유한 및 무한 투영 평면과 아핀 평면이 포함됩니다.Jakob Steiner는 Steiner $시스템{\displaystyle }$ S${\displaystyle (t}$ ,${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle n}$ $)(style${text ${S}}(t, k, n$)를$$ 사용한 구성의 카탈로그 작성을 주도했습니다.이 시스템은 n 요소 세트 S와 블록이라고 불리는 k 요소 서브셋을 가지며, t 요소를 가진 서브셋이 하나의 블록에 있습니다.이러한 발생 구조는 블록 설계로 일반화되었다.이러한 기하학적 맥락에서 사용되는 발생 행렬은 일반적으로 이진 관계에서 사용되는 논리 행렬에 해당합니다.

입사 구조는 트리플 D = (V, B, I)이며, 여기서 V와 B는 임의의 2개의 분리된 집합이고, I는 V와 B 사이의 2진 관계이다.${\displaystyle Iv}$V × ${\displaystyle B}$。{ $display$I \ $subseteq V$ \ times \ $textbf$ { B$$}V의$$ 요소는 포인트, B 블록의 요소는 포인트, I ^[17]플래그의 요소는 I 플래그의 요소가 됩니다.

한

집합 X 및 Y에 대한 이진 관계 R의 몇 가지 중요한 유형을 아래에 나타냅니다.

" " " " :

• 주입식(왼쪽 ^[18]방향이라고도 함): $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle zx}$X(\$displaystyle$ x$,z\in$ X$)$ 및$$ $모든{\displaystyle }$ y${\displaystyle y}$ Y$,\displaystyle$ y$\in$ Y$,$ xRy 및 zRy이면 x = z입니다.이러한 관계에서 {Y}을(^[2]를) R의 기본 키라고 합니다.예를 들어, 다이어그램의 녹색과 파란색 이진 관계는 주입식이지만 빨간색은 (-1과 1 대 1 모두와 관련되므로) 또는 검은색(-1과 1 대 0 모두 관련됨)이 아닙니다.
• 기능적(오른쪽 방향,^[18] 오른쪽^[19] 방향 또는 ^[6]일가형이라고도 함): $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle x}$X({$displaystyle$ x$\in$X$$}) 및${\displaystyle }모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z,}$ Y$,$ {$displaystyle y,z\in$ Y$,}$에 대해 xRy 및 xRz이면 y = z입니다.이러한 이항 관계를 부분 함수라고 합니다.이러한 관계에서 {${\displaystyle X}$ $}$ {$displaystyle$\{$X\}}$을${\displaystyle }$^[2]R의 프라이머리 키라고 부릅니다.예를 들어, 다이어그램의 빨간색 및 녹색 이진 관계는 기능하지만 파란색 이진 관계는 기능하지 않으며(1과 1 모두와 관련됨) 검은색(0과 -1과 1 모두 관련됨)도 기능하지 않습니다.
• 일대일: 주입식 및 기능성.예를 들어, 다이어그램의 녹색 이진 관계는 일대일이지만 빨간색, 파란색 및 검은색은 그렇지 않습니다.
• 1 대 다: 주입식이며 기능하지 않습니다.예를 들어 다이어그램의 파란색 이진 관계는 일대다이지만 빨간색, 녹색 및 검은색은 그렇지 않습니다.
• 다대일: 기능적이고 주입적이지 않습니다.예를 들어 다이어그램의 빨간색 이진 관계는 다대1이지만 녹색, 파란색 및 검은색은 그렇지 않습니다.
• 다대다: 주입식도 기능도 없습니다.예를 들어 다이어그램의 검은색 이진 관계는 다대다이지만 빨간색, 녹색 및 파란색은 그렇지 않습니다.

전체 속성(도메인 X 및 코드메인 Y가 지정된 경우에만 정의 가능):

• 합계(왼쪽 ^[18]합계라고도 함): X의 모든 x에 대해 Y에 y가 존재하므로 xRy가 됩니다.즉, R의 정의 영역은 X와 같다.이 속성은 속성에서 연결된 정의(일부 ^{[citation needed]}작성자에 의해 전체라고도 함)와 다릅니다.이러한 이항 관계를 다중값 함수라고 합니다.예를 들어, 다이어그램의 빨간색과 녹색 이진 관계는 총합이지만 파란색 이진 관계는 (-1과 실수는 관련이 없으므로) 또는 검은색 이진 관계(2와 실수는 관련이 없음)가 아닙니다.다른 예시로 >는 정수에 대한 전체 관계입니다.그러나 1 > ^[20]y와 같은 양의 정수에는 y가 없기 때문에 양의 정수에 대한 전체 관계는 아닙니다.단, <는 양의 정수, 유리수 및 실수에 대한 전체 관계입니다.모든 반사적 관계는 전체입니다. 주어진 x에 대해 y = x를 선택합니다.
• Surjective(오른쪽^[18] 합계 또는 위라고도 함): Y의 모든 Y에 대해 X에 xRy가 존재하므로 X에는 xRy가 있습니다.즉, R의 정의의 코드메인은 Y와 같다.예를 들어, 그림에서 녹색과 파란색의 이진 관계는 돌출적이지만 빨간색은 (-1과) 실수가 관련이 없기 때문에) 또는 검은색(-2와 아무런 실수도 관련이 없기 때문에) 관계가 없습니다.

고유성 및 전체성 속성(도메인 X 및 코드메인 Y가 지정된 경우에만 정의 가능):

• 함수: 함수적이고 전체적인 이항 관계입니다.예를 들어, 다이어그램의 빨간색과 녹색 이진 관계는 함수이지만 파란색과 검은색은 함수 관계가 아닙니다.
• 주입: 주입하는 기능.예를 들어, 다이어그램의 녹색 이진 관계는 주입이지만 빨간색, 파란색 및 검은색은 주입 관계가 아닙니다.
• 돌출: 돌출된 함수.예를 들어, 다이어그램의 녹색 이진 관계는 투영이지만 빨간색, 파란색 및 검은색은 투영 관계가 아닙니다.
• 바이젝션: 사출적이고 사출적인 기능.예를 들어, 다이어그램의 녹색 이진 관계는 분사이지만 빨간색, 파란색 및 검은색은 그렇지 않습니다.

적절한 클래스에 대한 관계가 허용되는 경우:

• Set-like(또는 local): X의 모든 x에 대해 Y의 모든 y의 클래스, 즉 yRx$(\{{\displaystyle yy}$Y : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ x $}$ {$displaystyle$\{$y\in$Y:$yRx$가 세트가 되도록 합니다.예를 들어, 관계${\(\displaystyle$\in$$$)$는 세트 모양이며, 두 세트의 모든 관계는 세트 ^[21]모양입니다.순서수의 클래스에 대한 일반적인 순서<는 집합과 같은 관계이지만, 그 역순서>는 그렇지 않습니다.^{[citation needed]}

바이너리

R과 S가 집합 X와 Y에 대한 이진 관계인 $경우{\displaystyle }$ R${\displaystyle s}$ S $=${ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle 또는}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ y$$ {\$displaystyle$ R$\cup$ S=\{($x,y):$$xRy{\text{ 또는$}}$xSy\}}$는 X와 Y에 대한 R과 S의 결합 관계입니다.

ID 요소는 빈 관계입니다.예를 들어 ${\displaystyle \{\backslash }${\$displaystyle \,\$leq$$ $}$은 <와 =의 결합이고 ${\$ {\$displaystyle \,\geq$}은$$ >와 =의 결합입니다.

교차로

R과 S가 집합 X와 Y에 대한 이진 관계인 $경우{\displaystyle }$ R${\displaystyle s}$ S $=${ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \text{y}}$ 및 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ y$$ {\$displaystyle$ R$\cap$ S=\{($x,y):$$xRy{\text{ and$}}$xSy\}}$는 X와 Y에 대한 R과 S의 교집관계입니다.

identity 요소는 보편적인 관계입니다.예를 들어, "6으로 나누어짐"은 "3으로 나누어짐"과 "2로 나누어짐"의 교집합이다.

구성.

${\displaystyle R}$이 집합 X 및 Y에 대한 이진 관계이고 S가 집합 Y 및 Z에 대한 이진 관계인 ${\displaystyle 경우}$ S${\displaystyle \text{r}}$ R$=$ { (${\displaystyle x}$,${\displaystyle \text{z}}$ ) : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ y 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ $displaystyle$ S$\circ$ R=\{($x,z):$${\text{\text{ 및 }}xRy{\text{$및 }}$ySz\}}($R;S로도 표시됨)는 X와 Z에 대한 R과 S의 구성 관계이다$.$

identity 요소는 identity 관계입니다.여기서 사용하는 S $s{\displaystyle R}$ , \ $displaystyle$ S$\circ$ R ,$$s$$${\displaystyle }$s s the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the예를 들어, "is mother of${\\$ "\$circ$ "is mother of" 수익률의 부모인 반면, "is mother of$$the\$displaystyle",$ "ismother of" 수익률의 부모인 "\$circ$"는 "isplaystyle", "isc$"$ 수익률의 어머니인 "할머니"입니다.전자의 경우 x가 y의 부모이고 y가 z의 어머니이면 x는 z의 외조부모입니다.

컨버스

R이 집합 X 및 Y에 대한 이진 관계인 경우 ${\displaystyle R^{}}$ T $=${ (${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle x}$) : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ y$$ {\$style$ R$^{\textsf {$T}}=\{($y,x)}:$$xRy\}$는 Y와 X에 대한 R의 역관계입니다.

예를 들어 그 자체의 cm는 그 반대로,{\displaystyle \,\neq ,\,}과<>≠다;{\displaystyle \,<, \,}.{\displaystyle \,>, \,}은 서로에게 있어 과목이므로≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}과 ≥.{\displaystyle \,\geq .\,}고만i. 이항 관계는 반대하는 것과 같다f은 symm에트릭

보완하다

R이 집합 X 및 Y에 대한 이진 관계인 경우 ${\displaystyle \text{R}}$ ${\displaystyle =}${ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) : ${\displaystyle x}$ R ${\displaystyle y}$ { $displaystyle {R}$= \ { ($x ,$$y$ ) :{\$text{ not }xRy\}}($R 또는 δR로도 표시됨)는 X 및 Y에 대한 R의 보완 관계입니다$.$

예를 들어 $=$(\$displaystyle$ ",=,")와$$=(\$displaystyle ",\$$neq$ $",$ 및${\displaystyle }$ment(\$displaystyle$$$$",\$displaystyle ",\$displaystyle$ $",\$$supseteq"$가 아닌$$${\displaystyle "\backslash }$displaystyle ",\displaystyle"와 같이 서로 보완됩니다.",\$in$$",$ $및$ "\displaystyle$",$ $"\$$displaystyle$", ${\displaystyle "\backslash }$displaystyle$",$ "\$geq$$",$ ${\displaystyle "\backslash }$displaystyle"$및$"\leq$"$도 총 주문에 대해 설명합니다$.$

$역관계{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$ T$${\$displaystyle$ R$^{\textsf {T}}$의 보어는 R ${\displaystyle \stackrel{}{{T\mathsf{}}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{¯}^{}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}t}^{\mathsf{}}}$T .$${\$displaystyle {R^{\mathsf {T$}}} =$막대 {R}^{\mathsf {T}}}$의 보수의 역관계이다.$}$

X ${\displaystyle =Y}$ ,$${\$style$ X$=Y}$인 경우, 보완에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

• 관계가 대칭이면 보형도 대칭입니다.
• 반사적 관계의 보완은 비반복적이며, 그 반대도 마찬가지입니다.
• 완전 약점 주문의 보완은 완전 예약 주문이며, 그 반대도 마찬가지입니다.

★★★

X의 집합을 만약 R은 이진 균질 관계 X과 S하위 집합한 다음 RS){(), y))Ry, 탭∈ S와 y∈ S}{\displaystyle R_{\vert S}=\{(x, y)xRy{\text{과}}x\in S{\text{과}}}}S\ y\in은 .mw-parser-output .vanchor>.:RSov에 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}restriction 관계.X은 후 그는

R이 집합 X와 Y에 대한 이진 관계이고 S가 X의 서브셋인 ${\displaystyle {경우}_{}}$ R S$=$ {${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle x}$ R y ${\displaystyle and}$ x${\displaystyle \mu }$ S$$} { $displaystyle$ R_${\vert$ S}=\{($x , y$ )$xRy{\text${$and }x\in$ S$\}}$는 Rion의 왼쪽 관계입니다.

R이 집합 X와 Y에 대한 이진 관계이고 S가 Y의 서브셋인 $경우{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R^{}}$ S ${\displaystyle =}${ ($x$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y}$ 및 y${\displaystyle s}$ S $}$ { $displaystyle$ R^ { \ $vert$ S } = \ { ( x ,$y$ )$xRy${ \$text$ { and $} y$ \ $in$ S$$\ } is$$ Rion의 오른쪽 관계는 R입니다.

만약 어떤 관계가 반사적, 비반사적, 대칭적, 반대칭적, 비대칭적, 전이적, 총, 삼등분, 부분 순서, 총 약순, 총 사전 순서(약순) 또는 등가 관계라면, 그 제한도 마찬가지입니다.

단, 제한의 경과적 폐쇄는 경과적 폐쇄의 제한의 부분집합이다. 즉, 일반적으로 동일하지 않다.예를 들어, "x is parent of y"라는 관계를 여성으로 한정하면 "x is mother of the woman y"라는 관계가 생성된다; 그것의 과도적 폐쇄는 여성과 그녀의 친할머니를 연관시키지 않는다.반면에, "부모"의 과도적 폐쇄는 "조상"이다; 여성에 대한 그것의 제한은 여성과 그녀의 친할머니를 연관시킨다.

또한 다양한 완전성의 개념('전체'라는 개념과 혼동하지 말 것)은 제약으로 이어지지 않는다.예를 들어, 실수에 대한 관계 $"\$$",\$$leq"$의 속성은 R$displaystyle$ {R$}$의 상한을 갖는 빈 $서브셋{\displaystyle }$ S$$R \$subseteq \$$mathbb${$R}$ {\displaystyle \mathbb {$R$$}$ $}$ {\ {\ {\ display {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\$display$ {\ {\ {\ {\ {\display {\ {\display display {\ {\ {\displaydisplay 。ver, 이 수상이 반드시 합리적이라고는 할 수 없기 때문에, 같은 속성은 유리수에 대한 관계인$$\$displaystyle\leq\$의 제한에 머무르지 않는다.

집합 X 및 Y에 대한 이진 관계 R은 R${\displaystyle ,}$ S$,$ R이 S의 서브셋인 경우, 즉 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$${\$ X \ $display style$x \ $in$X \ $in$ X 및$$$Y$에 대해 R ${\displaystyle x}$ S, \ $display$ $style$ R\$subseteq$S로$$ $표기$된 관계에 포함되어 있다고 합니다$.$만약 RS에서 SR에 포함된 들어 있다면, R과 S라고 불리는 동등한 R)S. 사정이라면 R은 포함된 S지만 S가 아니다 에 포함된 R, R은 말하는 이상 S, 서면 R⊊ S.{\displaystyle R\subsetneq S.} 들어 예에 합리적인 숫자, 관계>{\displaystyle \,>, \,}은 이상 ≥., $$$displaystyle \,\$$geq$$,,$ 및 구성과$$ 동등합니다$.\$displaystyle $\,,$

행렬 표현

집합 X 및 Y 위의 이진 관계는 행렬 덧셈이 관계의 합집합에 대응하고 행렬 곱셈이 관계의 합집합에 대응하며, 행렬 곱셈이 (X 및 Y 및 AND에 대한 관계의 합집합에 대응한다) 부울 세미링의 엔트리와 함께 X 및 Y에 의해 색인화된 논리 행렬에 의해 대수적으로 표현될 수 있다.Hadamard ^[22]곱은 관계의 교차점에 해당하고, 0 행렬은 빈 관계에 해당하며, 1 행렬은 보편 관계에 해당합니다.동질관계(X = Y일 때)는 동일행렬이 동일관계에 ^[23]해당하는 행렬세미어링(실제로 부울세미어링 위에 행렬세미얼그레이드)을 형성한다.

집합과 클래스

"동일", "하위 집합", "구성원"과 같은 특정 수학적 "관계"는 위에서 정의한 이항관계로 이해될 수 없다. 왜냐하면 그들의 도메인과 코드메인은 공리 집합론의 일반적인 체계에서 집합으로 받아들여질 수 없기 때문이다.예를 들어, 일반적인 개념의 "$displaystyle$"을 이진 관계 $=$로 모델링하려면$,$ 도메인과 공역(codomain)을$$ "모든 집합의 클래스"로 간주합니다. 이는 일반적인 집합론에서는 집합이 아닙니다.

대부분의 수학적 맥락에서 평등, 구성원 자격 및 하위 집합의 관계에 대한 참조는 문맥의 일부 집합으로 제한되도록 암묵적으로 이해될 수 있기 때문에 해가 없습니다.이 문제에 대한 일반적인 해결 방법은 모든 관심 개체가 포함된 "충분히 큰" 집합 A를 선택하고 = 대신 =_A 제한으로 작업하는 것입니다.Similarly, the "subset of" relation ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ needs to be restricted to have domain and codomain P(A) (the power set of a specific set A): the resulting set relation can be denoted by ${\displaystyle \,\subseteq _{A}.\,}$ Also, the "member of" relation needs to be restricted to have domain A and codomain P(A)를 사용하여 이진 관계${\displaystyle {}_{}}$relation $displaystyle\,\in$ _${A},)$를 얻을 수 있습니다.버트런드 러셀은$$모든$$ 세트에$걸쳐$된다고 가정하면 순진한 집합론의 모순을 초래한다는 것을 보여 주었다.

이 문제에 대한 또 다른 해결책은 NBG 또는 Morse-Kelley 집합론과 같은 적절한 클래스와 함께 집합론을 사용하고 도메인과 코도메인(그래프)이 적절한 클래스가 되도록 하는 것입니다.이러한 이론에서 등식, 멤버쉽, 서브셋은 특별한 코멘트 없이 이진 관계입니다(작은 수정이 필요합니다).보통 적절한 클래스는 순서 있는 태플의 멤버가 될 수 없기 때문에 순서 있는 트리플(X, Y, G), 또는 이 컨텍스트에서 그래프와 바이너리 관계를 식별할 수 있습니다.^[24]이 정의를 사용하면 예를 들어 모든 집합과 전력 집합에서 이진 관계를 정의할 수 있습니다.

균질 관계

집합 X에 대한 균질 관계는 X 및 그 자체에 대한 이진 관계입니다. 즉, 데카르트 $곱{\displaystyle }$X ×${\displaystyle X}$의 부분 집합입니다$.$ (\$displaystyle$X\$times$ X$.)$ X에$$^[15][25][26] 대한 (이진수) 관계라고도 합니다.

집합 X에 대한 균질관계 R은 루프를 허용하는 유향단순그래프로 식별될 수 있다.여기서 X는 정점세트, R은 엣지세트이다(정점x에서 정점y까지의 엣지는 x가 if 및 if일 경우에만 존재한다).집합 X에 대한 모든 균질 $관계{\displaystyle \mathcal{}}$ B$X)(\$displaystyle$\mathcal {B})(X)$의 집합은 2${\displaystyle X^{}}$ ×$$(\$displaystyle$ 2$^{X\times$X})의 거듭제곱으로 증가하는 부울 대수입니다.$B$$)$에 대한 이항 연산으로서의 관계 구성을 고려했을 때, $이항$연산을 갖는 반군을 형성한다.

집합 X에 대한 균질 관계 R이 가질 수 있는 중요한 속성은 다음과 같습니다.

• 재귀: 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle †}$ $,$ {\$displaystyle$x\$in$ X$,}$ xRx에 대해예를 들어 $§(\$는 반사적인 관계이지만 >는 그렇지 않습니다.
• 비반사성: 모든 $x{\displaystyle †}$ $,$ xRx가 아닌 \$displaystyle$x\$in$ X$$$.$예를 들어 $>$ << $displaystyle >$ 는 굴절적인 관계이지만$$< $displaystyle$> $geq$>는$$ 그렇지 않습니다.
• 대칭: 모든 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ $,$ xRy이면 \$displaystyle$ x$,y\in$ X$,}$에 대해 yRx를 선택합니다.예를 들어, "혈연관계"는 대칭관계입니다.
• 반대칭: $모든{\displaystyle }$x , ${\displaystyle yx}$X$,$ xRy 및 yRx의 $경우{\displaystyle }$ x $=$ .\$displaystyle$ x$=y$$$.$q$ exampledisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay , , , 、 y 、 \ $displaystyle 、$ \ geq$$）는$$ 반대칭 ^[27]관계입니다.
• 비대칭: $모든{\displaystyle }$x , ${\displaystyle yx}$X$$, \ $displaystyle$x ,$y$ \ $in$ X$$, \ displaystyle x , y \ in X , )에$$ 대해 xRy이면 yRx가 아닙니다.반대칭이면서 ^[28]반반사적인 관계인 경우에만 비대칭 관계입니다.예를 들어 >는 비대칭 관계이지만 \$displaystyle\geq\$는 비대칭 관계가 아닙니다.
• Transitive: 모든 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z\mu }$ X$,$ {$displaystyle$ x$, y$, $z\in$ X$}$에 대해 xRy 및 yRz이면 xRz입니다.타동관계는 ^[29]비대칭인 경우에만 굴절성이 없다.예를 들어, "is parent of"는 추이 관계인 반면, "is parent of"는 추이 관계입니다.
• 연결됨: $모든{\displaystyle }$x, ${\displaystyle y}$$$${\displaystyle x}$X$,$ {$displaystyle$$$x$,$ $y$$\in$ X$}$의 경우 xRy 또는 yRx.
• 강하게 연결되어 있다${\displaystyle :}$ $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y†}$ X$,$ \$displaystyle x,$y$\in$X,} xRy$$ 또는 yRx.

부분 순서는 반사적, 반대칭적, 전이적 관계입니다.엄밀한 부분 순서는 비반사적이고 반대칭적이며 전이적인 관계입니다.전체 순서는 반사적이고, 반대칭적이며, 추이적이며,^[30] 연결된 관계입니다.엄격한 전체 순서는 비반사적이고, 반대칭적이며, 추이적이며, 연결되어 있는 관계입니다.동등성 관계는 반사적, 대칭적, 전이적 관계입니다.예를 들어, "x divids y$"$는 $N$의 전체 차수가 아닌 부분 $차수이고,$ $"$x <$$$y$"$$는${\displaystyle }$N의 $전체{\displaystyle \mathbb{}}$ 차수이며$,$ "x$$is parallel to y$"$는 유클리드 평면의 모든 선 집합에서 등가 관계입니다.

이항 관계에 대한 연산 절에 정의된 모든 연산은 동종 관계에도 적용됩니다.또한 집합 X에 대한 균질한 관계에는 다음과 같은 폐쇄 연산이 적용될 수 있다.

재귀적 폐쇄

R을 포함한 X에 대한 가장 작은 반사 관계

경과적 폐쇄

R을 포함하는 X에 대한 가장 작은 전이 관계

등가마감

R을 포함하는 X에 대한 가장 작은 동등성 관계.

이종관계

수학에서, 이질적 관계란 2진수 관계이며, 데카르트 $곱{\displaystyle }$A ×${\displaystyle B}$의 $부분집합이다.$ 여기서 A와$$B는 서로 ^[31]다른 집합일 수 있다$$.접두사 헤테로는 그리스어 ερς ςςςheςhehehehehe(헤테로스, "other, other, other, different")에서 유래했다.

A이질적 관계가 어디에 A=B.{\displaystyle A=B.}이진 관계의 균질 관계를 넘어 개발에 대해 연구원들을 썼다"...그 이론의 한 변형은 먹거리를 진화해 왔다 집합을 단일 민족 관계의 square-symmetry을 가지고 있지 않다는 내용이 담긴 직사각형 relation,[15]으로 불려 왔다.rel이질적이거나 직사각형인 음이온, 즉 서로 다른 ^[32]집합 간의 관계인 정상적인 경우입니다."

관계 계산

대수적 논리학의 발전은 이항 관계의 사용을 용이하게 했다.관계의 미적분은 관계의 구성과 역관계의 사용에 의해 확장된 집합의 대수를 포함한다.R ${\displaystyle †}$ $(\displaystyle$ R$\subseteq$ S$,$ )를 포함하면 aRb가 aSb를 의미하므로 씬이 관계의 격자로 설정됩니다.${\displaystyle 단}$, P ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Q}$（ ${\displaystyle P}$∩ Q${\displaystyle \stackrel{}{}}$） ${\displaystyle =}$ P${\displaystyle ）}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ Q ${\displaystyle =}$ P ）$${\ 、 \ $displaystyle$P \ $subseteq$Q \ $equiv ( P$ \$cap$ { Q } = \ $varnothing$)\ $equiv ( P$ \ $cap$Q$$=$P$） $symbol$ symbol symbol symbol symbol symbol symbol is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is그럼에도 불구하고, 슈뢰더 규칙에 따른 관계 구성 및 연산자 $조작$은${\displaystyle }$A ×$B의 거듭제곱$집합에서 작동하기 위한 $미적분$을 제공합니다$.$$}$

동질적인 관계와는 대조적으로 관계 연산의 구성은 부분적인 함수일 뿐이다.구성된 관계의 영역에 범위를 일치시키는 것의 필요성은 이 범주의 형태가 관계라는 것을 제외하고, 이질적인 관계에 대한 연구가 집합의 범주에서와 같이 범주 이론의 한 장이라는 제안으로 이어졌다.범주 Rel의 개체는 집합이며 관계형식은 ^{[citation needed]}범주에서 필요한 대로 구성됩니다.

유도 개념 격자

이진 관계는 유도된 개념 격자를 통해 설명되었습니다.개념 C r R은 두 가지 특성을 만족한다. (1) C의 논리행렬은 논리 벡터의 외적이다.

${\displaystyle C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j},\quad u,v}$ logical vectors.^{[clarification needed]} (2) C is maximal, not contained in any other outer product.따라서 C는 비대칭 직사각형으로 설명됩니다.

주어진 $관계{\displaystyle }$ R${\displaystyle x}$X × $,$ {\$displaystyle$ R$\subseteq$ X$\times$ Y$}$에 대해 결합 및 만남에 따라 확대된 개념 세트는 "개념 유도 격자"를 형성하며, 포함 $\{\backslash {\displaystyle }${\$displaystyle \sqsubseteq }$는 사전 순서를 형성한다.

맥닐 완성 정리(1937년)는 2013년 조사 기사 "개념 격자에 대한 관계 분해"^[33]에서 인용되었다.분해는

${\displaystyle R}$ $=$ ${\displaystyle \text{f}}$ E ${\displaystyle g^{}}$T$$, {\$displaystyle$R\\$f\E\g^{\displayf {T}},$ 여기서 f와 g는 매핑 또는 좌-합계, 일가의 관계라고 불리는 함수이다.유도 개념 격자는 R 관계의 최소 분해(f, g, E)에 속하는 부분 순서 E의 절단 완료와 동일하다.

다음에 나타내는 특수한 경우를 생각할 수 있습니다.E의 총 순서는 Ferrers 타입에 대응하고, E의 ID는 일련의 동등성 관계의 일반화인 diffunctional에 대응합니다.

관계는 관계를 ^[34]포괄하는 데 필요한 개념의 수를 세는 샤인 등급에 따라 순위가 매겨질 수 있다.개념과의 관계에 대한 구조적 분석은 데이터 ^[35]마이닝에 대한 접근 방식을 제공합니다.

특정 관계

• 제안:R이 직렬 관계이고^T R이 그 전치일 $경우{\displaystyle }$ I${\displaystyle r^{}}$ R ${\displaystyle T^{}}$R \ $style$I \ $subseteq R^$ { \ $textsf${ $T$} $R$$。$여기서 I \ $display style$ I$$}는$$ m × m의 아이덴티 관계입니다.
• 제안:R이 주관적 관계일 경우 $I$는 ${\displaystyle R}$ $(\$ I$\subseteq$ RR$^{\textsf {T}})$입니다.$여기$서 I$(\style$ I$)$는 n$(\displaystyle$ n$\times$ n$)$의 ID 관계입니다.

기능하지 않다

집합의 균질 관계 중에서 동등성 관계는 집합을 분할할 수 있는 능력으로 구분됩니다.일반적으로 이진 관계에서는 속성을 구분하여 객체를 분할하는 것이 아이디어입니다.이를 위한 한 가지 방법은 Z $=$ {${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle }$z , ${\displaystyle ...}$}({$style$ Z=\{$x,y,z,\ldots\})$의 지시계$$ $세트$를 사용하는 것입니다.$분할관계{\displaystyle }$ R ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ T$${\$displaystyle$ R$=FG^{\textsf {T}}}$는 $단가관계{\displaystyle }$ F${\displaystyle a\text{A}}$ × ${\displaystyle Z}$ 및 ${\displaystyle Gb}$B ×${\displaystyle Z}$. {\$displaystyle$ F$\subseteq$ A$\times$ Z${\text{}}\GSUBsubset$을 사용한 관계이다.$}$

이러한 관계 R의 논리행렬은 대각선을 따라 1의 블록을 가진 블록행렬로서 재배치할 수 있다.관계의 미적분학의 관점에서, 1950년에 Jacques Riguet는 그러한 관계가 포함을 만족시킨다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle R\R^{\textsf {T}}\R\\subseteq\R}$^[36]

그는 F G가 일반적으로^T 함수라고 불리는 일가의 관계를 포함하기 때문에 이러한 관계를 다른 기능성이라고 명명했다.

{y: xRy} = xR을 사용하면 xR과₁ xR이₂ 공백이 아닌 교차점을 가질 경우 이 두 집합이 일치하도록 R 관계로서도 특징지을 수 있습니다. $공식적$으로는 ${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x2\mathrm{}}_{}}$†$${\ { $style x_1}\cap x_{2$}\neq \varnothing은$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ 1 ${\displaystyle r_{}}$을 $의미$하지 않습니다.$}$^[37]

1997년 연구자들은 "데이터베이스 ^[38]관리의 다른 기능적 의존성에 기초한 이진 분해의 효용성"을 발견했다.또한, 이관능적 관계는 이중 ^[39]모사 연구의 기본이다.

균질관계에서 부분등가관계는 기능성이 다르다.

오토마타 이론에서 직사각형 관계라는 용어는 또한 다른 기능적 관계를 나타내기 위해 사용되어 왔다.이 용어는 논리행렬로 표현될 때, (비대칭) 주 ^[40]대각선에 참의 직사각형 블록을 가진 블록 대각행렬로 다른 함수 관계의 열과 행을 배열할 수 있다는 사실을 상기시킨다.

페러 타입

집합의 엄밀한 순서는 순서 이론에서 발생하는 균질 관계입니다.1951년 Jacques Riguet는 Ferrers 다이어그램이라고 불리는 정수의 분할 순서를 채택하여 일반적으로 ^[41]2진수 관계로 순서를 확장하였다.

일반 이진 관계에서 대응하는 논리 행렬은 일련의 1로 끝나는 행을 가지고 있습니다.따라서 페러 다이어그램의 점이 1로 변경되고 매트릭스 오른쪽에 정렬됩니다.

페러스 유형 관계 R에 필요한 대수적 문장은 다음과 같다.

R${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \text{R}\stackrel{}{},}$ R, ${\displaystyle R^{}}$ T$(\$ R$,\{bar {R}},\R^{\textsf {T}})$의 $관계{\displaystyle }$ 중 하나가 Ferrers 유형일 경우 모두 Ferrers 유형입니다.^[31]

연락

B가 A의 검정력 집합이고 A의 모든 부분 집합 집합이라고 가정합니다.다음 3가지 속성을 만족하는 경우 관계 g는 접촉 관계입니다.

1. ${\displaystyle {\text{for }}x\in A,Y=\{x\}{\text{}xgY를 의미합니다.}$
2. ${\displaystyle Y\subseteq Z{\text}xgY{\text}는 }xgZ를 의미합니다.}$
3. ${\displaystyle {\text}y, ygZ {\text{ 및 }}xgY{\text}는 }xgZ를 의미합니다.}$

집합 멤버쉽 관계인 θ =는 이러한 성질을 만족시키므로 θ는 접촉 관계이다.일반적인 접촉 관계의 개념은 1970년 ^[42][43]게오르크 아우만에 의해 도입되었다.

관계 계산의 관점에서, 접촉 관계에 대한 충분한 조건은 다음을 포함한다.

여기서 ${\$ { $displaystyle \ni }$는 set membership(^{[44]: 280} set membership)의 역수입니다.

예약 주문 R\R

모든 관계 R은 왼쪽 ^[45]잔차인 $프리오더{\displaystyle }$ R${\displaystyle \mathrm{}r}$ R$(\displaystyle$R\$backslash$ R$)$을 생성합니다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ R ${\displaystyle \mathrm{\equiv }}$ R ${\displaystyle \text{≡}}$ ${\displaystyle \text{R}\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{T^{}\stackrel{}{}}}$ R ¯ R${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}}$¯ R TR ${\displaystyle ¯}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\{\backslash }}$ $。{$ $display style$$$R \ $backslash R$ \ $equiv \$ { \ $overline${ $R$^ { \ $textsf${ T } } } { \$bar$ { $R$$}$$$} } } } { $TTextF$}의 $대각선$을 형성합니다.$T}}$과(와) R$$¯({$displaystyle {R})$의 열은 논리값이 반대이므로 대각선은 모두 0입니다.그리고나서

$R$ ${\displaystyle T^{}\stackrel{}{}}$ R${\displaystyle \stackrel{}{}r\stackrel{}{}}$I ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle I\stackrel{}{{}^{}}}$ 、 R ${\displaystyle \stackrel{}{T^{}\stackrel{}{}}}$ R${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}=}$ ${\displaystyle R}$,${\displaystyle \mathrm{}}${ \ $displaystyle$ R^ { \ $textsf${ T } } { \$bar${ $I } \ subseteq$\ I \ $subline${$$R$}$（ \ $texts ）$

트랜시빌리티를 나타내려면${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$r ${\displaystyle R}$ ) (${\displaystyle R\subseteq }$ R )$r$ ${\displaystyle R}$ . ( R \ $displaystyle$( R \ $backslash$R ) \ $subseteq$R \ $backslash{\displaystyle }$ R$$$.$} ${\displaystyle X}$ $= R$ \ $displaystyle XSLash$ R . R .

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle R\mathrm{}r}$ R${\displaystyle }$) ( R )${\displaystyle r}$ R$$\ $displaystyle$R ($R$ \$backslash$R ) \ $subseteq$ R$$（ repeat ）

${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}{R}^{}\stackrel{}{T}}$ R${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}（\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{R）}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{（}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{R}}$ ） {\∖${\displaystyle \stackrel{}{}}$（ $R$） ）$${\ {$displaystyle$ \ $equiv$ R^ { \$textsf$ { T } $}${ \ $bar$ { R } \ $subseteq$ { overline { ( R \ $backslash$R ) } （ R \ $backslash$ R$$） $$der''' ))))) ） ) ))))))))))) ) ) ))) )))) )))))))${\displaystyle }$))

${\displaystyle "}$ (${\displaystyle \mathrm{}R}$ )${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle R}$ )${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{、}}}$ R T R ${\displaystyle r\stackrel{}{{}^{}}}$ 、 $R$ ${\displaystyle \stackrel{}{{TR}^{}\stackrel{}{}}}$ ¯${\displaystyle \stackrel{}{}}$¯$$、 " \$displaystyle$ \$equiv$ ( $R$ \ $backslash R$ ) （ R \$backslash$ R ） \ $subseteq$ { R^ { \ $textsf$ { $T$} } $$（ $completation$ ）

${\displaystyle （}$ R${\displaystyle \mathrm{}rR}$） （ R${\displaystyle \mathrm{}}$）${\displaystyle \mathrm{}r}$R${\displaystyle }$.\$style \equiv (R\backslash$ R$)(R\backslash$R)\$subseteq$ R$\backslash$R.}$$ (정의)

U의 멱집합에 대한 포함관계 δ는 다음과 같이 U의 서브셋에 대한 구성원관계$$δ\$displaystyle\in\$에서 얻을 수 있다.

$(*displaystyle\Omega\=\오버라인(*backlash\in))$^{[44]: 283}

관계의 테두리

관계 R이 주어졌을 때, 그 가장자리라고 불리는 하위 관계는 다음과 같이 정의된다.

R이 부분 항등 관계, 이함수 또는 블록 대각 관계일 경우, 프린지(R) = R이다. 그렇지 않으면 프린지 연산자는 논리 행렬의 관점에서 기술된 경계 부분항목을 선택한다. 프린지(R)는 R이 오른쪽 위 삼각 선형 순서 또는 엄밀한 순서일 경우 대각선이다.R이 반사성이 없는 경우($R$ I ${\$ \ $displaystyle$R \ $subseteq \$ bar { $I$}$$) 또는 오른쪽 상단 블록 삼각형인 경우, 프린지($R$)는 블록 프린지가 됩니다.프린지(R)는 R이 Ferrers 유형일 때 일련의 경계 직사각형입니다.

반면, R이 조밀하고 선형적이며 엄밀한 ^[44]순서일 경우, 프린지(R) = θ이다.

수학 무더기

두 집합 A와 B가 주어졌을 때, 이들 $사이$의 이진 관계 집합 B$)({displaystyle {B}(A, B})$는 삼원 연산${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \text{b},}$ ${\displaystyle \text{c}]}$ ${\displaystyle \text{=}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ c$$c c c c c {$displaystyle [a,\b,\c]$= converse {$C})$를 포함할 수 있다. 여기서^T A, B는 converse {$C}$를 나타낸다.1953년에 Viktor Wagner는 이 삼원 연산의 속성을 사용하여 세미히프, 힙 및 일반화 ^[46][47]힙을 정의했습니다.이질적인 관계와 동질적인 관계의 대조는 다음과 같은 정의에 의해 강조된다.

바그너의 작품에는 힙, 세미히프 및 일반화 힙과 그룹, 세미그룹 및 일반화 그룹 사이에 유쾌한 대칭이 존재한다.기본적으로, 다양한 유형의 세미히프는 서로 다른 집합 A와 B 사이의 이진 관계(및 부분 일대일 매핑)를 고려할 때마다 나타나는 반면, 다양한 유형의 세미히프는 A = B인 경우에 나타난다.

--

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

참고 문헌

• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (2012). "Chapter 3: Heterogeneous relations". Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-77968-8.
• Ernst Schröder(1895) Algebra der Logik, Band III, 인터넷 아카이브를 통한
• Codd, Edgar Frank (1990). The Relational Model for Database Management: Version 2 (PDF). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0201141924.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0.
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander (2000). Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs. Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-015248-7.
• Peirce, Charles Sanders (1873). "Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic". Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences. 9 (2): 317–178. Bibcode:1873MAAAS...9..317P. doi:10.2307/25058006. hdl:2027/hvd.32044019561034. JSTOR 25058006. Retrieved 2020-05-05.
• Schmidt, Gunther (2010). Relational Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.

외부 링크

• Wikimedia Commons의 이진 관계 관련 미디어
• "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]