로리첼라 초기하계 급수

1893년 주세페 로리셀라는 세 변수 중 4개의 초기하계 시리즈 F_A, F, F_BC, F를_D 정의하고 연구했다.그들은 (로리첼라 1893)이다.

${\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}^{1}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}^{3}}}}}$

x₁₃ + x + x₂ < 1 및

${\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}^{1}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}^{3}}}}}$

x₁ < 1, x₂ < 1, x < 1 및₃

${\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}^{1}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}^{3}}}}}$

x₁₃ + x + x₂ < 1 및

${\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}^{1}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}^{3}}}}}$

x₁ < 1, x < 1, x₂ < 1의₃ 경우.여기서 Pochhammer 기호(q)_i는 q의 i번째 상승 요인(즉, q)을 나타낸다.

${\displaystyle (q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\감마(q+i)}{\\\감마(q)}}~,}$

$여기$서 q${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$2를 제외한$$ 모든 ${\displaystyle \mathrm{복잡한}}$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 두 번째 동일성이 참이다$.$

이러한 함수는 분석적 연속성을 통해 변수 x₁, x₂, x의₃ 다른 값으로 확장될 수 있다.

로리첼라는 또한 세 변수의 다른 10개의 초기하 함수의 존재를 나타냈다.이것들은 F_E, F_F, ..., F라고_T 이름 지어졌고 1954년(사란 1954년) 샨티 사란이 연구했다.따라서 로리첼라-사란 초기하학 함수는 총 14개다.

n개의 변수에 대한 일반화

이러한 함수는 n개의 변수로 바로 확장될 수 있다.일례로 쓰기도 한다.

${\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}}\,x_{1}^{i_{1}^{n}^{i_{n},}$

여기서₁ x + ...+ x < 1_n.이러한 일반화된 시리즈도 로리첼라 함수로 언급되기도 한다.

n = 2인 경우 로리셀라 함수는 다음 두 변수의 호칭 초지하계에 대응한다.

${\displaystyle F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.}$

n = 1이면 네 가지 기능이 모두 Gauss 초기하 함수로 감소한다.

${\displaystyle F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).}$

F의_D 적분 표현

호칭의 함수 F와₁ 유사하게 로리첼라의 F는_D 다음 n개의 변수에 대해 1차원 오일러형 적분으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.}$

이러한 표현은 통합의 테일러 확장에 의해 쉽게 검증될 수 있으며, 용어 통합이 뒤따른다.이 표현은 불완전한 타원 적분 π이 로리첼라 함수_D F의 특별한 경우라는 것을 암시한다.

${\displaystyle \Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad \operatorname {Re} \phi <{\frac {\pi }{2}}~.}$

F의_D 유한섬 솔루션

사례 1 : > ${\displaystyle a>c$ ${\displaystyle a}$- c ${\displaystyle a-c}$ 양의$$ 정수

을 통해$$ F를_D 칼슨 R 함수 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$과(와) 연관시킬 수 있다.

${\displaystyle F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}}$

반복해서 말하자면

${\displaystyle D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}}$ and ${\displaystyle$$D_{0}=1}$

서 n> ${\displaystyle n>0}$을(를) 가진 Carlson R 함수의 표현이 정확하다는 점을 이용할 수 있다(자세한 내용은 참조).

벡터는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {b^{*}}=[{\overline{b}},c-\sum _{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {z^{*}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots,{\frac {1}{1-z_{N-1},1}}}}$

where the length of ${\displaystyle {\overline {z}}}$ and ${\displaystyle {\overline {b}}}$ is ${\displaystyle N-1}$, while the vectors ${\displaystyle {\overline {z^{*}}}}$ and ${\displaystyle {\overline {b^{*}}}}$ have length ${\displaystyle N}$.

2: > ${\displaystyle c>a$ ${\displaystyle c}$- ${\displaystyle c-a}$ 양의$$ 정수

이 경우 알려진 분석 형식도 있지만, 적는 것이 다소 복잡하고 여러 단계를 수반한다.자세한 내용은 을 참조하십시오.

참조

• Appell, Paul; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (in French). Paris: Gauthier–Villars. JFM 52.0361.13. (114 페이지 참조)
• Exton, Harold (1976). Multiple hypergeometric functions and applications. Mathematics and its applications. Chichester, UK: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-15190-0. MR 0422713.
• Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (in Italian). 7 (S1): 111–158. doi:10.1007/BF03012437. JFM 25.0756.01. S2CID 122316343.
• Saran, Shanti (1954). "Hypergeometric Functions of Three Variables". Ganita. 5 (1): 77–91. ISSN 0046-5402. MR 0087777. Zbl 0058.29602. (1956년 가나타 7번지, 65페이지)
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (ISBN 978-0-521-09061-2의 2008 페이퍼백이 있음)
• Srivastava, Hari M.; Karlsson, Per W. (1985). Multiple Gaussian hypergeometric series. Mathematics and its applications. Chichester, UK: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-20100-2. MR 0834385. (ISBN 0-85312-602-X가 있는 다른 버전이 있음)

• Ronald M. Aarts. "Lauricella Functions". MathWorld.