부크홀츠히드라

수학 논리학에서, Buchholz 히드라 게임은 수학적인 나무에서 조각을 잘라내는 아이디어에 기반을 둔 1인용 게임입니다.히드라 게임을 사용하여 $BH(n)$ n $)$ 를 생성할 수 있습니다.BH $(n$ 는 최종적으로 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ 1 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ - C ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ + ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ $(\$ 에서 모든 재귀함수를 지배합니다. $BI$ 및 그 자체는 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ - ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ A + ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ B ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ (\ $style\mathsf_{1$ }^{1 $}-CA+$ 로 총합입니다. $BI}}$ ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ + "TFB에 관한 투명 유도"

규칙.

이 게임은 다음과 같은 특성을 가진 유한하고 루트 연결된 수학 $트리$ A $(\displaystyle$ A $)$ 인 $A$ 히드라에서 플레이됩니다.

A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 루트에는 특수 라벨이 있으며, 보통 $+(\displaystyle$ 로 표시됩니다.
$A의$ 노드 $(\$ $displaystyle$ A $)$ 에는 $A$ $\nu \leq \omega$ 이 있습니다 $.\ displaystyle$ \ $nu$ \ $leq$ \ obega $\nu \leq \omega$
$A(\displaystyle$ A $)$ $A$ 바로 위에 있는 모든 노드에는 0 $(\displaystyle$ 0 $0$ 이라는 $0$ 이 붙어 있습니다.

플레이어가 $A$ 의 $A$ /잎 $($ 즉, $상단$ 노드 $)$ 을 $\sigma$ $\sigma$ 경우, 히드라는 $n\in \mathbb {N}$ 의 n $($ $예$ 를 들어 현재 턴 번호 $)$ 을 선택하고 새로운 히드라 A $($ $스타일)$ 로 $A(\sigma ,n)$ $변환$ 합니다. $【{displaystyle$ \ $tau}$ 는 $\tau$ $【{displaystyle$ \ $sigma$ 의 부모, A - $A^{-}$ {\ $displaystyle$ A $^{-}}$ 는 $A^{-}$ $A^{-}$ $【{displaystyle \sigma}}$ 가 $\sigma$ 잘린 후 남아있는 히드라 부분을 나타냅니다.A $A(\sigma ,n)$ ( $A(\sigma ,n)$ ) \ $displaystyle$ A ( \ $sigma , n$ )의 $A(\sigma ,n)$ 정의는 $"\$ $displaystyle$ \ $sigma$ 의 라벨에 따라 달라집니다.

${\$ { $\tau$ $\sigma$ \ $displaystyle$ $\tau$ $}$ 의 $\sigma$ $\tau$ 라벨이 0이고 ${\$ { \ $displaystyle$ \ displaystyle $A$ $}$ 의 $루트$ 인 $A(\sigma ,n)$ A ( $A(\sigma ,n)$ , $A(\sigma ,n)$ n ) \ $displaystyle$ A ( \ $sigma$ , $n$ ) = $A(\sigma ,n)$ $A^{-}$ - { - \ $displaystyle$ A $A^{-}$ ^ { - $A^{-}$ 。
$of$ { $\tau$ $\sigma$ \ $sigma }$ 의 $\sigma$ 라벨이 0이지만 ${\$ { $displaystyle$ $\tau$ $\ tau$ $\tau$ $A$ 이 $\tau$ $n$ A의 루트가 아닌 경우 $,$ $\tau$ {\ { $displaystyle$ \ tau $}$ 와 $\tau$ 그 모든 자식의 복사본을 $n개$ 만들어 $\tau$ 의 부모에게 부착합니다.이 새로운 트리는 $A(\sigma ,n)$ ( $A(\sigma ,n)$ ) $A(\sigma ,n)$ \ $displaystyle$ A ( \ $sigma , n$ ) $A(\sigma ,n)$ 。
일부 u∈ N{\displaystyleu\in \mathbb{N}만약σ{\displaystyle \sigma}의 라벨은 너{\displaystyle u}}, 우리는ε{\displaystyle \varepsilon}. B{B\displaystyle}가 subtre 라벨 v<>로 σ{\displaystyle \sigma}아래의 첫번째 노드입니다;{\displaystyle v<,마} 쓰입니다.eobtained by starting with $A_{\varepsilon }$ and replacing the label of $\varepsilon$ with $u-1$ and $\sigma$ with 0. $A(\sigma ,n)$ is then obtained by taking $A$ and replacing ${\$ displaystyle $\sigma }$ 에 $\sigma$ B {\ $displaystyle$ B $B$ 를 지정합니다.이 경우 n{\ $displaystyle$ n $}$ 값은 $n$ $n$ 하지 않습니다.
${\$ { $displaystyle$ \ sigma $}$ 의 $\sigma$ 라벨이 ${\$ \ $displaystyle$ $\$ $A(\sigma ,n)$ $\omega$ 인 $A(\sigma ,n)$ , $A(\sigma ,n)$ ( $A(\sigma ,n)$ , n )는 $A(\sigma ,n)$ $단순히 {\$ { \ $displaystyle$ $A(\sigma ,n)$ \ $sigma$ $\sigma$ }의 $n+1$ 을 n $n+1$ + $n+1$ 1 { $displaystyle$ n $+1}$ 로 $n+1$ 바꿈으로써 얻을 수 있습니다.

$【{$ $displaystyle$ $\sigma$ $A$ 가 $\sigma$ $A$ 의 $오른쪽$ 끝머리일 경우, 우리는 $A(n)$ A ( $A(n)$ ) { $displaystyle$ A ( $n$ ) $A(n)$ 】라고 쓴다. 일련의 움직임을 전략이라고 하며, (확실한) 움직임 후에 히드라의 뿌리 외에는 아무것도 남지 않는 것을 전략이라고 한다.비록 히드라가 엄청나게 커질지라도, 이것은 항상 끝난다는 것이 증명되었다.하지만 상당한 시간이 걸립니다.

히드라 정리

1987[1]에 홀츠의 종이를, 어떠한 히드라(이 히드라 정리 부르)에 대한 손해 보는 전략지만 실은이 보여 준 히드라에서infinitary 근거가 충분한 나무(혹은 기호 시스템 T{T\displaystyle}홀츠의 func에 관련된 이에 해당하는 기간으로 정식 서신은 것을 보여 준 것으로 여겨진다.회부 등순서형 표기법 시스템 $OT\subset T$ T $OT\subset T$ T ${\displaystyle$ OT\ $subset$ T $}$ 에 $(n)$ 반드시 속할 필요는 없는 n은 기본 시퀀스, 즉 respo의 무한 기반 트리( $[n]$ [ $n]$ {displaystyle $[$ n $[n]$ 에서 맨 오른쪽 잎과 $(n)$ ( $)\displaystyle$ ( $n)$ $연산$ 을 선택하는 전략을 유지합니다.t $\displaystyle$ 의 nding 용어.

어떤 약한 집합론에서는 다행히 히드라 정리를 의미할 수 있지만, 히드라 정리를 설명하지도 않기 때문에 그가 히드라 정리를 보여줬다는 진술은 틀렸다.그는 단지 맨 오른쪽 잎의 순서가 이기는 전략이라는 사실을 언급했다.히드라 정리는 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ - ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ A ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ + ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ I(\ $displaystyle\mathsf_{1$ }^{ $1}-CA+$ 에서는 증명할 수 없습니다. $BI$ ^[2] 그러나 개별 하이드라의 경우 소스 없이 증빙이 가능한 것으로 생각되었습니다.

BH(n)

트리가 x개의 $x$ $노드$ $+,0,\omega ,...,\omega$ $+,0,\omega ,...,\omega$ $0,$ ..., $...,\obega$ 를 $가진$ 브랜치로 구성되어 $+,0,\omega ,...,\omega$ 가정합니다.이 트리를 $+,0,\omega ,...,\omega$ $(\$ $displaystyle$ R $^{n$ 이라고 부릅니다.이^{[citation needed]} $R^{n}$ 는 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ - ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ + ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ $display$ style $_ pi style$ _ f s . $BI}}$ 모든 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ $x$ 에 대해 k $(\displaystyle$ k $)$ 가 $k$ $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ 하므로 R $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ) $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ 2) $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ) $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ . $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ) (\ $display R_{x}$ ( 1) (3) $...$ ( $k)$ 가 $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ 승리 전략입니다.(후자 표현은 $R_{x}$ R $R_{x}$ {\ $displaystyle R_{x$ 를 취하여 n $n=1$ $(\displaystyle$ $n$ $n=1$ $n=2$ }), $n=2$ $=$ $n=3$ (\ $displaystyle$ n=2 $n=2$ n $n=3$ $(\displaystyle$ n $=3}$ 등 최대 n $n=k$ $(\displaystyle$ n $=k})$ 로 변환하는 것을 의미합니다). $n=k$

$R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ $BH(x)$ H ( $BH(x)$ ) $BH(x)$ { $display style$ BH ( $x$ ) } the $BH(x)$ $k$ 、 R $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ x ( $1$ ) ( 2 $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ) ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ) $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ . $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ){ $display style$ R _ { $x }$ ( $2$ ) ( 3 ) ... $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ ( k )이 $R_{x}(1)(2)(3)...(k)$ 가장 $작은$ k 로서 $BH(x)$ 하면, 상기와 같은 전략이 됩니다.히드라 정리에 따르면 이 함수는 ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ 정의되지만, ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ 1 - ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ + ${\mathsf {\Pi _{1}^{1}-CA+BI}}$ $(\$ 로 전체성을 증명할 수 없습니다. $BI$ 하이드라는 매우 빠르게 성장합니다. $R_{x}(1)(2)$ R $R_{x}(1)(2)$ ( $R_{x}(1)(2)$ ) ( $R_{x}(1)(2)$ $){$ $display$ $style$ R_ ${$ $x}$ (1)( $2$ 는 그레이엄의 수보다 크거나 심지어 Kirby-Paris 히드라를 $R_{x}(1)(2)$ 위한 회전수보다 크기 때문입니다 $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ ) $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ ( $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ ) ( $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ ) $R_{x}(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ $x$ )dra가 그 분기로서.정확히 말하면, 그 성장률은 증명되지 않은 기본 배열의 불특정 시스템에 대하여 f $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ 0 ( $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ ω $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ + $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ ) ( $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ ) { $display$ f $_$ { \ $psi$ _ { \ $varepsilon$ _ { \ $Omega$ _ $}$ + $1$ } （ $x$ ） }에 $f_{\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}(x)$ 상당하는 것으로 생각된다. $\psi _{0}$ 서 0 $({$ $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ \ $psi$ _ ${0})$ 은 $\psi _{0}$ Buckholz의 함수를 나타내고 0 $(δ$ $1$ )({ $displaystyle$ \ $psi _{\Omega _$ {\Omega $}+$ 1})은 $\psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$ Takeuti-Feferman-Buchholz의 서수를 나타냅니다. $BI$

$BH(1)=0$ 함수의 처음 두 값은 B $BH(1)=0$ (1) $BH(1)=0$ $(디스플레이 스타일$ $BH(2)=1$ (1) = $0)$ $BH(2)=1$ $(디스플레이 스타일$ BH( $2$ $= 1$ )입니다. 트리 함수와 마찬가지로 $)(디스플레이 스타일$ BH( $3)$ 는 $BH(3)$ $BH(3)$ 크지만 매우 ^{[citation needed]}크지는 않습니다.

Buchholz 히드라는 최종적으로 TREY(n)와 SCG(n)^{[citation needed]}를 능가하지만 loader.c 및 유한 약속 게임 수보다 약할 수 있습니다.

분석.

일부 하이드라와 서수 사이에 일대일 대응이 가능합니다.트리 또는 하위 트리를 서수로 변환하려면:

노드의 모든 직계 하위 항목을 서수로 유도 변환합니다.
그 자식 서수를 더해라.자녀가 없는 경우 이 값은 0이 됩니다.
노드의 라벨이 +가 아닌 경우 $\psi _{\alpha }$ {\ $displaystyle$ $\$ $psi$ _ ${\alpha$ 를 $\alpha$ 합니다 $.α$ {\ $displaystyle$ \alpha $\alpha$ }는 $\alpha$ 노드의 $\psi$ 이고 $α {\displaystyle$ \psi $}$ 는 $\psi$ Buchholz의 함수입니다.

결과 서수식은 정규 형식인 경우에만 유용합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

변환
히드라	서수
$+$	$0$
$+(0)$	$\displaystyle \psi _{0}(0)=1}$
$+(0)(0)$	$2$
$\ displaystyle + ( 0 )}$	$\displaystyle \psi _{0}(1)=\obega }$
$+(0)(0)$	$\displaystyle \메가 + 1$
$\ displaystyle + (0) (0) ( 0 )}$	$\displaystyle \mega \cdot 2$
$\ displaystyle + (0) (0) ( 0 )}$	$\displaystyle \opega ^{2}}$
$+(0(0(0))$	$\obega ^{\obega }$
$\ displaystyle + (0 (1)}$	$\displaystyle \varepsilon _{0}$
$+(0(1)(1)$	$\displaystyle \varepsilon _{1}$
$(\displaystyle +(0(1(0)))}$	$\displaystyle \varepsilon _{\obega}}$
$(\displaystyle +(0(1))}$	$\displaystyle \zeta _{0}$
$(\displaystyle + (0 (1 (1) ) ) }$	${\displaystyle\Gamma_{0}}$
$(\displaystyle +(1(1(1(0)))))}$	SVO
$(\displaystyle + (0) (1(1(1))))}$	LVO
$\ displaystyle + (0 (2)}$	부호
$(\displaystyle + (0(\mega)))}$	BO