코치 수열

수학에서, 카우치 수열(프랑스어 발음: [koʃi]; 영어: /ˈkoʊʃiː/KOH-see] 아우구스틴루이 코우치(Augustin-Louis Cauchy)의 이름을 따서 명명된 것으로, 순서가 진행됨에 따라 원소가 임의로 서로 가까워지는 순서다.^[1] 더 정확히 말하면, 작은 양의 거리를 주어진다면, 유한한 수의 원소를 제외한 모든 원소는 서로 주어진 거리보다 작다.

각 용어가 전기에 임의로 근접하는 것만으로는 충분하지 않다. 예를 들어, 자연수의 제곱근 순서에서:

연속된 용어들은 임의로 서로 가까워진다. ${\displaystyle {그러나}_{}}$, 지수 n의 값이 증가함에 따라, n ${\$a_${n$}라는 용어는 임의적으로$$ 커진다. 따라서 모든 지수 n과 d에 대해 - n> ${\displaystyle a_{m}-a_{n}d.}($실제로 모든 m>(+ d) ${\$회 충분할 정도로 큰 지수 m이 존재한다. 그 결과, 어느 정도 진행되었음에도 불구하고, 그 수열의 나머지 기간은 결코 서로 가까이 가지 않는다. 따라서 그 수열은 카우치가 아니다.

Cauchy 시퀀스의 효용은 전체 메트릭 공간(모든 그러한 시퀀스가 한계에 수렴한다고 알려진 공간)에서, 용어뿐만 아니라 한계값을 사용하는 수렴의 정의와는 반대로, 수렴의 기준은 시퀀스 자체의 조건에만 의존한다는 사실에 있다. 이는 종종 이론적 및 응용적 알고리즘에서 모두 착취되는데, 여기서 반복적 프로세스를 비교적 쉽게 보여주어 반복으로 구성된 코치 시퀀스를 생성하여 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킬 수 있다.

보다 추상적인 균일한 공간에서 카우치 시퀀스의 일반화는 카우치 필터와 카우치 그물 형태로 존재한다.

실수로

A순서

모든 양의 실수 $\epsilon {\displaystyle }$, ${\displaystyle \varepsilon ,}$에 대해 모든 m, > , ${\displaystym m,n>N,}$과 같은 양의 정수N이 있다면$$ 실수는 Cauchy 시퀀스라고 불린다. 여기서 수직 막대는 절대값을 나타낸다. 비슷한 방법으로 합리적 또는 복잡한 숫자의 코치 시퀀스를 정의할 수 있다. Cauchy는 $무한{\displaystyle {}_{}}$ m, n의 모든 쌍에 대해 x ${\displaystyle m_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ x_${m$}-x_${n}}$를 최소로 하도록 요구함으로써 그러한 조건을$$ 공식화했다.

실제 수 r의 경우, r의 잘린 소수 확장 순서는 Cauchy 시퀀스를 형성한다. 예를 들어 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle$ r$=\pi ,}$ 이 시퀀스는$$ (3, 3.1, 3.14, 3.14, 3.141, ...)이다. m번째와 n번째 항은 m < n>이$$ 될 때 ${\displaystyle {\mathrm{최대}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{10}}^{}}$1 m$${\$displaystyle 10^{1-m}$만큼 차이가 나며, m이 커질수록 이는 어떤 고정 $양수$보다 작아진다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

카우치 수렴법

If ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$ is a sequence in the set ${\displaystyle X,}$ then a modulus of Cauchy convergence for the sequence is a function ${\displaystyle \alpha }$ from the set of natural numbers to itself, such that for all natural numbers ${\displaystyle k$$}$과() 자연수 , > ( k), ${\displaystyle m,n>\cuit (k),}$ x- - n< / k. ${\displaystyle x_{m}-x_{n$}}{n} <$1/k>.$$}$

Cauchy 수렴 계수를 갖는 모든 시퀀스는 Cauchy 시퀀스다. Cauchy 시퀀스에 대한 계수의 존재는 자연수의 순서가 잘 되어 있는 속성(let $\alpha {\displaystyle (k}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \alpha(k)}$은(는) Cauchy 시퀀스의 $정의$에서 가능한$$가장 작은 N {\$displaystyle N$$}$이며$,$ r {\$displaysty$ $r{\displaystyle \mathrm{}\}}$은 1$$/ k {\$displaystystysty/$k$$}이 된다.$$ 계수의 존재도 선택 공리의 약한 형태인 의존적 선택의 원리에서 따르며, AC라는₀₀ 훨씬 약한 조건에서도 따르게 된다. 정규 Cauchy 시퀀스는 Cauchy 컨버전스(일반적으로 $\alpha {\displaystyle (k}$ ) = ${\displaystyle k}$=${\displaystyle }$k${\displaystyle }${\$displaystyle \alpha(k)=k}$ 또는$$ $\alpha {\displaystyle (k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\$의 주어진 계수를 갖는 시퀀스다.$$ Cauchy 수렴 계수를 갖는 모든 Cauchy 시퀀스는 일반 Cauchy 시퀀스와 동등하다. 이것은 어떤 형태의 선택 공리를 사용하지 않고도 증명될 수 있다.

카우치 융합의 모둘리는 어떤 형태의 선택도 원하지 않는 건설적인 수학자들에 의해 사용된다. Cauchy 수렴 계수를 사용하면 건설적 분석에서 정의와 이론 모두를 단순화할 수 있다. 정기적인 카우치 시퀀스는 에렛 비숍이 건설적 분석의 기초에서, 더글라스 브리지스는 비건설적 교과서에서 사용했다. ISBN978-0-387-98239-7).

미터법 공간에서

Cauchy 시퀀스의 정의는 미터법 개념만을 포함하므로, 어떤 미터법 공간 X로 일반화하는 것은 간단하다. To do so, the absolute value ${\displaystyle \left x_{m}-x_{n}\right }$ is replaced by the distance ${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$ (where d denotes a metric) between ${\displaystyle x_{m}}$ and ${\displaystyle x_{n}.$$}$

공식적으로 메트릭 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$, ${\디스플레이$ 스타일$(X,d),}$ 시퀀스를$$ 지정

Cauchy이며, 만약 모든 양의 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 모든 양의 정수 , > N, ${\displaystym m,n>N,}$ 거리에 대한 양의$$ ${\displaystyle }$ N ${\displaysty N}$이 있다.

대략적으로 말하면, 수열의 조건은 X에 한계가 있어야 한다는 것을 암시하는 방식으로 점점 더 가까워지고 있다. 그럼에도 불구하고 그러한 한계가 항상 X 내에 존재하는 것은 아니다: 모든 카우치 수열이 그 공간에서 수렴되는 공간의 특성을 완전성이라고 하며, 아래에 자세히 설명되어 있다.

완성도

모든 Cauchy 시퀀스가 X의 요소로 수렴되는 메트릭 공간(X, d)을 complete라고 한다.

예

실수는 통상적인 절대값으로 유도된 측정지표 하에서 완성되며, 실수의 표준구축 중 하나는 합리적인 숫자의 Cauchy 시퀀스를 포함한다. 이 구조에서 특정 꼬리 행동을 가진 합리적인 숫자의 카우치 시퀀스(즉, 임의로 서로 근접하는 각 시퀀스 클래스)의 각 등가 등급은 실제 숫자다.

다소 다른 유형의 예제는 이산형 메트릭이 있는 메트릭스 공간 X에 의해 제공된다(두 개의 구별되는 점이 서로 거리 1에 있는 경우). X 원소의 모든 코치 시퀀스는 어떤 고정점을 벗어나 일정해야 하며, 결국 반복되는 용어로 수렴해야 한다.

비예: 합리적인 숫자

합리적인 숫자 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 완전하지$$ 않음(일반적인 거리에 대해):
$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 비합리적인 숫자로 수렴되는 합리들의 순서가 있다; $이것들$은 Q${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}.}$ 사실$$, 실제 숫자 x가 비합리적인 경우, n번째 항이 소수확장점 소수점 자리 n자리까지 잘리는 순서(x_n)이다.x의 n은 Cauchy 순서에 비합리적인 한계 x x를 부여한다. 비합리적인 숫자는 $확실히{\displaystyle \mathbb{}}$ R${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {R}$에 존재한다. 예$$:

• The sequence defined by ${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}}{2}}}$ consists of rational numbers (1, 3/2, 17/12,...), which is clear from the definition; however it converges to the irrational square root of two, see Babylonian method of computing square r귀퉁이
• 시퀀스 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$/ F ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$연속 피보나치 수 비율의 $F_{n}/F_{n-1$}{n-1$}$은(는$)$ 수렴할 경우 ${\displaystyle \mathrm{if}{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \phi$$$$^{2}=\phi$+1}을(를$)$ 만족하는$$ 한계로 수렴되며, 합리적인$$ 숫자는 이 속성을 가지지 않는다. 그러나 이것을 실수의 순서로 본다면, 실수의 ${\displaystyle number\mathrm{}}$= (${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ 5${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ 2${\displaystyle }$, ${\displaystyle \varphi$ = $(1+{\sqrt{5})/2,}$ 황금비율로 수렴하는데, 이는 불합리하다.
• 지수함수, 사인함수 및 코사인함수, exp(x), sin(x), cos(x)는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x\neq$ 0$,}$의 모든 합리적 값에 대해 비합리적인 것으로 알려져 있지만$$, 각각은 예를 들어 Maclaurin 계열을 사용하여 합리적인 Cauchy 시퀀스의 한계로 정의할 수 있다.

비예: 개방 간격

그것에 X진짜 숫자의 세트에서 R{\displaystyle \mathbb{R}의 평범한 거리}과(0,2){X=(0.2)\displaystyle}초기 조향 순간 노출된 배차 간격은 완벽한 공간이 순서는)nx1/n{\displaystyle x_{n}=1/n}은 코시(자의적으로 작은 거리에 진동계 측 을 반드시;0{\displaystyle d>0} > / ${\d 디스플레이style$ $n$$>1/$d}의$$ 모든 ${\displaystyle {용어}_{}}$는 $({\displaystyle 0}$, ${\displaystyle d}$) ${\d$ 디스플레이style $(0,d)}$ 간격에$$ 맞지만 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 수렴되지 않으며,$$ 숫자 0은 공간 $X{\displaystyle }$. ${\displaysty X}$에 속하지 않는다.

기타 속성

• 그래서 순서의 어떤 두개의 측면 거리에 ε{\displaystyle 이후, 어떤 실수 ε한 모든 수렴 순서(제한 s, 말한 것과)는 코시 열,;0, 있는 고정 지점을 넘어선{\displaystyle \varepsilon>;0,}, 시퀀스의 모든 기간 거리에 ε의/2{\displaystyle \varepsilon /2}, 있다.\vare서로$$ $psilon }.$
• 어떤 미터법 공간에서든 Cauchy ${\displaystyle {sequence}_{}}$ x$${\$displaystyle$x_{$n}}$의 경계(일부 N의 경우, N-th 이후부터의 모든 시퀀스 항은 거리 1 내에 있으며, M이 ${\displaystyle x_{}}$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 N-th까지의 항 사이의 가장 큰 거리인 경우 시퀀스 항은 더 큰 거리를 가지지 않는다. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$의 $M{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M+1}$보다 작음
• e.의 어떤 계량 공간에서 제한 수렴 후 가진 코시 열은 그 자체 수렴( 같은 제한을 가지고)이후 어떤 실수 r을 지정되 0, 원래의 서열에 있는 고정 지점을 넘어선, 이어서 일어나는 것의 모든 용어의 거리 r/2 이내에 있는 원래의 서열의 어떤 두개의 측면 거리에 있r/2어이쿠 다른, 그래서 원래 시퀀스의 모든 항은 s의 거리 r 이내에 있다.

볼자노와 함께 이 마지막 두 가지 성질은바이에르스트라스 정리, 실수의 완전성에 대한 하나의 표준 증거를 제시하며, 볼자노-와 밀접한 관련이 있다.위어스트라스 정리 및 하이네-보렐 정리. 모든 카우치 순서는 실제 숫자의 경계로 되어 있고, 따라서 볼자노에 의해-Weierstrass는 수렴성을 가지며, 따라서 그 자체가 수렴성을 가진다. 실수의 완전성을 증명하는 이 증거는 암묵적으로 최소 상한 공리를 이용한다. 위에 언급된 대안적 접근방식은, 실수의 완성으로서 실수를 구성하는 것으로서, 실수의 완전성을 tautological로 만든다.

Cauchy 시퀀스로 작업할 수 있고 완전성을 활용할 수 있다는 이점에 대한 표준 삽화 중 하나는 무제한의 실수 시리즈(또는 보다 일반적으로 완전한 규범화된 선형 공간의 요소 또는 바나흐 공간의 요소들의 합계)를 고려함으로써 제공된다. Such a series ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ is considered to be convergent if and only if the sequence of partial sums ${\displaystyle (s_{m})}$ is convergent, where ${\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.$$}}$ 양의 정수 > ${\displaystyle p>q,}$에 대해서는 부분 합계 순서가 Cauchy인지 아닌지를 결정하는 것이$$ 일상적인 일이다.

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle f:$N에서{\displaystyle(f(x_{n}))}은 코시 열은, 실제적이거나 복잡한 합리적인 뉴에 만약()n){\displaystyle(x_{n})}과(ny){\displaystyle(y_{n})}두 코시 장면들은 계량 공간 M과 N과 M에서(xn)은 코시 열, 그때(f()n))사이에 M\to N}은 평등 연속 지도입니다.mbers(${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) $displaystyle(x_{$${\displaystyle n_{}}$$}+y_{n}})$과 제품${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}{\displaystyle }$n y )$${\$displaystyle(x_{n}y_{n}}}})$도 Cauchy 시퀀스다$$.

일반화

위상 벡터 공간에서

There is also a concept of Cauchy sequence for a topological vector space ${\displaystyle X}$: Pick a local base ${\displaystyle B}$ for ${\displaystyle X}$ about 0; then (${\displaystyle x_{k}}$) is a Cauchy sequence if for each member ${\displaystyle V\in B,}$ there is some number ${\disp$n > x - ${\$의 위상이 V .${\$$displaystyle V$$.}$의 요소인 $레이스타일 N}$ $X$의 토폴로지가 변환-비변환성 메트릭 $d{\displaystyle }$, ${\displaystystyle d}$과 호환되는$$ 경우$$ 두 정의가$$ 일치한다.

위상학 그룹에서

Cauchy 시퀀스의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "굴절" 연산이 있을 때만 필요하므로, 위상 그룹의 맥락에서 다음과 같이 말할 수 있다. 위상적인 그룹 G{G\displaystyle}의 순서()k){\displaystyle(x_{k})}은 코시 열은 정체성의 G에서 열려 있는 모든 neighbourhood U{U\displaystyle}에{G\displaystyle}이 N등이 다를 때마다 m, n>N{\displaystyle m,n>{N\displaystyle}몇가지 존재한다.N}그것 그 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^m}$ - ${\displaystyle 1_{}^{}u}$ U${\displaystyle }$. ${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in$ U$.}$ 이상과$$ 같이${\displaystyle }G{\displaystyle }$ .$${\$displaystyle G.}$의 ID의 모든 로컬 베이스에서 이웃에 대해 이것을 확인하는 것으로 충분하다.

메트릭 공간의 완료 구성에서와 같이, 모든 열린 인접 $영역{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에 대해${\displaystyle }$(${\displaystyle {xk}_{}}$) ${\displaystyle(x_{k})$과${\displaystyle }$( y ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle(y_{k})$이 동등하다는$$$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$의 Cauchy 시퀀스에 대한 이진 관계를 더 정의할 수 있다.${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle G}$에는 $일부{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$이(가) 존재하므로 m ,${\displaystyle n_{}}$> ${\displaystyle m,$$n$$>N}$이(가) x $n{\displaystyle {}_{}}$ m - ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle$ x_${n}y_{m}^{-1$}^{-1}이($U).$ 이 관계는 동등하다. 그것은 순서가 Cauchy 시퀀스이기 때문에 반사적이다. $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$m -${\displaystyle {}_{}^{}{1}_{}^{}}$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}{}_{}^n}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}{1}_{}^{}{}^{}}$) - ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$U - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$1}^{-$1}=(x_{m}y_{n}^{-1$}^{-$1})^{-1}$는 역의 연속성에 의해 또 다른 정체성의 열린 이웃이다. It is transitive since ${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$ where ${\displaystyle U'}$ and ${\displaystyle U''}$ are open neighbourhoods of the identity such that ${\displaystyle$$U'U'\subseteq U$ 이러한 쌍은 그룹 작업의 연속성에 의해 존재한다.

그룹으로

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에는 Cauchy 시퀀스의 개념도 있다$:$ $Let{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ H$=(H_{r}})$는 유한지수의 G$${\$displaysty G}$의 정규 부분군의 감소 시퀀스가 된다$$. 그리고 G{G\displaystyle}시퀀스()n){\displaystyle(x_{n})}가 되기 위해 코시(H{\displaystyle H}에 관해서)만일 어떤 r{r\displaystyle}에 있N{N\displaystyle}모든 m, n>N이)nxm 같은 − 1∈ H.{\displaystyle m,n>, N,x_{n}x_다고 한다.{m}^{$-1}\in H_{r}}$

기술적으로 이것은 $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ G$}$의 특정 위상 선택, $즉{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$이(가) 로컬 베이스인$$ 위상 그룹 Cauchy 시퀀스와 동일한 것이다.

그러한 코시 시퀀스의 집합 C{C\displaystyle}고, 집합 C0{\displaystyle C_{0}}이 순서의 C(시퀀스가 ∀ r,∃ N,∀ n>N, x의 n∈ Hr{\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n&gt한다. 그러한 N,x_{n}\in H_{r}})은 정규 부분 군.{한 그룹(그componentwise 제품에 대한)을 이루고 있다.\displ$aystyle C.}$ 요인 $그룹{\displaystyle }$ C${\displaystyle }$/ ${\displaystyle C{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) $H{\displaystyle .}$ ${\displaystyle H.}$과(와) 관련하여$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 완료라고 한다$$.

그러면 이 완료가 시퀀스의 역한계$({\displaystyle G}$ / ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle r{}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle (G/H_{r})$와 이형성이라는 것을 보여줄 수 있다.$}$

숫자$$ 이론과 대수 기하학에 익숙한 이 구성의 예로는 소수 $p{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ p.}에 관한 정수의 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$$}$ -adic$$ 완료가 있다. 이 경우 G ${\displaystyle G}$이($가{\displaystyle }$) 추가되는 정수이고, $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$가 추가된다$$.$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$. ${\displaystyle p_{r}$의 정수 배수로 구성된 반복 부분군$}$

If ${\displaystyle H}$ is a cofinal sequence (that is, any normal subgroup of finite index contains some ${\displaystyle H_{r}}$), then this completion is canonical in the sense that it is isomorphic to the inverse limit of ${\displaystyle (G/H)_{H},}$ where ${\displaystyle H}$ varies over all 유한 지수의 정규 부분군 자세한 내용은 Ch를 참조하십시오. 랭의 "Algebra"에 나오는 I.10.

초현실적인 연속체에서

실제 시퀀스 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle u_{n}$n:$n\in \mathb {N} \angle$ }은$($는) 일반적인 자연 n 외에 지수 n의 초자연 값 H에 대해 정의된 자연적인 초현실 확장을 가지고 있다. 순서는 모든 무한 H와 K에 대해 U ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ 값인 경우에만 Cauchy이다.$H}}$과(와) ${\$은(는) 무한히 가깝거나 적당하다.

${\displaystyle \mathrm {st}(u_{H}-u_{K}=0})$

여기서 "st"는 표준 부품 기능이다.

범주의 코치 완료

Krause (2018)는 Cauchy의 범주 완성에 대한 개념을 도입했다. $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$개체가 합리적인 숫자이고, $x{\displaystyle y}$ y$${\$displaystyle$ x$\leq$ y$}$인 경우에만 x에서 y까지의 형태론이 있는 범주)에 적용됨,$$ 이 Cauchy $완료$는 R ${\\$을(자연 순서를 사용하여 범주로 해석됨).

참고 항목

• 수렴 모드(공지지수)
• 데데킨드 컷

참조

추가 읽기

• Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra (English translation ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00644-8.
• Krause, Henning (2018), Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller, arXiv:1805.10751, Bibcode:2018arXiv180510751B
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6. Archived from the original on 2007-05-17. Retrieved 2007-05-26.
• Troelstra, A. S.; D. van Dalen. Constructivism in Mathematics: An Introduction. (건설적 수학에 사용)

외부 링크

• "Fundamental sequence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]