행렬 인수의 초기하 함수

수학에서 행렬 변수의 초기하 함수는 고전적인 초기하계열의 일반화다.그것은 어떤 다변량 통합의 평가에 사용될 수 있는 무한 합산으로 정의되는 기능이다.

행렬 인수의 초기하학적 함수는 랜덤 행렬 이론에 응용된다.예를 들어, 랜덤 행렬의 극한 고유값 분포는 종종 행렬 인수의 초기하 함수에 의해 표현된다.

정의

$p$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p\geq$ 0$}$및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q\geq$ 0}을$($를) 정수로 하고, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}을$($를) m ${\displaystyle \times }$ m ${\displaystystyle$m$\times$ m$} 복합$ 대칭 행렬로 한다$$.그러면 행렬 인수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 매개$$ 변수 > ${\displaystyle \alpha >0}$의 초기하 함수가 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\capa \vdash k}{1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

where ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ means ${\displaystyle \kappa }$ is a partition of ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$ is the generalized Pochhammer symbol, and ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$ is the "C" norm잭 기능의 활성화.

두 행렬 인수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 2 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ m ${\displaystyle m\times$ m$}$ 복합$$ 대칭 행렬인 경우, 두 행렬 인수의 초기하 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{k=0}}}\sum _{\cappa \frash k}{1}{1}{1k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 크기 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 ID 매트릭스 입니다$.$

행렬 인수의 일반적인 함수가 아님

매트릭스 지수 등 매트릭스 인수의 다른 함수들과 달리 매트릭스 인수의 초기하 함수는 매트릭스 값(1개 또는 2개)이다.

매개 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$

많은 간행물에서 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 생략된다$$.또한 서로 다른 간행물에서는 서로 다른 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 값을 암묵적으로 가정하고$$ 있다.For example, in the theory of real random matrices (see, e.g., Muirhead, 1984), ${\displaystyle \alpha =2}$ whereas in other settings (e.g., in the complex case—see Gross and Richards, 1989), ${\displaystyle \alpha =1}$. To make matters worse, in random matrix theory researchers tend to prefer a parameter called ${\$조합에$$ 사용되는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 대신 $displaystyle$ $\beta }.$

기억해야 할 것은

${\displaystyle \property ={\frac {2}{\property }}.}$

특정 텍스트가 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 또는$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을(를) 사용하고 있는지 여부와$$ 해당 매개 변수의 특정 값이 무엇인지에 대해 주의를 기울여야 한다.

일반적으로 실제 랜덤 행렬을 ${\displaystyle \mathrm{포함}}$하는 설정에서 $\alpha {\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \alpha =2},$ 따라서$$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =1$ 복잡한$$ 랜덤 행렬을 포함하는 설정에서는 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha$=$1$$},$ $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystystylease$ stylease stylean $\bet$ \beta = 2$.$

참조

• K. I. 그로스와 D.St. P. Richards, "매트릭스 인수의 총 긍정, 구형 시리즈 및 초기하 함수", J. 약 이론, 59, 2번, 224–246, 1989.
• J. Kaneko, "잭 다항식들과 관련된 Selberg Integrals and hypergeomical functions", SIAM Journal on Mathematical Analysis, 24, 4, 1086-1110, 1993.
• Plamen Koev와 Alan Edelman, "매트릭스 인수의 초기하 함수의 효율적인 평가", Mathical of Computing, 75, 254, 833-846, 2006.
• 롭 뮤어헤드, 다변량 통계 이론의 측면들, 존 와일리 & 선스 주식회사, 1984년 뉴욕.

외부 링크

• Plamen Koev에 의한 행렬 인수의 초기하 함수를 계산하기 위한 소프트웨어.