로랑 시리즈

Laurent 시리즈는 특정 지점 c와 통합의 경로에 대해 정의된다. 통합의 경로는 여기 빨간색으로 표시된 고리 안에 있어야 하며, 그 안쪽은 f(z)가 홀로모르픽(분석성)이다.

수학에서 복합함수 f(z)의 Laurent 시리즈는 음의 정도를 포함하는 파워 시리즈로서 그 기능을 나타낸다. 테일러 시리즈 확장을 적용할 수 없는 경우 복잡한 기능을 표현하기 위해 사용할 수 있다. 로랑 시리즈는 1843년 피에르 알퐁스 로랑에 의해 처음 출판된 이름이다. 칼 위어스트라스는 1841년에 쓴 논문에서 처음 발견했을지 모르지만, 그것은 그가 죽은 후에야 출판되었다.^[1]

포인트 c에 대한 복합함수 f(z)에 대한 Laurent 시리즈는 다음과 같다.

f(z)=\sum _{n=-\ft }^{\n^{n_{n}(z-c)^{n}}}

여기서 a와_n c는 상수로서, Cauchy의 적분 공식을 일반화하는 선 적분으로_n 정의된다.

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}\point _{\point _}{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}\,dz.

통합 경로 $\gamma$ $\gamma$ 은(는) c를 감싸고 있는 요르단 곡선을 반시계방향으로 감싸고 $\gamma$ $){\displaystyf$ f $(z)}$ 가 홀로모르픽(분석)인 $f(z)$ 환형인 환형 A에 놓여 있다. $f(z)$ 다음 $f(z)$ f ( $f(z)$ ) $f(z)$ 에 대한 확장은 환원체 내부 어디에서나 유효할 것이다 $f(z)$ . 만약이 되기 위해서 원γ{\displaystyle \gamma}이 r<>z− c)ϱ{\displaystyle z-c =\varrho},;ϱ<>R{\displaystyle r<,\varrho<>R}, 이것은 a을 치르는 annulus에 빨간 색으로 오른쪽에 있는 수치이며 통합의 적절한 경로γ{\displaystyle \gamma}로 이름 붙여진 예와 함께 중요하다. 보여진다벋다에 c $f$ $f$ 의 제한에 대한 복잡한 푸리에 계수를 $\gamma$ $\gamma$ 에 $f$ 곱하기 $\gamma$ 이러한 통합이 윤곽선 $\gamma$ $\gamma$ 의 변형에 의해 변하지 않는다는 사실은 그린의 $\gamma$ 정리의 즉각적인 결과물이다.

$z=\infty$ f(z)에 대한 Laurent 시리즈도 z $z=\infty$ = $z=\infty$ ${\displaystyle$ z $=\infit$ $}$ 에서 얻을 수 있지만 $z=\infty$ 이는 $R\rightarrow \infty$ → $R\rightarrow \infty$ ${\displaystyle R\rightarrow \inft$ }과 같다( $R\rightarrow \infty$ 아래 예 참조).

실제로 위의 통합 공식은 주어진 $f(z)$ f $f(z)$ ( z $f(z)$ ) $f(z)$ 에 $a_{n}$ 대한 $a_{n}$ n ${\$ 를 계산하는 가장 실용적인 방법을 제공하지 못할 수 있다 $f(z)$ 대신, 종종 알려진 테일러 확장을 결합하여 Laurent 시리즈를 조합한다. 함수의 Laurent 확장이 존재할 때마다 고유하기 때문에, 일부 고리에서는 $f(z)$ 주어진 함수 f $f(z)$ ( z $f(z)$ ) ${\displaystyle$ f $(z)}$ 과 같은 이 형태의 표현은 실제로 $f(z)$ ( $f(z)$ $f(z)$ ) $f(z)$ 의 Laurent 확장이어야 한다 $f(z)$

컨버전트 로랑 시리즈

e^−1/x² 및 Laurent 근사치: 키는 텍스트를 참조하십시오. 로랑 시리즈의 음도가 올라가면서 정확한 기능에 접근한다.

e와^−1/x² 그 Laurent 근사치(부정도가 상승함) 0 특이점 주위의 주변은 결코 근사할 수 없다.

계수가 복잡한 Laurent 시리즈는 특히 특이점 근처에 있는 함수의 동작을 조사하는 복잡한 분석에서 중요한 도구다.

예를 들어)e− f(0)과 1/x2{\displaystyle f())=e^{{2-1/x^}}})0{\displaystyle f(0)=0} 하는 진짜가지 기능으로서, 무한히 어디서나 미분 가능한, 복잡한 함수로 간다 그것 x=0구별할 수 있는 것이 아니다.)exponenti의 멱급수에 −1/x2과 바꿈으로써 기능 f())를 생각해 보자.al 함수, 우리는 특이점 $x$ = $0$ 을 제외한 모든 복잡한 숫자 x에 대해 수렴되고 f(x)와 같은 Laurent 시리즈를 얻는다. 맞은편 그래프는 e를^−1/x² 검정색으로 표시하고 Laurent 근사치를 표시한다.

\sum _{n=0}^{N(1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 50의 경우. N → ∞로서, 특이점 x = 0을 제외한 모든 (복잡한) 숫자 x에 대한 근사치가 정확해진다.

보다 일반적으로, Laurent 시리즈는 디스크에서 정의된 홀로모르픽 함수를 표현하기 위해 파워 시리즈를 사용하는 것과 마찬가지로 환형에서 정의된 홀로모르픽 함수를 표현하는데 사용될 수 있다.

가정하다

\sum _{n=-\nft }^{\nft }a_{n}(z-c)^{n}}}}}}}}}}}}

복합 계수 a와_n 복합 중심 c를 갖는 주어진 Laurent 시리즈. 그리고 독특한 내부 반경이 존재한다. r 그리고 다음과 같은 외부 반지름 R:

Laurent 시리즈는 열린 고리 $A \equiv {z$ : r < $z$ - c < $R}$ . Laurent 시리즈가 수렴한다고 하자면, 우리는 양도 파워 시리즈와 음도 파워 시리즈가 모두 수렴한다는 것을 의미한다. 게다가, 이 컨버전스는 콤팩트 세트에서 균일할 것이다. 마지막으로, 수렴성 시리즈는 열린 고리 위에 홀로모르픽 함수 f(z)를 정의한다.
환상 밖에서는 로랑 시리즈가 갈라진다. 즉, A의 외관의 각 지점에서 양도의 전원 시리즈 또는 음의 전원 시리즈가 분리되는 것이다.
환의 경계에는 적어도 내부 경계에는 한 지점이 있고, 외부 경계에는 f(z)가 그 지점들에 홀로모형으로 계속될 수 없다는 점을 말하는 것 외에는 일반적인 진술을 할 수 없다.

r이 0일 수도 있고 R이 무한할 수도 있다. 다른 극단에서는 r이 R보다 작다는 것이 반드시 사실인 것은 아니다. 이 반지름은 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\begin}r&=\limsup _{n} a_{-n} ^{\frac {1}{n1},\1 \over R}&=\limsup _{n\to \inflt ^{n} ^{\frac {1}{n}}.\end{정렬}}

우리는 이 후자의 림프가 0일 때 R이 무한하다고 생각한다.

반대로 $우리$ 가 A { : $r$ { : $r$ < $z$ - $c$ < $R}$ 형식과 A에 정의된 홀로모르픽 함수 f(z)의 고리로부터 출발한다면, A에 수렴(적어도)하고 f(z) 기능을 나타내는 중심 c를 가진 독특한 Laurent 시리즈가 항상 존재한다.

예를 들어, 부분적인 부분적 팽창과 함께 다음과 같은 합리적인 기능을 고려하십시오.

f(z)={\frac {1}{{1}(z-1)(z-2i)}}}}={\frac {1+2i}{5}}}\frac {1}{z-1-{1}{z-2i}\오른쪽).

이 함수는 $z$ = $1$ 과 $z$ = $2i$ 에 특이점이 있는데, 여기서 표현식의 분모는 0이고 따라서 표현은 정의되지 않는다. 약 $z$ = 0(파워 시리즈를 산출하는) 테일러 시리즈는 1에서 특이점을 "히트"하기 때문에 반지름 1의 디스크에서만 수렴한다.

그러나 z의 반지름에 따라 약 0에 대한 Laurent 확장이 세 가지 있을 수 있다.

하나의 시리즈는 내측 디스크에서 정의되며, $여기$ 서 z < $1$ 은 테일러 시리즈와 동일하다. $f(z)={\frac {1+2i}{5}\sum _{n=0}^{\n=0}}\flatty }\reflac {1}{{n+1}-1\right)z^{n}.$ 이것은 기하 계열의 합계에 대한 공식과 함께 함수의 부분분수 형태에서 나타난다. ${\frac {1}{z-a}=-{\frac {1}{a}\sum _{n=0}^{n=0}\flatty }\좌측값\tfrac {z}{a}\오른쪽)^{n}}$ $|z|<|a|$ < $displaystyle$ z < a $|z|<|a|$
두 번째 시리즈는 두 특이점 사이에 $1$ < $z$ 가 걸리는 중간 고리 위에 정의된다. $f(z)={\frac {1+2i}{5}\좌(\sum _{n=1}^{n=1}^{n=1}+\sum }z^{n}^{n=0}{n=0}}}{\frac {1}{n+1}}z^{n}\오른쪽).$ 여기서, 우리는 기하 급수적 합계의 대체 형태를 사용한다. ${\frac {1}{z-a}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\inflt }\frac {a}}}\오른쪽)^{n}}$ $|a|<|z|$ $|a|<|z|$ {\ $displaystyle$ a < $z$
세 번째 시리즈는 $2$ < z < $\infty,$ ( $z=\infty$ = $z=\infty$ 의 Laurent 확장도 at = ∞ ${\displaystyle$ z $=\infit })$ 인 무한외환에서 정의된다 $z=\infty$ $f(z)={\frac {1+2i}{5}\sum _{n=1}^{n=1}\flt }\좌측(1-(2i)^{n-1}\오른쪽)z^{-n}.$ 이 시리즈는 이전과 같은 기하학적 시리즈를 사용하거나 1 by $(x$ - $1)(x$ - $2i$ )의 다항식 긴 분할을 수행하여 파생될 수 있으며 $,$ 나머지 부분과 함께 정지하지 않고 x⁻ⁿ 항으로 계속된다. 실제로 합리적인 함수의 "외부" Laurent 시리즈는 분수의 소수 형식과 유사하다. ("내부" 테일러 시리즈 확장은 분할 알고리즘에서 용어 순서를 반대로 한 것 만으로도 유사하게 얻을 수 있다.)

사례 $r$ = $0$ ; 즉, 단일 지점 c에서 정의되지 않을 수 있는 홀로모르픽 함수 f(z)가 특히 중요하다. 그러한 함수의 Laurent 확장 계수 a는₋₁ 특이점 c에서 f(z)의 잔류물이라 불리며, 잔류 정리에서 두드러진 역할을 한다. 예를 들어, 다음과 같은 사항을 고려하십시오.

f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.

이 함수는 $z$ = $0$ 을 제외한 모든 곳에서 홀모픽이다.

$c$ = $0$ 에 대한 Laurent 확장을 결정하기 위해 지수함수의 Taylor 시리즈에 대한 지식을 사용한다.

\displaystyle f(z)=\cdots +\left1 \over 3!}\오른쪽)z^{-3}+\왼쪽1 \over 2!}\오른쪽)z^{-2}+2z^{-1}+2+\왼쪽1 \over 2!}}\오른쪽)z+\왼쪽1 \over 3!}\오른쪽)z^{2}+\왼쪽1 \over 4!}\오른쪽)z^{3}+\cdots .}

우리는 잔여물이 2인 것을 발견한다.

$z=\infty$ 에 대해 확장하는 한 가지 예: $z=\infty$ {\ $displaystyle$ z $=\infit }:$

f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .

유니크함

환형물 r < z - c < R의 함수 f(z) 홀모픽에 Laurent 시리즈가 두 개 있다고 가정하자.

f(z)=\sum _{n=-\infit }^{{n_{n}^{n}=\sum _{n=-\infit }b_{n}(z-c)^{n}}}}}

양쪽을 ( $(z-c)^{-k-1}$ - c $(z-c)^{-k-1}$ ) $(z-c)^{-k-1}$ - $(z-c)^{-k-1}$ - 1 ${\$ 로 곱하고 여기서 k는 임의의 정수인 경우, 환골조 내부의 경로 γ에 적분한다.

\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.

시리즈는 $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ + $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ - $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ - ≤ R - $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ ${\displaystyle$ r $+\varepsilon \leq z-c \leq R-\varepsilon }$ 에 균일하게 수렴되며 $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$ 여기서 ε은 수축된 닫힌 고리 안에 γ이 들어 있을 정도로 작은 양수이므로 통합과 합을 상호 교환할 수 있다. 정체성 대체

\point _{\pi }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\pi _{pi}}

합계 산출로.

a_{k}=b_{k}.

그래서 로랑 시리즈는 독특하다.

로랑 다항식

Laurent 다항식(Laurent polyomial)은 계수가 0이 아닌 계수가 미세하게 많은 Laurent 시리즈다. 로랑 다항식은 음의 정도를 가진다는 점에서 일반 다항식과는 다르다.

주성분

Laurent 시리즈의 주요 부분은 부정적인 정도를 가진 일련의 용어들이다.

\sum _{k=-\infit }^{-1a_{k}(z-c)^{k}}

f의 주요 부분이 유한한 합이라면 f는 최고 항의 정도와 같은 (음) 순서의 c에 극이 있고, 반대로 f가 c에 본질적인 특이점을 가지고 있다면, 그 주요 부분은 무한의 합(무한히 많은 0이 아닌 항을 가지고 있다는 의미)이다.

f에 대한 Laurent 시리즈의 내부 수렴 반경이 0이면 f는 c에서 주요 부분이 무한 합인 경우에만 본질적인 특이성을 가지며, 그렇지 않으면 폴을 가진다.

수렴의 내부 반경이 양수인 경우, f는 무한히 많은 음수 항을 가질 수 있지만 위의 예와 같이 c에서 여전히 규칙적일 수 있으며, 이 경우 c에 관한 디스크에서 다른 Laurent 시리즈로 표현된다.

부정적인 용어만 미세하게 많은 Laurent 시리즈는 품행이 단정하다. 즉, $z^{k}$ 은 z k ${\$ z $^{k$ 로 나눈 파워 시리즈로서 유사하게 분석할 수 있다. 반면, 무한히 많은 부정적인 용어를 가진 Laurent 시리즈는 융합이라는 내부 영역에서 복잡한 행동을 보인다.

곱셈과 합계

Laurent 시리즈는 일반적으로 곱할 수 없다. 대수적으로, 제품의 조건에 대한 표현은 수렴할 필요가 없는 무한의 합을 포함할 수 있다(정수 시퀀스의 콘볼루션을 취할 수 없다). 기하학적으로, 두 Laurent 시리즈는 겹치지 않는 수렴 무효를 가질 수 있다.

미세하게 많은 부정적인 용어만을 가진 두 개의 Laurent 시리즈를 곱할 수 있다: 대수학적으로, 합계는 모두 유한하다; 기하학적으로, 이것들은 c에 극을 가지고 있고, 수렴의 내반경은 0이므로 둘 다 겹치는 환류로 수렴한다.

따라서 공식적인 Laurent 시리즈를 정의할 때, 하나는 부정적인 용어가 아주 많은 Laurent 시리즈를 필요로 한다.

마찬가지로, 두 개의 수렴 Laurent 시리즈의 합은 항상 공식적으로 정의되지만 수렴할 필요는 없지만, Laurent 시리즈(또는 구멍이 난 디스크의 모든 Laurent 시리즈) 아래의 경계 두 개의 합은 비어 있지 않은 수렴 공조를 가진다.

또한 위에서 정의한 합계 및 곱셈에 $F$ 의한 $필드$ F $F$ 의 경우, 형식 Laurent 시리즈는 형식 전력 시리즈의 $F[[x]]$ $F[[x]]$ F $F[[x]]$ $F[[x]]$ $[$ x $F[[x]]$ {\ $displaystyle$ F $[x]]$ 의 분수 필드인 필드 $F((x))$ $F((x))$ ( $F((x))$ ( $F((x))$ $F((x))$ {\ $displaystystyle F(x)}$ 을 형성한다.

참고 항목

푸이섹스 시리즈
미타그-레플러의 정리
형식 Laurent 시리즈 – Laurent 시리즈는 정합성을 고려하지 않고 임의의 정류 링에서 얻은 계수와 미세하게 많은 부정적인 용어만을 사용하여 곱셈이 항상 정의되도록 공식적으로 고려되었다.
Z-변환 – Laurent 시리즈가 약 0을 취하는 특별한 경우는 시계열 분석에 많이 사용된다.
푸리에 시리즈 – 대체 $z=e^{\pi iw}$ = $z=e^{\pi iw}$ $z=e^{\pi iw}$ $z=e^{\pi iw}$ ${\$ 는 Laurent 시리즈를 푸리에 시리즈로 변환하거나 $z=e^{\pi iw}$ 반대로 변환한다. 이것은 j-invariant의 q 시리즈 확장에 사용된다.
Padé 근사치 – Taylor 시리즈를 사용할 수 없을 때 사용되는 또 다른 기술.

참조

^ Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers, Graduate Texts in Mathematics, vol. 245, Springer, p. 12, ISBN 9781441973238.

외부 링크

[1] Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers, Graduate Texts in Mathematics, vol. 245, Springer, p. 12, ISBN 9781441973238.

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