그르제고르차이크 계층 구조

폴란드 논리학자 안드르제즈그르제고르지크의 이름을 딴 그르제고르차지크 위계(/ɡrˈɡrtrtrtrtkkkkkk/////]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], 폴란드 발음: []]]]))는 연산성 이론(Wagner and Wagner and Weck)에서 사용되는 함수의 서열차)이다. 그르제고르츠지크 계층 구조에서 모든 기능은 원시 재귀 함수로서, 모든 원시 재귀 함수는 어느 정도 계층 구조에서 나타난다. 계층 구조는 함수의 가치가 증가하는 속도를 다루며, 직관적으로 하위 계층의 기능은 상위 계층의 기능보다 느리게 성장한다.

정의

먼저 우리는 몇 가지 자연수 i에 대해_i E를 나타내는 무한 함수 집합을 소개한다. $E_{0}(x,y)=x+y$ $E_{0}(x,y)=x+y$ , $E_{0}(x,y)=x+y$ ) $E_{0}(x,y)=x+y$ = $E_{0}(x,y)=x+y$ + y = $E_{0}(x,y)=x+y$ + y $E_{0}(x,y)=x+y$ 및 $E_{0}(x,y)=x+y$ $E_{1}(x)=x^{2}+2$ 1 $E_{1}(x)=x^{2}+2$ ) = x $E_{1}(x)=x^{2}+2$ + $E_{1}(x)=x^{2}+2$ ${\displaystyle E_{1}(x)=x^{2}+2$ 를 정의한다. 즉, E는₀₁ 그 인수를 제곱하고 2를 추가하는 단수 함수다. 그런 다음 각 n이 $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ 보다 큰 경우 E $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ ( x $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ ) $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ = E $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ - 1 $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ ( $E_{n}(x)=E_{n-1}^{x}(2)$ ) ${\displaystyle E_{n}(x)=$ 를 정의한다. $E_{n-1}$ ${n-1}^{x}(2),$ 즉 2에서 평가한 $E_{n-1}$ $E_{n-1}$ n $E_{n-1}$ - $E_{n-1}$ ${\$ 의 x번째 반복.

이 기능들로부터 우리는 그르제고르차이크 계층 구조를 정의한다. ${\mathcal {E}}^{n}$ ${\mathcal {E}}^{n}$ ${\$ 계층에서 n번째 집합인 ${\mathcal {E}}^{n}$ 다음 함수를 포함한다.

E_k for k < n
영점 함수(Z(x) = 0);
후속 함수(S(x) = x + 1);
투영 함수( $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ m $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ ( t $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ , $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ , $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ … , $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ ) $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ = $p_{i}^{m}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{m})=t_{i}$ i ${\$ }, $t_{2},\reason,t_{m}=t_{i}});$
기능의 세트에서 그(일반화)구성(만약 h, 1, g2,...그리고 gm En에 있{{\mathcal{E}}^{n}}, f(u\displaystyle)))h(g1(ux), g2(u¯),…, gm(u¯)){\displaystyle f({\bar{너}})=h(g_{1}({\bar{너}}),g_{2}({\bar{너}}),\dots ,g_ᆲ({\bar{너}}))}. 는 (^{[note 1]}또한); 및
the results of limited (primitive) recursion applied to functions in the set, (if g, h and j are in ${\mathcal {E}}^{n}$ and $f(t,{\bar {u}})\leq j(t,{\bar {u}})$ for all t and ${\bar {u}}$ , and further $f(0,{\bar {u}})=g({\bar {u}})$ $f(0,{\bar {u}})=g({\bar {u}})$ and $f(t+1,{\bar {u}})=h(t,{\bar {u}},f(t,{\bar {u}}))$ , then f is in ${\mathcal {E}}^{n}$ as well)^{[note 1]}

In other words, ${\mathcal {E}}^{n}$ is the closure of set $B_{n}=\{Z,S,(p_{i}^{m})_{i\leq m},E_{k}:k<n\}$ with respect to function composition and limited recursion (as defined above).

특성.

이들 집합은 계층 구조를 명확하게 형성한다.

{\mathcal {E}^{0}\subseteq {\mathcal {E}^{1}\subseteq {E}^{2}\subseteq \cdots }

$B_{n}$ $B_{n}$ {\ $displaystyle B_{n}$ s $B_{0}\subseteq B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots$ B $B_{0}\subseteq B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots$ B 1 $B_{0}\subseteq B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots$ B 2 $B_{0}\subseteq B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots$ { { { ${$ {\ $displaystyle B_{0}\subseteq B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdcdots$

그들은 엄격한 하위 집합이다(로즈 1984; 각와야 1997). 바꾸어 말하면, 환언하면

{\mathecal {E}^{0}\subsetneq {\mathecal {E}^{1}\subsetneq {E}^{2}\subsetneq \cdots }

하이퍼 연산 $H_{n}$ ${\$ 은(는 $)$ En {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {E}^{n}}$ 에 ${\mathcal {E}}^{n}$ 있지만 $H_{n}$ ${\mathcal {E}}^{n-1}$ - ${\mathcal {E}}^{n-1}$ ${\displaystyle$ {\ $mathcal {E}^{n-1}$ 에는 없기 때문이다 ${\mathcal {E}}^{n-1}$

${\mathcal {E}}^{0}$ ${\mathcal {E}}^{0}$ ${\$ 은(는) x+1, x+2, ... 등의 함수를 포함한다 ${\mathcal {E}}^{0}$ .
${\mathcal {E}}^{1}$ ${\mathcal {E}}^{1}$ ${\$ 는 x+y, 4x, ...와 같은 모든 추가 기능을 제공한다 ${\mathcal {E}}^{1}$ .
${\mathcal {E}}^{2}$ ${\mathcal {E}}^{2}$ ${\$ xy, xy⁴ 등 모든 곱셈 함수를 제공한다 ${\mathcal {E}}^{2}$ .
${\mathcal {E}}^{3}$ ${\mathcal {E}}^{3}$ ${\$ 는^y x, 2와^{2^{2^x}} 같은 모든 지수함수를 제공하며 ${\mathcal {E}}^{3}$ 정확히 기본적인 재귀함수다.
${\mathcal {E}}^{4}$ ${\mathcal {E}}^{4}$ ${\$ 는 ${\mathcal {E}}^{4}$ 모든 테트레이션 기능 등을 제공한다.

특히 크리네 정상 형태 정리에 따른 $T$ 술어 $U$ $U$ $T$ 과 $U$ T{\ $displaystyle T}$ 의 특성 함수는 모두 그르제고르시크 계층 구조의 레벨 ${\mathcal {E}}^{0}$ ${\mathcal {E}}^{0}$ 0 ${\\$ 에 위치하는 방식으로 정의할 수 있다. 이는 특히 모든 반복적으로 열거할 수 있는 집합이 일부 ${\mathcal {E}}^{0}$ ${\mathcal {E}}^{0}$ ${\$ - 함수로 ${\mathcal {E}}^{0}$ 열거됨을 의미한다.

원시 재귀함수와의 관계

The definition of ${\mathcal {E}}^{n}$ is the same as that of the primitive recursive functions, PR, except that recursion is limited ( $f(t,{\bar {u}})\leq j(t,{\bar {u}})$ for some j in ${\mathcal {E}}^{n}$ ) and the functions $(E_{k})_{k<n}$ ) $(E_{k})_{k<n}$ < $(E_{k})_{k<n}$ ${\$ 은(는) ${\mathcal {E}}^{n}$ ${\$ 에 명시적으로 포함되어 있다 $(E_{k})_{k<n}$ ${\mathcal {E}}^{n}$ 따라서 그르제고르차이크 계층 구조는 원시적 재귀의 힘을 다른 수준으로 제한하는 방법으로 볼 수 있다.

이 사실로부터 어떤 수준의 Grzegorczyk 계층 구조에서 모든 기능이 원시 재귀 함수(즉, ${\mathcal {E}}^{n}\subseteq {\mathsf {PR}}$ n ${\mathcal {E}}^{n}\subseteq {\mathsf {PR}}$ ${\mathcal {E}}^{n}\subseteq {\mathsf {PR}}$ ${\$ 이며, 따라서 다음과 같은 것이 분명하다.

\bigcup _{n}{{\mathcal{E}^{n}}\subseteq {\mathsf {PR}}}

또한 모든 원시적 재귀 함수는 어느 정도 위계(Rose 1984; Gakwaya 1997)에 있음을 보여줄 수 있다.

\bigcup _{n}{{\mathcal{E}^{n}={\mathsf{PR}}

and the sets ${\mathcal {E}}^{0},{\mathcal {E}}^{1}-{\mathcal {E}}^{0},{\mathcal {E}}^{2}-{\mathcal {E}}^{1},\dots ,{\mathcal {E}}^{n}-{\mathcal {E}}^{n-1},\dots$ partition the set of primitive recursive functions, PR.

확장

Grzegorczyk 계층 구조는 transfinite 서수까지 확장될 수 있다. 이러한 확장은 빠르게 성장하는 계층 구조를 정의한다. 이를 위해서는 한계 $E_{\alpha }$ 서수( $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ $E_{\alpha }$ ${\$ 에 대해 $E_{\alpha }$ E $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ + $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ ( $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ n $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ ) = $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ ( 2 $){\displaystyle E_{\alpha +1(n)=$ 에 의해 후속 서수들에 대해 이미 재귀적으로 정의되어야 한다. $E_{\alpha }^{n}(2)$ ). $E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)$ 기본 시퀀스 $\lambda _{m}$ ${\$ 을 정의하는 표준 방법이 있는 경우 $\lambda _{m}$ 서수 제한은 $\lambda$ {\ $displaystyle \lambda$ $\lambda$ 생성 함수는 E $λ$ ( $E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)$ n $E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)$ ) $E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)$ = $E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)$ $E_{\lambda }(n)=E_{\lambda _{n}}(n)$ ( $){\lambda }=$ 로 정의할 수 있다. $E_{\lambda _{n}(n$ 그러나 이 정의는 기본 순서를 정의하는 표준 방법에 따라 달라진다. 로즈(1984)는 모든 서수 α < ε에₀ 대한 표준 방법을 제안한다.

원래 연장은 마틴 뢰브와 스탠 S 덕분이었다. 웨인어(1970년)는 뢰브-와인어 서열로 불리기도 한다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b 여기 ${\$ 는 f에 대한 입력의 튜플을 나타낸다 ${\bar {u}}$ . The notation $f({\bar {u}})$ means that f takes some arbitrary number of arguments and if ${\bar {u}}=(x,y,z)$ , then $f({\bar {u}})=f(x,y,z)$ . In the notation ${\displaystyle f(t,{\b$ $ar {u}}},$ 첫 번째 인수 t는 명시적으로 지정되며 나머지는 임의의 튜플 $''{\$ 로 지정된다 ${\bar {u}}$ Thus, if ${\bar {u}}=(x,y,z)$ , then $f(t,{\bar {u}})=f(t,x,y,z)$ . This notation allows composition and limited recursion to be defined for functions, f, of any number of arguments.

참조

브레인어드, W.S., 랜드위버, L.H. (1974년), 계산 이론, 와일리, ISBN 0-471-09585-0
Cichon, E. A.; Wainer, S. S. (1983), "The slow-growing and the Grzegorczyk hierarchies", Journal of Symbolic Logic, 48 (2): 399–408, doi:10.2307/2273557, ISSN 0022-4812, MR 0704094
Gakwaya, J.-S. (1997), BSS 모델을 통한 Grzegorczyk 계층구조와 그 확장에 관한 조사
Grzegorczyk, A (1953). "Some classes of recursive functions" (PDF). Rozprawy matematyczne. 4: 1–45.
Löb, M.H.; Wainer, S.S. (1970). "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction". Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung. 14: 198–199. doi:10.1007/bf01991855.
로즈, H.E., 부구: 기능 및 계층, 옥스퍼드 대학 출판부, 1984. ISBN 0-19-853189-3
바그너, K.와 웩성, G. (1986) 계산 복잡성, 수학 및 응용 프로그램 대 21. ISBN 978-90-277-2146-4

[tuple_notation-1] 여기 ${\$ 는 f에 대한 입력의 튜플을 나타낸다 ${\bar {u}}$ . The notation $f({\bar {u}})$ means that f takes some arbitrary number of arguments and if ${\bar {u}}=(x,y,z)$ , then $f({\bar {u}})=f(x,y,z)$ . In the notation ${\displaystyle f(t,{\b$ $ar {u}}},$ 첫 번째 인수 t는 명시적으로 지정되며 나머지는 임의의 튜플 $''{\$ 로 지정된다 ${\bar {u}}$ Thus, if ${\bar {u}}=(x,y,z)$ , then $f(t,{\bar {u}})=f(t,x,y,z)$ . This notation allows composition and limited recursion to be defined for functions, f, of any number of arguments.

[note 1]

v t 중요 복잡성 클래스(추가)
실현 가능한 것으로 간주됨	DLOGTIME AC⁰ ACC⁰ TC⁰ L SL RL NL NC SC CC P P-완전 ZPP RP BPP BQP APX
실행 불가능한 것으로 의심됨	UP NP NP-완전 NP-하드 공동 NP 공동 NP-완전 AM QMA PH ⊕P PP #P #P-완전 IP 프스페이스 PSpace-완전
실현 불가능한 것으로 간주됨	엑스트라타임 NEXPTIME 엑스포스페이스 2-EXPTIME 초등 PR R RE 모두
클래스 계층	다항식 계층 구조 지수 계층 구조 그르제고르차이크 계층 구조 산술 계층 구조 부울 계층 구조
계급가족	디타임 NTIME 디스페이스 NSpace 확률적으로 확인할 수 있는 증거 인터랙티브 프루프 시스템

v t 오버오퍼레이션
1차	후계자(0) 덧셈(1) 곱하기 (2) 지수 (3) 테트라제 (4) 펜션(5)
왼쪽 인수의 역행	감산(1) 분할(2) 루트 추출(3) 슈퍼루트(4)
올바른 인수의 역행	감산(1) 분할(2) 로그(3) 슈퍼로그(4)
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