승수순서

숫자 이론에서, 양의 정수 n과 n에 대한 정수를 주어진다면, modulo n의 곱셈 순서는 $\text{k}\mathrm{}$ $\equiv {}^{}$ 1$$($\mathrm{모드}$ $){\$^{k$}\\equiv \1${\$pmod{$n}}}}}}과 같은 가장 작은 양의 정수 k이다$.$^[1]

즉, modulo n의 곱셈 순서는 정수 modulo n의 링에 있는 단위의 곱셈 그룹에서 a의 순서다.

modulo n의 순서는 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(a)}$ 로 기록되기도 한다$.$^[2]

예

4 modulo 7의 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{배열}{llll}4^{0}&, =1&, =0\times 7+1&, \equiv 1{\pmod{7}}\\4^{1}&, =4&, =0\times 7+4&, \equiv 4{\pmod{7}}\\4^{2}&, =16&, =2\times 7+2&, \equiv 2{\pmod{7}}\\4^{3}&, =64&, =9\times 7+1&, \equiv 1{\pmod{7}}\\4^{4}&, =256&, =36\times 7+4&, \equiv 4{\pmod{7}}\\4^{5}&, =1024&, =146\times 7+2&.앰프, \equiv 2{\pmod{7}}\\\vdots \end{배열}}}$

4^k 1 1 (mod 7)과 같은 가장 작은 양의 정수 k는 3이므로, 4 (mod 7)의 순서는 3이다.

특성.

지식 없어도 우리가 정수의 승군에 과학자와 진행하고 있다는 것을 보여 줄 수 있는 실제 주문으로 메모하다는 국가 될 수 밖에 걸리는 유한한 번호의 다른 값의 나머지를, 그렇게에 따르면pigeonhole 원칙이 있어야 한다 두가지의 힘 말합니다, s, 그리고 t및 없이 손실의 대부분 s대리자,,. 를t a^s ≡ a^t (mod n).a와 n은 동일시되기 때문에, 이것은 a가 역원소 a를⁻¹ 가지고 있고 우리는 con 1 (mod n)을^s−t 산출하여 합치의 양쪽을 a와^−t 곱할 수 있다는 것을 암시한다.

승수순서의 개념은 그룹 원소 순서의 특수한 경우다.숫자 a modulo n의 곱셈 순서는 n에 대한 숫자 coprime의 잔여 modulo n이고 그룹 연산이 곱셈 modulo n인 곱셈 그룹에서 a의 순서다.이것은 링 Z의_n 단위 그룹이다. φ(n) 요소를 가지고 있고, eul은 오일러의 토텐 함수로서 U(n) 또는 U(Z_n)로 표시된다.

라그랑주의 정리 결과 a(mod n)의 순서는 항상 φ(n)을 나눈다.a의 순서가 실제로 φ(n)과 같고, 따라서 가능한 한 큰 경우, a를 원시 루트 모듈로 n이라고 한다.이는 그룹 U(n)가 주기적이며 a의 잔류 등급이 이를 발생시킨다는 것을 의미한다.

a(mod n)의 순서도 카마이클 함수의 값인 λ(n)을 나누는데, 이는 ((n)의 부차성보다 훨씬 강한 표현이다.

프로그래밍 언어

• Maxima CAS : zn_order (a, n)^[3]
• 로제타 코드 - 다양한 언어의^[4] 승수 순서 예제

참고 항목

• 이산 로그
• 모듈식 산술

참조

• Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Multiplicative Order". MathWorld.