1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
첫 15,000개의 부분합 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + ... 그래프는 오른쪽에 양의 정수가 있고 왼쪽에 음의 정수가 있습니다.

수학에서, 1 - 2 + 3 - 4 + · · ·는 교대 부호가 주어졌을 때, 항이 연속하는 양정수인 무한급수입니다. 시그마 합산 표기법을 사용하면 급수의 첫 번째 m개 항의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

무한급수는 발산하는데, 이는 부분합의 수열(1, -1, 2, -2, 3, ...)이 유한한 극한을 향하지 않는다는 것을 의미합니다. 그럼에도 불구하고 18세기 중반 레온하르트 오일러역설적인 방정식임을 인정하는 글을 썼습니다.

이 방정식에 대한 엄격한 설명은 훨씬 나중에야 도착할 것입니다. 1890년부터 에르네스토 체사로, 에밀 보렐 등은 오일러의 시도에 대한 새로운 해석을 포함하여 발산 급수에 일반화된 총합을 할당하기 위해 잘 정의된 방법을 조사했습니다. 이러한 합산 방법 중 많은 수는 1 - 2 + 3 - 4 + ... 의 "값"에 쉽게 할당됩니다. 1/4. 체사로 합1 - 2 + 3 - 4 + ...를 합하지 않는 몇 안 되는 방법 중 하나이므로 급수는 아벨 합과 같이 조금 더 강력한 방법이 필요한 예입니다.

시리즈 1 - 2 + 3 - 4 + ... 그란디의 시리즈 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 과 밀접한 관련이 있습니다. 오일러는 이 둘을 더 일반적인 수열 1 - 2 + 3 - 4 + ...의 특수한 경우로 취급했으며, 여기서 각각 n = 1 n = 0입니다. 이 연구 라인은 바젤 문제에 대한 그의 연구를 확장하고 현재 디리클레타 함수리만 제타 함수로 알려진 함수 방정식으로 이어졌습니다.

발산

급수의 항(1, -2, 3, -4, ...)0에 접근하지 않으므로 1 - 2 + 3 - 4 + ... 시험기간에 따라 발산합니다. 또한 무한급수는 부분합의 수열이 극한으로 수렴하는 경우에만 수렴하며, 이 경우 극한은 무한급수의 값입니다. 1 - 2 + 3 - 4 + ...의 부분합. 영역:[1]

1,

1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

부분합의 순서는 급수가 특정한 숫자로 수렴하지 않음을 보여줍니다. 제안된 극한 x에 대하여, 다음 부분합이 모두 구간 [x-1, x+1]을 벗어나는 점이 존재하므로 1 - 2 + 3 - 4 + ... 갈라지다

부분합은 모든 정수를 정확히 한 번 포함합니다. - 빈 부분합을 세더라도 0이더라도 - 따라서 정수 집합 가산성을 설정합니다.[2]

요약 정리를 위한 휴리스틱스

안정성과 선형성

1, -2, 3, -4, 5, -6, ...라는 항은 단순한 패턴을 따르므로 시리즈 1 - 2 + 3 - 4 + ... 수치 값을 산출하기 위해 시프트 및 항 단위 덧셈으로 조작할 수 있습니다. = 1 - 2 + 3 - 4 + ... 라고 쓰는 것이 타당하다면. 일부 일반수의 경우, s = 1 ⁄4에 대해 다음과 같은 조작이 주장됩니다.

시프트와 기간별 덧셈만을 사용하여 1 - 2 + 3 - 4 + ... 4개의 복사본을 추가하면 1이 됩니다. 왼쪽과 오른쪽은 각각 1 - 2 + 3 - 4 + ...의 두 복사본을 보여줍니다. 1 - 1 + 1 + 1 + ...에 추가합니다.

= displaystyle s= {\frac {1}{4}}입니다.

비록 1 - 2 + 3 - 4 + ... 일반적인 의미의 합은 없습니다. 방정식 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...= 이러한 을 정의하려면 가장 자연스러운 답으로 1⁄4를 지원할 수 있습니다. 발산급수의 "합"에 대한 일반적인 정의를 합법 또는 합법이라고 합니다. 다양한 방법이 있으며 일반적인 합산의 속성을 공유하는 것이 바람직합니다. 위의 조작들이 실제로 증명하는 것은 다음과 같습니다. 선형이고 안정적이며 급수 1 - 2 + 3 - 4 + ...를 합하는 모든 합 가능성 방법이 주어지면, 1 ⁄4입니다. 게다가, 그 이후로

이러한 방법은 또한 그랜디의 급수를 1 - 1 + 1 - 1 + ...로 합해야 합니다. = 12.[4]

코시 제품

1891년, 에르네스토 체사로는 미분적분학이 엄격하게 도입될 것이라는 희망을 표현했고, "이미 한 사람은 (1 - 1 + 1 + 1 + ...) = 1 - 2 + 3 - 4 + ...를 씁니다. 그리고 양변은 모두 1 ⁄4와 같다고 주장합니다." 체사로에게 이 방정식은 그가 작년에 발표한 정리의 적용이었는데, 이것은 합산 가능한 발산 급수 역사상 최초의 정리입니다. 그의 요약 방법에 대한 자세한 내용은 아래와 같습니다; 중심적인 생각은 1 - 2 + 3 - 4 + ...입니다. 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + ... 의 코시 곱(디시콘볼루션)입니다. 1 - 1 + 1 + 1 +...

두 무한급수의 코시 곱은 두 급수가 발산하는 경우에도 정의됩니다. a = b = (-1)인 경우, 코시 곱의 항은 유한 대각합으로 주어집니다.

제품 시리즈는 다음과 같습니다.

따라서 두 급수의 코시 곱(Cauchy product)을 존중하고 급수 1 - 1 + 1 - 1 + ...에 할당하는 합산 방법. sum 1/2 — 시리즈 1 - 2 + 3 - 4 + ...에도 할당됩니다. 합계 4분의 1 앞 절의 결과와 같이, 이것은 1 - 1 + 1 - 1 + ...의 합산 가능성 사이의 동등성을 의미합니다. 그리고 1 - 2 + 3 - 4 + ... 선형적이고 안정적이며 코시 제품을 존중하는 방법을 사용합니다.

체사로의 정리는 미묘한 예입니다. 시리즈 1 - 1 + 1 - 1 + ... Cesaro는 가장 약한 의미에서 (C, 1)-가환이라고 불리는 반면, 1 - 2 + 3 - 4 + ... (C, 2)-가산 가능하다는 [6]보다 강력한 형태의 체사로 정리가 필요합니다. 체사로 정리의 모든 형태는 선형적이고 안정적이기 [7]때문에 합의 값은 위에서 계산한 것과 같습니다.

구체적인 방법

체사로와 ö더

1 ⁄4의 (H, 2) 합에 대한 데이터

(C, 1) 1 - 2 + 3 - 4 + ... 의 세사로 합을 구하려면 급수의 부분합의 산술 평균을 계산해야 합니다. 부분합은 다음과 같습니다.

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

그리고 이 부분합의 산술적 평균은 다음과 같습니다.

1, 0, 23, 0, 35, 0, 47, ....

이 평균 시퀀스는 수렴하지 않으므로 1 - 2 + 3 - 4 + ... Cesarro summable이 아닙니다.

체사로 합에 대한 잘 알려진 두 가지 일반화가 있습니다: 이것들 중 개념적으로 더 간단한 것은 자연수 n에 대한 (H, n) 방법의 순서입니다. (H, 1) 합은 체사로 합이며, 상위 방법은 평균 계산을 반복합니다. 위에서 짝수 평균은 1 ⁄2로 수렴하는 반면 홀수 평균은 모두 0과 같으므로 평균의 평균은 0과 1 ⁄2, 즉 1 ⁄4로 수렴합니다. 따라서 1 - 2 + 3 - 4 + ...는 (H, 2) 1 ⁄4로 합산 가능합니다.

"H"는 1882년에 수학자들이 생각하는 아벨의 합과 (H, n)의 합 사이의 관계를 처음으로 증명한 오토 ö더를 의미합니다. 1 - 2 + 3 - 4 + ... 첫번째 사례였습니다.[9] 1 ⁄4가 (H, 2) 합인 1 - 2 + 3 - 4 + ... 아벨 합도 보증합니다. 이것은 바로 아래에서 증명될 것입니다.

체사로 합산의 또 다른 일반화는 (C, n) 방법의 순서입니다. (C, n) 합산과 (H, n) 합산은 항상 동일한 결과를 제공하지만 역사적 배경이 다르다는 것이 증명되었습니다. 1887년, 체사로는 (C, n) 합의 정의를 언급하는 데 근접했지만, 그는 단지 몇 가지 예만 제시했습니다. 특히 1 - 2 + 3 - 4 + ..., 14를 (C, n)으로 개괄할 수 있지만 당시에는 그렇게 정당화되지 않은 방법으로 합산했습니다. 그는 1890년 (C, n)-가산 급수와 (C, m)-가산 급수의 코시 곱이 (C, m + n + 1)-가산수라는 정리를 진술하기 위해 (C, n) 방법을 공식적으로 정의했습니다.[10]

아벨합

1 - 2x + 3x2 + ...; 1/(1 + x);2 및 1에서의 제한의 일부 부분

레온하르트 오일러는 1749년 보고서에서 급수가 발산한다는 사실을 인정하면서도 어쨌든 이를 합산할 준비를 하고 있습니다.

... 이 급수 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 등의 합이 1 ⁄4라고 할 때, 그것은 역설적으로 보일 수밖에 없습니다. 이 급수의 100개 항을 더하면 -50을 얻을 수 있지만 101개 항의 합은 +51을 제공하므로 1개 ⁄4와 상당히 다르며 항 수를 늘리면 더 커집니다. 그러나 나는 이미 이전에, 이라는 단어에 좀 더 확장된 의미를 부여할 필요가 있다는 것을 알아차렸습니다.[11]

오일러는 "합"이라는 단어의 일반화를 여러 차례 제안했습니다. 1 - 2 + 3 - 4 + ... 의 경우, 그의 아이디어는 현재 아벨 합으로 알려진 것과 비슷합니다.

... 급수 1 - 2 + 3 - 4 + 5 등의 1 ⁄4라는 것은 더 이상 의심할 여지가 없습니다. 그 값은 이론의 여지 없이 1 ⁄4인 공식 1 ⁄(1+1)의 확장으로부터 발생하기 때문입니다. 개념은 x=1을 설정한 후에 실제로 이 급수가 1 ⁄(1+x)를 확장하면서 발생하는 일반 급수 1 - 2x + 3x - 4x + 5x - 6x + &c를 고려하면 더욱 명확해집니다.

적어도 절댓값 x < 1의 경우, 오일러가 옳다는 것을 알 수 있는 많은 방법이 있습니다.

오른쪽 변의 테일러 전개를 취할 도 있고 다항식에 대한 공식적인 긴 나눗셈 과정을 적용할 수도 있습니다. 왼쪽부터 위의 일반 휴리스틱을 따라 (1 + x)를 두 번 곱하거나 기하급수 1 - x + x2 - ...제곱해 볼 수 있습니다. 오일러는 또한 후자의 급수 항을 항별로 구별할 것을 제안하는 것으로 보입니다.[13]

현대적 관점에서, 생성 함수 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + ... 는 x = 1에서 함수를 정의하지 않으므로 값을 단순히 결과식으로 대체할 수 없습니다. 함수는 모든 x < 1에 대해 정의되므로 x가 1에 접근할 때도 극한을 취할 수 있으며, 이것이 아벨 합의 정의입니다.

오일러와 보렐

오일러 1 ⁄2 - 1 ⁄4입니다. 양의 값은 흰색, 음의 값은 갈색, 이동 및 취소는 녹색으로 표시됩니다.

오일러는 시리즈에 또 다른 기술을 적용했습니다. 오일러 변환은 자신의 발명품 중 하나입니다. 오일러 변환을 계산하기 위해서는 교대급수를 구성하는 양의 항들의 수열(이 경우 1, 2, 3, 4, ...)로 시작합니다. 이 시퀀스의 첫 번째 요소는 a0 표시됩니다.

다음 순서는 1, 2, 3, 4, ...의 순방향 차이가 필요합니다.; 이것은 단지 1, 1, 1, 1, 1... 시퀀스의 첫 번째 요소는 δA로 표시됩니다. 오일러 변환은 또한 차이의 차이와 더 높은 반복에 따라 달라지지만 1, 1, 1, 1, ... 사이의 모든 전방 차이는 0입니다. 오일러 변환 1 - 2 + 3 - 4 + ... 다음은 다음과 같이 정의됩니다.

현대 용어로는 1 - 2 + 3 - 4 + …라고 말합니다. 오일러1 ⁄4로 합산 가능합니다.

오일러 합산성은 또한 일반적인 경우와 동일한 합산 값을 갖는 보렐 합산성을 의미합니다.[14]

눈금의 분리

사이체프와 보이치 ń스키는 1 - 2 + 3 - 4 + ...에 도착합니다.= 1 무한소 이완과 저울 분리라는 두 가지 물리적 원리만을 적용하여 1 ⁄4. 정확히 말하면, 이 원리들은 φ-합 방법들의 광범위한 계열을 정의하도록 이끌며, 이들은 모두 급수를 1 ⁄4로 합합니다.

  • φ(x)가 (0, ∞)에 걸쳐 연속적이고 적분 가능한 함수인 경우, φ(0) = 1이고 + ∞에서 φ(x)와 x φ(x)의 극한은 모두 0입니다.

결과는 φ(x) = exp (-x)를 허용하여 복구되는 아벨 합산을 일반화합니다. 일반적인 진술은 급수의 항들을 m 위에 쌍으로 만들어 표현을 리만 적분으로 변환함으로써 증명될 수 있습니다. 후자의 경우 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + ...대한 해당 증명. 평균값 정리를 적용하지만, 여기서는 테일러 정리의 더 강한 라그랑주 형태가 필요합니다.

일반화

E212 페이지 233에서 발췌 — 기관들은 calculi differentialis cumeius usu in analysis orum ac docratin serierum. 오일러는 비슷한 급수를 합합니다, 1755.

1 - 1 + 1 + 1 + 1 + ...의 3중 코시 제품. 는 1 - 3 + 6 - 10 + ..., 삼각형 수열의 교대급수이며, 아벨과 오일러의 1 ⁄8입니다. 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + ... 의 포배 코시 제품. 1 - 4 + 10 - 20 + ..., 4면체 수열의 교대열이며, 아벨의 1 ⁄16입니다.

1 - 2 + 3 - 4 + ...의 또 다른 일반화. 약간 다른 방향에는n 시리즈 1 - 2n + 3 - 4n + ...가 있습니다. n의 다른 값에 대하여. 양의 정수 n에 대하여, 이들 급수는 다음과 같은 아벨 합을 갖습니다.[17]

여기n B는 베르누이 번호입니다. 이것은 짝수의 경우 다음과 같이 감소합니다.
이는 리만 제타 함수의 음의 짝수 값이 0임을 나타내는 것으로 해석될 수 있습니다. 이 합은 1826년 닐스 헨리크 아벨에 의해 특별히 조롱의 대상이 되었습니다.

다양한 시리즈가 전체 악마의 작업 중이고, 그들에 대한 증거를 발견하는 것은 부끄러운 일입니다. 그것들을 사용하면 자신이 원하는 것을 얻을 수 있습니다. 그리고 그것들은 많은 불행과 많은 역설을 만들어낸 것입니다. 그렇게 말하는 것보다 더 끔찍한 것을 생각할 수 있습니까?

0 = 1 - 2 + 3 - 4 + 등

여기서 n은 양수입니다. 웃을 일이 있어, 친구들.[18]

체사로의 스승 외젠 샤를 카탈란도 발산 시리즈를 폄하했습니다. 카탈루냐의 영향으로 체사로는 처음에 1 - 2n + 3n - 4n + ...에 대한 "관습 공식"을 "황당한 동등성"이라고 불렀고, 1883년 체사로는 공식이 거짓이지만 여전히 공식적으로 유용하다는 당시의 전형적인 견해를 밝혔습니다. 마침내, 1890년 그의 술라 곱셈 급수에서 체사로는 정의에서 출발하는 현대적인 접근법을 취했습니다.[19]

급수는 n의 비-정수 값에 대해서도 연구되며, 이 값들은 디리클레타 함수를 구성합니다. 오일러가 1 - 2 + 3 - 4 + ...와 관련된 급수를 공부하는 동기의 일부. 는 리만 제타 함수의 함수식으로 직접 연결되는 에타 함수의 함수식이었습니다. 오일러는 이미 양의 짝수 정수(바젤 문제를 포함하여)에서 이 함수들의 값을 찾는 것으로 유명해졌고, 그는 양의 홀수 정수(아페리 상수를 포함하여)에서도 값을 찾으려고 시도하고 있었는데, 이것은 오늘날 여전히 이해하기 어려운 문제입니다. 특히 에타 함수는 어디에서나 디리클레 급수가 아벨 합산 가능하기 때문에 오일러의 방법으로 더 쉽게 다룰 수 있고, 제타 함수의 디리클레 급수는 어디에서 발산하는지 합산하기가 훨씬 더 어렵습니다.[20] 예를 들어, 1 - 2 + 3 - 4 + ...의 대응물. 제타 함수에는 현대 물리학에 깊은 응용이 있지만 훨씬 더 강력한 방법이 필요한 비 교번 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ...가 있습니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ a b 하디 1949, 8쪽.
  2. ^ 빌스 2004, 23쪽.
  3. ^ Hardy 1949, p. 6은 Grandi의 시리즈 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + …의 평가와 함께 이 유도를 제시합니다.
  4. ^ a b 하디 1949, 6쪽.
  5. ^ 페라로 1999, 130쪽.
  6. ^ 하디 1949, 페이지 3; Weidlich 1950, 페이지 52–55.
  7. ^ 2018년 알라불모.
  8. ^ 하디 1949, 9쪽 계산에 대한 자세한 내용은 Weidlich 1950, pp. 17-18을 참조하십시오.
  9. ^ 페라로 1999, 118쪽; 투치아론 1973, 10쪽. 페라로는 ö더 자신이 일반적인 결과를 어떻게 생각했는지에 대한 투치아로네의 설명(p. 7)을 비판하지만, ö더의 치료에 대한 두 저자의 설명은 1 - 2 + 3 - 4 + ... 비슷합니다.
  10. ^ 페라로 1999, 페이지 123–128.
  11. ^ Euler, Willis & Osler 2006, 2쪽. 비록 이 논문은 1749년에 쓰여졌지만, 1768년이 되어서야 출판되었습니다.
  12. ^ 오일러, 윌리스 & 오슬러 2006, 페이지 3, 25.
  13. ^ 예를 들어, Lavine 1994, p. 23은 긴 나눗셈을 옹호하지만 실행하지는 않습니다; Vretblad 2003, p. 231은 Cauchy 곱을 계산합니다. 오일러의 조언은 모호합니다. 오일러, 윌리스 & 오슬러 2006, 페이지 3, 26을 참조하십시오. 존 바에즈는 다중 점선 집합양자 고조파 발진기를 포함하는 범주 이론적 방법을 제안하기도 합니다. 바에즈, 존 C. 오일러의 증명 1 + 2 + 3 + ...= -1/12 (PDF). 2017-10-13은 Wayback Machine math.ucr.edu (2003년 12월 19일)에 보관되었습니다. 2007년 3월 11일에 검색되었습니다.
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  18. ^ 그라탄-기네스 1970, 80쪽. 원래 프랑스어와 다른 번역은 Markusevič 1967, p. 48을 참조하십시오. 톤은 그대로입니다.
  19. ^ 페라로 1999, 페이지 120–128.
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