라요의 수

라요의 번호는 멕시코 철학 교수인 아구스틴 라요의 이름을 딴 큰 번호로, 가장 큰 번호라고 주장되어 왔습니다.^[1][2] 원래는 2007년 1월 26일 MIT에서 열린 "빅 넘버 결투"에서 정의되었습니다.^[3][4]

정의.

Rayo의 숫자에 대한 정의는 정의에 대한 변형입니다.^[5]

1차 집합 이론의 언어로 표현된 어떤 유한한 수보다 큰 가장 작은 수는 구골 기호 이하입니다.

구체적으로, 나중에 명확해진 정의의 초기 버전은 "구골(10¹⁰⁰) 기호 미만의 1차 집합 이론 언어로 표현된 표현으로 이름을 붙일 수 있는 어떤 숫자보다 작은 숫자"라고 읽습니다.^[4]

수에 대한 공식적인 정의는 다음과 같은 2차 공식을 사용하며, 여기서 [[φ]]는 괴델 부호화 공식이고 s는 변수 할당입니다.

모든 R {에 대하여
{어떤 (부호화된) 공식 [ψ]과 어떤 변수 할당에 대해서도 t
(R([ψ],t) ↔
(([ψ] = "x_i ∈ x_j" ∧ t(x_i) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = "x_i = x_j" ∧ t(x_i) = t(x_j)) ∨
([ψ] = "(~θ)" ∧ ~R([θ],t) )
([ψ] = "(θ∧ξ)" ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = "∃ x (θ)" 및 일부 x variant t'의 경우, R([θ],t')
)} →
R([φ],s)}

이 공식이 주어지면, 라요의 수는 다음과 같이 정의됩니다.^[5]

다음과 같은 성질을 가진 모든 유한한 수 m보다 작은 수: 1차 집합론 언어(Sat의 정의에 제시된 바와 같이)에서 공식 φ(x)가 있으며, x는 다음과 같은 유일한 자유 변수로 구골 기호보다 작습니다. (a) sat([φ(x)]s)와 같이 m을 x에 할당하는 변수 할당이 있습니다. 그리고 (b) 임의의 변수 할당 t에 대해 Sat([φ(x)],t)이면 t는 x에 m을 할당합니다.

설명.

직관적으로 라요의 수는 다음과 같은 공식 언어로 정의됩니다.

• "x ∈x"와 "x=x"는 원자 공식입니다.
• θ가 공식이라면 "(~θ)"는 공식(θ의 부정)입니다.
• θ와 ξ가 공식이라면, "(θ∧ξ)"는 공식(θ과 ξ의 결합)입니다.
• θ가 공식인 경우 "∃x(θ)"는 공식(존재 정량화)입니다.

괄호를 제거하는 것은 허용되지 않습니다. 예를 들어, "∃x(~θ)" 대신 "∃x(~θ)"라고 써야 합니다.

이 언어로 누락된 논리적 연결을 표현할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

• 해체: "(θ∨ξ)"는 "(~(~θ) ∧(~ξ)"로 표시됩니다.
• 의미: "(θ⇒ξ)"는 "(~(θ∧(~ξ))"로 표시됩니다.
• 조건: "(θ⇔ξ)"는 "(~(θ∧ξ) ∧(~(~θ) ∧(~ξ))"입니다.
• 범용 정량화: "∀x(θ)"는 "(~ ∃x((~ θ))"로 표시됩니다.

이 정의는 이 언어의 공식들에 관한 것으로 오직 하나의 자유 변수, 구체적으로는₁ x만을 포함합니다. 만약₁ f x가 유한 폰 노이만 서수 k와 같다면, 길이가 n인 공식은 k에 대한 "레이오 문자열"이고, k는 n개의 기호로 "레이오 이름 붙임"이라고 말합니다. 그런 다음, Rayo(n)은 최대 n개의 기호에서 Rayo 이름을 지정할 수 있는 모든 숫자보다 가장 작은 k로 정의됩니다.

예

빈 집합인 Rayo-name 0에는 기호가 10개인 "(¬∃x(x ∈x))"를 쓸 수 있습니다. 이것이 0에 대한 최적의 Rayo 문자열임을 알 수 있습니다.^{[citation needed]} 마찬가지로, (∃x(x ∈x) ∧(¬∃x(x ∧∃x)))는 기호가 30개인 1에 대한 최적의 문자열입니다. 따라서 0≤n<10인 경우 Rayo(n)=0, 10≤n<30인 경우 Rayo(n)=1입니다.

또한, Rayo(34+20n)>n 및 Rayo(260+20n)>ⁿ2인 것을 확인할 수 있습니다.^{[citation needed]}

참고문헌