추측

Conjecture
텍스트 재구성은 추측(텍스트 비평)을 참조하십시오.
리만 제타 함수의 실제 부분(빨간색)과 허수 부분(파란색)은 임계선 Re(s) = 1/2를 따른다.첫 번째 비점수 0은 Im(s) = ±14.135, ±21.022 및 ±25.011에서 볼 수 있다.유명한 추측인 리만 가설은 제타 함수의 모든 사소한 0이 임계선을 따라 놓여있다고 말한다.

수학에서 추측은 증명 [1][2][3]없이 잠정적으로 제공되는 결론이나 명제이다.리만 가설이나 페르마의 마지막 정리(1995년 앤드류 와일즈에 의해 증명될 때까지의 추측)와 같은 몇몇 추측들은 그것들을 [4]증명하기 위해 새로운 수학 영역이 개발되면서 수학 역사의 많은 부분을 형성해 왔다.

중요한 예

페르마의 마지막 정리

주요 기사:페르마의 마지막 정리

수 이론에서 페르마의 마지막 정리(특히 오래된 텍스트에서는 페르마의 추측이라고도 함)는 정수 에 n + b n a {\ b {\ c의 세 양의 는 모두 a + =c n {의 을 만족시킬 수 없다고 기술하고 있다.e/ n이 2보다 큽니다.

이 정리는 1637년 피에르 드 페르마에 의해 산술메티카 사본의 여백에서 처음 추측되었는데,[5] 그는 여백에 넣기에는 너무 큰 증거를 가지고 있다고 주장했다.첫 번째 성공적인 증거는 앤드류 와일스에 의해 1994년에 발표되었고 수학자들의 358년간의 노력 끝에 1995년에 정식으로 출판되었다.해결되지 않은 문제는 19세기에 대수적 수 이론의 발전을 촉진했고, 20세기에 모듈화 정리의 증명을 자극했다.이것은 수학 역사상 가장 주목할 만한 이론 중 하나이며, 그 증명 이전에 "가장 어려운 수학 문제"[6]로 기네스북에 올랐다.

사색 정리

주요 기사:사색 정리
미국(호수 무시) 주의 지도의 4색.

수학에서, 4색 정리 또는 4색 지도 정리는 지도라고 불리는 그림을 만들어 내는 평면을 연속된 영역으로 분리할 때, 지도의 영역에 색을 입히는 데 4개 이상의 색이 필요하지 않다는 것을 명시한다.두 영역이 모서리가 아닌 공통 경계를 공유하는 경우 인접 영역이라고 부릅니다. 여기서 모서리는 세 [7]개 이상의 영역이 공유하는 지점입니다.예를 들어, 미국 지도에서는 유타와 애리조나가 인접해 있지만, 애리조나주와 콜로라도주에 속하는 지점만 공유하는 유타와 뉴멕시코주는 인접해 있지 않습니다.

뫼비우스는 1840년 [8]초에 그의 강의에서 그 문제를 언급했다.이 추측은 1852년 10월[9] 23일 프란시스 거스리가 영국의 카운티 지도에 색을 입히려고 노력하던 중 4가지 색깔만 있으면 된다는 것을 알아차렸을 때 처음 제안되었다.기초적인 증거가 짧은 오색정리는 지도를 색칠하기에 5가지 색상으로 충분하고 [10]19세기 말에 증명되었다; 그러나 4가지 색상으로 충분하다는 것을 증명하는 것은 상당히 어려운 것으로 판명되었다.1852년 4색 정리의 첫 번째 진술 이후 많은 거짓 증명과 거짓 반례가 나타났다.

4색 정리는 결국 케네스 아펠과 볼프강 하켄에 의해 1976년에 증명되었다.그것은 컴퓨터를 사용하여 증명된 최초의 주요 정리였다.아펠과 하켄의 접근법은 각각 4색 정리에 대한 가장 작은 반례의 일부가 될 수 없는 1,936개의 특정 집합이 있다는 것을 보여주는 것으로 시작했다.아펠과 하켄은 특수 목적의 컴퓨터 프로그램을 사용하여 이 지도들 각각이 이 속성을 가지고 있는지 확인했다.또한 잠재적으로 반례가 될 수 있는 모든 맵에는 1,936개의 맵 중 하나와 같은 부분이 있어야 합니다.Appel과 Haken은 수백 페이지의 수작업 분석과 함께 이것을 보여주며, 가장 작은 반례가 존재하지 않는다고 결론지었다. 왜냐하면 이 1,936개의 지도 중 하나를 포함해야 하지만 포함하지 않아야 하기 때문이다.이 모순은 반례가 전혀 없다는 것을 의미하며 따라서 정리가 참이다.처음에 그들의 증명은 수학자들에 의해 받아들여지지 않았다. 왜냐하면 컴퓨터 보조 증명은 사람이 [11]손으로 확인하는 것이 불가능했기 때문이다.하지만, 그 이후, 의구심은 [12]여전하지만, 그 증거는 더 폭넓게 받아들여지고 있다.

하우프트베르무퉁

주요 기사:하우프트베르무퉁

기하학적 토폴로지의 합트베르무퉁(독일어로 주요 추측)은 삼각적 공간의 어떤 두 삼각측량도 공통의 정교함을 가지고 있다는 추측이다. 즉, 두 삼각측량은 두 삼각측량 모두를 세분화한 것이다.그것은 1908년에 스타이니츠와 티제에 [13]의해 처음 공식화 되었다.

이 추측은 이제 틀렸다고 알려져 있다.비매니폴드 버전은 1961년 존 밀너에[14] 의해 레이더미스터 비틀림을 사용하여 반증되었다.

매니폴드 버전은 치수 m 3 3에서 참이다.사례 m = 2와 3은 티보르 라도와 에드윈 E에 의해 입증되었다. 각각[15] 1920년대와 1950년대의 모아즈.

베일 추측

주요 기사:베일 추측

수학에서, 베일 추측은 유한장에 걸친 대수적 다양성의 점 수를 세는 것으로부터 도출된 생성 함수(국소 제타 함수라고 알려진)에 대한 앙드레 베일의 매우 영향력 있는 제안이었다.

q개의 요소를 가진 유한 필드 상의 다양성 V는 유한한 수의 유리점뿐만 아니라 해당 필드를 포함하는 q개의 요소를 가진k 모든 유한 필드 상의 점들을 가진다.생성 함수에는 q개의 요소가 있는k (본질적으로 고유한) 필드의 점 수 N개에서k 파생된 계수가 있습니다.

Weil은 그러한 제타 함수가 합리적인 함수여야 하고, 함수 방정식의 형태를 만족해야 하며, 제한된 장소에 0을 가져야 한다고 추측했다.마지막 두 부분은 상당히 의식적으로 리만 제타 함수와 리만 가설을 모델로 삼았다.합리성은 Dwork(1960) 에 의해 입증되었다: 없음: 그로텐디크(1965오류에 의한 함수 없음: ) 및 리만 가설의 유사성은 Deleign 오류(: 에 의해 입증되었다.

푸앵카레 추측

주요 기사: Poincaré 추측

수학에서, 푸앵카레 추측은 4차원 공간에서 단위 공을 제한하는 초공간인 3구체의 특성화에 관한 정리이다.추측은 다음과 같다.

간단히 연결된 폐쇄형 3-매니폴드는 모두 3-스피어와 동형입니다.

추측의 등가 형태는 호모토피 등가라고 불리는 동형사상보다 거친 등가 형태를 포함한다: 만약 3-매니폴드가 3-구와 동형사상이라면, 그것은 필연적으로 그것과 동형사상일 것이다.

1904년 앙리 푸앵카레가 처음 추측한 이 정리는 국소적으로 일반적인 3차원 공간처럼 보이지만 연결되어 있고 크기가 유한하며 경계가 없는 공간에 관한 것이다.푸앵카레 추측은 만약 그러한 공간이 공간의 각 루프를 한 점까지 연속적으로 조일 수 있는 추가적인 특성을 가지고 있다면, 그것은 반드시 3차원 구라고 주장한다.비슷한 결과가 한동안 더 높은 차원으로 알려져 왔다.

수학자들의 거의 한 세기 동안의 노력 끝에 그리고리 페렐만은 arXiv에서 2002년과 2003년에 이용 가능한 세 편의 논문을 통해 추측의 증거를 제시했다.리처드 S.의 프로그램에서 그 증거가 이어졌다. 문제를 해결하기 위해 리치 플로우를 사용하는 해밀턴.해밀턴은 나중에 Ricci flow라고 불리는 표준 Ricci flow의 수정을 도입했는데, 이는 단일 영역이 발달할 때 제어된 방식으로 체계적으로 절제되는 수술이었습니다. 그러나 이 방법을 [16]3차원으로 "융합"하는 것을 증명하지는 못했습니다.페렐만은 증거의 이 부분을 완성했다.몇몇 수학자들은 Perelman의 증거가 정확하다는 것을 증명했다.

Poincaré 추측은 증명되기 전에 위상학에서 가장 중요한 미해결 질문 중 하나였다.

리만 가설

주요 기사:리만 가설

수학에서, 베른하르트 리만(1859)이 제안한 리만 가설은 리만 제타 함수의 사소하지 않은 0이 모두 실수 부분 1/2을 가지고 있다는 추측이다.이 이름은 유한 필드 상의 곡선에 대한 리만 가설과 같이 밀접하게 관련된 일부 유사체에도 사용됩니다.

리만 가설은 소수 분포에 대한 결과를 암시한다.적절한 일반화와 함께, 일부 수학자들은 그것을 순수 [17]수학에서 가장 중요한 풀리지 않은 문제로 여긴다.골드바흐 추측과 함께, 리만 가설은 데이비드 힐버트의 23개의 미해결 문제 목록에서 힐버트의 여덟 번째 문제 중 일부이며, 클레이 수학 연구소 밀레니엄 상 문제 중 하나이기도 하다.

P 대 NP 문제

주요 기사: P와 NP의 문제

P 대 NP 문제는 컴퓨터 과학의 주요 미해결 문제이다.비공식적으로, 그것은 컴퓨터에 의해 빠르게 검증될 수 있는 모든 문제를 컴퓨터로 빠르게 해결할 수 있는지 묻는다; 대답은 아니라고 널리 추측된다.그것은 기본적으로 Kurt Gödel이 John von Neumann에게 쓴 1956년 편지에서 처음 언급되었다.괴델은 어떤 NP-완전 문제가 2차 시간 또는 선형 [18]시간 내에 해결될 수 있는지 물었다.P=NP 문제에 대한 정확한 설명은 1971년 스티븐 쿡이 그의 논문 "정리 증명 [19]절차의 복잡성"에서 소개한 것으로 많은 사람들에 의해 [20]이 분야에서 가장 중요한 미해결 문제로 여겨지고 있다.클레이 수학 연구소가 선정한 밀레니엄 상 문제 7개 중 하나로, 첫 정답으로 100만 달러의 상금이 수여됩니다.

기타 추측

  • 골드바흐의 추측
  • 쌍둥이 소수 추측
  • 콜라츠 추측
  • 마닌의 추측
  • 몰다세나 추측
  • 18세기에 오일러에 의해 제안되었지만 다수의 지수(n=4로 시작)에 대한 반례가 20세기 중반부터 발견되었다.
  • 하디-리틀우드 추측은 소수의 분포에 관한 한 쌍의 추측이며, 그 중 첫 번째 추측은 앞서 언급한 쌍둥이 소수 추측에 의해 확장된다.어느 쪽도 입증되거나 반증되지 않았지만, 둘 다 동시에 참일 수 없다는 것이 입증되었다(즉, 적어도 하나는 거짓이어야 한다).어떤 것이 거짓인지는 증명되지 않았지만, 첫 번째 추측은 사실이고 두 번째 추측은 [21]거짓이라는 것이 정설이다.
  • Langlands[22] 프로그램은 수학의 다른 하위 분야를 연결하는 이러한 '통합 추측' 아이디어의 광범위한 거미줄입니다(예: 숫자 이론과 거짓말 그룹의 표현 이론).이 추측들 중 일부는 그 이후로 증명되었다.

추측의 해결

증명

공식 수학은 입증 가능한 진실에 기초하고 있다.수학에서, 하나의 반례가 추측을 즉시 무너뜨릴 수 있기 때문에, 아무리 큰 것이라도 보편적으로 수량화된 추측을 뒷받침하는 어떠한 수의 사례도 추측의 진실성을 입증하기에 불충분하다.수학 저널은 때때로 연구팀이 이전에 했던 것보다 더 많은 반례를 찾아낸 사소한 결과를 발표한다.예를 들어, 특정 정수 시퀀스가 종료되는지 여부에 관한 콜라츠 추측은 최대 1.2 × 1012(1조 개 이상)의 모든 정수에 대해 테스트되었다.그러나 광범위한 검색 후에 반례를 찾지 못했다고 해서 추측이 사실이라는 증거가 되는 것은 아니다. 왜냐하면 추측은 거짓일 수 있지만 최소 반례가 매우 크기 때문이다.

그럼에도 불구하고, 수학자들은 추측이 아직 입증되지 않았음에도 불구하고 증거에 의해 강하게 뒷받침된다고 종종 생각한다.그러한 증거는 결과의 검증이나 알려진 [23]결과와의 강력한 상호 연관성 등 다양한 종류가 있을 수 있다.

추측은 논리적으로 그것이 거짓이라는 것이 증명된 경우에만 증명된 것으로 간주됩니다.다양한 방법이 있습니다.자세한 내용은 수학적 증명 방법을 참조하십시오.

반례를 초래할 수 있는 제한된 수의 사례만 있는 경우에 적용할 수 있는 한 가지 입증 방법은 "중요한 힘"으로 알려져 있다. 이 접근법에서는 가능한 모든 사례가 고려되고 반례를 제시하지 않는 것으로 나타난다.경우에 따라서는 케이스 수가 상당히 많은 경우가 있습니다.이 경우 모든 케이스를 체크하기 위한 컴퓨터 알고리즘을 실제로 사용해야 할 수도 있습니다.예를 들어, 1976년과 1997년에 컴퓨터에 의한 4색 정리의 브루트포스 증명의 타당성은 처음에는 의심스러웠지만, 결국 2005년에 정리 증명 소프트웨어에 의해 확인되었다.

추측이 증명되면, 그것은 더 이상 추측이 아니라 정리이다.많은 중요한 정리들은 한때 기하학 정리, 페르마의 마지막 정리 등과 같은 추측들이었다.

반증

반례를 통해 반증된 추측은 때때로 잘못된 추측으로 언급된다(폴랴 추측과 오일러의 힘의 합).후자의 경우, n=4 케이스에 대해 발견된 첫 번째 반례는 최소 반례가 실제로 더 작다는 것이 나중에 밝혀졌다.

독자적인 추측

모든 추측이 진실 또는 거짓으로 판명되는 것은 아니다.특정 무한 집합의 상대적인 카디널리티를 확인하려는 연속체 가설은 결국 집합 이론의 일반적으로 받아들여지는 체르멜로-프랭켈 공리 집합으로부터 독립되어 있는 것으로 나타났다.따라서 이 진술 또는 그 부정을 일관된 방식으로 새로운 공리로 채택하는 것이 가능하다(기하학에 대한 자명한 체계에서 유클리드의 평행 공식이 참 또는 거짓으로 받아들여질 수 있음).

이 경우에, 만약 증거가 이 진술을 사용한다면, 연구자들은 종종 가설을 필요로 하지 않는 새로운 증거를 찾을 것입니다. (유클리드 기하학의 진술이 중립 기하학의 공리만을 사용하여 증명되는 것이 바람직하다는 것과 같은 방식으로, 즉 평행한 공식 없이).대부분의 연구자들이 이 공리를 특별히 연구하지 않는 한 결과가 그것을 필요로 하는지 여부를 걱정하지 않기 때문에, 실제로 이에 대한 하나의 주요한 예외는 선택 공리이다.

조건부 증명

때때로 추측은 다른 결과의 증명에서 가정으로 자주 그리고 반복적으로 사용될 때 가설이라고 불립니다.예를 들어, 리만 가설은 특히 소수 분포에 대한 예측을 하는 수 이론의 추측이다.리만 가설이 사실이라는 것을 의심하는 소수 이론가들은 거의 없다.사실, 그것의 궁극적인 증거를 기대하면서, 몇몇은 심지어 이 추측의 진실에 달려있는 추가적인 증거를 개발하기도 했다.이것들은 조건부 증명이라고 불린다: 가정된 추측들은 당분간 그 정리의 가설에 나타난다.

그러나 이러한 "증거"는 가설이 거짓임이 밝혀지면 무너질 것이기 때문에 이러한 유형의 추측의 진실 또는 거짓을 검증하는 데 상당한 관심이 있다.

기타 과학 분야

칼 포퍼는 과학 철학에서 "결사"[24]라는 용어의 사용을 개척했다.추측은 과학에서 시험 가능한 추측을 가리키는 가설과 관련이 있다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

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