피타고라스 튜닝

피타고라스 튜닝은 모든 구간의 주파수 비율이 3:2를 기준으로 하는 음악적 튜닝 시스템이다.^[2] "순수" 퍼펙트 5위라고도 알려진 이 비율은 가장 자음성이 높고 귀로 조율하기 쉬운 것 중 하나이며 정수 3에 기인하는 중요성 때문에 선택된다. 노발리스의 표현대로 "음악적 비율이 특히나 정확한 자연 비율인 것 같다."^[3] 또는 발전기가 3:2(즉, 개폐되지 않은 완전 5위)인 싱토닉 기질을^[1] 조정하여 702센트의 폭이라고 설명할 수 있다.

이 체계는 현대의 음악 이론 저자들에 의해 주로 피타고라스(BC 6세기)에 귀속된 반면, 프톨레마이오스(Ptolemy)와 후기 보에티우스는 라틴어로 "세미토늄", "토누스", "토누스" (256:243 × 9:8 × 9:8)라고 불리는 테트라코르트의 두 구간만을 에라스테네스에 귀속시켰다. 이른바 피타고라스 튜닝은 16세기 초까지 음악가들에 의해 사용되었다. "피타고라스 체계는 5초의 순도 때문에 이상적으로 보일 수 있지만, 어떤 사람들은 다른 간격, 특히 주요 3번째 간격은 너무 심하게 음이 맞지 않아 주요 화음이 부조화로 간주될 수 있다고 생각한다."^[2]

피타고라스 눈금은 순수하게 완벽한 5초(3:2)와 옥타브(2:1)로만 구성할 수 있는 모든 눈금이다.^[4] 그리스 음악에서 그것은 테트라코드를 조율하는데 사용되었는데, 그것은 옥타브를 가로지르는 음계로 구성되었다.^[5] 확장된 피타고라스적 튜닝과 12단계의 피타고라스적 기질 사이에서 구별할 수 있다. 확장 피타고라스 튜닝은 서양 음악 표기법과 1대 1에 해당하며 5분의 1의 수에는 제한이 없다. 12음 피타고라스 기질에서 그러나 한 음은 옥타브 당 12 톤으로 제한되고 한 음은 극초음보법에 해당하는 피타고라스 계통에 따라 대부분의 음악을 연주할 수 없으며, 그 대신 한 예로 줄어든 여섯 번째 음이 "늑대 5"가 된다는 것을 알게 된다.

방법

12음 피타고라스 기질은 각각 3:2의 비율로 튜닝된 완벽한 5초라고 불리는 한 무더기의 간격을 바탕으로 하고 있는데, 이것은 2:1 이후 다음으로 간단한 비율이다. 예를 들어 D(D-based tuning)에서 시작하여 6개의 다른 노트는 3:2의 비율로 6배씩 이동하여 생성되며, 나머지 노트는 동일한 비율을 아래로 이동하여 생성된다.

E♭-B♭-F-C-G-D-A-E-B-CA-CA-CA-CA-CA-CA-GA-CAB-GA-GP

이러한 11개의 3:2 간격의 연속은 넓은 주파수 범위(피아노 키보드의 경우 77개의 키를 포함한다)에 걸쳐 있다. 2의 인수에 의해 주파수가 다른 음은 동일한 이름을 주므로, 이러한 음의 일부의 주파수를 2 또는 2의 힘으로 나누거나 곱하는 것이 관례다. 이 조정의 목적은 12개의 노트를 더 작은 주파수 범위, 즉 베이스 노트 D와 그 위의 D 사이의 간격(주파수가 두 배인 노트) 내에서 이동시키는 것이다. 이 간격은 일반적으로 기본 옥타브라고 불린다(피아노 키보드에서 옥타브는 12개의 키만 가지고 있다).

예를 들어, A는 주파수가 D 주파수의 3/2배와 같도록 튜닝된다. D가 288Hz 주파수로 튜닝되면 A는 432Hz로 튜닝된다. 마찬가지로, A 위의 E는 주파수가 A 주파수의 3/2배, 또는 D 주파수의 9/4배와 같도록 조정되며, A 주파수는 432Hz로, 이는 E를 648Hz로 한다. 이 E는 위에서 언급한 기본 옥타브(즉, 그 주파수가 베이스 노트 D의 2배 이상 주파수) 밖에 있으므로, 기본 옥타브 내에서 이동하기 위해 주파수를 절반으로 줄이는 것이 보통이다. 따라서 E는 D 위의 9/8 (= 하나의 epogdoon)인 324 Hz로 조정된다. 위의 3/2에서 B는 27:16 등의 비율로 조정된다. 다른 방식으로 작동하는 동일한 지점에서 시작하여 G는 D 아래의 3/2로 튜닝되며, 이는 D 주파수의 2/3에 해당하는 주파수가 할당됨을 의미하며, D는 288Hz로, G는 192Hz로 된다. 그런 다음 이 주파수를 기본 옥타브에 넣기 위해 두 배(384 Hz)로 한다.

그러나 이 튜닝을 연장할 때 3:2 간격의 스택(완벽한 5초)이 2:1 간격의 스택(옥타브)에 정확히 들어가지 않는다는 문제가 발생한다. 예를 들어 위에 표시된 스택에 노트를 하나 더 추가하여 얻은 스택

A♭-E♭-B♭-F-C-G-D-A-E-B-Cc-Gc

7옥타브 쌓기와 크기는 비슷하지만 동일하지는 않을 것이다. 더 정확히 말하면, 그것은 피타고라스 쉼표라고 불리는 반음절의 약 1/4이 더 클 것이다. 따라서 A oct과 G into은 기본 옥타브에 반입되었을 때 예상대로 일치되지 않을 것이다. 아래 표는 D(기본 노트), 주파수 비율, 크기(센트)를 계산하는 공식, 크기(표에서 12-TET-차이로 표시됨)의 차이(표에서 12-TET-차이로 표시됨)를 기본 옥타브의 각 노트에 대해 이것을 보여준다.

참고	D로부터의 간격	공식	=	=	빈도 비율	크기 (iii)	12-TET-차 (iii)
A♭	5분의 1로.	${\displaystyle \왼쪽 사진\frac {2}{3}\오른쪽)^{6}\message 2^{4}}$	${\displaystyle 3^{-6}\cHB 2^{10}}$	${\displaystyle {\frac{2^{10}{3^{6}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1024}{729}}$	588.27	−11.73
E♭	2위.	${\displaystyle \leftfr\frac {2}{3}\오른쪽)^{5}\message 2^{3}}$	${\displaystyle 3^{-5}\cHB 2^{8}}$	${\displaystyle {\frac {2^{8}{3^{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {256}{243}}$	90.22	−9.78
B♭	미성년자 6번째	${\displaystyle \leftfr\frac {2}{3}\오른쪽)^{4}\message 2^{3}}$	${\displaystyle 3^{-4}\cHB2^{7}}$	${\displaystyle {\frac {2^{7}{3^{4}}}}$	${\displaystyle {\frac}{81}}$	792.18	−7.82
F	미성년자 제3의	${\displaystyle \lefts\frac {2}{3}\오른쪽)^{3}\message 2^{2}}$	${\displaystyle 3^{-3}\cHB 2^{5}}$	${\displaystyle {\frac {2^{5}{3^{3}}}}}$	${\displaystyle {\frac {32}{27}}$	294.13	−5.87
C	미성년자 칠순	${\displaystyle \lefts\frac {2}{3}\오른쪽)^{2}\cHB2^{2}}$	${\displaystyle 3^{-2}\cHB2^{4}}$	${\displaystyle {\frac {2^{4}{3^{2}}$	${\displaystyle {\frac {16}{9}}$	996.09	−3.91
G	완전 4위	${\displaystyle {\frac {2}{3}\message 2}$	${\displaystyle 3^{-1}\cHB2^{2}}$	${\displaystyle {\frac{2^{2}}{3^{1}:{1}:{\displaystyle {\frac}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}$	498.04	−1.96
D	일치된	${\displaystyle {\frac{1}{1}}$	${\displaystyle 3^{0}\cHB2^{0}}$	${\displaystyle {\frac {3^{0}{2^{0}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1}{1}}$	0.00	0.00
A	완전 5위	${\displaystyle {\frac {3}{2}}:}$	${\displaystyle 3^{1}\cHB 2^{-1}$	${\displaystyle {\frac {3^{1}:{2^{1}:{1}:{1}:{\displaystyle {3^$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}:}$	701.96	1.96
E	주요 2위	${\displaystyle \lefts\frac {3}{2}}\오른쪽)^{2}\frac {1}{1}:{2}}:}$	${\displaystyle 3^{2}\cHB 2^{-3}}$	${\displaystyle {\frac{3^{2}}{2^{3}}}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{8}}$	203.91	3.91
B	여섯 번째 메이저	${\displaystyle \lefts\frac {3}{2}}\오른쪽)^{3}\properties {\frac {1}{2}}:}$	${\displaystyle 3^{3}\cHB 2^{-4}}$	${\displaystyle {\frac {3^{3}{2^{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {27}{16}}$	905.87	5.87
F♯	제3의 메이저	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\오른쪽)^{4}\frac \frac \1}{1}{2}}:$	${\displaystyle 3^{4}\cHB 2^{-6}}$	${\displaystyle {\frac {3^{4}{2^{6}}}}$	${\displaystyle {\frac {81}{64}}}$	407.82	7.82
C♯	제7의 장조	${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\오른쪽)^{5}\i1\lefts\frac {1}{1}{2}}:$	${\displaystyle 3^{5}\cHB 2^{-7}}$	${\displaystyle {\frac {3^{5}{2^{7}}}}$	${\displaystyle {\frac {243}{{display}}$	1109.78	9.78
G♯	증강 제4의	${\displaystyle \왼쪽 사진\frac {3}{2}}\오른쪽)^{6}\messages \left\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)^{3}}}$	${\displaystyle 3^{6}\cHB 2^{-9}$	${\displaystyle {\frac {3^{6}{2^{9}}}}$	${\displaystyle {\frac {729}{729}{118}}$	611.73	11.73

공식에서 비율 3:2 또는 2:3은 오름차순 또는 내림차순 5번째(즉, 빈도가 5번째 완전 증가 또는 감소하는 반면, 2:1 또는 1:2는 상승 또는 하강 옥타브를 나타낸다. 이 공식들은 또한 세 번째와 두 번째 고조파들의 힘 측면에서도 표현될 수 있다.

이 튜닝에서 얻은 C에 기초한 주요 척도는 다음과 같다.^[6]

참고	C		D		E		F		G		A		B		C
비율	1⁄1		9⁄8		81⁄64		4⁄3		3⁄2		27⁄16		243⁄128		2⁄1
스텝	—	9⁄8		9⁄8		256⁄243		9⁄8		9⁄8		9⁄8		256⁄243		—

동일한 기질에서, A♭과 G such과 같은 극초음 쌍은 정확히 같은 음으로 생각되지만, 위의 표에서 알 수 있듯이, 피타고라스의 튜닝에서는 D에 대한 비율이 다르며, 이는 그들이 다른 주파수에 있다는 것을 의미한다. 이 불일치는 약 23.46센트, 즉 세미톤의 4분의 1에 가까운 것으로 피타고라스 콤마로 알려져 있다.

이 문제를 해결하기 위해, 피타고라스 튜닝은 위와 같은 12개의 음을 구성하는데, 그 사이에 11개의 5분의 1이 있다. 예를 들어 E♭에서 G♯까지의 12음만 사용할 수 있다. 이것은 위에서 보여지듯이 전체 색도 눈금을 만드는데 단지 5분의 11만이 사용된다는 것을 암시한다. 나머지 간격(G♯에서 E♭까지의 6번째 감소)은 음이 크게 음이 맞지 않게 남겨져 있는데, 이는 이 두 음을 결합한 어떤 음악도 이 튜닝에서 재생할 수 없다는 것을 의미한다. 이것과 같은 매우 선율이 맞지 않는 간격은 늑대 간격이라고 알려져 있다. 피타고라스 튜닝의 경우 정확히 3:2의 비율로 볼 때 5분의 1은 701.96센트로, 너비 678.49센트에 불과한 늑대를 제외하면 거의 4분의 1의 반음반이다.

만약 G and과 E♭이 함께 울릴 필요가 있다면, 늑대의 5번째 위치가 바뀔 수 있다. 예를 들어, C 기반의 피타고라스 튜닝은 D from에서 F ♯까지 5분의 1의 스택을 생성하여 F ♭-D♭을 늑대 간격이 되게 한다. 그러나 피타고라스의 튜닝에는 항상 한 마리의 늑대가 있을 것이며, 따라서 모든 키를 조율하여 연주하는 것은 불가능할 것이다.

구간의 크기

위의 표는 D로부터의 간격만 보여준다. 단, 위에 열거한 12개의 노트 각각에서 시작하여 간격을 구성할 수 있다. 따라서 각 구간 유형별로 12개의 구간(단독 12개, 세미톤 12개, 세미톤 2개로 구성된 12개 구간, 세미톤으로 구성된 12개 구간 등)을 정의할 수 있다.

위에서 설명한 것처럼 12 5분의 1(늑대 5) 중 하나는 다른 11에 관해서 크기가 다르다. 비슷한 이유로, 유니언과 옥타브를 제외한 다른 간격 타입은 각각 피타고라스 튜닝에서 크기가 서로 다르다. 이것은 억양을 찾는데 지불된 가격이다. 오른쪽과 아래의 표는 빈도 비율과 대략적인 크기를 센트로 보여준다. 간격 이름은 표준 단축 형식으로 주어진다. 예를 들어, D에서 A까지의 간격의 크기는 완벽한 5번째(P5)인 D행의 7번째 열에서 찾을 수 있다. 엄밀히 말하면 단지 (또는 순수한) 간격은 굵은 글꼴로 표시된다. 늑대의 간격은 빨간색으로 강조되어 있다.^[7]

배율 전체에 걸쳐 간격 크기가 다른 이유는 배율을 형성하는 투구 간격이 일정하지 않기 때문이다. 즉, 12개의 주석에 대한 구성에 의해 정의된 빈도는 두 개의 다른 의미(즉, 인접한 주 사이의 간격)를 결정한다.

1. 2차(m2)는 크기가 작은 이음 반음이라고도 한다.
   ${\displaystyle S_{1}={256 \over 243}\ 약 90.225\[\hbox{cents}}}}$
   (예: D와 E♭ 사이)
2. 크롬 세미톤이라고도 하며 크기를 가진 증강합성(A1)
   ${\displaystyle S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\ 약 113.685\{\hbox{cents}}}}}}$
   (예: E♭과 E 사이)

반대로, 균등하게 강화한 색도 눈금에서는, 정의상 12개의 투구는 균등하게 간격을 두고, 모든 세미톤은 정확한 크기를 가지고 있다.

${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000\{\hbox{cents}}.}$

따라서 주어진 유형의 모든 구간은 크기가 동일하다(예: 모든 주요 3분의 1은 크기가 같고, 5분의 1은 모두 크기가 같다). 이 경우에 지불되는 가격은, 물론, 합성과 옥타브에 대한 것 외에는, 어느 것도 정당하게 튜닝되고 완벽하게 자음된 것은 없다는 것이다.

정의에 따르면, 피타고라스 튜닝에서 11개의 완벽한 5분의 1 (표 안의 P5)의 크기는 약 701.955 센트 (700+1 센트, 여기서 1.955 센트)이다. 12 5분의 1의 평균 크기는 정확히 700센트(동일한 기질에서와 같음)와 같아야 하기 때문에, 나머지 1분의 1은 700~11센트(약 678.495센트(늑대 5위)의 크기여야 한다. 표에 나타난 바와 같이 후자의 간격은 무기력적으로 5분의 1과 동일하지만 감소된 6번째(d6)라고 더 적절하게 불린다. 마찬가지로

• 3분의 9(m3)는 294.135센트(300-3인치)이고, 3초(A2)는 317.595센트(300+9인치)이며, 평균은 300센트다.
• 3분의 8(M3)은 407.820센트(400+4센트)이고 4분의 4(d4)는 384.360센트(400~8센트)이며 평균은 400센트다.
• 7 이온성 세미톤(1m2)은 90.225센트(100~5㎝), 5 색채 세미톤(A1)은 113.685센트(100+7㎝)이며 평균은 100센트다.

요컨대 단조로 말하면 독과 옥타브를 제외한 모든 간격형식에서 비슷한 폭의 차이가 관찰되며, 모두 피타고라스 5호와 평균 5위의 차이인 ε의 배수인 것이다.

분명한 결과로서, 각각의 증가 또는 감소된 간격은 정확히 12 ( (≈ 23.460) 센트가 그것의 극명한 등가물보다 좁거나 더 넓다는 것에 주목하라. 예를 들어, d6(또는 늑대 5위)는 각 P5보다 12파운드 더 좁고, 각 A2는 각 m3보다 12파운드 더 넓다. 12인치 크기의 이 간격은 피타고라스 쉼표로 알려져 있는데, 이는 감소된 초의 반대와 정확히 같다. 이것은 ε이 피타고라스 쉼표의 12분의 1로도 정의될 수 있음을 암시한다.

피타고라스 간격

위에서 언급한 네 개의 간격은 피타고라스 튜닝에서 특정 이름을 취한다. 다음 표에는 이러한 특정 이름이 제공되며, 다른 일부 간격에 일반적으로 사용되는 대체 이름이 함께 제공된다. 피타고라스의 쉼표는 그 크기(524288:531441)가 피타고라스의 역수(531441:524288)이기 때문에 감소된 두 번째(53141:524288)와 일치하지 않는다. 또한 디톤과 세미디톤은 피타고라스 튜닝에 특유한 반면 톤과 트리톤은 모든 튜닝 시스템에 일반적으로 사용된다. 그 이름에도 불구하고, 세미디톤(3세미톤, 약 300센트)은 디톤의 절반(4세미톤, 약 400센트)이라고 보기 힘들다. 접두사 sesqui-가 있는 모든 간격은 정당하게 조정되며, 표에 나타난 빈도비는 초입체수(또는 에피머러스 비율)이다. 옥타브도 마찬가지다.

수 반의	일반 이름				특정 이름
	품질 및 수		기타 명명 규칙		피타고라스 튜닝 (평균 비율 이름)	5음 튜닝	4분의 1 의미있는
	가득찬	짧다
0			쉼표를 찍다		피타고라스 쉼표(524288:531441)		diesis (1992:125)
0	제2위의	d2			(531441:524288)
1	2위.	m2	세미톤, 반음, 반걸음	디아토닉 세미톤, 소반복음	림마 (λείμμα) (256:243)
1	증강된 일치.	A1		색채 세미톤, 큰 반음절	apotome (αποτομή) (2187:2048)
2	주요 2위	M2	톤, 전체 톤, 전체 스텝		epogdoön (επόγδοον), sesquioctavum (9:8)
3	미성년자 제3의	m3			세미디톤(32:27)	육수(6:5)
4	제3의 메이저	M3			디톤 (Δίτονον) (81:64)	세시카툼(5:4)
5	완전 4위	P4	디아테사론(ΔδατεσσάρΩω)		상피(상피), sesquitertium(4:3)
6	5분의 1로.	d5
6	증강 제4의	A4			삼중수소(삼중수소)(729:3중)
7	완전 5위	P5	diapente (Διαπέντε)		헤미올리온(ημιόλιον), 세시퀀텀(3:2)
12	옥타브	P8	diapason (Διαπασών)		이중(2:1)

이력 및 사용법

12음 피타고라스 기질을 사용할 때의 늑대 간격 때문에, 이 튜닝은 널리 퍼졌다고 생각되지만 오늘날에는 거의 사용되지 않는다. 키를 자주 바꾸지 않거나 조화롭게 모험적이지 않은 음악에서, 가능한 5분의 1은 모두 그런 곡으로 들을 수 없기 때문에 늑대의 간격은 문제가 될 것 같지 않다. 연장된 피타고라스 튜닝에서 늑대 간격이 없고, 완벽한 5분의 1은 정확히 3:2이다.

12음 피타고라스 기질의 5분의 1은 대부분 3:2의 단순한 비율이기 때문에 매우 '매끈매끈하고' 자음도 잘 들린다. 반면 3분의 3은 상대적으로 복잡한 81:64(소령 3분의 경우), 32:27(소령 3분의 경우)의 비율로 기기에 따라 덜 부드럽게 들린다.^[8]

1510년경부터는 3분의 1이 일치로 취급되어 하나의 기질을 의미하며, 특히 쿼터콤마는 3분의 3을 5:4의 비교적 단순한 비율에 맞추는 것이 키보드 튜닝을 위한 가장 인기 있는 시스템이 되었다. 동시에 싱토닉-다이아톤 억양만 라모스가 먼저, 자를리노가 가수들의 정상적인 튜닝으로 포지셔닝했다.

그러나, 사람들은 그들 자신의 조화로운 도전들을 제시했다는 것을 의미했다. 그것의 늑대의 간격은 피타고라스 튜닝의 간격보다 훨씬 더 나쁘다는 것이 증명되었다(피타고라스 튜닝의 12개와는 반대로 옥타브에 19개의 키가 필요할 정도로 많이 필요했다). 결과적으로, 모든 음악에 적합하지 않다는 것을 의미했다. 18세기경부터 기구가 키를 바꾸고, 따라서 늑대의 간격을 피하고자 하는 욕구가 커지면서, 이는 좋은 기질을 널리 사용하게 되었고 결국 평등한 기질을 갖게 되었다.

피타고라스 기질은 여전히 현대 클래식 음악의 일부에서 가수들로부터, 그리고 바이올린 계열과 같이 고정된 튜닝이 없는 악기에서 들을 수 있다. 연주자가 음계를 기반으로 한 비동반 구절을 가지고 있는 경우, 그들은 음계가 가장 잘 조율되도록 피타고라스 억양을 사용한 다음, 다른 구절에 대한 다른 기질(현현악 또는 아르페이드 형상에 대한 억양, 피아노나 오케스트라와 함께 있을 때 동등한 기질)으로 되돌리는 경향이 있을 것이다. 이는 바흐 소나타 1번 무반주 바이올린의 첫 번째 바에서 볼 수 있는데, 오프닝 화음의 b-플랫은 억양만으로 자연스럽게 연주되고, 후속 b-플랫보다 아첨하는 소리가 나는데, 이 바흐 소나타 1번 바는 내림 음계로 나타나며 자연스럽게 피타고라스가 된다. 그러한 변화는 결코 명시적으로 언급되지 않고 관객들에게 거의 눈에 띄지 않으며 단지 '조음'으로 들릴 뿐이다.

음반 목록

• 브라고드는 피타고라스의 튜닝으로 크러스트와 6현 리어를 사용한 역사적으로 정통한 웨일스 음악을 연주하는 듀오다.
• 고딕 음성 – Christopher Page(리치 윌킨슨)가 연출한 Lion-Hearted King for the Lion-Hearted King(하이페리온, CDA66336, 1989년)의 음악
• Lou Harrison은 John Schneider와 John Bergamo가 지휘하는 Cal Arts Takiacle 앙상블에 의해 공연되었다(Eceter Records, KTC1071, 1990). 기타와 타악기를 위한 스위트 1위 및 "팔레스타인의 노래"의 베드 앤 변주곡

참고 항목

위키미디어 커먼스는 피타고라스의 조율과 간격과 관련된 미디어를 가지고 있다.

• 53 동일 기질, 피타고라스에 가까운 튜닝
• Enharmonic scale
• 평균 구간 목록
• 음악 간격 목록
• 피치 간격 목록
• 규칙성 기질
• 쉬에를루
• 음악적 기질
• 플라톤이 피타고라스의 튜닝을 논하는 티마이오스(대화)
• 풀톤 스케일

참조

인용구

참조

• 다니엘 리치 윌킨슨(1997), "좋은 놈, 나쁜 놈, 지루한 놈", 중세 & 르네상스 음악의 동반자. 옥스퍼드 대학 출판부 ISBN 0-19-816540-4.

외부 링크

• "이음 음계의 피타고라스적 튜닝"은 오디오 샘플을 가지고 있다.
• 마고 슐터의 "피타고라스 튜닝과 중세 다성음악"
• 스프레드시트에서 피타고라스 튜닝 만들기, 오디오 샘플이 있는 비디오.