자코비의 4제곱 정리

자코비의 4제곱 정리는 주어진 양의 정수 n을 4제곱의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수에 대한 공식을 준다.

역사

이 정리는 1834년 칼 구스타프 야콥 야코비에 의해 증명되었다.

두 가지 표현은 항이 서로 다른 순서로 되어 있거나 제곱되는 정수(정사각형만이 아닌)가 서로 다른 경우 다른 것으로 간주된다. 예를 들어, 이것들은 1을 나타내는 여덟 가지 다른 방법 중 세 가지 방법이다.

{\property}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{정렬}}

n을 4제곱의 합으로 나타내는 방법의 수는 n이 홀수일 경우 n의 8배, 짝수일 경우 n의 홀수분할의 24배이다(즉, divisor 함수 참조).

r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{case}}

동등하게, 그것은 4로 나누어지지 않는 그것의 모든 점의 합계의 8배이다.

r_{4}(n)=8\sum _{m\mid n,\,4\nmid m}m.

우리는 또한 이것을 다음과 같이 쓸지도 모른다.

r_{4}(n)=8\nma(n)-32\nma(n/4)\,

여기서 n은 4로 분할되지 않을 경우 두 번째 항을 0으로 간주한다. 특히 소수 p의 경우 명시적 공식 r₄(p) = 8(p + 1)이 있다.^[1]

r₄(n)의 일부 값은 n이 짝수일 때마다 r₄(n) = r(2n₄^m)으로 무한히 자주 발생한다. r₄(n)의 값은 임의로 클 수 있다. 실제로 r₄(n)은 8√log n보다 무한히 큰 경우가 많다.^[1]

그 정리는 자코비 트리플 제품으로 시작하는 초보적인 수단으로 증명할 수 있다.^[2]

그 증거는 격자 Z에⁴ 대한 테타 시리즈가 일정 수준의 모듈형 형태여서 아이젠슈타인 시리즈의 선형 결합과 같다는 것을 보여준다.

^ ^a ^b 윌리엄스 2011, 페이지 119.
^ Hirschhorn, Michael D. (2000). "Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory". The American Mathematical Monthly. 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615. doi:10.2307/2589321. JSTOR 2589321.

Hirschhorn, Michael D.; McGowan, James A. (2001). "Algebraic Consequences of Jacobi's Two— and Four—Square Theorems". In Garvan, F. G.; Ismail, M. E. H. (eds.). Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics. Developments in Mathematics. Vol. 4. Springer. pp. 107–132. CiteSeerX 10.1.1.26.9028. doi:10.1007/978-1-4613-0257-5_7. ISBN 978-1-4020-0101-7.
Hirschhorn, Michael D. (1987). "A simple proof of Jacobi's four-square theorem". Proceedings of the American Mathematical Society. 101 (3): 436. doi:10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9.
Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 76. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002.