이진 연산
Binary operation
수학에서, 이항 연산 또는 이항 연산은 두 요소(오퍼랜드라고 함)를 결합하여 다른 요소를 생성하기 위한 규칙입니다.더 공식적으로, 이진 연산은 arity 2의 연산이다.
보다 구체적으로 말하면, 세트의 바이너리 연산이란, 2개의 도메인과 코도메인이 같은 연산입니다.예를 들어 덧셈, 뺄셈 및 곱셈의 익숙한 산술 연산을 들 수 있습니다.다른 예들은 벡터 덧셈, 행렬 곱셈, 그룹에서의 활용과 같은 수학의 다른 영역에서 쉽게 발견된다.
여러 집합을 포함하는 arity 2의 연산을 바이너리 연산이라고도 합니다.예를 들어 벡터 공간의 스칼라 곱셈은 벡터를 생성하기 위해 스칼라와 벡터를 필요로 하고, 스칼라 곱셈은 스칼라를 생성하기 위해 2개의 벡터를 필요로 한다.이러한 이진 연산을 단순히 이진 함수라고 할 수 있습니다.
이진 연산은 대수학, 특히 반그룹, 모노이드, 그룹, 고리, 필드 및 벡터 공간에서 연구되는 대부분의 대수 구조들의 핵심이다.
용어.
보다 정확하게는 집합 S에 대한 이진 연산은 데카르트 곱 S × S의 원소를 [1][2][3]S에 매핑하는 것이다.
S의 한 쌍의 요소에 대해 연산을 수행한 결과는 다시 S의 요소이기 때문에 S에 대한 닫힌(또는 내부) 이진 연산(또는 때로는 [4]닫힌 속성을 갖는 것으로 표현됨)이라고 합니다.
f가 함수가 아닌 부분 함수인 경우 f를 부분 이진 연산이라고 합니다.예를 들어, 0으로 나눌 수 없기 때문에 실수 나눗셈은 부분적인 이진 연산입니다. a/0은 모든 실수 a에 대해 정의되지 않습니다.보편 대수와 모델 이론 모두에서, 이항 연산은 S × S의 모든 요소에 정의되어야 한다.
때때로, 특히 컴퓨터 과학에서, 이진 연산이라는 용어는 어떤 이진 함수에도 사용됩니다.
속성 및 예시
이진 연산의 일반적인 예로는 숫자와 행렬의 덧셈(+)과 곱셈(×) 및 단일 집합의 함수 구성이 있습니다.예를 들어.
- 실수 집합 R에서, f(a, b) = a + b는 2진수 연산이다. 왜냐하면 두 실수의 합은 실수이기 때문이다.
- 자연수 N 집합에서, f(a, b) = a + b는 두 자연수의 합이 자연수이기 때문에 이항 연산이다.이것은 세트가 다르기 때문에 이전과 다른 바이너리 연산입니다.
- 실수 엔트리가 있는 2 × 2 행렬 집합 M(2,R)에서 f(A, B) = A + B는 2 × 2 행렬이기 때문에 이항 연산이다.
- 실수 엔트리가 있는 2 × 2 행렬 집합 M(2,R)에서, f(A, B) = AB는 2 × 2 행렬이기 때문에 이항 연산이다.
- 주어진 집합 C에 대해, S를 모든 함수 h : C → C의 집합이라고 가정한다. S의1 두 함수와 h의2 구성인 모든 c δ C에 대해 f : S × S → s1 by f1(h2, h)(c) = h(c22)를1 정의한다.두 함수의 구성이 다시 집합 C의 함수(즉, S의 멤버)이기 때문에 f는 이진 연산입니다.
대수와 형식 논리 모두에 관심이 있는 많은 이항 연산은 가환 연산이며, S의 모든 요소 a와 b에 대해 f(a, b) = f(b, a) 또는 S의 모든 a, b, c에 대해 f(a, f(b, c) = f(a, b, c)를 만족한다.많은 것들이 또한 정체성 요소와 역요소들을 가지고 있다.
위의 첫 번째 세 가지 예는 가환적이며 위의 예제는 모두 연관성이 있습니다.
실수 집합 R에서, 즉 f(a, b) = a - b는 일반적으로 a - b µ b - a이기 때문에 가환하지 않는 이항 연산이다.또한 일반적으로 a - (b - c) ( (a - b) - c이므로 연관성이 없다. 예를 들어 1 - (2 - 3) = 2이지만 (1 - 2) - 3 = - 4이다.
자연수 N의 집합에서, 2진수 연산 지수 f(a, bb) = a는 aθa b(cf)이기b 때문에 교환적이지 않다.식y x = yx) 및 f(f(a, b), c) f f(a, f(b, c)이므로 연관성이 없다.예를 들어 a = 2, b = 3, c = 2일 때 f(23,2) = f(8,2) = 82 = 64이지만 f(2,32) = f(2,9) = 29 = 512이다.집합 N을 정수 Z 집합으로 변경함으로써, 이 이진 연산은 a = 0 및 b가 음의 정수일 때 정의되지 않으므로 부분 이진 연산이 됩니다.어느 세트에 대해서도, 이 연산은 f(a, 1) = a이기 때문에 올바른 동일성(즉 1)을 가지며, 일반적으로 f(1, b) b b이기 때문에 동일성(양면 동일성)이 아니다.
나눗셈(/)은 실수 또는 유리수 집합에 대한 부분 이진 연산이며 가환 또는 연관성이 없습니다.테트레이션(↑↑)은 자연수에 대한 이항 연산으로서 가환 또는 연관성이 없으며 동일성 요소가 없습니다.
표기법
바이너리 연산은 종종 f(a, b) 형식의 함수 표기보다는 a, a + b, a · b 또는 (기호가 없는 병치법에 의해) ab와 같은 infix 표기법을 사용하여 작성된다.검정력도 보통 연산자 없이 쓰이지만 두 번째 인수는 위첨자로 씁니다.
바이너리 연산은 접두사 또는 (더 자주) 포스트픽스 표기법을 사용하여 작성될 수 있으며, 두 표기법 모두 괄호가 없습니다.그것들은 각각 폴란드 표기법과 역폴란드 표기법이라고도 불린다.
쌍과 태플
바이너리 연산 ab는 순서쌍(a, b)에 따라 달라지며, 따라서 (ab)c(여기서 괄호는 우선 순서쌍(a, b)에 대해 동작한 후 순서쌍(ab, c)을 사용한 결과에 따라 동작하는 것을 의미한다)은 일반적으로 순서쌍(a, b, c)에 따라 달라진다.따라서, 일반적인 비관련적인 경우, 이진 연산은 이진 트리로 나타낼 수 있습니다.
단,
- 연산이 (ab)c = a(bc)인 경우, (ab)c의 값은 태플(a, b, c)에만 의존합니다.
- 연산이 교환 연산인 ab = ba이면 (ab)c의 값은 {a, b}, c}에만 의존합니다. 여기서 중괄호는 다중 집합을 나타냅니다.
- 연산이 연관성과 가환성을 모두 갖는 경우 (ab)c 값은 다중 집합 {a, b, c}에만 의존합니다.
- 연산이 연관, 교환 및 idempotent인 경우 aa = a이면 (ab)c의 값은 집합 {a, b, c}에만 의존합니다.
삼원 관계로서의 이진 연산
집합 S상의 2치 연산 f는 S의 3치 관계, 즉 S의 모든 a 및 b에 대해 S × S × S의 3배(a, b, f(a, b)의 집합으로 볼 수 있다.
외부 바이너리 연산
외부 이진 연산은 K × S에서 S까지의 이진 함수입니다.이것은 K가 S일 필요는 없다는 점에서 집합의 이진 연산과 다릅니다.K의 요소는 외부에서 온 것입니다.
외부 바이너리 연산의 예는 선형대수의 스칼라 곱셈이다.여기서 K는 필드이고 S는 필드 위의 벡터 공간입니다.
일부 외부 이진 연산은 S에 대한 K의 작용으로 볼 수도 있습니다.이를 위해서는 에 관련 곱셈이 존재해야 하며 a( ) ( ) ,\ a ( b ) ( ) , \ displaystyle \ K , s \ s \ K )의 호환성 규칙 (여기서 외부와 외부 둘 다 K 곱셈에서의 S \ s \ S \ in S로 표기됩니다
두 벡터의 점곱은 S × S를 K로 매핑한다. 여기서 K는 필드이고 S는 K 위의 벡터 공간이다.이진 연산으로 간주되는지 여부는 저자에 따라 다릅니다.
「 」를 참조해 주세요.
- 카테고리:이진 연산의 속성
- 반복 이진 연산
- 연산자(프로그래밍)
- 삼원 연산
- 진실표 #이진법 연산
- 단항 연산
- 2진 연산을 갖춘 마그마(대게브라) 세트.
메모들
레퍼런스
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
- Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
- Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon
