주기순서

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수학에서 주기적 순서(때로는 주기라고도^{[citation needed]} 함)는 같은 항이 반복적으로 반복되는 순서다.

a₁, a₂, a, a_p1, a₂, a, a_p1, a, a₂, a_p...^{[citation needed]}

반복된 용어의 숫자 p를 기간(기간)이라고 한다.^[1]

정의

A (순수적으로) 주기적 시퀀스(주기 p) 또는 p 주기적 시퀀스는 a₁, a₂, a₃, ...만족하는 시퀀스. 하나의 크기가 모두 적합하다.

a_n+p = a_n

^[2] n의 모든 값에 대해.^{[1][3][4][5][6]}만약 시퀀스가 자연수의 집합인 도메인을 가진 함수로 간주된다면, 주기적인 시퀀스는 단순히 주기 함수의 특별한 유형일 뿐이다.^{[citation needed]}주기적인 시퀀스가 p-주기인 가장 작은 p를 최소 주기 또는^[1][7] 정확한 주기라고 한다.^{[7][verification needed]}

예

모든 상수 기능은 1주기적이다.^[5]

$시퀀스{\displaystyle \mathrm{}1}$,${\displaystyle 2}$, 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$1, 2, 1,${\displaystyle 2}$… ${\displaystyle$1$,2,2,1,2\dots}$은(는) 최소 주기 2로 주기적이다$$.^[3]

소수점 1/7 확장 시 자릿수 순서는 주기 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

보다 일반적으로 합리적인 숫자의 십진 확장에서 자릿수 순서는 결국 주기적이다(아래 참조).^{[8][verification needed]}

-1의 권력 순서는 2주기 동안 주기적이다.

${\displaystyle -1,-1,-1,-1,\ldots }$

더 일반적으로, 통합의 뿌리가 되는 힘의 순서는 주기적이다.집단의 유한한 질서의 어떤 요소의 힘도 마찬가지다.^{[citation needed]}

함수 f : X → X의 주기적인 점은 궤도를 가진 점 x이다.

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(x),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }}$

주기적인 순서야여기서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$^{n}(x)}$은 x에 적용되는 f의 n-폴드 구성을 의미한다$$.^{[7][verification needed]} 주기적 포인트는 동적 시스템 이론에서 중요하다.유한 집합에서 그 자체에 이르는 모든 함수에는 주기적인 점이 있다; 주기 탐지는 그러한 점을 찾는 알고리즘적인 문제다.^{[citation needed]}

정체성

부분 합계

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$ Where k and m<p are natural numbers.^{[citation needed]}

부분 제품

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$ Where k and m<p are natural numbers.^{[citation needed]}

주기적 0, 1회 시퀀스

모든 주기적 시퀀스는 0과 1로 구성된 주기적 시퀀스의 요소별 추가, 뺄셈, 곱셈 및 분할에 의해 구성될 수 있다.주기적인 0과 하나의 시퀀스는 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sum \{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1){1}{1})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1){2}})/2=0,0,0,0,0,0,0,0...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1){3})/3=0,0,0,0,0,0,0,0,1...}$

$(\displaystyle...)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N})/N=0,0...,1{\text{순서(기간: })$^{[필요하다][필요하다]}

일반화

어떤 시퀀스는 처음부터 일부 한정된 수의 항을 떨어뜨려 주기적인 것으로 만들 수 있다면 결국 주기적인 것이다.예를 들어, 1/56의 소수 확장에서의 자릿수 순서는 결국 주기적이다.

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...^{[citation needed]}

어떤 r과 ${\displaystyle {\mathrm{충분히}}_{}}$ 큰 k에 $대해$ ${\displaystyle k_{}}$+ r${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 조건을 만족하면 시퀀스는 궁극적으로 주기적이다.^[1]

만약 그 조건이 주기적인 순서에 근접한다면, 그 순서는 점증적으로 주기적이다.즉, x₁, x₂, x₃, ...에 대해 주기적인₁ 시퀀스₂ a, a, a₃, ...가 존재한다면 점증적으로 주기적이다.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infit }x_{n}-a_{n}=0.}$^{[5][9][10][필요하다]}

예를 들어, 시퀀스

1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5, ...

그 항이 주기적인 수열 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....^{[citation needed]}에 근접하기 때문에 점증적으로 주기적이다.

참조