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이진 로그

Binary logarithm
양의 실수 x의 함수로써 로그2 x를 나타내는 그래프

수학에서 이항 로그(log2 n)는 n 값을 얻기 위해 숫자 2를 올려야 하는 검정력이다.즉, 실제 숫자 x에 대해서는

예를 들어, 1의 이항 로그는 0이고 2의 이항 로그는 1, 4의 이항 로그는 2, 32의 이항 로그는 5이다.

이항 로그는 기준 2에 대한 로그로, 두 함수의 힘의 역함수다.로그뿐만2 아니라, 이항 로그에 대한 대체 표기법은 lb(ISO 31-11 및 ISO 80000-2에서 선호하는 표기법)이다.

역사적으로, 바이너리 로그의 첫 적용은 음악 이론에 있었다. Leonhard Euler에 의해: 두 음악 톤의 주파수 비율의 바이너리 로그는 음이 다른 옥타브 수를 제공한다.이진 로그는 이진수 시스템에서 숫자의 표현 길이 또는 정보 이론에서 메시지를 인코딩하는 데 필요한 비트 수를 계산하는 데 사용될 수 있다.컴퓨터 공학에서, 그들은 바이너리 검색과 관련 알고리즘에 필요한 단계의 수를 계산한다.이항 로그가 자주 사용되는 다른 분야로는 조합학, 생물정보학, 스포츠 토너먼트 설계, 사진 촬영 등이 있다.

2진수 로그는 표준 C 수학적 함수와 기타 수학적 소프트웨어 패키지에 포함되어 있다.이진 로그의 정수 부분은 정수 값에 대한 첫 번째 설정 찾기 작업을 사용하거나 부동 소수점 값의 지수를 조회하여 찾을 수 있다.로그의 부분적인 부분은 효율적으로 계산할 수 있다.

역사

주요 기사:로그의 역사
1739년 레오나르드 오일러는 음악 이론에 이진 로그를 적용한 최초의 사람이었다.

두 사람의 힘은 예로부터 알려져 왔다. 예를 들어 유클리드 원소인 소품에서 나타난다.IX.32 (2의 힘의 인자화에 관한)와 IX.36 (유클리드-의 절반)오일러 정리, 심지어 완벽한 숫자의 구조에 관한 것).그리고 2의 힘의 이진 로그는 2의 순서에 따른 그것의 위치일 뿐이다.이 근거로, 마이클 스티펠은 1544년에 처음으로 알려진 이진 로그 표를 출판한 공로를 인정받았다.그의 책 Acalthica Integrra는 정수가 2의 상응하는 힘을 가지고 있다는 것을 보여주는 몇 개의 표를 포함하고 있다.이러한 표의 행을 반대로 하면 이진 로그의 표로 해석할 수 있다.[1][2]

Stephel보다 앞서 8세기 자인 수학자 Virasena는 이항 로그의 전구체로 인정받고 있다.비라세나의 아르다하케다 개념은 주어진 숫자를 2로 균등하게 나눌 수 있는 횟수로 정의되었다.이 정의는 2의 힘에 대한 이항 로그와 일치하는 함수를 발생시키지만,[3] 다른 정수에 대해서는 달라서 로그보다는 2-정수의 순서를 부여한다.[4]

1739년 레오나르드 오일러에 의해 어떤 숫자에도 적용되는 2진수 로그의 현대적 형태가 명시적으로 고려되었다.오일러는 정보 이론과 컴퓨터 과학에서 그들의 적용이 알려지기 훨씬 전에 음악 이론에 대한 이진 로그의 적용을 확립했다.오일러는 이 분야에 대한 연구의 일환으로 1에서 8까지의 정수에서 소수점 이하 7자리까지의 정수의 이진 로그 표를 발표했다.[5][6]

정의 및 속성

이항 로그 함수는 두 함수의 힘에 대한 역 함수로 정의할 수 있는데, 이는 양의 실수에 대해 엄격히 증가하는 함수로, 따라서 고유한 역 함수를 가진다.[7]또는 ln n/ln 2로 정의될 수 있다. 여기서 ln은 어떤 표준 방법으로 정의되는 자연 로그다.이 정의에서 복합 로그를 사용하면 이항 로그가 복잡한 숫자로 확장될 수 있다.[8]

다른 로그와 마찬가지로 이항 로그는 다음과 같은 방정식을 준수하며, 이항 로그와 곱셈 또는 지수를 결합하는 공식을 단순화하는 데 사용할 수 있다.[9]

자세한 내용은 로그 ID 목록을 참조하십시오.

표기법

수학에서 숫자 n의 2진수 로그는 종종 로그2 n으로 기록된다.[10]그러나 특히 적용 영역에서 이 기능에 대한 몇 가지 다른 공지가 사용되거나 제안되었다.

일부 저자들은 이항로그를 "The Chicago Manual of Style"[13]에 열거된 표기법인 [11][12]lg n으로 쓴다.도널드 크누스는 이 표기법을 에드워드 린골드의 제안으로 인정하지만,[14] 정보 이론과 컴퓨터 과학에서 모두 사용된 것은 린골드가 활동하기 이전으로 거슬러 올라간다.[15][16]이항 로그는 또한 로그의 기본 기준이 2라는 이전 문장으로 로그 n으로 작성되었다.[17][18][19]같은 기능(특히 독일 과학 문헌에서)에 자주 쓰이는 또 다른 표기법은 ld n으로,[20][21][22] 라틴 로가리츠무스 듀얼리스[20] 또는 로가리츠무스 디아디스(logarithmus dyadis)에서 유래한 것이다.[20]DIN 1302 [de], ISO 31-11 및 ISO 80000-2 표준은 또 다른 표기법 lb n을 권장한다.이 표준에 따르면, LG n은 대신 일반 로그 n에10 예약되어 있기 때문에 2진 로그에 사용해서는 안 된다.[23][24][25]

적용들

참고 항목:더블링 타임

정보이론

양의 정수 n의 이진 표현에서 자릿수(비트)는 1 + log2 n의 정수 n의 정수 n의 정수(bits)가 정수 n의 정수 n의 정수(bits)[12]가 정수 n의 정수 n의 정수(bits)

정보이론에서 자기정보의 양과 정보 엔트로피의 정의는 종종 비트를 정보의 기본단위로 만드는 것에 해당하는 이진 로그로 표현된다.이러한 단위로, 섀넌-하틀리 정리는 채널의 정보 용량을 신호 대 잡음 비율의 2진수 로그와 1을 더한 값으로 표현한다.그러나 자연 로그와 NAT은 이러한 정의에 대한 대체 표기에도 사용된다.[26]

콤비네이터틱스

완전한 바이너리 트리의 구조를 가진 16명의 단일 제거 관광 브래킷.트리의 높이( 토너먼트 라운드 수)는 정수로 반올림된 선수 수의 이진 로그다.

숫자 이론과 수학적 분석과 같은 순수 수학의 많은 영역에서 자연 로그가 2진 로그보다 더 중요하지만,[27] 2진 로그는 조합학에서 다음과 같은 여러 가지 응용을 가지고 있다.

  • 잎이 n개인 모든 이진 트리는 높이가 최소한 로그2 n이며, n은 2의 검정력이고 트리는 완전한 이진수일 때 동등하다.[28]이와 관련하여, 지류가 n개인 하천 시스템의 스트라흘러 번호는 최대 로그2 n + 1이다.[29]
  • n개의 서로 다른 세트가 있는 모든 세트의 집단은 적어도 그 조합에 n개의 요소를2 가지고 있고, 그 집단이 권력 집합일 때 평등하다.[30]
  • nvertices 가진 모든 부분, 그리고 가장.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{만 가지고 있는 등축 크기가 적어도log2 n 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2 nlog2 n가장자리, 평등이 부분 큐브는 하이퍼 큐브 그래프로.[31일]
  • 램지의 정리에 따르면, 모든 n-Vertex 비방향 그래프는 clique 또는 n의 독립된 크기 로그 세트를 가지고 있다.보장할 수 있는 정확한 크기는 알 수 없지만, 그 크기에 대해 알려진 가장 좋은 경계는 이항 로그와 관련이 있다.특히 모든 그래프는 크기가 적어도 1/2 로그2 n(1 - o(1))인 클라이크 또는 독립된 집합을 가지며, 거의 모든 그래프에는 2 로그2 n(1 + o(1)보다 큰 클라이크 또는 독립된 크기의 집합이 없다.[32]
  • 무작위 슈플의 Gilbert-Shannon-Reds 모델의 수학적 분석에서, 균일하게 무작위에 가까운 순열에 대한 분포를 얻기 위해 리플 셔플을 사용하여 카드 데크를 섞어야 하는 횟수는 대략 3/2 로그2 n임을 알 수 있다.이 계산은 52장의 카드 덱을 7번 뒤틀어야 한다는 권고의 근거가 된다.[33]

계산 복잡성

시간 복잡성이 이진 로그와 관련된 알고리즘인 정렬된 배열의 이진 검색

이항 로그는 알고리즘 분석에서도 자주 나타나는데,[19] 이는 알고리즘에서 이진수 산술의 빈번한 사용 때문만이 아니라 이원 분기에 기초한 알고리즘 분석에서도 이항 로그가 발생하기 때문이다.[14]어떤 문제가 처음에 해결책에 대한 n개의 선택권을 가지고 있고 알고리즘의 각 반복이 선택 횟수를 2배 감소시킨다면, 단일 선택을 선택하는 데 필요한 반복 횟수는 다시 로그2 n의 필수적인 부분이다.이 아이디어는 여러 알고리즘과 데이터 구조를 분석하는 데 사용된다.예를 들어 바이너리 검색에서는 해결해야 할 문제의 크기가 반복할 때마다 절반으로 줄어들기 때문에 n 크기의 문제에 대한 해결책을 얻기 위해서는 대략적인 n번 반복이2 필요하다.[34]마찬가지로 n개의 요소를 포함하는 완벽하게 균형 잡힌 이진 검색 트리에는 높이 로그2(n + 1) - 1이 있다.[35]

알고리즘의 가동 시간은 대개 큰 O 표기법으로 표현되는데, 이 표기법은 상수 인자와 저차 항을 생략하여 표현을 단순화하는 데 사용된다.서로 다른 베이스의 로그는 상수 인자에 의해서만 서로 다르기 때문에 O(log n2) 시간에 실행되는 알고리즘도 예를 들면 O(log13 n) 시간에 실행된다고 할 수 있다.따라서 O(log n) 또는 O(n log n)와 같은 식에서 로그의 기초는 중요하지 않으며 생략할 수 있다.[11][36]단, 시간 바운드의 지수에 나타나는 로그의 경우 로그의 베이스는 생략할 수 없다.예를 들어, 전자는log2 n O(n)와 같고 후자는 O(n0.6931...)와 같기 때문에 O(2)는 O(2)와ln n 같지 않다.

실행 시간이 O(n log n)인 알고리즘을 선형 알고리즘이라고 부르기도 한다.[37]실행 시간이 O(log n) 또는 O(n log n)인 알고리즘의 예는 다음과 같다.

이진 로그는 시간 O(nlog2 3)에 n비트 숫자를 곱하기 위한 카라추바 알고리즘과 [42]시간 O(nlog2 7)에 n × n 행렬을 곱하기 위한 스트라센 알고리즘과 같은 일부 분할 및 정복 알고리즘에 대한 시간 범위의 지수에서도 발생한다.[43]이러한 실행 시간에서 이항 로그의 발생은 분할 및 재무 재발을 위한 마스터 정리를 참고하여 설명할 수 있다.

생물정보학

약 8700개의 유전자를 위한 마이크로 배열.이들 유전자의 발현률은 이항 로그(binary logarithms)를 사용하여 비교된다.

생물정보학에서 마이크로레이는 생물학적 물질의 표본에서 얼마나 강하게 다른 유전자가 표현되는지를 측정하기 위해 사용된다.유전자 발현률이 다른 것은 발현율 비율의 이항 로그(binary logarithm)를 사용하여 비교하는 경우가 많은데, 두 발현률의 로그 비율은 두 비율의 이항 로그(binary logarithm)로 정의된다.2진수 로그는 표현률을 편리하게 비교할 수 있다. 2진수 표현률은 로그 비율 1로 설명할 수 있고, 절반의 표현률은 로그 비율 -1로 설명할 수 있으며, 변경되지 않은 표현률은 로그 비율 0으로 설명할 수 있다.[44]

이러한 방법으로 얻은 데이터 지점은 좌표 축 중 하나 또는 둘 다 강도 비율의 이항 로그인 산점도 또는 이러한 로그 비율 산점도를 회전 및 스케일링하는 MA 플롯 및 RA 플롯과 같은 시각화로 시각화되는 경우가 많다.[45]

음악 이론

음악 이론에서, 두 음조의 간격이나 지각 차이는 주파수의 비율에 의해 결정된다.작은 분자와 분모가 있는 합리적인 숫자 비율에서 오는 간격은 특히 관대하다고 인식된다.이러한 간격 중 가장 단순하고 중요한 것은 2:1의 주파수 비율인 옥타브다.두 톤이 다른 옥타브 수는 주파수 비율의 이진 로그다.[46]

음조 간 구분이 더 미세해야 하는 튜닝 시스템이나 음악 이론의 다른 측면을 연구하려면, 옥타브보다 미세하고 (주파수 비율에 따라) 승법보다는 가법(로가리듬)인 구간의 크기를 측정하는 것이 도움이 된다.즉, 톤 x, y 및 z가 톤의 상승 순서를 형성하는 경우, x에서 y까지의 구간의 측정과 y에서 z까지의 구간의 측정은 x에서 z까지의 구간의 측정과 같아야 한다.이러한 측정은 옥타브를 1200 균등 구간(각 100센트의 12세미톤)으로 나눈 센트(cent)에 의해 주어진다.수학적으로 f와1 f의2 주파수를 가진 톤이 주어진다면1 f에서2 f까지의 간격에 있는 센트 수는[46]

밀리옥타브는 같은 방식으로 정의되지만 1200이 아닌 1000의 승수로 정의된다.[47]

스포츠 스케줄링

각 경기 또는 경기에서 두 명의 선수 또는 팀이 참가하는 경기와 스포츠에서, 바이너리 로그는 우승자를 결정하는 데 필요한 단일 엘리미네이션 토너먼트에서 필요한 라운드 수를 나타낸다.예를 들어, 4명의 선수가 참가하는 토너먼트는 로그2 4 = 2라운드가 있어야 우승자를 결정할 수 있고, 32개 팀이 참가하는 토너먼트는 로그2 32 = 5라운드 등이 필요하다.이 경우 n이 2의 전력이 아닌 n명의 선수/팀에서는 남은 선수가 모두 출전하지 않는 라운드를 1회 이상 해야 하므로 로그2 n이 반올림된다.예를 들어, 로그2 6은 약 2.585로 3라운드에 이르는데, 이는 6개 팀이 토너먼트를 하는 경우 3라운드가 필요함을 나타낸다(두 팀이 1라운드를 빠지거나 한 팀이 2라운드를 빠짐).스위스-시스템 토너먼트에서 확실한 우승자를 가리기 위해서도 같은 라운드가 필요하다.[48]

사진

사진에서 노출 값은 빛에 대한 인간 시각 시스템의 로그 반응을 기술하는 Weber-Fechner 법칙에 따라 필름 또는 센서에 도달하는 빛의 양에 대한 이진 로그의 관점에서 측정된다.단일 노출 중지는 기저 2 로그 척도에서 하나의 단위다.[49][50]보다 정확히 말하면, 사진의 노출 값은 다음과 같이 정의된다.

여기서 N은 노출 중 렌즈 간극을 측정하는 f 번호로, t는 노출 시간(초)이다.[51]

조도에 민감한 물질이나 디지털 센서의 동적 범위를 표현하기 위해 밀도계에서도 이진 로그(정지로 표현)가 사용된다.[52]

계산

HP-35 과학 계산기(1972년).로그와 ln 키는 맨 위 행에 있으며, 로그2 키가 없다.

타 베이스로부터의 전환

로그2 함수가 없는 계산기에서 로그2 n을 쉽게 계산할 수 있는 방법은 대부분의 과학적인 계산기에서 발견되는 자연 로그(ln) 또는 공통 로그(log 또는 log10) 함수를 사용하는 것이다.이에 대한 로그 기준 공식의 구체적인 변경은 다음과 같다.[50][53]

또는 대략

정수 반올림

이진 로그는 위아래로 반올림하여 정수와 정수의 함수로 만들 수 있다.이 두 가지 정수 이진 로그 형식은 다음 공식과 관련이 있다.

[54]

로그 (0) =- 1 을 정의함으로써 정의를 확장할 수 있다 이러한 방식으로 확장하면 x, nlz(x)의 32비트 미서명 이진표시의 선행 0의 수와 관련이 있다.

[54]

정수 이항 로그는 입력에서 가장 유의한 1비트의 제로 기반 인덱스로 해석할 수 있다.이런 의미에서 그것은 최하위 1비트의 지수를 찾는 첫 번째 집합 찾기 연산의 보완이다.많은 하드웨어 플랫폼은 선행 0의 수, 또는 이진 로그의 신속한 찾기에 사용될 수 있는 동등한 연산 등의 지원을 포함한다.그fls그리고flslLinux 커널과[55] libc 소프트웨어 라이브러리 일부 버전에서 기능도 이진 로그(정수에 1까지 반올림)를 계산한다.

반복 근사치

일반 양수 실수의 경우, 이항 로그는 두 부분으로 계산될 수 있다.[56]먼저 정수 부분인 2 로그의 특징이라 함)를 계산한다.이것은 로그의 인수가 제한된 범위인 간격[1, 2]에 있는 문제로 문제를 줄여, 부분 부분(로그의 맨티사) 계산의 두 번째 단계를 단순화한다.어떤 x > 0에 대해서도, 2n x x < 2n+1 또는 동등하게 1 2−n 2 ≤ < 2와 같은 고유한 정수 n이 존재한다.이제 로그의 정수 부분은 간단히 n이고, 분수 부분은 log2(2x−n)이다.[56]즉, 다음과 같다.

정규화된 부동 소수점 숫자의 경우 정수 부분은 부동 소수점 지수에 의해 주어지며,[57] 정수의 경우 0을 선행하는 카운트를 수행하여 결정할 수 있다.[58]

결과의 분수 부분은 로그2 y이며, 기본적인 곱셈과 나누기만을 사용하여 반복적으로 계산할 수 있다.[56]부분부위 계산 알고리즘은 다음과 같이 유사코드로 설명할 수 있다.

  1. 반열림 간격[1, 2]의 실제 숫자 y로 시작하십시오.y = 1이면 알고리즘이 완성되고, 분수 부분은 0이 된다.
  2. 그렇지 않으면 결과 z가 [2, 4] 구간에 놓일 때까지 반복적으로 y를 제곱한다.내가 필요한 제곱의 수가 되게 하라.즉, z = m을 선택한 경우2m, z가 [2, 4]에 있는 경우.
  3. 양쪽의 대수표를 취해서 대수학을 하는 것:
  4. 다시 한번 z/2는 [1, 2] 구간의 실제 수이다.1단계로 돌아가 동일한 방법으로 z/2의 이진 로그를 계산하십시오.

그 결과는 다음과 같은 재귀적 공식으로 표현되는데, 서 i 는 알고리즘의 i번째 반복에 필요한 제곱의 수입니다.

1단계에서 부분적인 부분이 0인 특별한 경우, 이것은 어느 시점에서 종료되는 유한한 시퀀스다.그렇지 않으면 각 항이 이전 항(mi > 0)보다 엄격히 적기 때문에 비율 검사에 따라 수렴되는 무한 계열이다.실제 사용을 위해, 이 무한 시리즈는 대략적인 결과에 도달하기 위해 잘라져야 한다.i번째 기간 후에 영상 시리즈가 잘리면 결과의 오차는 2보다−(m1 + m2 + ⋯ + mi) 작다.[56]

소프트웨어 라이브러리 지원

그log2함수는 표준 C 수학 함수에 포함된다.이 함수의 기본 버전은 이중 정밀 인수를 사용하지만 그 변형은 인수를 단일 정밀도 또는 긴 이중으로 허용한다.[59]복잡한 숫자와 MATLAB와 같은 암묵적 유형 변환을 지원하는 컴퓨팅 환경에서log2함수는 음수가 되도록 허용되며, 복잡한 숫자를 반환한다.[60]

참조

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