1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

수학에서 무한급수 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯은 기원전 250년에서 200년경 아르키메데스가 사용한 무한급수 중 하나입니다. 첫 번째 항이 1/4이고 공통 비율이 1/4인 기하 급수이므로, 그 합은

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.

시각적 시연

정사각형과 삼각형이 각각 원본의 1/4 면적을 포함하는 4개의 유사한 조각으로 나뉘기 때문에 시리즈 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯은 특히 단순한 시각적 시연에 적합합니다.

왼쪽 그림에서 큰 정사각형의 면적을 1로 하면 가장 큰 검은색 정사각형의 면적은 1/2 × 1/2 = 1/4입니다. 마찬가지로 두 번째로 큰 검은 사각형의 면적은 1/16, 세 번째로 큰 검은 사각형의 면적은 1/64입니다. 따라서 모든 검은 사각형이 차지하는 면적은 1/4 + 1/16 + 1/64 + ⋯이며, 이것은 회색 사각형과 흰색 사각형이 차지하는 면적이기도 합니다. 이 세 영역이 단위 제곱을 덮기 때문에 그림은 다음을 보여줍니다.

3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.

맨 위에 각색된 아르키메데스 자신의 삽화는 방정식에 더 가까운 약간의 차이가 있었습니다.^[3]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1.

아르키메데스의 해석에 대한 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

오른쪽 그림과 같이 삼각형에도 동일한 기하학적 전략이 적용됩니다.^[4] 큰 삼각형의 면적이 1이면 가장 큰 검은 삼각형의 면적은 1/4 등입니다. 전체적으로 그림은 큰 삼각형과 위쪽 부분 삼각형 사이에 자기 유사성을 가지고 있습니다. 그 도형을 세 개의 모서리 조각과 비슷하게 만드는 관련 구조는 시에르피 ń스키 삼각형을 만듭니다.

아르키메데스의 증명

이 곡선은 포물선입니다. 할선(AE)의 점들은 동일한 간격을 갖습니다. 아르키메데스는 삼각형 *ABC*와 *CDE*의 면적의 합이 삼각형 *ACE*의 면적의 1/4임을 보여주었습니다. 그런 다음 그는 그 위에 4개의 삼각형으로 구성된 또 다른 층을 구성합니다. 그 면적의 합은 *ABC*와 *CDE* 면적의 합의 1/4이고, 그 위에 8개의 삼각형으로 구성된 또 다른 층은 그 면적의 1/4을 갖습니다. 그는 할선과 곡선 사이의 면적이 삼각형 *ACE*의 면적의 4/3이라고 결론지었습니다.

아르키메데스는 그의 작품 포물선의 사분면에서 시리즈를 접합니다. 그는 소진의 방법으로 포물선 안의 넓이를 구하는데, 그는 일련의 삼각형을 얻게 됩니다. 각 단계의 구성은 이전 단계의 넓이의 1/4배의 넓이를 더해줍니다. 그가 원하는 결과는 전체 면적이 1단계 면적의 4/3배라는 것입니다. 거기에 가기 위해 포물선을 잠시 쉬면서 대수적 보조정리를 소개합니다.

발의안 23호. A, B, C, D, ..., Z의 일련의 영역들이 주어졌을 때, A가 가장 크고, 각각은 다음 순서의 4배와 같습니다^[6].
$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$

아르키메데스는 먼저 계산함으로써 명제를 증명합니다.

{\beginarray}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}=&\displaystyle {\frac {4B}{3}+{\frac {4C}{3}+\cdots +{\frac {4Z}{3}\[1em]=&\displaystyle {\frac {1}{3}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}

반면에.

{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).

이전 방정식에서 이 방정식을 빼면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A

그리고 양쪽에 A를 더하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.^[7]

오늘날 아르키메데스의 명제의 더 표준적인 표현은 급수 1 + 1/4 + 1/16 + ⋯의 부분합은 다음과 같습니다.

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.

이 형태는 양변에 1 - 1/4을 곱하고 방정식의 왼쪽에 있는 첫 번째 항과 마지막 항을 제외한 모든 항이 쌍으로 취소되는 것을 관찰함으로써 증명될 수 있습니다. 유한한 기하급수에서도 동일한 전략이 적용됩니다.

한도

아르키메데스의 명제 24는 명제 23의 유한한(그러나 불확정한) 합을 포물선 내부의 영역에 이중 귀납법에 의해 적용합니다. 그는 위의 부분합의 한계를 잘^[8] 취하지 않지만, 현대 미적분학에서는 이 단계가 충분히 쉽습니다.

\lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.

무한급수의 합은 그 부분합의 극한으로 정의되므로,

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.

메모들

^ Shawyer & Watson 1994, 3쪽.
^ Nelsen & Alsina 2006, 페이지 74; Ajose & Nelsen 1994, 페이지 230.
^ 히스 1953, 페이지 250.
^ Nelsen & Alsina 2006, p. 74; Stein 1999, p. 46; Mabry 1999, p. 63.
^ Nelsen & Alsina 2006, 56쪽.
^ 이것은 히스 1953년 영어 번역에서 인용한 것입니다, 249쪽.
^ 이 프레젠테이션은 히스 1953, 페이지 250의 단축 버전입니다.
^ 현대의 저자들은 아르키메데스가 무한급수를 합산했다고 말하는 것이 얼마나 적절한지에 대해 의견이 다릅니다. 예를 들어, Shawyer & Watson 1994, p. 3은 단순히 "아르키메데스가 간접적인 한계 과정을 적용했다"고 말하고, Stein 1999, p. 45는 유한한 합을 사용하지 않습니다.

참고문헌

Ajose, Sunday; Nelsen, Roger (June 1994). "Proof without Words: Geometric Series". Mathematics Magazine. 67 (3): 230. doi:10.2307/2690617. JSTOR 2690617.
Heath, T. L. (1953) [1897]. The Works of Archimedes. Cambridge University Press. HTML에서 그림과 해설을 포함한 페이지 이미지
Mabry, Rick (February 1999). "Proof without Words: ${\textstyle {\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{3}+\dots ={\frac {1}{3}}}$ ". Mathematics Magazine. 72 (1): 63. doi:10.1080/0025570X.1999.11996702. JSTOR 2691318.
Nelsen, Roger B.; Alsina, Claudi (2006). Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. Mathematics Association of America. ISBN 0-88385-746-4.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press. ISBN 0-19-853585-6.
Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. Mathematics Association of America. ISBN 0-88385-718-9.
Swain, Gordon; Dence, Thomas (April 1998). "Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited". Mathematics Magazine. 71 (2): 123–30. doi:10.2307/2691014. JSTOR 2691014.

[FOOTNOTEShawyerWatson19943-1] Shawyer & Watson 1994, 3쪽.

[FOOTNOTENelsenAlsina200674AjoseNelsen1994230-2] Nelsen & Alsina 2006, 페이지 74; Ajose & Nelsen 1994, 페이지 230.

[FOOTNOTEHeath1953250-3] 히스 1953, 페이지 250.

[FOOTNOTENelsenAlsina200674Stein199946Mabry199963-4] Nelsen & Alsina 2006, p. 74; Stein 1999, p. 46; Mabry 1999, p. 63.

[FOOTNOTENelsenAlsina200656-5] Nelsen & Alsina 2006, 56쪽.

[6] 이것은 히스 1953년 영어 번역에서 인용한 것입니다, 249쪽.

[7] 이 프레젠테이션은 히스 1953, 페이지 250의 단축 버전입니다.

[8] 현대의 저자들은 아르키메데스가 무한급수를 합산했다고 말하는 것이 얼마나 적절한지에 대해 의견이 다릅니다. 예를 들어, Shawyer & Watson 1994, p. 3은 단순히 "아르키메데스가 간접적인 한계 과정을 적용했다"고 말하고, Stein 1999, p. 45는 유한한 합을 사용하지 않습니다.

[3]

[4]

[6]

[7]

[8]

Search

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

네임스페이스

더

목차

시각적 시연

아르키메데스의 증명

한도

메모들

참고문헌