슈타인하우스-모저 표기법

수학에서 스타인하우스-모저 표기법은 어떤 큰 수를 표현하기 위한 표기법입니다. 이것은 휴고 스타인하우스의 다각형 표기법의 확장(레오 모저에 의해 고안됨)입니다.^[1]

정의들

삼각형의 수는 n을ⁿ 의미합니다.

정사각형 안에 있는 숫자는 "모든 중첩된 삼각형 안의 숫자"와 같습니다.

오각형 안의 숫자는 "모든 내포된 사각형 안의 숫자"와 동일합니다.

등: (+m1)변 다각형으로 작성된 것은 "내접된 변 다각형 안의 숫자"와 같습니다. 일련의 중첩된 다각형에서 이들은 안쪽으로 연결됩니다. 두 삼각형 안의 수는 한 삼각형 안의 n과ⁿ 같으며, 이는 n을ⁿⁿ n의 거듭제곱으로 증가시킨 것과 같습니다.

스타인하우스는 위에서 정의한 오각형에 해당하는 삼각형, 사각형, 원만 정의했습니다.

특수값

스타인하우스는 다음과 같이 정의했습니다.

• mega는 원 안의 2에 해당하는 숫자입니다. ②
• 메기스톤(megiston)은 원 안의 10에 해당하는 숫자입니다.

Moser의 숫자는 "2 in a megagon"으로 표현되는 숫자입니다. 메가곤(Megagon)은 "메가" 변을 가진 다각형의 이름입니다(백만 개의 변을 가진 다각형과 혼동되지 않습니다).

대체 표기법:

• 함수의 제곱(x)와 삼각형(x)를 사용합니다.
• M(,n , )을 내포된 변 다각형의 숫자라고 하면 규칙은 다음과 같습니다.
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• 그리고.
  • 메가 = $M$ (${\displaystyle 2,}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 5)}$ ${\displaystyle$ M $(2, 1,$ 5$)}$
  • 메기스톤 = $M$ (${\displaystyle 10,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 5)}$ ${\displaystyle M (10, 1,$ 5$)}$
  • 모저 = $M$ (2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$(${\displaystyle 2,}$ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 5}$ )${\displaystyle M (2, 1, M (2, 1,$ 5$))}$

메가

② = 제곱(제곱(2) = 제곱(triangle(2)) = 제곱(triangle) = 제곱(triangle(2)) = 제곱(triangle(4) = 제곱(4) = 제곱(256) = 삼각형(triangle(... triangle(... triangle(256))) [256] 256 삼각형(triangle(... triangle(256)...)] [255 삼각형] ~ 삼각형(triangle(... triangle(...삼각형(3.2317 × 10⁶¹⁶...) [255개의 삼각형] ...

기타 표기법 사용:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수 $f{\displaystyle (x)}$ = ${\displaystyle x^{}}${\$displaystyle f($x) = x^{x}}를 사용하면 메가 = f 256(256) = f 258(2) {\displaystyle f^{256}(256) = f^{258(2)}가 있습니다. 여기서 위첨자는 숫자가 아닌 기능적인 전력을 나타냅니다.

우리는 (전력은 오른쪽에서 왼쪽으로 평가된다는 관례에 주목하십시오.)

• M(256,2,3) =$$($)$ $256$ = $256 257$ {\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}} =256^{256^{257$}}$
• M(256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

마찬가지로:

• ${\displaystyle {{\mathrm{M}}^{}}^{}}$(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {{{256}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{256}^{}}^{}}^{}}^{}}$ 256$257$ {\$displaystyle {\,!256^{256^{$256$^{257$}}}}
• ${\displaystyle {{\mathrm{M}}^{}}^{}}$(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {{{256}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{256}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{256}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$257 {\$displaystyle {\,\!256^{256^{$256$^{256^{$257}}}}}
• ${\displaystyle {{\mathrm{M}}^{}}^{}}$(256,6,3) ≈ ${\displaystyle {{{256}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{256}^{}}^{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{{{{256}^{}}^{}}^{}}^{}}^{}}$ $257$ {\$displaystyle {\,\!256^{256^{256^{$256$^{257$}}}}}

기타.

따라서:

• 메가 = $M$(${\displaystyle {256}^{}}$, $256$, 3) ≈ (256 ↑ ) 256 257 {\displaystyle M (256, 256, 3)\approx (256\uparrow )^{256}} 여기서, (256 ↑ ) 256 {\displaystyle (256\uparrow )^{256}}는 함수 f (n) = 256 n {\displaystyle f(n) = 256^{n}의 함수 전력을 나타냅니다.

더 조잡하게 반올림하면(끝의 257을 256으로 replacing하면), 크누스의$$업 arrow 표기법을 사용하여 메가 ≈ 256 ↑↑ $257$ ${\display$ 256$uparrow$ \$uparrow$ 257}을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {처음}^{}}$ 몇 단계 후 n ${\$의 값은 매번 대략 ${\displaystyle {256n}^{}}$ ${\$과 같습니다$.$$$ 실제로는 ${\displaystyle {10n}^{}}$ ${\$과(매우 큰 숫자는 산술 근사 참조). 기본 10제곱을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

• ${\displaystyle M(256,1,3)\약 3.23\times 10^{616}}$
• $10619 {\displaystyle M(256$$99\times 10^{619}}($로그 $10$$⁡$ 616 ${\displaystyle$ \$log$_{10}616}이(가) 616에 추가됨)
• ${\displaystyle {M^{}}^{}}$(${\displaystyle 256,}$ 3${\displaystyle ,3)}$ ${\displaystyle \approx {{10}^{}}^{}}$101 1.${\displaystyle {{{99}^{}}^{}}^{}}$ ×$$10 $619 {\displaystyle M(256$, 3, 3$)\약$10$^{\,\!10$^{1$.99\times$10^{${\displaystyle 619}$${\displaystyle \}\}\}(1^{}}$.${\displaystyle {99}^{}}$ ×$$10 $619 {\displaystyle 1.99\times$10^{619${\displaystyle \mathrm{\}\}}}$에 $619 {\displaystyle$ 619}이 추가되어 무시할 수 있습니다. 따라서 하단에 10개만 추가됩니다.)
• ${\displaystyle M(256,4,3)\약 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$

...

• 메가 = $M$(256, 256, 3$)$ ≈ (10 ↑ ) 255 1.99 × 10619 {\displaystyle M (256, 256, 3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}, 여기서 (10 ↑ ) 255 {\displaystyle (10\uparrow )^{255}}는 함수 f (n) = 10 n {\displaystyle f(n) = 10^{n}의 함수 전력을 나타냅니다. 따라서 ↑↑ $257$ < 메가 < 10 ↑↑\$display$ style 10\uparrow \uparrow 257<{\text{ mega}}< 10$\$uparrow \uparrow 258}

모저수

콘웨이 연쇄 화살표 표기법에서,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

크누스의 위쪽 화살표 표기법으로

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

그러므로, Moser의 수는 이해할 수 없을 정도로 크지만, Graham의 수에 비하면 사라질 정도로 적습니다.^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\right 3\right 64\right 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}$

참고 항목

• 아커만 함수

참고문헌

외부 링크

• 로버트 무나포의 대수
• 빅 넘버에 관한 팩트로이드
• 수학계의 메가스트론.wolfram.com (Steinhaus는 이 숫자를 "r"이 없는 "메기스톤"이라고 불렀습니다.)
• 수학 세계에서 원 표기법.wolfram.com
• Steinhaus-Moser 표기법 - 무의미한 큰 숫자 항목