기하급수

패턴 1(rⁿ⁻¹)의 3가지 기본 기하학적 시퀀스를 최대 6회까지 나타내는 다이어그램입니다.첫 번째 블록은 단위 블록이며 파선은 시퀀스의 무한 합계를 나타냅니다. 이 합계는 영원히 접근하지만 닿지 않는 수치입니다. 각각 2, 3/2 및 4/3입니다.

수학에서, 기하 급수열로도 알려진 기하 급수열은 첫 번째 이후의 각 항에 공통 비율이라고 불리는 고정된 0이 아닌 숫자를 곱함으로써 0이 아닌 숫자의 수열이다.예를 들어 시퀀스 2, 6, 18, 54, …는 공통비율 3의 기하급수이다.마찬가지로 10, 5, 2.5, 1.25, ...는 공통 비율이 1/2인 기하학적 수열이다.

기하학적 수열의 예로는 2나^k 3과 같은^k 0이 아닌 고정수 r의 거듭제곱^k r이 있다.기하학적 수열의 일반적인 형태는

\displaystyle a,\ar,\ar^{2},\ar^{3},\ar^{4},\ldots}

여기서 r 0 0은 공통 비율이고 0 0은 시퀀스의 시작 값과 동일한 스케일 계수입니다.

급수와 급수의 차이점은 급수가 연속인 반면 급수는 합이라는 것입니다.

기본 속성

초기값이 a = a이고₁ 공통비가 r인 기하학적 수열의 n번째 항은 다음과 같이 주어진다.

({displaystyle a_{n}=a,r^{n-1})

그리고 일반적으로

(\displaystyle a_{n}=a_{m},r^{n-m}).}

이러한 기하학적 수열은 또한 재귀적 관계를 따른다.

a_{n}=r\,a_{n-1}

n

a_{n}=r\,a_{n-1}

a_{n}=r\,a_{n-1}

a

a_{n}=r\,a_{n-1}

-

a_{n}=r\,a_{n-1}

{

style

a _ {n }

= r

, a

_

{n - 1

a_{n}=r\,a_{n-1}

} 모든

a_{n}=r\,a_{n-1}

n\geq 2.

n

n\geq 2.

. {

display

n \

geq

2.

n\geq 2.

}

일반적으로 특정 시퀀스가 기하학적인지 여부를 확인하려면 시퀀스 내의 연속된 엔트리가 모두 동일한 비율을 가지는지 여부를 확인합니다.

기하학적 수열의 공통 비율은 음수일 수 있으며, 결과적으로 숫자들이 양수와 음수 사이를 번갈아 가면서 번갈아 가면서 수열을 만들 수 있습니다.예를 들어.

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

는 공통 비율이 -3인 기하학적 수열입니다.

기하학적 시퀀스의 동작은 공통 비율의 값에 따라 달라집니다.
공통 비율이 다음과 같은 경우:

양수, 모든 항이 초기 항과 같은 부호가 됩니다.
음수, 항은 양수와 음수를 번갈아 사용합니다.
1보다 크면 (초기 항의 부호에 따라) 양수 또는 음수 무한대로 향하는 지수 성장이 있습니다.
1, 진행은 일정한 시퀀스입니다.
0이 아니라 -1과 1 사이에 0을 향한 지수적 감쇠가 발생합니다(→ 0).
-1, 수열에서 각 항의 절대값은 상수이고 항이 번갈아 표시됩니다.
-1보다 작으면, 절대값의 경우 교대 기호로 인해 무한대로(지정되지 않은) 지수 성장이 있습니다.

기하학적 시퀀스(공통비가 -1, 1 또는 0이 아닌 것)는 4, 15, 26, 37, 48, …(공통차 11)와 같은 산술수열의 선형 성장(또는 감소)과 반대로 지수적 성장 또는 지수적 붕괴를 나타낸다.이 결과는 T.R. 맬서스에 의해 그의 인구원리학의 수학적 기초로서 받아들여졌다.두 종류의 수열은 관련이 있다는 점에 유의하십시오. 산술 수열의 각 항을 지수화하면 기하 급수가 되는 반면 양의 공통 비율을 갖는 기하 급수열에서 각 항의 로그를 취하면 산술 급수가 됩니다.

기하급수 정의의 흥미로운 결과는 연속되는 세 개의 항 a, b 및 c가 다음 방정식을 만족한다는 것이다.

b^{2}=ac

여기서 b는 a와 c 사이의 기하 평균으로 간주됩니다.

기하 급수

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )

	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

2 + 10 + 50 + 250의 합계 계산.수열은 기간별로 5를 곱한 다음 원래 수열에서 빼줍니다.첫 번째 항 a와 마지막 항 뒤의 항 ar의^m 두 가지 항이 남아 있습니다.원하는 결과 312는 이 두 항을 뺀 다음 1 - 5로 나누어 구합니다.

기하 급수는 기하 급수상의 숫자의 합입니다.예를 들어 다음과 같습니다.

({displaystyle 2+10+50+250=2+2+2×5^{2}+2×5^{3}).}

a가 첫 번째 항(여기서 2), n이 항의 수(여기서 4), r이 다음 항(여기서 5)을 얻기 위해 각 항에 곱한 상수라고 가정하면, 합계는 다음과 같습니다.

{a(1-r^{n}}}{1-r}

위의 예에서는 다음과 같습니다.

2+10+50+250=sublicfrac {2(1-5^{4})}{1-5}=sublicfrac {-1248}{-4}=312.

이 공식은 모든 실수 a와 r에 대해 작동합니다(r = 1은 0으로 나눗셈됨).예를 들어 다음과 같습니다.

({displaystyle - 2\pi + 4\pi ^{2}-8\pi ^{3} = flac {-2\pi}^{3} = flac {-2\pi} {1-2\pi} = flac {-2\pi} ^2\pi}}

도출(아래)은 a와 r의 실수에 의존하지 않기 때문에 복소수에도 대응합니다.

파생

이 공식을 도출하려면 먼저 일반 기하 급수를 다음과 같이 적습니다.

\displaystyle \sum _{k=1}^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.}

위의 방정식의 양변에 1 - r을 곱하면 이 합에 대한 더 간단한 공식을 찾을 수 있습니다. 그리고 우리는 다음을 볼 수 있습니다.

{{displaystyle {displaystyle}(1-r)\sum _{k=1}^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{3}+cdots +ar^{n-1}\&=ar^{0}+ar^{ar^2}+ar^2}

다른 모든 조건이 취소되기 때문입니다.r 1 1일 경우, 위의 식을 다시 배열하여 n개의 항의 합을 계산하는 기하 급수의 편리한 공식을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=blac {a(1-r^{n}}{1-r}}.}

무한 기하 급수

무한 기하 급수는 연속 항이 공통 비율을 갖는 무한 급수입니다.이러한 시리즈는 공통 비율의 절대값이 1보다 작을 경우에만 수렴됩니다(r < 1).그 값은 유한합 공식에서 계산될 수 있다.

\sum _{k=0}^{\infty}=\lim _{k=0}^{n}{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1}}}{1-rcrac}}{n}}{\lim _infty

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

|q|<1

<

|q|<1

\

display style q }

|q|<1

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

\ sum \

sum

_ { k

\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}

=

0

}^{

n q

^ {

k

} (빨간색 선)의

{1 \over 1-q}

를 1 -

{1 \over 1-q}

< 1 \

displaystyle { 1

\

over 1-q

}

(파란색 선)로 수렴한 애니메이션.

2로 수렴하는 기하급수 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + which를 나타내는 다이어그램입니다.

이후:

r^{n+1}\to 0'mbox{}n\to\infty {mbox{{{{mbox}일 때}r < 1.

그 후, 다음과 같이 입력합니다.

\sum _{k=0}^{\infty}ar^{k}=superfrac {a}{1-r}-0}=superfrac {a}{1-r}}

r $\displaystyle$ 의 짝수만 포함하는 시리즈의 경우

\sum _{k=0}^{\infty}ar^{2k}=black {a}{1-r^{2}}}

이상한 힘만 있으면

\sum _{k=0}^{\infty}ar^{2k+1}=syslogfrac {ar}{1-r^{2}}}

합계가 k = 0에서 시작되지 않는 경우,

({displaystyle \sum _{k=m}^{\infty}}ar^{k}=black {ar^{m}}{1-r}})

위의 공식은 r < 1에만 유효합니다.후자의 공식은 r의 노름이 1보다 작으면 모든 바나흐 대수에서 유효하며, r < 1이면 p-adic 수에서도 유효하다. 유한합에 대한 경우처럼, 우리는 관련된 합에 대한 공식을 계산하기 위해 미분할 수 있다.예를들면,

{{displaystyle {frac {dr}}\sum _{k=0}^{\infty}=\sum _{k=1}^{\infty}kr^{k-1}=subfrac {1}{(1-r)^{2}}}}}

이 공식은 r < 1에만 적용됩니다.여기서부터 r < 1에 대해서는 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle _{k=0}^{\infty}kr^{k}=sum frac {r}{\left(1-r\r)^2},\sum _{k=0}{\infty}k^{2}r^{k}=sum frac {r\left(1+r\r\right){1-right}{\right}{\right}{\},\},\},\},\},\},\fright},\frac {right},\},\},\},

또, 무한 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + θ는, 절대 수렴하는 급수의 기본적인 예입니다.

첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 1/2인 기하급수이므로, 합계는 다음과 같습니다.

\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}+{\frac {8}+{\frac {1}{16}+\cdots={1-(+1/2)}=1.}

위 계열의 역수는 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + is입니다. 이는 절대적으로 수렴하는 교대 계열의 간단한 예입니다.

첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 -1/2인 기하급수이므로, 합계는 다음과 같습니다.

{{1}{2}}-{\frac {1}{4}+{\frac {8}-{\frac {1}{16}+\cdots =frac {1/2}{1-(-1/2)}=frac {1}{3}}.

복소수

기하 급수에 대한 합산 공식은 공통 비율이 복소수인 경우에도 유효합니다.이 경우 r의 절대값이 1 미만인 조건은 r의 계수가 1 미만인 상태가 됩니다.명확하지 않은 일부 기하 급수의 합계를 계산할 수 있습니다.예를 들어 다음과 같은 제안을 고려합니다.

\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {sin(kx)}=param frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}

그 증거는 ...라는 사실에서 나온다.

(\displaystyle \sin(kx)=sigfrac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i})

오일러 공식의 결과입니다이것을 원래의 시리즈로 대체하면,

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]

^{k}-\sum _{k=0}^{\infty}\leftfrac {e^{-ix}}{r}}\오른쪽)

^{k}\right

이것이 두 기하 급수의 차이이므로 증명을 완성하는 무한 기하 급수에 대한 공식을 쉽게 적용할 수 있습니다.

제품.

기하급수의 곱은 모든 항의 곱이다.수열의 첫 번째 및 마지막 개별 항의 기하 평균을 취하여 해당 평균을 항 수에 의해 주어진 거듭제곱으로 올림으로써 빠르게 계산할 수 있습니다.(이것은 산술 수열의 항의 합계에 대한 공식과 매우 유사합니다. 즉, 처음과 마지막 개별 항의 산술 평균을 구하여 항의 수를 곱합니다.)

두 숫자의 기하 평균은 곱의 제곱근과 같으므로 기하 급수의 곱은 다음과 같습니다.

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

i

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

=

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

r

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

(

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

⋅

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

)

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

+

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

(

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

n

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

)

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

+ 1 ( \

displaystyle

\

display _

{ i

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

=

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

0

}^{

n }

= scdot

{ a \

cdot ar

^ { n ^ { n }} = scdot \ cdot { a

ar

^{ n } } = {

a^{

n } } ^{

n+

1}

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

^{

n

} ^{ n } } =

scdlincdiscdlincd

(이 공식의 흥미로운 측면은 $음수$ 인 r의 홀수승의 제곱근을 취하더라도 $a$ 와 r 중 $어느$ 것도 허수가 없으면 복잡한 결과를 얻을 수 없다는 것이다.r이 $음수$ 이고 n이 홀수일 $경우$ , 음수 중간 결과의 제곱근을 취하여 후속 중간 결과가 허수일 수 있다.단, 이 방법으로 형성된 가상 중간값은 곧 $\textstyle n+1$ + $1$ 의 거듭제곱이 됩니다. $n$ 은 그 자체로 홀수이기 $때문$ 에 짝수여야 합니다.따라서 계산의 최종 결과는 그럴듯하게 홀수일 $수$ 는 있지만 결코 가상일 수는 없습니다.)

증명

P가 제품을 나타내도록 $하자$ .정의상, 각 개별 용어를 명시적으로 곱하여 계산한다.전문으로 쓰여져 있습니다.

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

r

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

a

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

-

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

a

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

n 、 r

n

\

cdot

ar

^

{2

}

\

cdots

ar^ {

n

- 1

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

} 。

곱셈을 수행하고 비슷한 용어를 수집하면

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

+

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

r

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

+

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

+

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

+

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

+ (

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

n -

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

) +

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

{ \

displaystyle

P

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

= a^ {

n

+ 1

}r^

{

1

+

2

+

3

+ \

cdots

+ ( n -

1

) +

n

} 。

r의 $지수$ 는 산술 수열의 합이다.그 계산식을 대입하면

P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}

P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}

이를 통해 표현 방식을 단순화할 수 있습니다.

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

(

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

2

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

)

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

+

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

(

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

)

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

+

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

{

displaystyle

P = (

ar

^ { \

frac

{

n

} { }

)^{n+

1} = ( a

sqrtrt

{

r

^ {

n

}

)^{n+

1}

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

} 。

a를 2 $(\$ 로 다시 $씁니다$ .

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

(

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

2

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

)

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

+

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

({

displaystyle

P

=sqrt {a^{2}r^{n}})^{n+1

이것으로 증거는 끝납니다.

역사

메소포타미아 초기 왕조 시대의 점토판 MS 3047은 베이스 3과 곱셈기 1/2를 가진 기하 급수를 포함한다.슈루팍에서 온 수메르인일 것으로 추정되고 있다.이것은 바빌로니아 ^[2]수학 이전부터의 기하급수적 수열로 알려진 유일한 기록이다.

유클리드의 원소의 제8권과 제9권은 기하급수(예: 2의 거듭제곱, 자세한 내용은 기사 참조)를 분석하고 그 특성 ^[3]중 몇 가지를 제시한다.

「」를 참조해 주세요.

산술적 수열 – 일련의 숫자
산술 기하학적 수열
선형 차분 방정식
지수함수 – exp(x) 또는 e^x로 표시되는 수학함수
조화 수열 – 산술 수열의 역수를 취함으로써 형성되는 수열
고조파 급수 – 모든 양의 단위 분수의 발산 합
무한 시리즈– 무한 합계
바람직한 수 – 특정 제약 조건 내에서 정확한 제품 치수를 선택하기 위한 표준 가이드라인
토머스 로버트 맬서스– 영국 정치경제학자(1766년–1834년)
기하 분포 – 확률 분포

레퍼런스

^ "Set Partitions: Stirling Numbers". Digital Library of Mathematical Functions. Retrieved 24 May 2018.
^ Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text". In Friberg, Jöran (ed.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050.
^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.

Hall & Knight, 고등 대수학, 39페이지, ISBN 81-8116-000-2

외부 링크

"Geometric progression", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Mathalino.com의 유한 및 무한 기하 급수 합계에 대한 공식 도출
기하급수 계산기
기하급수 합계의 멋진 증명은 sputsoft.com에서 확인할 수 있습니다.
Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.

[1] "Set Partitions: Stirling Numbers". Digital Library of Mathematical Functions. Retrieved 24 May 2018.

[2] Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text". In Friberg, Jöran (ed.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050.

[3] Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.

[2]

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