절대 수렴

수학에서는 총수의 절대값의 합이 유한하면 절대적으로 (혹은 절대적으로 수렴되는) 수의 무한 계열이 된다고 한다. More precisely, a real or complex series ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ is said to converge absolutely if ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left a_{n}\right =L}$ for some real number ${\displaystyle \textstyle L.}$ Similarly, an improper integral of a function, ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$ is said to converge absolutely if the integral of the absolute value of the integrand is finite—that is, if ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty } f(x) dx=L.$$}$

절대 수렴은 모든 수렴 시리즈가 소유하지 않는 유한금액의 성질을 가질 정도로 정의가 강하지만 공통적으로 발생할 만큼 넓기 때문에 무한 직렬의 연구에 중요하다.(절대 수렴되지 않은 수렴 시리즈는 조건부 수렴이라고 한다.) 절대적으로 수렴성 있는 시리즈는 "착하게" 행동한다. 예를 들어, 재배열은 총액의 값을 변경하지 않는다. 조건부 수렴 영상 시리즈에는 해당되지 않음: The alternating harmonic series ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$ converges to ${\displaystyle \ln 2,}$ while its rearrangement ${\textstyle 1+{\$$frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ (in which the repeating pattern of signs is two positive terms followed by one negative term) converges to ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2.}$

배경

시리즈$\underset{nn}{\overset{}{}}$= $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$ $\underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}$ $n_{}${\$textstyle \sum$ _${n=0$$}^{\$$$}$a_{n}}}$의 수렴을 연구할 수 있는데, ${\displaystyle {이}_{}}$ $용어$는 임의의 아벨 위상학 그룹의 요소들이다$$. 절대 수렴의 개념은 더 많은 구조, 즉 규격을 필요로 하는데, 이는 ${\mathbb{}}_{}$ 그룹 G ${\displaystyle G}($서면 추가적으로, ID 요소 0으로, 추가적으로, 추가적으로)에 대한 양의 실질 가치 함수 $\Vert$ ‖ $\backslash$ $\backslash$ \ {$${$\$

1. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ID 요소의 표준은$$ 0: $∆{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ =${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ \ $0\$= $0.}$
2. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ G${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\in$ G$,}$${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Vert }$= 0 ${\displaystyle$\ x$\ =0}$은(는) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ x$=0$을 의미한다$.$$}$
3. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle x\in$ G$,}$ $\Vert$${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x\Vert .}$ ${\displaystyle$\$-x\ =\ x\ .}$
4. 모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle x,y\in$ G$,}$ $\Vert$${\displaystyle }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Vert }$ +${\displaystyle +}$ ${\displaystyle y\Vert .}$ ${\displaystyle$\$x+y\ \leq$\$x\ +\ y\}$

이 경우 기능 d(), y)= ‖ x − y‖{\displaystyle d(x, y)=\ x-y\}.{G.\displaystyle}그러므로 우리는 이러이러한 시리즈를 정의한다면∑ nx0∞ 오빠 ‖<>∞ ‖ 절대적으로 수렴할 G{G\displaystyle}-valued회 연속해서 고려할 수 있G에 대한 계량 공간(위상의 형식)의 구조를 유발한다. {$\textstyle \sum _{n=0}^{\nft }\a_{n}\\\\nft .}$

특히 이러한 문장은 실수나 복잡한 숫자의 공간에서 표준 x $displaystyle$x$}($절대 값)를 ${\displaystyle 사용}$하여 적용한다.

위상 벡터 공간에서

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 벡터 공간(TV)${}_{}$및 (${{x\alpha }_{}}_{}$ )${{}_{}}_{}$ α${\mathrm{style}}_{}$ A$${\$textstyle \reft(x_{\alpha }\오른쪽$)_${\alpha \in$ A}}이$($$가$) X ${\displaystystyle X}$의 (분할 수 없는) 패밀리라면^[1] 이 패밀도 절대적으로 계산 가능함).

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ is summable in ${\displaystyle X}$ (that is, if the limit ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{$그물의 $H$$\}({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {H_{}}_{}}$) ${\displaystyle {H\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$H}\오른쪽)_{$$H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ converges in ${\displaystyle X,}$ where ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ is the directed set of all finite subsets of ${\displaystyle A}$ directed by inclusion ${\displaystyle \subseteq }$ and ${\textstyle x_{$$H:=\sum _{i\in H}x_{i}})$ $$및
2. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 모든 연속 세미노름 p ${\displaystyle p}$에 대해, 패밀리$p$( ${x_{}}_{}$α )${}_{}$ A ${\$ $\$$in$ A$}$는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\\\\displaystymathb$ {$R}}}$로 요약할$$ 수 있다.

If ${\displaystyle X}$ is a normable space and if ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ is an absolutely summable family in ${\displaystyle X,}$ then necessarily all but a countable collection of ${\displaystyle x_{\alpha }}$'s are 0.

절대적으로 포괄적인 가정은 핵 공간 이론에서 중요한 역할을 한다.

수렴관계

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 메트릭 d${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ d$,}$과(와) 관련하여 완료되면 모든$$ 절대 수렴 영상 시리즈가 수렴된다. 그 증거는 복잡하게 평가된 시리즈와 같다: 완전성을 이용하여 정합화 기준을 도출한다. 시리즈는 꼬리가 임의로 규범적으로 작게 만들어질 수 있는 경우에만 수렴된다. 그리고 삼각형 불평등을 적용한다.

특히 바나흐 공간에서 값을 갖는 계열의 경우 절대 수렴은 수렴을 의미한다. 절대 수렴이 정규화된 공간에서의 수렴을 의미한다면, 그 공간은 바나흐 공간이다.

만약 어떤 시리즈가 수렴되지만 절대적으로 수렴되지 않는다면, 그것은 조건적으로 수렴이라고 불린다. 조건부 수렴 시리즈의 예로는 교류 고조파 시리즈가 있다. 비율 검정과 뿌리 검정 등 다양성과 수렴에 대한 많은 표준 시험은 절대 수렴을 나타낸다. 전력 시리즈가 컨버전스 디스크 내부에 절대적으로 수렴되기 때문이다.^[a]

모든 절대적으로 수렴되는 복잡한 숫자의 연속이 수렴된다는 증거

$\backslash$mathb {C$}$에서 $k_{}{}_{}{}_{}$ C ${\$in $\mathb$ {$C}$이(가) 수렴된다고$$ 가정합시다. Then equivalently, ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ is convergent, which implies that ${\textstyle \sum \left \operatorname {Re} \left(a_{k}\righ$$t)\오른쪽 }$과(와)$$∑ $임$ $(k_{}$) $textstyle \sum \left \operatorname {Im} \left(a_{k}\오른쪽)\right}}}$은(와) 비음수 용어의 용어 비교별로 수렴한다$$. It suffices to show that the convergence of these series implies the convergence of ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ and ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ for then, the convergence of $\sum a_k=\sum \mathrm{Re}\left(a_k\right)+i\sum \mathrm{Im}(a_k$$)$ ${\$은(으) 복합 값 시리즈의 수렴 정의에 따른다.

앞의 논의에서는 ${}_{}$ $a{}_{},{}_{}$ $k\mathbb{}$ ${}_{}$ R ${\$에서 $\backslash$ a${}_{}$. ${\textstyle \sum a_{k$}}의 수렴이 k$$. {\textstylease a_{k$}$의 합치를 의미한다는$$ 것만 입증하면 된다는 것을 알 수 있다.$}$

$\backslash$mathb {$}$에서 $k_{}{}_{}{}_{}$ R ${\$in $\mathb$ {$R}$이(가) 수렴되도록$$ 두십시오. $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ 2 ${\displaystyle a_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0\leq a_{k}+\왼쪽 a_{k}\$오른쪽 $\leq 2\left a_{$k}\$right ,}$이(가) 있음

Since ${\textstyle \sum 2\left a_{k}\right }$ is convergent, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left a_{k}\right \right)}$ is a boundedmonotonicsequence of partial sums, and ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left$$a_{k}\right \right$)}도$$ 수렴해야 한다$.$ ${}_{}$ $a_{}$ =$\sum$ ($k{}_{}{}_{}$+ $k_{}{}_{}$) -$\sum$ $a_{}$ k $textstyle \sum a_{k}=\sum \left a_{k}+\left a_{k}\right \sum \$sum \$reft a_{k$}\$right}}$이 융합 계열의 차이라는$$ 점에 주목하면, 역시 원하는 대로 수렴 계열이라는 결론을 내린다.

Cauchy 기준과 삼각형 불평등을 이용한 대안적 증거

복합 시리즈의 수렴에 대한 코치 기준을 적용함으로써, 우리는 또한 이 사실을 삼각 불평등의 단순한 함축으로 증명할 수 있다.^[2] 그 코시 기준으로서, 나는{\textstyle\sum a_{나는}}는 한 점인 경우와 아무ε 을에;0, 만약{\displaystyle \varepsilon>;0,}관계가 N{N\displaystyle}가 ∑ 나는 갈m의 스녀는 명확히 설명)∑ 나는 갈m의 스녀는 나는 <,ε{\textstyle \left \sum_{i=m}^{n}\left a_{나는}\right ∑.\right=\sum _{i=m}^{n}a_{나는}<>\varepsilon}어떤 n을을 위해;입니다 나이≥ N.{\displaystyle n>, m\geq N.} 하지만 삼각 부등식은 ∑ 나는 m의 스녀는 나는 ≤ ∑ 나는 m의 스녀는 명확히 설명,{\textstyle{\big}\sum _{i=m}^{n}a_{나는}{\big}\leq\sum _{i=m}^{n}a_{나는},}∑ 나는 정도가 너무 m의 스녀는 나는 &lt원 정도를 암시한다.;ε{\tex $\left \sum$ ${i=m}^{n}$${i}\$right $<\varepsilon }$ 모든 n > m${$N, {\$displaysty n>$m$\geq$ N$,}$에 대한 Cauchy 기준이 ${}_{}$ ${\textstylease \sum$ \sum $a_{i}$이다.$}$

Banach 공간에서 완전히 수렴되는 모든 시리즈가 수렴된다는 증거

The above result can be easily generalized to every Banach space ${\displaystyle (X,\ \,\cdot \,\ ).}$ Let ${\textstyle \sum x_{n}}$ be an absolutely convergent series in ${\displaystyle X.}$ As ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\ x_{k}\ }$ is a Cauchy sequence of real n탯줄은 > ${\displaystyle \varepsilon$>$0$$}$ 및 충분히 큰 자연수 > ${\displaystyle$m >n}에 대해 다음을보유한다.

표준 ǁǁ⋅에 대한 삼각불평등에 의해, 즉시 다음과 같은 결과를 얻는다.

즉, $\sum \underset{k}{\overset{}{}}$= $\underset{}{\overset{}{}}$ x $k_{}$ ${\$는 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X$,}$의 Cauchy 시퀀스이므로$$ 시리즈는 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에서 수렴됨.

재배열 및 무조건 수렴

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -값$$ 시리즈의 일반적인 맥락에서 절대 수렴과 무조건 수렴을 구분하며, 절대 수렴이 아닌 실질 또는 복합 직렬이 반드시 조건적으로 수렴(무조건 수렴이 아니라는 의미)이 되어야 한다는 주장은 그때 정의가 아니라 하나의 정리라고 할 수 있다. 이것은 아래에 좀 더 자세히 설명되어 있다.

Given a series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ with values in a normed abelian group ${\displaystyle G}$ and a permutation ${\displaystyle \sigma }$ of the natural numbers, one builds a new series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)},}$ said to 원작을 재배열하다 시리즈는 시리즈물의 모든 재배열이 동일한 값으로 수렴되는 경우 무조건 수렴된다고 한다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 완료되면 절대 수렴은 무조건 수렴을 의미한다.

화제의 문제가 흥미롭다. 실제 시리즈의 경우, 그것은 리만 재배열 정리로부터 무조건적인 수렴이 절대적 수렴을 내포한다는 것을 따른다. 유한 차원 규범된 공간에 값을 갖는 시리즈는 각각의 1차원 투영이 절대적으로 수렴되는 경우 절대적으로 수렴되므로, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{n$$$}}$ 값 시리즈에 대해 절대적 및 무조건적 수렴이 일치한다는 것을 따른다.

그러나 바나흐 공간 ℓ에는^∞ 다음과 같은 값을 가진 무조건적이고 절대적인 수렴 시리즈가 있다.

${\displaystyle {여기}_{}^{}}$서${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 정형외과적 기준이다$$. A의 정리. 드보레츠키와 C. A. 로저스는 모든 무한 차원 바나흐 공간은 절대적으로 수렴되지 않는 무조건적인 수렴 시리즈를 인정한다고 주장한다.^[4]

정리증거

> ${\displaystyle \varepsilon >0,}$에 대해 다음과 같이$$ ${\displaystyle {\kappa }_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N\mathbb{},}$ ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathb {N}$을 선택할 수 있다$.$

내버려두다

마지막으로 정수 > , ${\$에 대해 다음을 수행하십시오.

그러면

이것은 라는 것을 보여준다.

즉,

Q.E.D.

시리즈 제품

적어도 하나의 시리즈가 절대적으로 수렴된다면 두 시리즈의 코치 제품은 합계의 산물로 수렴된다. 즉, 라고 가정한다.

Cauchy 제품은 c ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 항의 합으로 정의된다. 여기서$$:

${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 또는$$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 합이 절대적으로 수렴되는 경우

집합에 대한 절대 수렴

직렬의 절대 수렴의 일반화는 집합에 대한 함수의 합계의 절대 수렴이다. We can first consider a countable set ${\displaystyle X}$ and a function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$ We will give a definition below of the sum of ${\displaystyle f}$ over ${\displaystyle X,}$ written as ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).$$}$

첫째, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 특정 열거(또는 "인덱싱")가 아직 지정되지 않았으므로$$ 시리즈$\underset{series}{}$ x $\underset{}{\in }$ $\underset{}{}$ f$$( $x$) ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$는 시리즈의 보다 기본적인 정의로 이해할 수 없다는$$ 점에 유의하십시오. 실제로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$의 특정 예에 대해 X {\$displaystyle X}$에 $대한{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 합은 전혀 정의되지 않을 수$$ 있으며, 일부 인덱싱은 조건적으로 수렴 영상 시리즈를 생성할 수 있기 때문이다.

Therefore we define ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ only in the case where there exists some bijection ${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$ such that ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ is absolutely convergent. 여기서 "절대 수렴"은 인덱싱된 시리즈에 적용되는 보다 기본적인 정의를 사용한다는 점에 유의하십시오. 이 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 $대한{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 합계가 다음과 같이 정의된다$$^[5].

시리즈가 절대적으로 수렴되기 때문에 모든 재배열은 $다른{\displaystyle }$ 바이어싱 g${\displaystyle .}$ ${\displaystyle g.}$의 선택과 동일하다는 점에 유의하십시오. 이 모든 합은 $동일$한 값을 가지기 때문에$$ X ${\displaystyle$ X$}$에 대한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$의 합은 잘 정의되어$$ 있다.

$더{\displaystyle }$ 일반적으로 우리는 X ${\displaystyle X}$을(를) 계산할 수 없는$$ $경우$ X$${\$displaystyle X}$에 $대한{\displaystyle }$f {\$displaystyle$f}의 합계를 정의할 수 있다. 그러나 먼저 우리는 합이 수렴되는 것이 무엇을 의미하는지 정의한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 설정하거나 카운트 가능 또는 마운트 $해제$하고 f :${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {$R}$ 함수$$$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 합은 다음과 같은 경우에 절대적으로 수렴된다고 한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 합이 절대적으로 수렴된 경우$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$은(는) 최대 카운트 가능한 집합에서 0이 아닌 값을 취한다는$$ 정리가 있다. 따라서 합계가 절대적으로 수렴되는 경우$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 합계에 대한 정의는 다음과 같다.

최종 시리즈는 카운트할 수 있는 집합에 대한 시리즈 정의를 사용한다는 점에 유의하십시오.

어떤 저자들=1∞ ∑ nx1∞ m, n{\textstyle \sum_{m=1}^{\infty}\sum _{n=1}^{\infty}a_{m,n}}절대적으로 수렴서라면 그iterated 시리즈 ∑ m분=1∞ ∑ nx1∞ m, n<>∞.{\textstyle \sum_{m=1}^{\infty}\sum _{n=1}^{\infty}a_{m,n}<>\infty.}[6]는iterated 합 ∑ m을 정의한다.이것은 in fact equivalent to the absolute convergence of ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ That is to say, if the sum of ${\displaystyle f}$ over ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb$${N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ converges absolutely, as defined above, then the iterated sum ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ converges absolutely, and vice versa.

통합의 절대적 융합

The integral ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ of a real or complex-valued function is said to converge absolutely if ${\textstyle \int _{A}\left f(x)\right \,dx<\infty .}$ One also says that ${\displaystyle f}$ is absolutely integrable. 절대적 통합성의 문제는 복잡하며 리만, 르베그 또는 쿠르츠웨일-헨스톡(게이지)의 적분을 고려하느냐에 달려 있다. 리만 적분의 경우 적정한 의미에서만 통합성을 고려하느냐(${\displaystyle }$$$ ${\displaystyle$ $f$$}$와 A ${\displaysty$ A$}),$ 보다 많은 g를 허용하느냐에도 달려 있다.부적절한 통합의 경우

$리만{\displaystyle }$ 적분(${\displaystyle \mathrm{Riemann})}$의 표준 속성으로서${\displaystyle A}$= [ a , b ] ${\displaystyle$ A=[a,b$]}$이(가${\displaystyle )}$ 경계 구간이면$$ 모든 연속함수가 경계되고 (Riemann) 통합이 가능하며, $f{\displaystyle }$ $displaysty$ f$} 연속성$을 ${\displaystyle 의미}$하므로 모든 연속함수는 절대적으로 통합이 가능하다. In fact, since ${\displaystyle g\circ f}$ is Riemann integrable on ${\displaystyle [a,b]}$ if ${\displaystyle f}$ is (properly) integrable and ${\displaystyle g}$ is continuous, it follows that ${\displaystyle f = \cdot \circ f}$ is properly Riemann integrable if ${\displaystyle f}$$(\displaystyle f)$는. 그러나 이러한 함축적 의미는 부적절한 통합의 경우에는 적용되지 않는다. 예를 들어 $f$:$$[ $1$,$\mathrm{\infty }$)$$→ R$$: $x$ $\mapsto$ $\frac{\sin }{}$ x$\frac{}{}${ $\frac{}{}$ { x $\$ f$:[1,\inflt )\to \mathb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}}}$은(는) 무한 도메인에서 부적절하게 통합될 수 있지만$$ 절대적으로 통합할 수는 없다.

Indeed, more generally, given any series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ one can consider the associated step function${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.$$}$ 그러면$$ $\int {}_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ ${}_{}^{}{}_{}$ $d{}_{}$ $x$ ${\textstyle \int _{0}^{\infit }f_{a}\,dx}$은(는$$) 절대적으로 수렴하거나 조건부로 수렴하거나$\underset{}{\overset{}{}}{0}_{}$ $\underset{}{\overset{}{n}}$ $\underset{}{\overset{}{=}}$ 0${}_{}$ ${\textyle \sum$ \sum $_{n=0}^{\ftypty}.$$}$

한정된 통합 영역과 무한 통합 영역을 별도로 처리하지 않는 르베그 통합 영역에 대해서는 상황이 다르다(아래 참조). $위$의 예에서 ${\displaystyle f}$ $displaystyle$f$}$의 적분이 무한하다는$$ 사실은 f ${\displaystyle f}$도 르베그 의미에서 적분할 수 없다는$$ 것을 암시한다. 실제로 르베그 통합론에서는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 측정할 수 있다는 점에서 f $displaystyle$ f$}$을(를) 통합할$$ 수 있는 경우에만 $f{\displaystyle }$ ${\$displaystyle f$}$을(를) 통합할 수 있다. 그러나, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 측정할 수 있다는 가설은 매우 중요하다. $일반적$으로 $[{\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$]$${\$displaystyle [a$$,b$$]}$의 절대적으로 통합 가능한$$ 함수는 (단순히 측정할 수 없기 때문에) 통합이 가능하지 않다: S$$): [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaysty subset [a,$ b]를 측정할$$ 수 없는 하위 집합으로 간주한다. ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ where ${\displaystyle \chi _{S}}$ is the characteristic function of ${\displaystyle S.}$ Then ${\displaystyle f}$ is not Lebesgue measurable and thus not integrable, but ${\displaystyle f \equiv 1/2}$ is a constant function a그리고 명확하게 통합할 수 있다.

한편, ${\displaystyle 기능}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) Kurzweil-Henstock 통합 가능(게이지 통합 가능)인 반면$$ f $displaystyle$f }은$($는) 통합되지 않을$$ 수 있다. 여기에는 부적절하게 Riemann 통합 가능한 기능의 사례가 포함된다.

일반적인 의미에서, 어떤 측정 $공간{\displaystyle }$A , ${\displaystyle A,}$실제 값 함수의 Lebesgue 적분은 그것의$$ 긍정적이고 부정적인 부분으로 정의되므로, 그 사실은 다음과 같다.

1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ 통합$$ ${\displaystyle 가능}$은 f${\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$ 통합$$ 가능을 의미한다.
2. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ 측정$$ 가능, ${\displaystyle f}$ $displaystyle f}$ 통합$$ $가능$은 f ${\displaystyle f}$ 통합$$ 가능을 의미한다.

본질적으로 르베그 적분의 정의에 내장되어 있다. 특히, 이 이론을 $S{\displaystyle }$,$${\$displaystyle S}$에 대한 계수 측정에 적용하면$$, 무어-스미스가 (현재는 무엇이라고 부름) 그물을 사용하여 개발한 연속물의 미순 합계 개념을 회복한다. $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ S$=\mathb {N}이($가) 자연수$$ 집합일 때, Lebesgue 통합성, 순서 없는 종합성 및 절대 수렴성 모두 일치한다.

마지막으로, 위의 모든 것은 바나흐 공간에서의 가치와의 통합을 유지한다. 바나흐 값 리만 적분의 정의는 일반적인 것의 명백한 수정이다. 르베그 적분을 위해서는 보다 기능적인 분석적 접근법을 통해 양극과 음극으로 분해되는 것을 우회하여 보치너 적분을 얻을 필요가 있다.

참고 항목

• Cauchy principle value – 정의되지 않은 일부 부적절한 통합에 값을 할당하는 방법
• 조건부 수렴
• 푸리에 시리즈의 융합
• 푸비니의 정리 – 미적분에서의 통합 순서 전환 조건
• 수렴 모드(공지지수)
• 리만 시리즈 정리 – 무조건 시리즈 수렴 절대
• 무조건 수렴
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

메모들

참조

인용된 작품

• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

일반참조

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• 월터 루딘, 수학 분석의 원리 (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
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