논리의 역사

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논리의 역사는 타당한 추론의 과학 발전의 연구를 다룬다.공식 논리는 고대 인도, 중국, 그리스에서 발전했다.그리스 방법들, 특히 오르가논에서 발견된 아리스토텔레스 논리학(또는 용어 논리학)은 ^[1]수천 년 동안 서양 과학과 수학에서 폭넓게 적용되고 받아들여졌다.스토아파, 특히 크리시푸스는 술어 논리의 개발을 시작했다.

보이티우스(524년 사망), 이븐 시나(1037년 사망), 옥캄의 윌리엄(1347년 사망)과 같은 기독교와 이슬람 철학자들은 14세기 중반 장 부리단과 함께 아리스토텔레스의 논리를 더욱 발전시켰다.14세기에서 19세기 초반 사이의 기간은 크게 감소와 방치를 보았고, 적어도 한 논리학 역사학자는 이 시기를 ^[2]불모지로 간주한다.프란시스 베이컨 경의 1620년 노붐 오르가논에서 증명되었듯이, 경험적 방법들이 그 날을 지배했다.

논리는 19세기 중반, 그리스 ^[3]전통에 귀 기울이는 수학에서 사용되는 정확한 증명 방법을 예로 든 엄격하고 형식적인 규율로 발전한 혁명기 초기에 되살아났다.이 시기 동안 불, 프레지, 러셀, 페아노와 같은 사람들에 의한 현대의 "상징적" 또는 "수학적" 논리의 발전은 논리학의 2,000년 역사에서 가장 중요한 것이고, 거의 틀림없이 인간의 지적 ^[4]역사에서 가장 중요하고 주목할 만한 사건들 중 하나이다.

특히 괴델과 타르스키의 작품에서 비롯된 20세기 첫 몇 십 년 동안의 수학 논리학의 발전은 분석 철학과 철학 논리에 특히 1950년대 이후, 양상 논리, 시간 논리, 그리고 관련 논리와 같은 주제에서 중요한 영향을 미쳤다.

동양의 논리

인도의 논리

힌두 논리

기원.

리그베다의 Nasadiya Sukta(RV 10.129)는 다양한 논리 구분에 대한 존재론적 추측을 포함하고 있으며, 이는 나중에 "A", "A", "A", "A 아님", "A 아님", "A 아님"의 네 개의 원으로서 공식적으로 재연되었다.

누가 알겠습니까?
여기서 누가 선언할 것인가?
그것은 어디서 생산되었습니까?이 작품은 어디서 만들어졌나요?
신들은 이 우주의 창조와 함께 왔다.
그러면 누가 그것이 어디서 발생했는지 알 수 있을까?

--

논리는 고대 인도에서 독립적으로 시작되었고 그리스 ^[8]논리의 어떤 알려진 영향도 없이 초기 현대에까지 계속 발전했다.

고타마 전

이성적인 질문의 한 형태인 공론(pari),ad)의 기원은 분명하지 않지만, 우리는 공론이 다양한 우파니애드와 초기 불교 문헌에서 자주 언급되기 때문에 고전적인 인도에서 일반적이었다는 것을 알고 있다.대중 토론은 고전주의 이전의 인도에서 유일한 형태의 대중 심의는 아니다.관련 전문가로 구성된 다양한 종류의 의회(파리닷 또는 사바)가 행정, 법률 및 종교 문제를 포함한 다양한 문제를 심의하기 위해 정기적으로 소집되었다.

다타트레야

다타트레야라는 철학자는 바가바타푸라나에서 안블릭시클을 아이아르카, 프라하다 등에게 가르쳤다고 한다.마르칸데야 푸라나에서 그가 설명한 앙블키식르비디아는 요가 철학에 따라 영혼에 대한 단순한 징표로 구성되었다고 나타난다.Datatreya는 Anvlksiki의 논리적 ^[9][10]측면이 아닌 철학적 측면을 설명했다.

메드하티티 고타마

앞에서 말한 선생님들이 안육기의 특정 주제를 다루었지만, 과학이라는 특별한 의미에서 안육기를 창시한 공적은 메드하티티 고타마(기원전 6세기)에 있다.과타마는 ^[11]논리학파를 창시했다.기원전 5세기 경의 마하바라타(12.173.45)는 논리학의 안비키와 타르카 학파를 말한다.

파니니

파시니(기원전 5세기)는 산스크리트 문법의 공식화를 위해 논리 형태를 개발했다.논리는 Chanakya(기원전 350년-283년)에 의해 그의 Arthashastra에서 독립적인 ^[12]연구 분야로 묘사된다.

냐야바시카

인도의 사상가 6명 중 2명은 논리를 다루고 있다.냐야랑 비에시카.악사파다 고타마의 냐야 수트라스는 힌두교 철학의 6대 정통파 중 하나인 냐야파의 핵심 문헌을 구성한다.이 현실주의 학파는 최초의 전제, 이유, 예시, 적용 및 ^[13]결론을 포함하는 엄격한 5인 추론의 스키마를 개발했습니다.이상주의 불교 철학은 나이야이카에 대한 주요 반대자가 되었다.

제인 로직

Jains는 기본적인 인식론적 문제, 즉 지식의 본질, 지식이 어떻게 도출되는지, 그리고 지식은 어떤 방식으로 신뢰할 수 있다고 말할 수 있는지에 대한 문제에 몰두함으로써 논리의 주류 발전에 그들만의 독특한 공헌을 했다.자인 논리

Jains 부부는 논리와 추론에 사용되는 상대성 원칙을 가지고 있다.

• 아네칸타바다 - 상대적 다원론 또는 다양성 이론
• 샤드바다 – 조건화된 전제 이론 및
• Nayavada – 부분적 입장의 이론.

이러한 자인 철학 개념은 고대 인도 철학, 특히 회의론과 상대성 이론 분야에서 가장 중요한 기여를 했습니다.[4]^[14]

불교 논리

나가르주나

Madhyamaka(중도)의 창시자인 나가르주나(서기 150-250년경)는 명제의 4가지 가능성 각각에 대한 체계적인 검토와 거부를 수반하는 "4각" 논쟁 체계인 "catukokoii"(산스크리트어)로 알려진 분석을 개발했다.

1. P; 즉, 존재.
2. P가 아니다. 즉, 존재하지 않는다.
3. 

   불교 신곤파가 저술한 신곤하소조의 나가주나 그림.일본 가마쿠라 시대(13~14세기)
   P가 아닌 P, 즉 존재여부입니다.
4. not (P 또는 not P), 즉 존재도 존재도 하지 않습니다.
   명제논리에 따르면 De Morgan의 법칙은 이것이 세 번째 경우(P가 아닌 P)와 동일하며, 따라서 불필요하다는 것을 암시한다.실제로 고려해야 할 경우는 3개뿐이다.

디그나가

하지만, 디그나가 (기원후 480-540년)는 때때로 형식적인 삼단논법을 ^[15]발전시켰다고 하며, 불교 논리가 최고조에 달한 것은 그와 그의 후계자인 다르마키르티를 통해서였다; 그들의 분석이 실제로 형식적인 삼단논법 체계를 구성하는지는 논쟁의 여지가 있다.특히, 그들의 분석은 불변 동시 용량 또는 ^[16]퍼베이션으로도 알려진 추론-보증 관계인 "vyapti"의 정의에 초점을 맞췄다.이를 위해 '아포하' 또는 '분화'로 알려진 교리가 개발되었습니다.^[17]여기에는 정의 속성의 포함과 제외라고 할 수 있는 것이 포함되어 있습니다.

디그나가의 유명한 "이성의 바퀴"(헤투카크라)는 어떤 것(연기 등)이 다른 것의 불변의 신호로 받아들여질 수 있는지를 나타내는 방법이지만, 추론은 종종 귀납적이고 과거의 관찰에 기초한다.마틸랄은 디그나가의 분석이 ^[18]귀납적인 John Stuart Mill의 합의와 차이 공동 방법과 매우 유사하다고 말한다.

삼단논법과 영향

게다가, 전통적인 다섯 명으로 구성된 인도의 삼단논법은 연역적으로 타당하지만, 논리적 타당성에는 불필요한 반복을 가지고 있다.그 결과, 일부 해설자들은 전통적인 인도의 삼단논법을 세계의 많은 문화에서 완전히 자연스러운 수사적 형식이라고 보지만, 논리적으로 불필요한 모든 요소들이 분석을 위해 누락되었다는 의미에서는 그렇지 않다.

중국의 논리

중국에서, 공자의 동시대인인 "모사부"는 Mohist 학파를 설립한 것으로 알려져 있으며, Mohist 학파의 규범들은 타당한 추론과 올바른 결론의 조건과 관련된 문제들을 다루었다.특히, 모히즘에서 출발한 학파 중 하나인 논리학파는 형식 논리에 대한 초기 연구로 일부 학자들에 의해 인정받고 있다.그 이후의 진나라의 가혹한 법치주의로 인해, 불교에 의한 인도 철학의 도입까지 이 조사는 중국에서 사라졌다.

서양의 논리

논리의 선사

인류 역사의 모든 시기에 타당한 논리가 적용되어 왔다.그러나 논리학은 타당한 추론, 추론, 입증의 원리를 연구한다.결론을 입증하는 아이디어는 원래 "토지 측정"^[19]과 같은 의미였던 기하학과 관련하여 처음 떠올랐을 가능성이 높다.고대 이집트인들은 잘린 ^[20]피라미드의 부피에 대한 공식을 포함한 기하학을 발견했다.고대 바빌론은 수학에도 능숙했다.기원전 11세기의 에사길킨아플리의 의학 진단 핸드북은 논리적인 일련의 공리와 ^[21]가정에 기초하고 있는 반면, 기원전 8세기와 7세기의 바빌로니아의 천문학자들은 예측 행성 체계 내에서 과학 ^[22]철학에 중요한 공헌인 내부 논리를 사용했다.

아리스토텔레스 이전의 고대 그리스

고대 이집트인들은 기하학의 진실을 경험적으로 발견했지만, 고대 그리스인들의 위대한 업적은 실증적인 방법으로 대체한 것이었다.소크라테스 이전 철학자들의 탈레스와 피타고라스 둘 다 기하학의 방법을 알고 있는 것처럼 보인다.

초기 증거의 ^[23]조각들은 플라톤과 아리스토텔레스의 작품들에 보존되어 있고, 연역체계의 개념은 아마도 피타고라스 학파와 플라톤 ^[20]학회에서 알려져 있었을 것이다.알렉산드리아의 유클리드의 증거는 그리스 기하학의 패러다임이다.기하학의 세 가지 기본 원칙은 다음과 같습니다.

• 어떤 명제는 증명 없이 참으로 받아들여져야 한다; 그러한 명제는 기하학의 공리로 알려져 있다.
• 기하학의 공리가 아닌 모든 명제는 기하학의 공리로부터 다음과 같이 설명되어야 한다. 그러한 명제는 명제의 증명 또는 "파생"으로 알려져 있다.
• 증거는 형식적이어야 한다. 즉, 제안의 도출은 문제의 ^[20]특정 주제와 무관해야 한다.

초기 그리스 사상가들이 추론의 원리에 관심을 가졌다는 추가 증거는 아마도 기원전 4세기 초에 쓰여진 dissoi logoi라고 불리는 조각에서 발견됩니다.이것은 진실과 ^[24]거짓에 대한 장기간의 논쟁의 일부이다.고전적인 그리스 도시 국가의 경우, 논쟁에 대한 관심은 수사학자, 웅변가, 소피스트들의 활동에 의해서도 자극되었고, 그들은 법적,^[25] 정치적 맥락에서 논제를 옹호하거나 공격하기 위해 논쟁을 사용했다.

탈레스

그리스 ^[26][27]전통에서 최초의 철학자로 가장 널리 여겨지는 탈레스는 자신의 그림자가 자신의 키와 같은 순간에 피라미드의 높이를 그림자로 측정했다고 한다.탈레스는 피타고라스가 피타고라스 정리를 ^[28]가졌던 것처럼 탈레스의 정리를 발견한 것을 축하하기 위해 희생을 치렀다고 한다.

탈레스는 기하학에 적용된 연역적 추론을 사용한 최초의 사람이고, 그의 정리에 네 개의 결과를 도출함으로써, 그리고 수학적 발견이 ^[29]기인한 최초의 알려진 사람이다.인도와 바빌로니아의 수학자들은 그가 ^[30]그것을 증명하기 전에 특별한 경우에 대한 그의 정리를 알고 있었다.탈레스는 ^[31]바빌론을 여행하는 동안 반원에 새겨진 각도가 직각이라는 것을 배웠다고 믿어진다.

피타고라스

기원전 520년 이전에, 이집트나 그리스를 방문했을 때, 피타고라스는 54세 연상의 ^[32]탈레스를 만났을지도 모른다.증거에 대한 체계적인 연구는 기원전 ^[20]6세기 후반의 피타고라스 학파에서 시작된 것으로 보인다.사실, 모든 것이 숫자라고 믿는 피타고라스인들은 ^[33]물질보다 형태를 강조한 최초의 철학자들이다.

헤라클리토스와 파르메니데스

헤라클리토스의 글은 고대 ^[34]그리스 철학에서 로고라는 단어가 특별히 주목받은 최초의 장소였고, 헤라클리토스는 모든 것이 변하고 모든 것이 이 로고만으로 통일된 것처럼 보이는 불과 상충되는 상반된 것이라고 주장했다.그는 애매한 말로 알려져 있다.

이 로고는 항상 유지되지만 인간은 그것을 듣기 전과 처음 들었을 때 모두 그것을 이해할 수 없다는 것을 증명한다.모든 것은 이 로고와 일치하지만, 인간은 내가 말한 것과 같은 언행을 경험하고, 그 본성에 따라 서로를 구별하고, 그것이 어떤 것인지 말할 때 경험이 없는 사람과 같다.하지만 다른 사람들은 잠자는 동안 무엇을 하는지 잊어버리듯이 깨어 있을 때 무엇을 하는지 알아차리지 못한다.

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헤라클리토스와는 대조적으로 파르메니데스는 모든 것이 하나이며 아무것도 변하지 않는다고 주장했다.그는 하나(숫자)가 ^[35]다수를 생산한다는 것에 동의하지 않는 반체제 피타고라스인이었을지도 모른다."X is not"은 항상 false이거나 무의미해야 합니다.존재하는 것은 결코 존재하지 않을 수 없다.생성과 파괴에 대한 우리의 감각적 인식은 심각한 오류에 빠져 있다.지각 대신, 파르메니데스는 진실의 수단으로 로고를 주창했다.그는 ^[36][37]논리학의 발견자로 불리며

이 관점에서는 존재하지 않는 것이 결코 우세할 수 없습니다.당신은 당신의 생각을 이런 방식으로 탐구하는 것에서 벗어나야 하며, 평범한 경험으로 인해 눈이 보이지 않고 귀는 소리와 혀로 가득 차 있는 당신을 지배하게 해서는 안 된다. 그러나 당신은 내가 설명했던 많은 논쟁의 증거를 이성에 따라 판단해야 한다.

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파르메니데스의 제자인 엘레아의 제노는 레덕시오와 부조리움으로 알려진 증명 방법에서 발견되는 표준 논쟁 패턴에 대한 아이디어를 가지고 있었다.이것은 가정으로부터 명백히 잘못된(즉, "황당한") 결론을 도출하여 가정이 거짓임을 ^[38]증명하는 기술이다.그러므로,^[39] 제노와 그의 선생님은 논리학을 적용한 최초의 사람으로 여겨진다.플라톤의 대화 파르메니데스는 제노가 복수성이 있다고 가정하는 터무니없는 결과를 보여줌으로써 파르메니데스의 일원주의를 옹호하는 책을 썼다고 주장하는 것으로 묘사하고 있다.제노는 운동에 반대하는 그의 주장을 역설적으로 발전시키기 위해 이 방법을 사용한 것으로 유명하다.그러한 변증법적 추론은 후에 대중화 되었다.이 학교의 구성원들은 "변증학자"라고 불렸다.

플라톤

기하학에 무지한 사람은 여기에 들어오지 마라.

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위대한 4세기 철학자 플라톤 (기원전 428–347년)의 현존하는 어떤 작품도 형식 ^[40]논리를 포함하지 않지만, 철학 논리학 분야에 대한 중요한 공헌을 포함하고 있다.플라톤은 세 가지 질문을 제기한다.

• 참과 거짓이라고 할 수 있는 것은 무엇일까요?
• 유효한 주장의 가정과 그 결론 사이의 연관성은 무엇인가?
• 정의의 본질은 무엇입니까?

첫 번째 질문은 플라톤이 생각이나 의견을 대화나 담론(로고스)^[41]과 동일시하는 대화 Theaetetus에서 발생한다.두 번째 질문은 플라톤의 형태 이론의 결과이다.형태는 평범한 의미에서의 것도 아니고, 엄밀하게는 정신적인 것도 아니지만, 나중에 철학자들이 보편적이라 부르는 것, 즉 같은 이름을 가진 각각의 사물에 공통적인 추상적 실체에 해당된다.공화정과 소피스트 양쪽에서 플라톤은 유효한 주장의 가정과 그 결론 사이의 필요한 연관성은 "형식"^[42] 사이의 필요한 연관성에 해당한다고 제안한다.세 번째 질문은 정의에 관한 것입니다.플라톤의 많은 대화들은 어떤 중요한 개념의 정의를 찾는 것에 관한 것이고, 플라톤은 ^[43]수학에서 정의의 중요성에 감명을 받았을 것이다.모든 정의의 기초가 되는 것은 플라토닉 형식이며, 다른 특정한 사물에 존재하는 공통적인 성질이다.그러므로, 정의는 이해의 궁극적인 대상을 반영하며, 모든 유효한 추론의 기초가 된다.이것은 플라톤의 제자 아리스토텔레스, 특히 ^[44]사물의 본질에 대한 아리스토텔레스의 개념에 큰 영향을 미쳤다.

아리스토텔레스

아리스토텔레스의 논리, 특히 그의 삼단논법 이론은 서양 ^[45]사상에 큰 영향을 끼쳤다.아리스토텔레스는 논리 구문, 명사(또는 용어), 동사의 체계적 분석을 시도한 최초의 논리학자였다.그는 ^[46]논쟁의 근본적인 논리적 형식을 보여주기 위해 변수를 사용함으로써 추론의 원리를 증명한 최초의 형식 논리학자였다.그는 필요한 추론을 특징짓는 의존 관계를 찾고 이러한 관계의 타당성을 전제의 진실과 구별했다.그는 가장 먼저 모순의 원칙에 대처했고 체계적으로 ^[47]중도를 배제했다.

오르가논

오르가논이라고 불리는 그의 논리학은 현대에까지 내려온 논리에 대한 최초의 공식 연구이다.날짜를 결정하는 것은 어렵지만, 아리스토텔레스의 논리적인 저작의 가능한 순서는 다음과 같다.

• The Categories, 10가지 원시 용어에 대한 연구입니다.
• 변증법에 대한 논의인 주제('교양적 반박에 대하여'라는 부록 포함.
• 해석에서 단순 범주형 명제를 단순 용어, 부정 및 수량 기호로 분석하는 것입니다.
• 사전 분석(Prior Analytics)은 삼단논법을 만드는 것에 대한 공식 분석입니다(아리스토텔레스에 따르면 유효한 주장).
• 논리에 대한 아리스토텔레스의 성숙한 견해를 담은 과학적 실증 연구인 사후 분석.

이 작품들은 논리사에서 매우 중요하다.범주에서, 그는 용어가 언급할 수 있는 모든 가능한 것들을 식별하려고 노력합니다; 이 생각은 서구 사상에 깊은 영향을 미친 그의 철학 작품인 형이상학을 뒷받침합니다.

그는 또한 주제와 정교한 ^[47]반박에 제시된 비정형 논리 이론(즉, 오류 이론)을 개발했다.

해석은 반대와 변환의 개념을 포괄적으로 다루고 있으며, 7장은 반대 제곱(또는 논리 제곱)의 기원에 있으며, 9장은 모달 논리의 시작을 포함하고 있다.

사전 분석에는 사상 처음으로 세 가지 중요한 원칙이 적용되는 "시올로기즘"에 대한 그의 설명이 포함되어 있습니다. 변수 사용, 순수 형식적 처리, 그리고 자명한 시스템의 사용입니다.

스토아학

그리스 논리학의 또 다른 위대한 학파는 스토아 ^[48]학파이다.스토아식 논리의 기원은 소크라테스의 제자이자 플라톤의 동시대인인 기원전 5세기 후반의 철학자 유클리드까지 거슬러 올라가며, 아마도 파르메니데스와 제노의 전통을 따르고 있을 것이다.그의 제자와 후계자들은 "메가리아인" 또는 "에리스틱스"라고 불렸고, 나중에는 "변증인"이라고 불렸습니다.메가리아 학파의 가장 중요한 변증법학자는 기원전 4세기 후반에 활동한 디오도로스 크로노스와 필로였다.

스토아 학파는 메가리아 논리를 채택하여 체계화했다.이 학교의 가장 중요한 구성원은 세 번째 교장이자 스토아 교리의 많은 부분을 공식화한 크리시푸스였다.그는 논리에 관한 300여 편의 작품을 포함해 700여 편의 작품을 썼다고 하는데,^[49][50] 그 중 거의 남아 있지 않다.아리스토텔레스와는 달리, 우리는 메가리아인이나 초기 스토아학자들의 전집을 가지고 있지 않으며, 특히 디오게네스 라에르티우스, 섹투스 익스피리쿠스, 갈렌, 아울루스 겔리우스, 아프로디시스의 알렉산더, 키케로를 포함한 ^[51]후대의 자료들에 대부분 의존해야 한다.

스토아 학파의 세 가지 중요한 기여는 (i) 양식 설명, (ii) 물질 조건부 이론, (ii) 의미와 ^[52]진실의 설명이었다.

• 모달리티아리스토텔레스에 따르면, 그의 시대의 메가리안들은 잠재력과 ^[53]현실 사이에 차이가 없다고 주장했다.Diodorus Cronus는 가능성과 불가능성 중 하나를 참이 아닌 것으로 정의하고, 우발성을 이미 있거나 ^[54]거짓인 것으로 정의했습니다.디오도로스는 또한 그의 주요 주장으로 알려져 있는데, 이것은 다음의 세 가지 명제 중 각각의 쌍이 세 번째 명제와 모순된다는 것을 말한다.

• 지나간 모든 것은 진실이고 필요한 것이다.
• 불가능은 불가능에서 오는 것이 아니다.
• 불가능하지도 않고 불가능하지도 않은 것은 가능하다.

디오도루스는 처음 두 개의 타당성을 이용하여 그것이 ^[55]사실이 아니거나 사실이 아닐 경우 그 어떤 것도 가능하지 않다는 것을 증명했다.반면 크리시푸스는 두 번째 전제를 부인하며 불가능은 ^[56]가능에서 비롯될 수 있다고 말했다.

• 조건문조건론을 논한 최초의 논리학자들은 디오도로스와 그의 제자 메가라의 필로였다.Sextus Experius는 디오도로스와 필로 사이의 논쟁을 세 번 언급한다.필로는 전제조건이 진실인 동시에 거짓된 결과를 낳지 않는 한 진실이라고 여겼다.정확히는 T와₁ T를 참 스테이트먼트라고 하고₀ F와₁ F를 거짓 스테이트먼트라고 합니다₀.Philo에 따르면 다음 조건 각각은 참 스테이트먼트입니다.이는 결과가 거짓이고 선행 스테이트먼트가 참인 경우(참 스테이트먼트에서 거짓 스테이트먼트가 이어지는 경우)가 아니기 때문입니다.

• 만약₀ T라면, T₁.
• F이면₀₀ T
• F이면₀₁ F

다음 조건은 이 요건을 충족하지 않으므로 Philo에 따르면 허위 기술입니다.

• T이면₀₀ F

실제로, Sextus는 "[필로]에 따르면, 조건이 참일 수 있는 세 가지 방법과 ^[57]거짓일 수 있는 방법이 있다"고 말한다.필로의 진실 기준은 "만약..."의 진실함수적 정의라고 불릴 것이다.그렇다면"; 이것은 현대 논리학에서 사용되는 정의이다.

반면 디오도루스는 선행조항이 결코 거짓된 ^[57][58][59]결론으로 이어질 수 없는 경우에만 조건의 유효성을 허용했다.한 세기 후 스토아 철학자인 크리시푸스는 필로와 디오도로스의 가정을 공격했다.

• 의미와 진실.메가리아-스토이 논리와 아리스토텔레스 논리 사이의 가장 중요하고 두드러진 차이점은 메가리아-스토이 논리가 용어가 아닌 명제 논리에 관련되므로 현대 명제 ^[60]논리에 더 가깝다는 것이다.스토아 학파는 소음일 수 있는 발화(전화)와 명료하지만 의미가 없을 수 있는 말(렉시스)과 의미 있는 말인 담화(로고)를 구분했다.그들의 이론의 가장 독창적인 부분은 렉톤이라고 불리는 문장으로 표현되는 것이 진짜라는 생각이다; 이것은 현재 명제라고 불리는 것에 해당한다.Sextus는 스토아 학파에 따르면 세 가지가 서로 연결되어 있다고 합니다. 예를 들어 디온이라는 단어와 디온이라는 단어는 그리스인들이 이해하지만 야만인들은 이해하지 못하는 것이 바로 디온 ^[61]자신입니다.

중세 논리학

중동의 논리

알-킨디, 알-파라비, 아비켄나, 알-가잘리, 아베로이스와 다른 이슬람 논리학자들의 작품은 아리스토텔레스 논리에 기초했고 고대 세계의 사상을 중세 서양에 ^[62]전달하는 데 중요했다.알파라비(873–950)는 아리스토텔레스 논리학자로서 미래의 우연의 주제, 범주의 수와 관계, 논리와 문법 사이의 관계, 그리고 비 아리스토텔레스식 ^[63]추론의 형식을 논했다.Al-Farabi는 또한 ^[64]조건부 삼단논법과 유추론의 이론을 고려했는데, 이것은 아리스토텔레스식보다는 스토아식 논리 전통의 일부였다.

마이모니데스 (1138년-1204년)는 첫 번째 아리스토텔레스인 알-파라비를 "두 번째 거장"으로 언급하며 논리학 논문 (아랍어: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq)을 썼다.

이븐 시나 (아비센나) (980–1037)는 아리스토텔레스 논리학을 이슬람 ^[65]세계의 지배적인 논리 체계로 대체한 아비센 논리학의 창시자였으며, 알베르투스 ^[66]마그누스와 같은 서양 중세 작가들에게도 중요한 영향을 끼쳤다.아비세나는 가설 삼단논법과^[67] 명제 미적분에 대해 썼는데, 둘 다 스토아식 논리 ^[68]전통의 일부였다.그는 시간 논리와 모달 ^[63]논리를 포함하는 독창적인 "시간적 모달화된" 삼단논리 이론을 개발했다.그는 또한 과학적 ^[67]방법에 중요한 일치, 차이, 그리고 부수적 변동의 방법과 같은 귀납적 논리를 사용했다.아비세나의 생각 중 하나는 Ockham의 William과 같은 서양 논리학자들에게 특히 중요한 영향을 미쳤다.의미 또는 개념에 대한 아비세나의 단어는 학문의 논리학자들에 의해 라틴어 의도로 번역되었다; 중세 논리와 인식론에서, 이것은 ^[69]사물을 자연스럽게 나타내는 마음 속의 신호이다.이것은 Ockham의 개념주의 발전에 결정적이었다.보편적 용어(예: "인간")는 현실에 존재하는 것을 의미하는 것이 아니라, 현실의 많은 것을 나타내는 마음 속의 징후(지성학에서의 의도)를 의미한다. 옥캄은 이 관점을 ^[70]뒷받침하는 형이상학 V에 대한 아비케나의 해설을 인용한다.

파크르 알딘 알 라지 (b. 1149년)는 아리스토텔레스의 "첫 번째 인물"을 비판하고, 존 스튜어트 밀 (1806년–1873년)^[71]에 의해 개발된 귀납 논리 체계를 예시하며, 초기 귀납 논리 체계를 공식화했다.알-라지의 연구는 후기 이슬람 학자들에 의해 이슬람 논리의 새로운 방향, 즉 포스트-아비센식 논리로 향하는 것으로 여겨졌다.이것은 개념과 동의의 주제를 중심으로 한 논리의 형태를 개발한 그의 제자 아프달라딘 알-흐나즈(Afdaladîn al-Khnanaj, 1249년 생)에 의해 더욱 상세하게 설명되었다.이 전통에 대응하여, Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274)는 신-아비센 논리학의 전통을 시작했는데, 신-아비센 논리학은 여전히 아비센나의 연구에 충실했고 다음 ^[72]세기 동안 지배적인 포스트-아비센 학파에 대한 대안으로 존재했다.

일루미네이션 학파는 샤하브 알-딘 수하워디(1155–1191)에 의해 설립되었으며,^[73] 그는 모든 양식(필요성, 가능성, 우발성 및 불가능성)을 필요성의 단일 모드로 감소시키는 것을 가리키는 "결정적 필요성"의 개념을 개발했습니다.이븐 알-나피스 (1213–1288)는 아비케나의 알-이사라트와 ^[74]알-히다야의 해설서인 아비케니아 논리에 관한 책을 썼습니다.Ibn Taymiyah (1263–1328)는 Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyin'을 썼는데, 여기서 그는 비록 타당성은^[75] 아니지만 삼단논법의 유용성과 귀납적 ^[71]추론에 반대했다.Ibn Taymiyyah는 또한 삼단논법의 확실성과 유추에 찬성하는 주장을 했다; 그의 주장은 귀납에 기반을 둔 개념은 그 자체가 확실하지 않고 단지 개연성이 있으며, 따라서 그러한 개념에 기반을 둔 삼단논법은 유추에 기반을 둔 주장만큼 확실하지 않다.그는 또한 유도 자체가 유추의 과정에 기초한다고 주장했다.그의 유추적 추리 모델은 법적 ^[76][77]논거에 기초하고 있었다.이 유추 모델은 존 F의 최근 연구에 사용되었습니다. 소원 언니.^[77]

15세기에 무함마드 이븐 파이드 알라 이븐 아민 알 샤르와니가 쓴 샤르 알-타크밀 필-만티크는 아랍어로 ^[78]된 논리에 관한 마지막 주요 저작이다.그러나 논리에 관한 "수천 페이지"는 14세기와 19세기 사이에 쓰여졌지만, 이 시기에 쓰여진 문헌 중 극히 일부만이 역사학자들에 의해 연구된 것이기 때문에, 이 ^[72]후기에 만들어진 이슬람 논리에 관한 원본에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.

중세 유럽의 논리학

"중세의 논리"는 일반적으로 중세 유럽에서 대략 1200년에서 1600년까지 발전한 아리스토텔레스의 논리 형태를 ^[1]의미한다.스토아식 논리가 공식화된 후 수 세기 동안, 그것은 고전 세계에서 지배적인 논리 체계였다.암흑기 이후 논리 연구가 재개되었을 때, 주된 원천은 아리스토텔레스의 논리에 익숙했던 기독교 철학자 보에티우스의 작품이었지만 스토아 ^[79]학파의 작품은 거의 없었다.12세기까지, 서양에서 이용할 수 있는 아리스토텔레스의 유일한 작품은 범주론, 해석론, 그리고 보에티우스의 포르피리오의 이사고게 번역이었다.이 작품들은 "오래된 논리"로 알려져 있었다.이 전통에서 중요한 작품은 피터 아벨라르의 로지카 성분버스(1079–1142)였다.그의 직접적인 영향은 ^[80]작았지만, 솔즈베리의 존과 같은 제자를 통한 그의 영향은 컸고,^[81] 엄격한 논리 분석을 신학에 적용하는 그의 방법은 이후의 시기에 신학 비평이 발달한 방식을 형성했다.폭발의 원리에 대한 증거는, 어떤 명제가 모순으로부터 증명될 수 있는 법칙인, 또한 seudo-Scotus의 원리로도 알려져 있으며, 12세기 프랑스 논리학자 Soissons의 William에 의해 처음 제시되었다.

13세기 초까지, 선행 분석, 사후 분석, 그리고 소피테컬 레퓨테이션(총칭하여 Logica Nova 또는 "새로운 논리"로 알려진)을 포함한 아리스토텔레스 오르가논의 나머지 작품들이 서양에서 복원되었다.^[82] 그때까지 논리적인 작업은 대부분 ^[83]아리스토텔레스의 작품에 대한 해석이나 해석이었다.13세기 중반부터 14세기 중반까지의 기간은 논리학의 중요한 발전 중 하나였으며, 특히 그 이전의 아리스토텔레스 전통에 거의 기초가 없는 독창적인 세 가지 영역에서 그러했다.이하와 같습니다.^[84]

• 추측 이론.가정론은 술어(예: 'man')가 개인(예: 모든 남성)^[85]의 영역에 걸쳐 있는 방식을 다룬다.'모든 인간은 동물이다'라는 명제에서, '인간'이라는 용어는 현재 존재하는 남자들 위에 있는가 아니면 '서포츠'인가, 아니면 과거와 미래의 남자들을 포함하는가?존재하지 않는 개인에 대한 용어가 대체될 수 있나요?일부 중세주의자들은 이 생각이 현대 1차 ^[86]논리의 선구자라고 주장해 왔다."형용사 용어의 부호 용량, 앰피아티오, 그리고 분포의 연관된 이론과 가정 이론은 서양 중세 ^[87]논리학의 가장 독창적인 업적 중 하나를 구성합니다."
• 싱크테고리메타 이론.syncategoremata는 논리에 필요한 용어이지만, 범주형 용어와는 달리, 다른 단어와 '공동 서명'하는 것을 의미합니다.syncategoremata의 예로는 'and', 'not', 'every', 'if' 등이 있습니다.
• 결과론이죠결과는 가정적이고 조건부 명제입니다. "만약..."이라는 용어로 결합된 두 개의 명제입니다.예를 들어, '사람이 뛰면 신은 존재한다' (Si homo currit, Deus ^[88]est).완전히 발달된 결과 이론은 Ockham의 William의 작품 Summa Logicae의 제3권에 제시되어 있다.여기서 Ockham은 '물질적'과 '형식적'의 결과를 구별하는데, 이는 각각 현대의 물질적 의미와 논리적 의미와 대략적으로 동등하다.비슷한 설명은 장 부리단과 작센의 알베르트에 의해 제시되었다.

이 전통에서 마지막 위대한 작품들은 존 포인소트의 논리학, 프란시스코 수아레즈의 형이상학적 논쟁, 그리고 지오바니 지롤라모 사체리의 로지카 데모티바이다.

종래의 논리

교과서적 전통

전통적인 논리학은 일반적으로 포트 로열 논리학으로 더 잘 알려진 앙투안 아르놀드와 피에르 니콜의 논리학 ^[89]또는 생각의 예술로 시작하는 교과서적인 전통을 의미한다.1662년에 출판된 이 책은 19세기까지 ^[90]아리스토텔레스 이후 가장 영향력 있는 논리학 연구서였다.이 책은 아리스토텔레스와 중세 용어 논리에서 광범위하게 파생된 틀 안에서 느슨하게 데카르트 교리를 제시한다.1664년에서 1700년 사이에 8개의 판본이 있었고,^[90] 그 이후 이 책은 상당한 영향을 끼쳤다.Port-Royal은 확장과 인텐션의 개념을 도입합니다.로크가 에세이에서 제시한 명제의 설명은 본질적으로 포트 로얄의 것이다: "언어적 명제는 우리 사상의 표시이며, 긍정적이거나 부정적인 문장으로 합쳐지거나 분리된다.그래서 그 제안은 이 기호들을 동의하거나 ^[91]동의하지 않는 것에 따라 합치거나 분리하는 것이다."

더들리 페너는 아리스토텔레스에 대한 반작용인 라미스트 논리를 대중화하는데 도움을 주었다.또 다른 영향력 있는 작품은 1620년에 출판된 프랜시스 베이컨의 노붐 오르가넘이다.제목은 "새로운 악기"로 번역됩니다.이것은 오르가논으로 알려진 아리스토텔레스의 작품에 대한 언급이다.이 작품에서 베이컨은 아리스토텔레스의 삼단논법적 방법을 거부하고 "천천히 그리고 충실히 일함으로써 사물으로부터 정보를 수집하고 그것을 이해시키는"^[92] 대안적 절차를 선호한다.이 방법은 경험적 관찰에서 시작하여 낮은 공리나 명제를 진행하는 방법인 귀납적 추론으로 알려져 있다. 이러한 낮은 공리에서 보다 일반적인 공리를 유도할 수 있다.예를 들어, 열과 같은 현상적 성질의 원인을 찾으려면 다음 세 가지 목록을 구성해야 합니다.

• 존재 목록: 열이 발견되는 모든 상황의 목록입니다.
• 부재 목록: 열이 없는 경우를 제외하고 존재 목록의 최소 하나와 유사한 모든 상황의 목록입니다.
• 가변성 목록: 열이 변할 수 있는 모든 상황의 목록입니다.

그 후 열의 형태 특성(또는 원인)은 존재 목록의 모든 상황에 공통적이고 부재 목록의 모든 상황에서 결여되며 가변성 목록의 모든 상황에서 정도에 따라 변화하는 것으로 정의할 수 있다.

교과서 전통의 다른 작품으로는 아이작 와츠의 로직이 있다. 또는 이성의 올바른 사용(1725), 리처드 와틀리의 논리학(1826), 그리고 존 스튜어트 밀의 논리 체계(1843).비록 후자는 전통에서 마지막 위대한 작품 중 하나였지만, 논리학의 기초가 자기^[93] 성찰에 있다는 밀의 견해는 논리가 심리학, 특히 독일에서 ^[94]그 발전의 다음 50년을 지배한 관점으로 가장 잘 이해된다는 견해에 영향을 미쳤다.

헤겔 철학의 논리

G.W.F. 헤겔은 그의 광범위한 논리학을 그의 철학 과학 백과사전의 첫 번째 책으로서 1817년에 출판된 짧은 저작으로 요약했을 때 그의 철학 체계에 대한 논리의 중요성을 나타냈습니다."Short" 또는 "Enclopaedia" 로직은 종종 알려져 있듯이 가장 공허하고 추상적인 범주에서 이어지는 일련의 전환을 제시합니다.헤겔은 "순수한 존재"와 "순수한 아무것도 없다"로 시작하며, 그 이전의 모든 범주를 포함하고 해결하는 "절대적" 범주이다.제목에도 불구하고, 헤겔의 논리는 사실 타당한 추론의 과학에 기여하지 않는다.헤겔은 전제로부터 유효한 추론을 통해 개념에 대한 결론을 도출하기 보다는, 한 개념에 대한 생각이 다른 개념에 대해 생각하게 한다는 것을 보여주려고 한다(그는 "수량"의 개념 없이는 "품질"의 개념을 가질 수 없다고 주장한다). 이 강박은 아마도 개인 심리의 문제가 아니기 때문이다.e 개념 자체의 내용에서 거의 유기적으로 발생한다.그의 목적은 "절대적"의 이성적 구조, 즉 이성 자체를 보여주는 것이다.사고가 하나의 개념에서 반대 개념으로, 그리고 더 나아가서 개념으로 움직이는 방법은 헤겔 변증법이라고 알려져 있다.

헤겔의 논리는 주류 논리 연구에 거의 영향을 미치지 않았지만, 그 영향은 다른 곳에서 볼 수 있다.

• 카를 폰 프란틀의 로지크 임 아벤들란트(1855–1867).^[95]
• F.H. 브래들리의 논리 원리 (1883년)와 같은 영국 이상주의자들의 작품.
• 칼 마르크스와 마르크스주의의 다양한 학파에 대한 경제, 정치, 철학 연구.

논리와 심리학

밀과 프레게의 작업 사이는 논리가 기술 과학, 추론의 구조에 대한 경험적 연구로 널리 다루어졌고, 따라서 본질적으로 심리학의 ^[96]한 분야로 확장되었다.예를 들어, 독일의 심리학자 빌헬름 분트는 "심리적 사고는 항상 보다 포괄적인 ^[97]사고 형태"라고 강조하면서 "심리적 사고 법칙으로부터 논리적인 것"을 도출하는 것에 대해 논의했다.이 견해는 그 시대의 독일 철학자들 사이에 널리 퍼져 있었다.

• 테오도르 립스는 논리를 "심리학의 특정 분야"^[98]라고 묘사했다.
• Christoph von Sigwart는 논리적 필요성을 개인의 특정한 방식으로 ^[99]사고하는 강박에 기반을 둔 것으로 이해했다.
• 베노 에르드만은 "논리적인 법칙은 오직 우리의 생각의 범위 내에서만 성립한다"^[100]고 주장했다.

밀의 ^[101]연구 이후 몇 년 동안 논리에 대한 지배적인 견해가 그것이었다.논리에 대한 이러한 심리적 접근은 고틀롭 프레게에 의해 거부되었다.에드먼드 후설의 논리조사(1900년) 제1권에서 이 책은 "압도적"^[102]으로 묘사된 공격이다.후셀은 심리학적 관찰에서 논리를 기초로 하는 것은 모든 논리적 진실이 입증되지 않은 채 남아있다는 것을 암시하며 회의주의와 상대주의는 피할 수 없는 결과라고 강력하게 주장했다.

그러한 비판은 소위 "심리학"이라고 불리는 것을 즉시 없애지는 않았다.예를 들어, 미국의 철학자 조시아 로이스는 후설의 비판의 힘을 인정하면서도, 심리학의 진보가 논리학의 진보와 함께 동반될 것이라는 "^[103]의심할 수 없는" 상태를 유지했다.

근대 논리의 부상

14세기부터 19세기 초까지의 기간은 대체로 쇠퇴와 무시의 시기였고,^[2] 논리학 역사학자들은 일반적으로 불모지로 간주한다.논리의 부활은 19세기 중반, 수학에서 사용되는 정확한 증명 방법을 예로 들 수 있는, 주제가 엄격하고 형식적인 학문으로 발전한 혁명기 초기에 일어났다.이 기간 동안 현대 "상징적" 또는 "수학적" 논리의 발전은 논리학의 2000년 역사에서 가장 중요한 것이고, 거의 틀림없이 인간의 지적 ^[4]역사에서 가장 중요하고 주목할 만한 사건들 중 하나이다.

현대 논리와 아리스토텔레스식 또는 전통적인 논리를 구별하는 많은 특징들이 있는데,^[104] 그 중 가장 중요한 것은 다음과 같다.현대 논리학은 근본적으로 수학에서처럼 사용하는 기호의 의미가 아닌 모양에 의해서만 연산 규칙이 결정되는 미적분이다.많은 논리학자들은 수학의 "성공"에 깊은 인상을 받았는데, 그 이유는 진정한 수학적 결과에 대한 오랜 논쟁이 없었기 때문이다.C.S. 피어스는^[105] 라플레이스에 의한 확실한 적분의 평가에서 실수가 거의 50년 동안 지속된 달의 궤도에 관한 오류로 이어졌음에도 불구하고, 한번 발견된 실수는 심각한 논쟁 없이 수정되었다고 언급했다.Peirce는 이것을 전통적인 논리, 특히 형이상학의 논리를 둘러싼 논쟁과 불확실성과 대조했다.그는 진정한 "정확한" 논리는 수학적, 즉 "도형적" 또는 "아이콘적" 사고에 의존할 것이라고 주장했다."그런 방법을 따르는 사람들은...일단 의심되면 신속하게 수정되는 경우를 제외하고 모든 오류를 회피한다."현대 논리학은 또한 "추상적"이라기 보다는 "건설적"이다. 즉, 일반 언어(또는 타당성에 대한 심리적 직관)에서 파생된 이론들을 추상화하고 공식화하는 대신, 형식적인 방법으로 이론을 구성하고, 그리고 나서 일반 언어로 해석을 찾는다.그것은 전적으로 상징적이며, 심지어 논리 상수(중세의 논리학자들은 "syncategoremata"라고 불렀다)와 범주형 용어들도 기호로 표현된다는 것을 의미한다.

현대 논리학

현대 논리학의 발달은 대략 다섯 ^[106]시기로 나뉜다.

• 라이프니츠에서 1847년까지의 초기 시기, 특히 라이프니츠에 의해 논리 미적분의 개념이 논의되고 개발되었지만, 학교가 형성되지 않았고, 고립된 주기적 시도는 포기되거나 주목을 받지 못했다.
• 불의 분석에서 슈뢰더의 볼레선겐까지의 대수기.이 시기에는 더 많은 실무자들이 있었고, 발전의 연속성이 더 컸다.
• 프레게의 베그리프슈리프트에서 러셀과 화이트헤드의 프린키피아 매스매티카에 이르는 논리학자 시대."논리학자 학파"의 목적은 모든 수학적, 과학적 담론의 논리를 하나의 통합된 체계에 통합하는 것이었다. 이 체계에서는 모든 수학적 진리는 논리적이라는 기본 원칙으로서 어떠한 비논리적인 용어도 받아들이지 않았다.주요 논리학자들은 프레게, 러셀,^[107] 그리고 초기 비트겐슈타인이었다.그것은 초기 진보의 걸림돌이었던 반독점들에 대한 철저한 조사와 시도된 해결책을 포함하는 중요한 작업인 프린키피아로 끝을 맺는다.
• 1910년부터 1930년대까지의 메타수학 시기로, 힐베르트의 피니티스트 체계와 괴델과 타르스키의 작품에서 논리와 금속학의 결합인 뢰벤하임과 스콜렘의 비피니티스트 체계에서 금속학의 발전을 보았다.1931년 괴델의 불완전성 정리는 논리 역사상 가장 위대한 업적 중 하나였다.1930년대 후반, 괴델은 집합 이론의 구성 가능성의 개념을 발전시켰다.
• 제2차 세계대전 이후 수학논리가 서로 관련되어 있지만 분리된 네 개의 연구 분야로 분기한 시기: 모델 이론, 증명 이론, 계산 가능성 이론, 집합 이론, 그리고 그것의 아이디어와 방법들이 철학에 영향을 미치기 시작했다.

태아기

추론이 순수하게 기계적인 과정으로 표현될 수 있다는 생각은 동심원 고리의 시스템에 의해 결론을 도출하는 (어느 정도 특이한) 방법을 제안한 레이먼드 룰에 의해 일찍이 발견됩니다.옥스포드 계산기^[108] 같은 논리학자들의 작업은 논리적인 계산(계산)을 말로 쓰는 대신 글자를 사용하는 방법으로 이어졌는데, 예를 들어 베니스의 폴이 로지카 마그나에서 사용한 방법이었다.룰 이후 300년 후, 영국의 철학자이자 논리학자 토마스 홉스는 모든 논리와 추론은 덧셈과 ^[109]뺄셈의 수학적 연산으로 환원될 수 있다고 제안했다.Lull과 Hobbes를 모두 읽고 논리가 조합 과정이나 미적분을 통해 표현될 수 있다고 주장한 라이프니츠의 작품에서도 같은 생각이 발견된다.그러나, 룰과 홉스처럼, 그는 상세하고 포괄적인 체계를 개발하는 데 실패했고, 이 주제에 대한 그의 연구는 그가 죽은 지 한참 후에야 출판되었다.라이프니츠가 평범한 언어" 수많은 모호함"에 그리고 과제도[110]따라서 그는 인간의 생각은 복잡한 ideas,용을 표현하기 위해 구성될 수 있는 근본적인 개념으로 구성된의 알파벳을 확인할 것을 제안했다 추론의 실수를 단어의 형태와 구조물에서 발생하는 노출되는 것입니다는 미적분, 부적당하다 적용하고 있다고 말했습니다.111해결과미적분 평가자를 만들어 모든 주장을 수학자의 주장처럼 실체적으로 만들어 한 눈에 우리의 오류를 발견할 수 있도록 하고, 사람들 사이에 분쟁이 있을 때 우리는 간단히 말할 수 있다.계산해 봅시다."^[112]

Gergonne (1816)은 대수 연산은 관련된 ^[113]기호들의 의미에 대한 어떠한 아이디어도 없이 수행될 수 있기 때문에 추론이 완벽하게 명확한 생각을 가진 물체에 대한 것일 필요는 없다고 말했다.볼자노는 ^[114]변수의 관점에서 논리적 결과 또는 "추리성"을 정의할 때 현대 증명 이론의 기본 개념을 예상했습니다.

$따라서{\displaystyle }$ $Idisplay$ $스타일$에 $관한$$$제안서 $,$ $,$ $C{\displaystyle }$, D$,$ $D{\displaystyle }$$,$ D$,$ D, $D{\displaystyle }$, $D$는 Idisplay $스타일$에 관한 $제안서{\displaystyle }$$$$A$ B, B$,$ B에서 도출할 수 있습니다$.$$j$$,$ …,$$ i$,$ $,$ $j,$ $$b$,$ $C$ $D,$ $$D, …를 $대체$하는 모든 클래스가 M$,$ $N{\displaystyle }$$,$ $displaystyle$ O$,$ true인 $경우$.}$$ ,…참$.$때로는 관례상 $제안서$$M$ $N,$ O$,$$$ O, O, …가 A$,$ $B$ $C,$ $D$$,$ $D,$ …에서 유래하거나 유추할 수 있다고 말할 수 $있습니다$.$Yle$ A$,$ $B$ $C$$,$ $D,$ D, ...$$ 구내, $M,$ $N$ $, O$, D$,$$$ 결론에 전화를 걸겠습니다.

이것은 이제 의미 유효성으로 알려져 있습니다.

대수 주기

현대 논리는 "대형 학파"로 알려진 것으로 시작되는데, 불에서 유래하고 피어스, 제본스, 슈뢰더,^[115] 벤을 포함한다.그들의 목표는 수업, 명제, 확률 영역에서 추론을 공식화하기 위한 미적분을 개발하는 것이었다.비록 De Morgan (1847년)이 직접적인 ^[116]선구자이지만, 이 학교는 1847년에 나타난 불의 중요한 작품인 논리학의 수학적 분석으로 시작한다.불의 체계에 대한 기본적인 생각은 대수 공식이 논리적 관계를 표현하는데 사용될 수 있다는 것이다.이 생각은 링컨셔에 [117]있는 사립학교에서 안내원으로 일하던 10대 때 불에게 떠올랐습니다.예를 들어, x와 y는 클래스를 나타내며, 기호 =는 클래스에 동일한 멤버가 있음을 나타내며, xy는 x와 y의 모든 멤버만 포함하는 클래스를 나타냅니다.Boole은 이러한 선택 기호, 즉 고려할 ^[118]특정 대상을 선택하는 기호를 부릅니다.선택기호를 사용하는 표현은 선택함수라고 하며, 구성원이 선택함수인 방정식은 선택함수이다.^[119]선택 함수의 이론과 그 "발전"은 본질적으로 진리의 함수와 분리적 정상 ^[118]형태에서의 표현에 대한 현대적인 생각이다.

불의 체계는 계급논리와 명제논리의 두 가지 해석을 허용한다.불은 삼단논리 이론의 주제인 "1차 명제"와 명제 논리의 주제인 "2차 명제"를 구별하고, 서로 다른 "해석"에서 동일한 대수체계가 어떻게 두 가지 모두를 나타낼 수 있는지를 보여주었다.주요 명제의 예는 "모든 거주자는 유럽인이거나 아시아인"이다.2차 명제의 예는 "모든 주민이 유럽인이거나 모두 아시아인"^[120]이다.이것들은 현대 술어 논리에서는 쉽게 구별되며, 여기서도 첫 번째 술어가 두 번째 술어 논리로부터 이어지는 것을 보여줄 수 있지만, 부울 ^[121]체계에서 이것을 표현하는 방법이 없다는 것은 중대한 단점이다.

존 벤은 그의 기호 논리학 (1881년)에서 계층 간 부울 관계 또는 명제의 진실 조건을 표현하기 위해 겹치는 영역의 도표를 사용했다.1869년 Jevons는 불의 방법이 기계화될 수 있다는 것을 깨닫고,^[118] 이듬해 왕립학회에 보여준 "논리 기계"를 만들었다.1885년 앨런 마르칸드는 아직 남아 있는 전기식 기계를 제안했다(Firestone Library의 사진.

불의 시스템의 결함들은 모두 그의 추종자들에 의해 수정되었다.Jevons는 1864년에 Quantity를 제외한 순수 논리학, 즉 품질의 논리를 출판했는데, 여기서 그는 배타적인 것을 나타내는 기호를 제안했고, 이것은 불의 체계를 크게 ^[122]단순화할 수 있게 했다.이것은 슈뢰더가 그의 볼레숭겐(1890–1905)에서 평행한 열로 정리할 때 유용하게 이용되었습니다.피어스(1880)는 어떻게 모든 부울 선택함수가 단일 원시 이진 연산을 사용하여 표현될 수 있는지를 보여주었다. 그러나 피어스의 많은 혁신과 마찬가지로 "둘 다 아니다"^[123]는 것은 셰퍼가 ^[124]1913년에 그것을 재발견할 때까지 알려지지 않았거나 주목받지 못했다.불의 초기 작품은 또한 피어스(1867), 슈뢰더(1877), 제본(1890)^[125]에서 비롯된 논리합과 거곤(1816)에 의해 처음 제안되고 피어스(1870)에 의해 명확하게 표현된 포함의 개념이 결여되어 있다.

불의 대수체계의 성공은 모든 논리가 대수적 표현을 할 수 있어야 한다는 것을 암시했고, 그러한 형태로 관계의 논리를 표현하려는 시도가 있었는데, 그 중 가장 야심찬 것은 슈뢰더의 기념비적인 볼레선겐 다이에 대수 데 로지크 ("논리의 대수학에 관한 강의")였다.peirce는 ^[126]a를 다시 예측했다.

아리스토텔레스의 논리에 대한 불의 변함없는 수용은 논리학 역사학자 존 코코란이 접근 가능한 생각의 법칙^[127] 서론에서 강조합니다. 코코란은 또한 사전 분석과 ^[128]생각의 법칙의 점별 비교를 썼습니다.Corcoran에 따르면, 불은 아리스토텔레스의 논리를 완전히 받아들이고 지지했다.불의 목표는 1) 아리스토텔레스의 논리에 방정식을 포함한 수학적 기초를 제공하고 2) 타당성 평가에서 방정식 해결로 다룰 수 있는 문제의 클래스를 확장하고 3) 다룰 수 있는 응용 프로그램의 범위를 두 개의 용어만 있는 명제에서 th로 확장함으로써 "아래로, 그리고 그 너머로" 나아가는 것이었습니다.임의로 많은 것을 가지고 있다.

좀 더 구체적으로, 불은 아리스토텔레스가 말한 것에 동의했다; 불의 '불화'는 그렇게 불릴 수 있다면, 아리스토텔레스가 말하지 않은 것과 관련이 있다.첫째, 기초의 영역에서, 불은 아리스토텔레스 논리학의 네 가지 명제 형태를 방정식의 형태로 - 그 자체로 혁명적인 아이디어로 축소했습니다.둘째, 논리 문제의 영역에서, 불의 논리 방정식 해법의 추가는 아리스토텔레스의 추론 규칙 ("완벽한 삼단논법")은 방정식 해법을 위한 규칙으로 보완되어야 한다는 불의 교리를 포함했다.셋째, 응용 분야에서, 아리스토텔레스는 단지 두 개의 주제의 명제와 주장만을 다룰 수 있는 반면, 불의 시스템은 다항 명제와 주장을 다룰 수 있었다.예를 들어, 아리스토텔레스의 체계는 "사각형인 사각형은 마름모꼴" 또는 "사각형인 사각형인 사각형은 마름모꼴"에서 "사각형인 사각형인 사각형은 마름모꼴"을 추론할 수 없었다.

논리학자 시대

불 이후, 독일 수학자 고틀롭 프레게에 의해 다음 큰 발전이 이루어졌다.프레게의 목표는 논리주의 프로그램,^[129] 즉 산술이 논리와 동일하다는 것을 증명하는 것이었다.프레게는 논리학에 대한 엄격하고 형식적인 접근에서 그의 전임자들 보다 훨씬 더 멀리 갔고, 그의 미적분 또는 베그리프쉬리프트는 중요하다.^[129]프레게는 숫자의 개념이 순수하게 논리적인 수단에 의해 정의될 수 있다는 것을 보여주려고 노력했고, 그래서 만약 그가 옳다면, 산술과 산술로 환원될 수 있는 수학의 모든 분과를 포함시켰다.그는 이것을 제안한 첫 번째 작가가 아니다.15-17절의 그의 선구적인 작품인 Die Grundlagen der 산술학에서, 그는 라이프니츠, J.S. Mill, 그리고 Jevons의 노력을 인정하며, "대수는 매우 발달된 논리, 숫자이지만 논리적인 변별"^[130]이라는 Jevons의 주장을 인용한다.

프레게의 첫 번째 작품인 "개념 스크립트"는 오직 두 개의 연결사(부정적 및 조건부), 두 개의 추론 규칙(모더스 포넨과 치환), 그리고 여섯 개의 공리에 의존하는 엄격하게 공리화된 명제 논리 체계이다.프레게는 이 시스템의 "완전성"을 언급했지만 이를 ^[131]입증할 수 없었다.그러나 가장 중요한 혁신은 수학 함수의 관점에서 수량화 방법에 대한 그의 설명이었다.전통적인 논리는 "Caesar is a man"이라는 문장을 "모든 사람은 죽을 것이다"와 근본적으로 같은 형태로 간주한다.적절한 이름 주어가 있는 문장은 "모든 시저는 사람이다"^[132]로 해석될 수 있는 보편적인 성격으로 간주되었다.처음에 프레게는 전통적인 "주체와 술어 개념"을 버리고 각각 "시간의 시험을 견뎌낼 것"이라고 믿는 주장과 기능으로 대체한다.내용을 논쟁의 함수로 보는 것이 어떻게 개념의 형성을 이끌어내는지 쉽게 알 수 있다.또한, 단어의 의미와 의미, 또는 일부, 모든 의미 등이 있는 경우, 또는 없는 경우, 그 의미 간의 연관성에 대한 설명은 주목할 가치가 있습니다."^[133]프레게는 "all men"이라는 수량화 표현은 "all men"과 같은 논리적 또는 의미적 형식을 가지고 있지 않으며, "every A is B"라는 보편적 명제는 두 가지 기능, 즉 "– is A"와 "– is B"를 포함하는 복잡한 명제이며, 첫 번째를 만족시키는 것이 무엇이든, 두 번째를 충족한다고 주장했다.현대 표기법에서 이것은 다음과 같이 표현될 것이다.

$(\displaystyle\forall\;x{\big (}A(x)\오른쪽 화살표 B(x){\big}})$

영어로는 "모든 x, Ax이면 Bx"입니다.따라서 단수 명제만이 주어-증명 형식이며, 그것들은 축소할 수 없을 정도로 단수이다. 즉, 일반 명제로 환원할 수 없다.반면에 보편적 명제와 특정 명제는 전혀 단순한 주어-증명 형식이 아니다.만약 "모든 포유류"가 "모든 포유류는 육지 거주민"이라는 문장의 논리적 주어라면, 우리는 문장 전체를 부정하기 위해 "모든 포유류는 육지 거주민이 아니다"라는 서술어를 부정해야 할 것이다.하지만 ^[134]사실은 그렇지 않다.보통 언어 문장의 기능적 분석은 나중에 철학과 언어학에 큰 영향을 미쳤다.

이것은 프레지의 미적분학에서 불의 "1차" 명제는 "2차" 명제와 다른 방식으로 표현될 수 있다는 것을 의미한다."모든 거주자는 남자든 여자든"은

$\displaystyle \;x{\Big(x)\rightarrow\big(x)\lor W(x){\big}}:$

반면, "모든 거주자는 남성 또는 모든 거주자는 여성"은 다음과 같다.

$\displaystyle \;x{\big ( ) I ( x ) \ rightarrow M ( x ) { \ big } \ lor \ forall \;x { \ big ( ) } \ I ( x ) \ rightarrow W ( x ) { \ big } }$

프레게가 불의 미적분학 비평에서 언급했듯이:

"진짜 차이점은 [부울(Boolean)]을 두 부분으로 분할하지 않고 로트를 균질하게 표시하는 것입니다.'불'에서는 두 부분이 서로 나란히 있어서 한쪽이 다른 한쪽의 거울상처럼 보이지만, 바로 그런 이유로 ^[135]그것과는 유기적인 관계가 없습니다.'

프레게의 미적분은 통일되고 포괄적인 논리 체계를 제공했을 뿐만 아니라 다중 일반성의 고대 문제도 해결했습니다."모든 소녀가 소년에게 키스했다"는 모호성은 전통적인 논리로 표현하기 어렵지만, 프레게의 논리는 이를 수량화자의 다른 범위를 통해 해결한다.따라서

$\displaystyle \;x{\Big(x)\right 화살표 \exists \;y{\big(y)\land K(x,y){\big}}{\Big}}$

거기 있는 모든 소녀에게 그 소녀에게 키스한 소년(누구든지)이 해당된다는 것을 의미합니다.그렇지만

$\displaystyle \;x{\B(x)\land \forall \;y{\big(y)\오른쪽 화살표 K(y,x){\big}}{\Big}}$

모든 소녀들이 키스한 특별한 소년이 있다는 것을 의미해요.이 장치가 없었다면 논리주의 프로젝트는 의심스럽거나 불가능했을 것이다.프레게는 그것을 이용하여 조상 관계, 다대일 관계, 그리고 수학적 ^[136]귀납의 정의를 제공했습니다.

이 시기는 데데킨드, 파슈, 페아노, 힐베르트, 저멜로, 헌팅턴, 베블렌, 헤이팅 등을 포함한 "수학 학교"로 알려진 것과 겹친다.그들의 목표는 기하학, 산술, 해석, 집합론과 같은 수학의 분과를 공리화하는 것이었다.가장 주목할 만한 것은 힐베르트의 프로그램으로, 모든 수학이 유한한 일련의 공리에 기초하고, "최종적인" 수단으로 일관성을 증명하고, 수학적 진술의 진실 또는 거짓을 결정할 수 있는 절차를 제공했습니다.자연수의 표준 공리화는 익명으로 페아노 공리라고 불립니다.페아노는 수학 기호와 논리 기호 사이의 분명한 차이를 유지했다.프레게의 작품은 몰랐지만, 그는 불과 ^[137]슈뢰더의 작품을 바탕으로 독자적으로 논리기구를 재현했다.

논리학자 프로젝트는 1901년 버트런드 러셀에 의해 역설의 발견과 함께 거의 치명적인 실패를 겪었다.이것은 프레게의 순진한 집합론이 모순으로 이어졌음을 증명했다.프레게의 이론은 어떤 형식적인 기준에도, 기준을 충족하는 모든 물체의 집합이 있다는 공리를 포함하고 있었다.러셀은 자신의 구성원이 아닌 집합을 정확히 포함하는 집합이 자신의 정의에 모순된다는 것을 보여주었다.^[138]이 모순은 이제 러셀의 역설로 알려져 있다.이 모순을 해결하는 한 가지 중요한 방법은 에른스트 체르멜로에 ^[139]의해 제안되었다.체르멜로 집합론은 최초의 자명한 집합론이다.그것은 현재 표준적인 체르멜로-프랭켈 집합론(ZF)으로 개발되었다.러셀의 역설은 상징적으로 다음과 같다.

$디스플레이 스타일}}R=\{x\mid x\not\in x\}{\text{}R\in R\iff R\not\in R}로 합니다.$

러셀과 알프레드 노스 화이트헤드에 의해 쓰여져 1910-13년에 출판된 수학의 기초에 관한 기념비적인 세 권의 작품인 프린키피아 매스매티카는 또한 정교한 유형 체계로 역설을 해결하려는 시도를 포함했습니다: 요소 집합은 요소들의 각각이 아닌 다른 유형입니다.요소가 집합이 아니므로 "모든 집합 집합"을 말할 수 없습니다.프린키피아는 모든 수학적 진실을 상징 논리학의 잘 정의된 공리와 추론 규칙 집합으로부터 이끌어내려는 시도였다.

메타수학 주기

Gödel과 Tarski의 이름은 메타 수학 - 메타 수학의 발전에 중요한 시기인 1930년대를 ^[140]지배했다. 메타 수학은 메타 수학, 즉 메타 수학, 즉 메타 수학 이론을 만들기 위해 수학적 방법을 사용하는 수학의 연구이다.메타 수학에 대한 초기 연구는 힐버트의 프로그램에 의해 주도되었다.메타 수학에 대한 연구는 1929년에 Gödel의 연구에서 절정을 이뤘다. Gödel은 주어진 1차 문장이 논리적으로 유효한 경우에만 추론할 수 있다는 것을 보여주었다. 즉, 언어의 모든 구조에서 사실이다.이것은 괴델의 완전성 정리라고 알려져 있다.1년 후, 그는 두 개의 중요한 이론을 증명했는데, 그것은 히버트의 프로그램이 원래 형태로는 도달할 수 없다는 것을 보여주었다.첫째는 알고리즘이나 컴퓨터 프로그램과 같은 효과적인 절차에 의해 정리될 수 있는 일관된 공리 체계는 자연수에 대한 모든 사실을 증명할 수 없다는 것이다.이러한 시스템에 대해서는 항상 참이지만 시스템 내에서 입증할 수 없는 자연수에 대한 설명이 있습니다.두 번째는 그러한 시스템이 자연수에 대한 특정 기본 사실도 증명할 수 있다면, 시스템은 시스템 자체의 일관성을 증명할 수 없다는 것이다.이 두 결과는 괴델의 불완전성 정리 또는 간단히 괴델의 정리라고 알려져 있다.이후 10년 동안 괴델은 선택 공리와 연속체 가설이 체르멜로-프랭켈 집합론과 일치한다는 증거의 일부로 집합 이론 구성 가능성의 개념을 개발했다.증명 이론에서, 게르하르트 젠첸은 자연 연역과 순차 미적분을 개발했다.전자는 논리적인 추론이 실제로 '자연스럽게' 발생하고 직관적인 논리에 가장 쉽게 적용되기 때문에 모델화하려는 시도인 반면, 후자는 형식적인 시스템에서 논리적인 증거의 도출을 명확히 하기 위해 고안되었다.겐젠의 연구 이래, 자연 연역과 순차 계산은 증명 이론, 수리 논리, 컴퓨터 과학 분야에 폭넓게 적용되고 있다.Gentzen은 또한 직관적이고 고전적인 논리에 대한 정규화 및 컷 제거 정리를 증명했고, 이는 논리 증명을 정상 형태로 ^[141][142]감소시키는 데 사용될 수 있었다.

우카시에비치의 제자인 알프레드 타르스키는 진실의 정의와 논리적 결과, 논리적 만족의 의미적 개념으로 가장 잘 알려져 있다.1933년에 그는 (폴란드어로) 출판했다그가 그의 의미론적 진실 이론을 제안한 정형화된 언어의 진실의 개념은, "눈은 하얗다"와 같은 문장은 눈이 하얀 경우에만 참이다.타르스키의 이론은 진리에 대한 진술을 하는 메타언어(metal language)와 진실이 주장되고 있는 문장을 포함하는 대상언어를 분리하여 대상언어의 구문과 해석 요소 사이에 대응(T-schema)을 부여했다.진실을 설명하는 어려운 아이디어에 대한 타르스키의 접근은 논리학과 철학, 특히 모델 ^[143]이론의 발전에 영구히 영향을 미쳤다.타르스키는 또한 연역 시스템의 방법론과 완전성, 결정성, 일관성, 정의성과 같은 기본 원리에 대한 중요한 연구를 했다.아니타 페퍼맨에 따르면 타르스키는 "20세기에 논리의 양상을 바꾸었다"^[144]고 한다.

Alonzo Church와 Alan Turing은 각각 1936년과 1937년에 Hilbert의 "Entscheidungsproblem" 문제에 독립적인 부정적 해결책을 제시하면서 계산가능성의 형식적 모델을 제안했다."Entscheidungsproblem"은 어떤 형식적인 수학 문장이든 주어진다면 그 문장이 사실인지 알고리즘적으로 판단할 수 있는 절차를 요구했다.처치와 튜링은 그러한 절차가 없다는 것을 증명했다; 튜링의 논문은 알고리즘 해답이 없는 수학적 문제의 핵심 사례로서 정지 문제를 소개했다.

Church의 계산 시스템은 현대의 θ-calculus로 발전했고, 튜링 기계는 범용 컴퓨팅 장치의 표준 모델이 되었다.곧 많은 다른 제안된 계산 모델들이 교회와 튜링에 의해 제안된 것과 동등한 힘을 가지고 있다는 것이 증명되었다.이러한 결과는 사람에 의해 수행될 수 있는 결정론적 알고리즘은 튜링 기계에 의해 수행될 수 있다는 처치-튜링 이론으로 이어졌다.처치는 페아노 산술과 1차 논리가 모두 결정 불가능하다는 것을 보여주면서 추가적인 결정 불가능성 결과를 증명했다.1940년대에 에밀 포스트와 스티븐 콜 클린이 나중에 한 연구는 계산가능성 이론의 범위를 넓혔고 분해불능의 정도에 대한 개념을 도입했다.

20세기의 처음 몇 십 년간의 결과는 분석 철학과 철학 논리에도 영향을 미쳤고, 특히 1950년대부터 양상 논리, 시간 논리, 이데올로기 논리, 그리고 관련 논리와 같은 주제들에 영향을 미쳤다.

제2차 세계대전 후의 논리

제2차 세계대전 이후 수학 논리는 서로 관련이 있지만 분리된 네 가지 연구 분야로 분기했다: 모델 이론, 증명 이론, 계산 가능성 이론, 집합 이론.^[145]

집합론에서, 강제하는 방법은 모델을 구성하고 독립성 결과를 얻기 위한 강력한 방법을 제공함으로써 분야를 혁신시켰다.폴 코헨은 연속체 가설의 독립성과 저멜로-프랭켈 집합론으로부터의 ^[146]선택 공리를 증명하기 위해 1963년에 이 방법을 도입했다.그의 기술은 도입 직후에 단순화되었고 확장되었으며, 그 이후로 수학 논리학의 모든 분야에서 다른 많은 문제들에 적용되었다.

계산가능성 이론은 1930년대와 40년대에 튜링, 교회, 클린, 포스트의 작업에 뿌리를 두고 있다.그것은 재귀 이론으로 ^[147]알려지게 된 추상적인 계산 가능성에 대한 연구로 발전했다.1950년대에 Albert Muchnik과 Richard Friedberg에 의해 독립적으로 발견된 우선순위 방법은 분해 불가능의 정도와 관련 구조에 대한 이해를 크게 발전시켰다.고차 계산 가능성 이론에 대한 연구는 집합 이론과의 연관성을 입증했다.건설적인 분석과 계산 가능한 분석 분야는 고전 수학 이론의 효과적인 내용을 연구하기 위해 개발되었습니다; 이것들은 차례로 역수학의 프로그램에 영감을 주었습니다.계산가능성 이론의 별도 부문인 계산 복잡성 이론은 서술적 복잡성에 대한 조사 결과로서 논리적 용어로도 특징지어졌습니다.

모델 이론은 수학 논리의 방법을 특정 수학 이론의 모델을 연구하기 위해 적용한다.알프레드 타르스키는 이 분야에서 많은 선구적인 연구들을 발표했는데, 이것은 그가 모델 이론에 대한 기여라는 제목으로 발표한 일련의 논문들에서 이름을 따왔다.1960년대에 에이브러햄 로빈슨은 라이프니츠가 처음 제안한 문제인 무한소수에 기초한 미적분과 분석을 개발하기 위해 모델 이론 기법을 사용했다.

증명 이론에서, 고전 수학과 직관 수학 사이의 관계는 게오르크 크라이젤에 의해 발명된 실현성 방법이나 괴델의 변증법 해석과 같은 도구를 통해 명확해졌다.이 작품은 현대 입증 채광 분야에 영감을 주었다.Curry-Howard 대응은 자연 연산의 시스템과 컴퓨터 과학에서 사용되는 유형 람다 계산 사이의 대응 관계를 포함하여 논리와 계산 사이의 깊은 유사성으로 나타났다.결과적으로, 이러한 종류의 형식 시스템에 대한 연구는 논리적 측면과 계산적 측면 모두를 다루기 시작했습니다; 이 연구 영역은 현대 유형 이론으로 알려지게 되었습니다.서수 분석과 파리-해링턴 정리 같은 산술적 결과의 연구에도 진전이 있었다.

이 시기는 특히 1950년대와 그 이후에 수학 논리학의 개념이 철학적인 사고에 영향을 미치기 시작한 시기이기도 했다.예를 들어, 시제논리는 시간의 관점에서 적격인 명제를 표현하고 추론하기 위한 공식화된 시스템이다.철학자 아서 프라이어는 1960년대에 그것의 발전에 중요한 역할을 했다.모달 로직은 형식 로직의 범위를 확장하여 모달리티의 요소(예: 가능성과 필요성)를 포함합니다.Saul Kripke의 생각, 특히 가능한 세계에 대한 생각, 그리고 현재 Kripke semantics라고 불리는 형식 체계는 분석 ^[148]철학에 깊은 영향을 미쳤다.그의 가장 잘 알려져 있고 가장 영향력 있는 작품은 "이름짓기와 필요성"이다.^[149]논리 논리학은 모달 논리학과 밀접하게 관련되어 있습니다.의무, 허가 및 관련 개념의 논리적 특징을 포착하려고 합니다.1800년대 초 볼자노에 의해 수학적이고 철학적인 논리를 혼합하는 몇 가지 기본적인 참신성이 보여졌지만, 화이트헤드와 러셀의 명제적 미적분학에 기초한 그의 그룬지제 데 솔렌에서 최초의 공식 신학적 체계를 제안하게 된 이는 알렉시우스 메이농의 제자 에른스트 말리였다.

제2차 세계 대전 후에 만들어진 또 다른 논리 체계는 아제르바이잔 수학자 로트피 아스카 자데가 1965년에 만든 애매한 논리였다.

「 」를 참조해 주세요.

• 연역적 추론의 역사
• 귀납 추론의 역사
• 유괴적 추리의 역사
• 기능 개념 이력
• 수학의 역사
• 철학의 역사
• 플라톤의 수염
• 수학 논리 연표

메모들

레퍼런스

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• Gracia, J.G.와 Noone, T.B., A Companion to the Philosophy in the Middle Age, 2003 런던.
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• Heath, T.L., 1931, 옥스퍼드 그리스 수학 설명서(Clarendon Press).
• 혼데리히, 테드(ed.)The Oxford Companion to Philosophy(옥스퍼드 철학 동반자) ISBN 0-19-866132-0.
• 닐, 윌리엄, 마사, 1962년논리학의 발전옥스포드 대학 출판부, ISBN 0-19-824773-7.
• 루카시에비치, 아리스토텔레스의 삼단논법, 옥스포드 대학 출판부 1951.
• '포터', '마이클'(2004), '세트이론과 그 철학', 옥스포드 대학 출판부.

외부 링크

• 아리스토텔레스에서 괴델에 이르는 논리의 역사 (논리의 역사에 대한 주석 달린 참고 문헌)
• Bobzien, Susanne. "Ancient Logic". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Chatti, Saloua. "Avicenna (Ibn Sina): Logic". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Spruyt, Joke. "Peter of Spain". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• 폴 스페이드의 '말과 생각' 후기 중세의 논리학과 의미론의 입문
• Open Access PDF 다운로드 David Marans가 178명의 논리학자를 대상으로 한 통찰력, 이미지, BIOS 및 링크