이것은 수학 공식과 관련된 추론 규칙과 논리 법칙의 목록입니다.
서론
추론 규칙은 주장을 만들기 위해 전제로부터 결론을 추론하기 위해 사용할 수 있는 구문 변환 규칙입니다.규칙 세트는 타당한 결론을 추론하기 위해 사용될 수 있지만, 그것이 타당하다면, 잘못된 결론을 추론하지 않을 수 있습니다.많은 규칙이 중복되어 다른 규칙과 함께 증명될 수 있기 때문에 건전하고 완전한 규칙 세트에 다음 목록의 모든 규칙이 포함될 필요는 없습니다.
퇴원규칙은 일시적인 가정에 기초한 하위파생으로부터의 추론을 허용한다.다음 표기는
![{\displaystyle \varphi \vdash \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c3647f21c5149f25463fe5d81eb6fe3b784f41)
는 일시적인
에서
로 서브파생함을 나타냅니다.
고전적 센텐셜 미적분 규칙
센텐셜 미적분은 명제 미적분으로도 알려져 있다.
부정의 규칙
- Reductio ad furnicum (또는 부정 소개)
![{\displaystyle \varphi \vdash \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c3647f21c5149f25463fe5d81eb6fe3b784f41)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4304a4bd25eed12585526d42d16ff0ae3f0b8f)
![{\displaystyle \lnot \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96766a23a9525c90f64bf05589c735b0d0e5c8d)
- Reductio ad furnicum (중간 제외의 법칙 관련)
![{\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4324190bdbcf764d068f048392c2dcf3890da621)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38e2ee70c02f364d97ba7c9a38a004f5b890463)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
- Ex conclusione quodlibet
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419fb5ca2aa9ee4e04905ed81e95e6434c5bb88f)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
- 이중 부정 제거
![{\displaystyle {\underline {\lnot \lnot \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640acc5c9874115931ea417a7c980e4f60c7ab0e)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
- 이중 부정 소개
![{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d80884dfa13bc7b0ffc020c83eb837473f3750)
![{\displaystyle \lnot \lnot \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e1ce562a300cae1503b8d6a39e810c1eb17b13)
조건 규칙
- 감점 정리(또는 조건부 도입)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0325b53557cdce9b4f9f42adfac70056366d4acc)
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724678bd1e82d05bae3d261b9160d514add0de3b)
- Modus 포넨(또는 조건부 제거)
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724678bd1e82d05bae3d261b9160d514add0de3b)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5366a62cef6641dd3e34aac25af3610b36ca6216)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
- 모더스 톨렌스
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724678bd1e82d05bae3d261b9160d514add0de3b)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619e53ead7f0c65a16520a8e1c588dabdffe4007)
![{\displaystyle \lnot \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96766a23a9525c90f64bf05589c735b0d0e5c8d)
접속 규칙
- 부가(또는 접속 소개)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36de6e71855251806814852eaa69a5c54f7896b)
![{\displaystyle \varphi \land \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a406020b081624ed6df4349e583a404ad556ae31)
- 심플화(또는 결합 배제)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7155f8aed0fdb0aac3f550b8228d2ccc1b7fd2)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7155f8aed0fdb0aac3f550b8228d2ccc1b7fd2)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
분리 규칙
- 추가(또는 분리 소개)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdaf33fffde6d8d6fd908ba7ac01f278fc61b07d)
![{\displaystyle \varphi \lor \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53732d566089f41274c3fc138c14cd87ba59febd)
![{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36de6e71855251806814852eaa69a5c54f7896b)
![{\displaystyle \varphi \lor \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53732d566089f41274c3fc138c14cd87ba59febd)
- 케이스 분석(또는 케이스별 증명 또는 케이스별 논쟁 또는 분리 배제)
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2ddc0e6ab0cdd7ef401b4c1901b74ce5d61f44)
![{\displaystyle \psi \rightarrow \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d3b0f452cc028acabd9d8595e71245ed560509)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620f6edb47c5b6366765f8b81cddf31a06982c9b)
![\chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
- 분리 삼단 논법
![{\displaystyle \varphi \lor \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53732d566089f41274c3fc138c14cd87ba59febd)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6839c77dc5843f772ffcd444e49bcfaf639bc427)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
![{\displaystyle \varphi \lor \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53732d566089f41274c3fc138c14cd87ba59febd)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b558450a9f279e27ad7aa370000672574c072a2a)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
- 건설적 딜레마
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2ddc0e6ab0cdd7ef401b4c1901b74ce5d61f44)
![{\displaystyle \psi \rightarrow \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fda34c6ad13531fb16d3c8e61641a488034b1c)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620f6edb47c5b6366765f8b81cddf31a06982c9b)
![{\displaystyle \chi \lor \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314d002246285b90c6f44677d327f82c6ac969dd)
바이컨디션 룰
- 바이콘디셔널 인트로덕션
![{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724678bd1e82d05bae3d261b9160d514add0de3b)
![{\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0df2d5845a0ce9f86745a6b198587c83a81489)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
- 바이콘디셔널 소거
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d80884dfa13bc7b0ffc020c83eb837473f3750)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152e8920f390186ddf8105319ac64a2007909a59)
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6839c77dc5843f772ffcd444e49bcfaf639bc427)
![{\displaystyle \lnot \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95306a224ed882b91ba0a7f0e7f297f49b9023d)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b558450a9f279e27ad7aa370000672574c072a2a)
![{\displaystyle \lnot \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96766a23a9525c90f64bf05589c735b0d0e5c8d)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a5c27d415b3e0f5ef2adb9c4fe96a94d6753e6)
![{\displaystyle \psi \land \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d203e4c3edb5302fa396b92d8cbc14845e32a3)
![{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68c9c0e49df2cdfb5bbb241b0d3f6f10e20aa90)
![{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09fa9ca3a72b82c53776f4db159d4f96452685b)
![{\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65e7d32b78edcc7233e35b805109283c63b2e4c)
다음 규칙에서 (/) ( \ \( \ / \ 는
( \ \)라는![\beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
를 갖는 것을 제외하고 ( \ \
와
동일합니다
- 유니버설 제너럴라이제이션(Universal Generalization(또는 범용 소개)
![{\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d26bb39cf5246300f075d6505880e44ebb5ca)
![{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56edc03bd9670c38ca5c1674f766070f348cfff)
제약사항 1: {\는
{\
에서 발생하지 않는 변수입니다.
제약사항 2:β(\는
어떠한 가설 또는 충전되지 않은 가정에서도 언급되지 않습니다.
- 유니버설 인스턴스화(또는 유니버설 제거
![{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56edc03bd9670c38ca5c1674f766070f348cfff)
![{\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a81da77b0306e5736a9fac6d4ec10990de51d2)
제약사항: {\에서
{\의
자유 발생은β {\
에서 발생하는 변수를 수량화하는 수량화 범위에 포함되지 않습니다.
- 존재론적 일반화(또는 존재론적 소개)
![{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2f57bf87db5b160aeee01683b7eb0596d91a92)
![{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b542f075bec773eda1746c66c23054d618e986)
제약사항: {\에서
{\의
자유 발생은β {\
에서 발생하는 변수를 수량화하는 수량화 범위에 포함되지 않습니다.
- 실존적 인스턴스화(또는 실존적 제거)
![{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b542f075bec773eda1746c66c23054d618e986)
![{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b16e383bda7e2569c7405344a486d3a92861e6c)
![\psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
제약사항 1: {\는
{\
에서 발생하지 않는 변수입니다.
제약사항 2: {\
에(\가
프리 또는 바인드되지 않습니다.
제약사항 3:β(\는
어떠한 가설 또는 충전되지 않은 가정에서도 언급되지 않습니다.
다음은 보편화 및 실존적 제거의 특수한 경우로, 선형 논리 등의 하위 구조 논리학에서 발생합니다.
- 약화의 법칙(또는 수반의 단조성) (일명 무복제 정리)
![{\displaystyle \alpha \vdash \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d75c7787c9df6850070baf7cb2432878995c74)
![{\displaystyle {\overline {\alpha ,\alpha \vdash \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b37a0cc078bb188cec95275e329bc497f4d8d6)
- 수축의 법칙(또는 수반의 등가성)
![{\displaystyle {\underline {\alpha ,\alpha ,\gamma \vdash \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b4eee32e0c35172a3615c6ea92bb2a24a51786)
![{\displaystyle \alpha ,\gamma \vdash \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0a8415b75790c596160ed4f997d80ef9280567)
표: 추론 규칙
위의 규칙은 다음 [1]표에 요약할 수 있습니다."동일어" 열은 주어진 규칙의 표기법을 해석하는 방법을 보여 줍니다.
추론 규칙 | 동음이의어 | 이름. |
| | 모두스 포넨 |
| | 모더스 톨렌스 |
| | 어소시에이티브 |
| | 가환성 |
| | 양원 명제의 법칙 |
| | 내보내기 |
| | 전치 또는 전치법 |
| | 가설 삼단 논법 |
| | 중요한 의미 |
| | 분산형 |
| | 흡수. |
| | 분리 삼단 논법 |
| | 추가 |
| | 심플화 |
| | 접속사 |
| | 이중 부정 |
| | 분리 단순화 |
| | 결의안 |
| | 분리 제거 |
모든 규칙은 기본 논리 연산자를 사용합니다."논리 연산자"의 완전한 표는 진실 표로 나타나며, 2개의 부울 변수(p, q)의 가능한 모든(16) 진실 함수의 정의를 제공한다.
p | q | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
T | T | | F | F | F | F | F | F | F | F | | T | T | T | T | T | T | T | T |
T | F | | F | F | F | F | T | T | T | T | | F | F | F | F | T | T | T | T |
F | T | | F | F | T | T | F | F | T | T | | F | F | T | T | F | F | T | T |
F | F | | F | T | F | T | F | T | F | T | | F | T | F | T | F | T | F | T |
여기서 T = 참 및 F = 거짓이며 열은 논리 연산자: 0, 거짓, 모순, 1, NOR, 논리 NOR(Peirce의 화살표), 2, Converse nonimplication; 3, µp, 부정; 4, 재료 비복제; 5, µq, 부정; 6, XOR, 제외입니다., 논리 바이콘디셔널, 10, q, 투영 함수, 11, if/then, logical contractional, 12, p, 투영 함수, 13, then/if, Converse contraction, 14, OR, 논리적 분리, 15, true, Tautology.
각 논리 연산자는 변수 및 연산에 대한 어설션에서 사용할 수 있으며, 기본적인 추론 규칙을 보여줍니다.예:
- 열-14 연산자(OR)에는 추가 규칙이 표시됩니다. p=T(가설에서 표의 처음 두 줄을 선택함)에 pµq=T가 표시됩니다(열-14).
- 또한 동일한 전제로 12열, 14열 및 15열이 T라는 또 다른 결론이 유효하다는 것을 알 수 있다.
- 열 8 연산자(AND)는 단순화 규칙을 나타냅니다. pµq=T(표의 첫 번째 줄)일 때 p=T가 표시됩니다.
- 이 전제 하에, 우리는 또한 9~15열에 나타난 것과 같이 q=T, pµq=T 등이라고 결론짓는다.
- 열-11 연산자(IF/THEN)는 p→q=T 및 p=T일 때 진실 테이블의 한 줄만 이 두 조건을 충족한다는 Modus 포넨 규칙을 표시합니다.이 행에서는 q도 참입니다.따라서 p → q가 참이고 p가 참이면 q도 참이어야 합니다.
기계와 잘 훈련된 사람들은 기본적인 추론을 수행하고 (같은 전제에 대해) 다른 추론을 얻을 수 있는지 확인하기 위해 이 표 보기 접근법을 사용합니다.
예 1
다음과 같은 가정을 생각해 보세요: "오늘 비가 오면, 우리는 오늘 카누를 타지 않을 것입니다.우리가 오늘 카누 여행을 가지 않는다면 내일 카누 여행을 갈 것이다.따라서 ("ther"의 수학기호는
오늘 비가 오면 내일 카누여행을 갑니다.위 표의 추론 규칙을 활용하기 위해 p{ p를
"오늘 비가 오면"으로,q {q}를
"오늘은 카누를 타지 않습니다"로, r{ r을
"우리는 내일 카누 여행을 갑니다"로 했습니다.이 인수는 다음 형식입니다.
예 2
좀 더 복잡한 가정을 생각해 보세요. "오늘은 맑지 않고 어제보다 춥습니다."날씨가 맑아야 수영하러 간다 수영하러 가지 않으면 바비큐를 한다 바비큐를 하면 해질 때까지 집에 돌아온다.추론 규칙에 의한 증명:"오늘은 "어제보다
","수영하러 갈 이다", "바베큐를 할 이다 "에 있을 것이다
등의 을 p로![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
합니다.'일몰까지'그 후 가설은 p \ s
r\neg s 및
t \st가 됩니다.우리는 직관력을 사용하여 추론 규칙을 사용하여 결론을 t
displayt로 증명할 수 있다고 추측합니다.
걸음 | 이유 |
1."\ pq" | 가설 |
2.p | 순서 1을 사용한 심플화 |
. r \ r \ p | 가설 |
4. r | 스텝 2와 3을 사용한 모드 요금소 |
5. s | 가설 |
. ss | 순서 4와 5를 사용한 Modus 포넨 |
. s st | 가설 |
t \ style | 순서 6과 7을 사용한 Modus 포넨 |
「 」를 참조해 주세요.
논리 시스템 목록
레퍼런스
- ^ Kenneth H. Rosen: 이산 수학과 그 응용, 제5판, 페이지 58.