폴 코헨

폴 J. 코헨
태어난	(1934-04-02) 1934년 4월 2일 미국 뉴저지주 롱브런치
죽은	2007년 3월 23일(2007-03-23)(72세) 스탠포드, 캘리포니아, 미국
모교	시카고 대학교 (MS, 박사)
로 알려져 있다	코헨 강제 연속체 가설
어워드	보처상(1964년) 필즈상(1966년) 국립과학훈장(1967년)
과학 경력
필드	수학
기관	스탠퍼드 대학교
박사 어드바이저	안토니 지그문트
박사과정 학생	피터 사르낙
영향	게오르크 칸토르, 쿠르트 괴델

폴 조셉 코헨(Paul Joseph Cohen, 1934년 4월 2일 ~ 2007년 ^[1]3월 23일)은 미국의 수학자이다.그는 연속체 가설과 선택 공리가 체르멜로-프랭켈 집합론으로부터 독립적이라는 증거로 가장 잘 알려져 있으며, 그 공로로 필즈상을 ^[2]받았다.

초기 생활과 교육

코헨은 뉴저지주 롱브런치의 유태인 가정에서 태어났고,^[3][4] 지금의 폴란드에서 미국으로 이민 온 후 브루클린에서 자랐습니다.그는 1950년 16세의 나이로 뉴욕의 ^[1][4]Stuyvesant 고등학교를 졸업했다.

코헨은 1950년부터 1953년까지 브루클린 대학에서 공부했지만, 시카고 대학에서 2년만 대학을 다니면 대학원 공부를 시작할 수 있다는 것을 알게 되면서 학사 학위를 따지 못하고 떠났다.시카고에서 코헨은 안토니 지그문트의 지도 아래 1954년에 수학 석사 학위를, 1958년에 철학 박사 학위를 마쳤습니다.그의 박사 논문 제목은 삼각 ^[5]급수의 고유성 이론의 주제였다.

1957년 박사학위 수여 전, 코헨은 로체스터 대학의 수학 강사로 1년간 임명되었다.그리고 나서 그는 프린스턴 고등 연구소의 펠로우로 1959-61년을 보내기 전에 1958-59년 매사추세츠 공과대학에서 학년을 보냈습니다.코헨은 몇 년 동안 수학적으로 중요한 발전을 이루었습니다.그룹 대수의 인수분해(1959)에서 그는 국소적으로 콤팩트한 군에서 적분 가능한 함수는 그러한 두 함수의 합성이라는 것을 보여주었고, 이는 월터 루딘에 의해 제기된 문제를 해결한다.코헨은 리틀우드의 추측과 무의미한 조치(1960)에서 리틀우드의 ^[6]추측을 해결하는 데 중요한 돌파구를 마련했다.

1995년 6월 2일,^[7] Cohen은 스웨덴 웁살라 대학교 과학기술부에서 명예 박사 학위를 받았습니다.

직업

코헨은 연속체 가설(CH)과 선택 공리 중 어느 것도 집합론의 표준 저멜로-프랭켈 공리(ZF)로부터 증명될 수 없다는 것을 증명하기 위해 사용한 강제라고 불리는 수학적 기술을 개발한 것으로 유명하다.괴델의 초기 작업과 함께, 이것은 이 두 진술이 ZF 공리로부터 논리적으로 독립적이라는 것을 보여주었다: 이 진술들은 증명될 수도 반증될 수도 없다.이런 의미에서 연속체 가설은 결정할 수 없으며, 집합론의 표준 ZF 공리와는 무관한 자연 진술의 가장 널리 알려진 예이다.

연속체 가설에 대한 그의 결과로, 코헨은 1966년 수학에서 필즈 상을 받았고 1967년에는 ^[8]국립 과학 메달도 받았습니다.코헨이 받은 필즈상은 2022년 현재 수리논리 분야의 업적에 대해 수여되는 유일한 필즈상이다.

코헨은 집합론에 대한 연구 외에도 분석에 많은 귀중한 기여를 했습니다.1964년 "리틀우드의 추측과 잠재적 ^[9]측도에 대하여"라는 논문으로 보처 메모리얼 상을 수상하였고, 코헨-휴이트 인수분해 정리에 이름을 붙였다.

코헨은 스탠포드 대학의 수학 교수였다.1962년 스톡홀름과 1966년 모스크바에서 ICM 초청 연사로 활동했습니다.

런던 퀸 메리 대학의 앵거스 맥인타이어는 코헨에 대해 다음과 같이 말했다: "그는 위압적으로 영리했고, 60년대에 내가 알고 있던 폴에게 자신의 '가장 어려운 문제'를 제기하기 위해서는 순진하거나 예외적으로 이타적이어야 했을 것이다."그는 계속해서 코헨을 Kurt Gödel에 비교하며, "이들의 연구보다 더 극적인 일은 이 ^[10]과목의 역사에서 일어나지 않았습니다."라고 말했다.괴델은 1963년에 코헨에게 편지를 썼는데, 그 초안에는 다음과 같은 내용이 적혀 있었다. "다시 한 번 말씀드리지만, 그 초안은 "부적합성의 미비함에 대한 당신의 증거를 읽는 것이 정말 즐겁습니다.저는 당신이 모든 중요한 측면에서 가능한 최고의 증거를 제시했다고 생각합니다. 그리고 이것은 자주 일어나지 않습니다.당신의 교정쇄를 읽는 것은 정말 좋은 ^[11]연극을 보는 것과 마찬가지로 나에게도 좋은 영향을 미쳤습니다.

연속체 가설

연속체 가설을 연구하는 동안, 코헨은 1985년에 "집합 이론의 모형을 만드는 새로운 방법이 없기 때문에 사람들이 이 문제가 절망적이라고 생각하는 느낌을 받았다"고 말한 것으로 전해졌다.사실, 그들은 당신이 그 문제에 대해 생각하는 것조차 약간 미쳐야만 한다고 생각했습니다."^[12]

작가 코헨이 결국 받아들일 수 있을 것 같은 관점은 CH가 명백히 틀렸다는 것이다.무한의 공리를 받아들이는 주된 이유는 아마도 한 번에 하나의 집합만을 추가하는 과정이 전 우주를 소진시킬 수 있다고 생각하는 것이 터무니없다고 느끼기 때문일 것이다.마찬가지로 무한의 높은 공리도 마찬가지입니다.${\displaystyle {이제\mathrm{}}_{}}$ $§$ 1(\$displaystyle \alph$ _${1$})은$$ 가산 가능한 서수 집합의 카디널리티이며, 이는 상위 기수를 생성하는 특별하고 간단한 방법입니다.반면, $집합{\displaystyle }$ C$[연속체$]$$는 완전히 새롭고 강력한 원리인 멱집합 공리에 의해 생성됩니다.대체 공리에서 파생된 아이디어로부터 추기경을 세우려는 더 큰 추기경의 묘사가$C$에 $도달$할 수 있을 것이라고 기대하는 것은 불합리하다$.$

$따라서{\displaystyle }$ C$(\$$displaystyle$C$)$는 n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ n, $,$ n, \$alph_{\opha}, nalph_{a$보다 큽니다.$여기$서 $=\$ a=\$alph$ _${\opha }$등입니다.이 관점에서는 C$(\style$ C$)$를 하나의 과감한 새로운 원칙이 부여한 믿을 수 없을 정도로 $풍부$한 집합으로 간주하고 있으며, 이는 단편적인 건설 과정으로는 결코 접근할 수 없습니다.아마 후세대는 이 문제를 더 명확하게 인식하고 더 ^[13]웅변적으로 표현하게 될 것입니다.

연속체 가설에 대한 코헨의 연구의 "지속적이고 강력한 산물"과 "수많은 수학자들"^[12]에 의해 사용된 것은 "강제"로 알려져 있으며, 그것은 주어진 가설을 진실 또는 거짓으로 테스트하기 위해 수학적 모델을 구성하는데 사용된다.

코헨은 사망 직전 ^[14]비엔나에서 열린 2006년 괴델 100주년 회의에서 연속체 가설의 문제에 대한 자신의 해결책을 설명하는 강연을 했다.

죽음.

코헨과 그의 아내 크리스티나 사이에는 세 명의 아들이 있었다.코헨은 2007년 3월 23일 캘리포니아 스탠포드에서 ^[15]폐질환으로 사망했다.

선택한 출판물

• Cohen, Paul J. (December 1963). "The independence of the continuum hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. PMC 221287. PMID 16578557.
• Cohen, Paul J. (January 1964). "The independence of the continuum hypothesis, II". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964PNAS...51..105C. doi:10.1073/pnas.51.1.105. PMC 300611. PMID 16591132.

「 」를 참조해 주세요.

• 코헨 대수

레퍼런스

추가 정보

• 카나모리 아키히로, 「코헨과 집합론」, 기호논리 제14권 제3호, 2008년 9월.
• Sarnak, Peter (December 2007). "Remembering Paul Cohen" (PDF). MAA Focus. Washington, DC: Mathematical Association of America. 27 (9): 21–22. ISSN 0731-2040. Retrieved 2009-05-31.

외부 링크

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Paul Joseph Cohen", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• 수학 계보 프로젝트의 폴 조셉 코헨
• paulcohen.org - Paul Cohen의 생애를 기념하는 웹사이트
• 스탠퍼드 사망 기사