수량자(논리)

논리학에서, 수량화란 담론의 영역에서 얼마나 많은 개인이 열린 공식을 만족시키는지 지정하는 연산자이다.예를 들어 1차식 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ P${\displaystyle }$( x$$)의 유니버설 수량식$$${\$ \ $displaystyle$\ $forall$$$x$P$ ($x$ )는$$ 도메인 내의 모든 것이$$P { $displaystyle$ P$$}로 나타나는 속성을 충족함을 나타냅니다.반면, 공식의 존재 수량식 ${\$ \ $display$ style \$exists$ $。$${\displaystyle }$§ ${\displaystyle xP}$($$x ) {$displaystyle$ \$exists xP($x$$$)}$는 도메인 내에 해당 속성을 충족하는 무언가가 존재함을 나타냅니다${\displaystyle \mathrm{.}}$정량자가 가장 넓은 범위를 갖는 공식을 정량식이라고 합니다.정량화된 공식에는 결합 변수와 해당 변수의 참조 속성을 지정하는 보조 공식이 포함되어야 합니다.

가장 일반적으로 사용되는 수식어는 $"\displaystyle\forall"$ 및$$ $"\displaystyle\exists$입니다. 이러한 수식어는 표준적으로는 이중으로 정의되며, 고전 로직에서는 부정을 사용하여 상호 정의할 수 있습니다.$,$ 「${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{」}}$$x$${\displaystyle }$P (${\displaystyle x}$ ) 「 $style \ neg$ \ $exists$$$x $P$$$( x$)$」 formula$$ formula formula formula formula 。다른 수량화자는 2차 로직 또는 상위 로직 내에서만 정의할 수 있습니다.정량화는 Mostowski와 Lindström의 연구를 시작으로 일반화되었다.

1차 논리문에서는 동일한 유형의 수량(범용 수량화 또는 실존 수량화 중 하나)을 문장의 의미를 변경하지 않고 교환할 수 있으며, 다른 유형의 수량화 교환은 의미를 변경할 수 있다.예를 들어, 균일한 연속성과 (일반적인) 연속성의 정의에서 유일한 차이는 정량화의 순서이다.

1차 수식어는 "일부" 및 "모두"와 같은 일부 자연어 수식어의 의미에 근사합니다.그러나 많은 자연어 수식어는 일반화된 수식어의 관점에서만 분석될 수 있다.

논리적 결합 및 분리와의 관계

$담화{\displaystyle }$ D $=$ { ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $}$ { $displaystyle$ D=\{$a_{1}}$의 유한 영역에 대하여.$a_{n$ 보편적으로 수량화된 공식${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{xx}d}$ ${\displaystyle DP}$ ${\displaystyle (x}$){ $displaystyle \forall$x \$in$ D \; P ($x$ )}는$$ 논리 $결합{\displaystyle }$P ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle \wedge }$ (${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle a_{}}$ ){ n$$}{ $displaystyle$P ( a$_$ {$1}\land ...$와 동일합니다.\$land$ P$(a_{n$ 마지막으로 기존 수량화된 공식${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{xx}d}$ ${\displaystyle DP}$ ${\displaystyle (x}$){ $displaystyle \exists$ x$\in$ D$\;P(x)}$는 $논리분할{\displaystyle }$P (${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$1) ${\displaystyle \vee }$ .${\displaystyle p}$P ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $){$ $display style$P($a_{1\$lor})와 동일합니다$.$$\lor$ P$(a_{n$$}).$ 예를 들어, B${\displaystyle =}${ ${\displaystyle 0}$ , 1$$} { $display$ B = \ { 0 , $1$\ } 의$$ 경우$$, 공식${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{display}}$ $x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ \ $display$style \$forall$x \ $in B$ \ ; x = 1 $display$ 1$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ $style$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ .

담론의 무한 영역

(곱셈에 도트 표기법을 사용) 다음 문장을 고려합니다.

1 · 2 = 1 + 1, 2 = 2 + 2, 3 · 2 = 3 + 3, ..., 100 · 2 = 100 + 100 , ... 등

이것은 명제들의 무한한 결합처럼 보인다.공식 언어의 관점에서, 구문 규칙은 유한한 단어를 생성해야 하기 때문에 이것은 즉시 문제가 됩니다.

위의 예는 모든 접속을 생성하는 절차가 있다는 점에서 다행입니다.그러나 모든 비합리적인 숫자에 대한 주장이 나온다면, 비합리적인 수는 열거할 수 없기 때문에 모든 결말을 열거할 방법이 없을 것이다.이러한 문제를 회피하는 간결하고 동등한 공식은 보편적 정량화를 사용합니다.

각 자연수 n에 대하여, n · 2 = n + n.

유사한 분석이 분리에도 적용된다.

1은 5+5 또는 2는 5+5 또는 3은 5+5, ... 또는 100은 5+5 또는 ... 등입니다.

이는 실존적 정량화를 사용하여 대체할 수 있다.

어떤 자연수 n의 경우, n은 5+5와 같다.

계량화에 대한 대수적 접근법

양화와 함께 공식 언어를 포함하는 모델을 가진 추상 대수를 고안하는 것은 가능하지만, 진도가 느리고^{[clarification needed]} 그러한 대수에 대한 관심이 제한되었다.지금까지 세 가지 접근법이 고안되었습니다.

• Augustus De Morgan에 의해 발명되고 Charles Sanders Peirce, Ernst Schreder, Alfred Tarski 및 Tarski의 학생들에 의해 개발된 관계 대수.관계 대수는 세 개 이상의 깊이가 중첩된 수량자로 공식을 나타낼 수 없습니다.놀랍게도 관계대수의 모델에는 자명한 집합론 ZFC와 페아노 산술이 포함된다.
• Alfred Tarski, Leon Henkin 등이 고안한 원통 대수
• 폴 할모스의 다항 대수.

표기법

가장 일반적인 두 가지 수식어는 범용 수량식과 존재 수량식입니다.만능수치의 전통적인 기호는 "모든 것을" 또는 "모든 것을"을 나타내는 회전문자 "A"입니다.존재 수량화 기호는 "존재" 또는 "존재"^[1][2]를 나타내는 회전 문자 "E"이다.

수치화된 문장을 영어와 같은 자연 언어로 번역하는 예는 다음과 같습니다."피터의 친구들은 각각 춤추는 것을 좋아하거나 해변에 가는 것을 좋아한다(또는 둘 다)"는 진술에서, 주요 측면은 수량자를 포함한 기호를 사용하여 확인되고 다시 쓰여질 수 있다.그래서 X를 모든 피터 친구들의 집합으로 하고, P(x)는 "춤추는 것을 좋아한다"는 술어, Q(x)는 "해변에 가는 것을 좋아한다"는 술어.$그$ 후$,{\displaystyle \mathrm{}}$ 「${\displaystyle x」,}$ 「${\displaystyle X」,}$ 「P${\displaystyle 」(x),}$ 「Q$」($$x)$로 표기할 수 있습니다.「x$」,$ 「x$」,$「x」, 「x$」$의 멤버인 모든 x에 대해서, 또는 「Q$」$가 적용됩니다.

기타 수량화된 표현은 다음과 같이 구성됩니다.

$\displaystyle \exists {x},P}$^[3] $\displaystyle {x},P}$

식 P의 경우.위의 두 표현은 각각 "춤을 좋아하는 피터의 친구가 있다"와 "피터의 모든 친구들은 춤을 좋아한다"로 읽힌다.바리안트 표기법에는 set X 및 set members x의 경우 다음과 같은 것이 있습니다.

${\displaystyle\bigve_{x}P}$ $\displaystyle(\display {x})P}$^[4] ${\displaystyle (\exists x\\P)}$ $\displaystyle x\cdot\P$ ${\displaystyle(\exists x:P)}$ ${\displaystyle\exists {x}(P)}$^[5] $\displaystyle \exists _{x},P}$ $\displaystyle \exists {x,},P}$ ${\displaystyle\exists {x}{\in}X,P}$ $\displaystyle \displaystyle \x{:}X,P}$

이러한 모든 변화는 보편적 정량에도 적용된다.범용 정량자에 대한 다른 변형은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\bigwedge_{x}P}$^{[필요한 건]} $\displaystyle \bigwedge xP$^[6] ${\displaystyle(x),P}$^[7]

표기법의 일부 버전은 수량화 범위를 명시적으로 언급하고 있다.정량화 범위는 항상 지정해야 합니다. 주어진 수학적 이론의 경우 다음과 같은 여러 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.

• 체르멜로-프랭켈 집합 이론에서처럼 모든 정량화에 대해 고정된 담론의 영역을 가정한다.
• 여러 개의 담화 도메인을 미리 수정하고 각 변수가 선언된 도메인(변수 유형)을 가질 것을 요구합니다.이는 변수가 유형을 선언하는 정적 유형의 컴퓨터 프로그래밍 언어의 상황과 유사합니다.
• 수량화 범위를 명시적으로 언급합니다.아마도 해당 도메인(또는 해당 도메인 내의 객체 유형)의 모든 객체 집합에 기호를 사용할 수 있습니다.

변수 캡처가 발생하지 않는 특정 제약 조건 하에서 다른 변수 대신 정량화된 변수로 임의의 변수를 사용할 수 있습니다.표기법에 입력된 변수가 사용되는 경우에도 해당 유형의 변수가 사용될 수 있습니다.

비공식 또는 자연어에서는 "xx" 또는 "xx"가 P(x)의 앞 또는 중간에 나타날 수 있습니다.그러나 형식적으로는 더미 변수를 도입하는 문구가 앞에 배치됩니다.

수학 공식은 다음과 같은 자연어 수량자와 수량자의 기호식을 혼합합니다.

모든 자연수 x에 대해서...

x가 존재하기 때문에...

하나 이상의 x에 대해...

고유성 정량화의 키워드는 다음과 같습니다.

정확히 하나의 자연수 x에 대해서...

…라는 x는 하나밖에 없다.

또, x는 대명사로 치환해도 좋다.예를들면,

모든 자연수에 대해 2의 곱은 자기 자신과의 합과 같습니다.

어떤 자연수는 소수이다.

수량화 순서(네스팅)

다음 두 가지 명제에서 알 수 있듯이, 수량화 순서는 의미에 매우 중요합니다.

모든 자연수 n에 대해 s = n인² 자연수 s가 존재합니다.

이것은 명백하게 사실이다; 그것은 단지 모든 자연수가 제곱을 가지고 있다고 주장한다.수량화 순서가 반전되는 어설션의 의미는 다릅니다.

모든 자연수 n에 대해 s = n인² 자연수가 존재합니다.

이것은 명백히 잘못된 것이다; 그것은 모든 자연수의 제곱인 하나의 자연수가 있다고 주장한다.이는 구문에서 변수가 후속적으로 도입된 변수의 함수가 될 수 없음을 지시하기 때문입니다.

수학적 분석에서 덜 사소한 예는 균일하고 점 단위 연속성의 개념으로, 그 정의는 두 개의 양자화자의 위치에서의 교환에 의해서만 다르다.R에서 R까지의 함수 f를 호출한다.

• 점 단위 연속:
  $$\displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \delta > 0\;\forall \mathbbb {R} \;(h <\delta >,\rightarrow 、 f(x+h) <\varepsilon }$$

  
• 균등하게 연속되는 경우
  $$\displaystyle \forall \varepsilon > 0\;\exists \delta > 0\;\forall x\in \mathbb {R} \;( h <\delta \,\rightarrow \, f(x+h) <\varepsilon \varepsilon >$$

  

전자의 경우, θ에 대해 선택된 특정 값은 그 앞에 오는 변수인 θ와 x의 함수일 수 있다.후자의 경우, θ는 θ만의 함수일 수 있다(즉, x와는 무관하게 선택되어야 한다).예를 들어, f(x) = x는² 점에서는 만족하지만 균일한 연속성은 만족하지 않습니다(경사는 바인딩되지 않음).반대로 점 단위 연속성의 정의에서 두 개의 초기 범용 수량자를 바꿔도 의미가 변경되지 않습니다.

일반적으로 두 개의 인접한 유니버설 수량자를 같은 범위로 교환해도(또는 두 개의 인접한 기존 수량자를 같은 범위로 교환해도) 공식의 의미는 변경되지 않지만(여기의 예 참조), 기존 수량자와 인접한 범용 수량자를 교환해도 의미가 변경될 수 있습니다.

공식에서 수량자의 최대 중첩 깊이를 "양자 순위"라고 합니다.

등가 표현

만약 D가 x의 도메인이고 P(x)가 객체 변수 x에 의존하는 술어라면, 보편 명제는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$(\displaystyle\forall x\!)\in \!D\;P(x)}$

이 표기법은 제한적, 상대성 또는 유계적 정량화로 알려져 있습니다.마찬가지로 글을 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle x\;(x\)!\in \!D\ to P(x)입니다.}$

존재 명제는 다음과 같이 한정 수량화로 표현될 수 있다.

$(\displaystyle!\in \!D\;P(x),}$

또는 동등하게

$\displaystyle x;(x\)!\in \!\!D\land P(x)}$

부정과 함께 두 가지 작업을 모두 수행하기 위해 필요한 것은 범용 또는 실존 수량자 중 하나뿐입니다.

$displaystyle \neg (\forall x!\in \!D\;P(x)\equiv\exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

이는 "모든 x에 대한" 명제를 반증하기 위해서는 서술어가 잘못된 x를 찾는 것 이상 필요하지 않다는 것을 보여준다.유사하게,

$displaystyle (\displaystyle x\neg!)\in \!D\;P(x)\equiv\forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

"x가 있다"는 명제를 반증하려면, 모든 x에 대해 술어가 거짓이라는 것을 보여줄 필요가 있다.

고전 논리학에서, 모든 공식은 논리적으로 프리넥스 정규 형식의 공식과 동등하다. 즉, 일련의 양자와 결합 변수 그리고 그 뒤에 양자가 없는 공식이다.

정량범위

모든 정량화에는 하나의 특정 변수와 해당 변수의 담화 영역 또는 정량화 범위가 포함된다.수량화 범위는 변수가 사용하는 값 집합을 지정합니다.위의 예에서 정량 범위는 자연수의 집합입니다.정량 범위를 지정하면 예를 들어 술어가 어떤 자연수와 어떤 실수에 대해 유지된다고 주장하는 것의 차이를 표현할 수 있다.설명 규약은 자연수의 경우 "n"이나 실수의 경우 "x"와 같은 변수 이름을 예약하는 경우가 많지만, 일반적으로 명명 규칙에만 의존할 수는 없습니다. 왜냐하면 변수의 범위는 수학적 인수 과정에서 변경될 수 있기 때문입니다.

빈 범위에 걸쳐 보편적으로 수량화된 공식(${\displaystyle 예}$: "${\displaystyle \mathrm{}}$x${\displaystyle }$"${\displaystyle x}$ " x "$$ "${\displaystyle }$x " x " \ $displaystyle$\$forall$ x$$\ )!$\in \!\varnothing$\;$x\neq$ x$\}$ )는 항상 공허하게 참입니다.반대로 빈 범위에 걸쳐 존재하는 수량화된 공식(예:${\displaystyle \mathrm{}}$x ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$ ${\$style $\display$ x$\!)$$\in \!\varnothing$\;$x=x$ )는 항상 false입니다.

담론의 영역을 제한하는 보다 자연스러운 방법은 조심스러운 정량화를 사용한다.예를 들어, 보호되는 수량

어떤 자연수 n에 대하여, n은 짝수이고 n은 소수이다.

수단

어떤 짝수 n에 대해서, n은 소수이다.

일부 수학 이론에서는 사전에 고정된 담론의 단일 영역을 가정한다.예를 들어, Zermelo-Fraenkel 집합 이론에서 변수는 모든 집합에 걸쳐 있습니다.이 경우 가드된 정량자를 사용하여 보다 작은 범위의 정량화를 모방할 수 있습니다.따라서 위의 예에서 다음과 같이 표현합니다.

모든 자연수 n, n·2 = n + n에 대하여

체르멜로-프랭켈 집합론에서는 다음과 같이 쓸 수 있다.

모든 n에 대하여, n이 N에 속한다면, n·2 = n + n,

여기서 N은 모든 자연수의 집합입니다.

형식 의미론

수학적 의미론은 공식 언어에서 표현의 의미를 연구하기 위한 수학의 응용이다.이것은 세 가지 요소를 가지고 있다: 구문을 통한 객체 클래스의 수학적 사양, 다양한 의미 영역의 수학적 사양, 그리고 통사적 객체에서 의미적 객체로의 함수로 표현되는 둘 사이의 관계.이 문서에서는 수량화 요소가 어떻게 해석되는지에 대한 문제만을 다루고 있습니다.수식의 구문은 구문 트리로 지정할 수 있습니다.수량화자는 범위를 가지며 변수 x가 해당 변수의 수량화 범위 내에 있지 않을 경우 발생은 자유롭다.이와 같이

$\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y)\vee C(y,x)}$

C(y, x)에서 x와 y의 발생은 자유로운 반면, B(y, x)에서 x와 y의 발생은 결합되어 있다(즉, 자유롭지 않다).

1차 술어 미적분의 해석은 개인 X의 영역을 주어진 것으로 가정한다.자유변수가 x₁, ..., x인_n 공식 A는 n개의 인수의 부울값 함수 F(v₁, ..., v_n)로 해석되며, 여기서 각 인수는 도메인 X에 걸쳐 있다.부울 값은 함수가 T(진실로 해석됨) 또는 F(허위로 해석됨) 값 중 하나를 가정함을 의미합니다.공식의 해석

$\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n})}$

는 X의 모든 w에 대해 F(v₁, ..., v_n-1, w) = T일 경우에만 G(v₁, ..., v_n-1, w) = T가 되도록 n-1 인수의 함수 G이다.W의 값 하나 이상에 대해 F₁(v_n-1, ..., v, w) = F이면 G₁(v_n-1, ..., v) = F. 마찬가지로 공식의 해석

$\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n})}$

는 n-1 인수의 함수 H로, 적어도1개의 w에 대해 F(v₁₁, ..., v, w_n-1)=T일 경우 및 그 이외의 경우에는 H(v₁, ..., v_n-1)=F일 경우에만 H(v, ..., v_n-1)=T가 된다.

고유성 수량화를 위한 의미론에는 등식을 갖는 1차 술어 미적분이 필요합니다.이것은 구별되는 두 자리 술어 "="가 주어진다는 것을 의미한다. 의미론 또한 그에 따라 수정되어 "="는 항상 X에서 두 자리 등식 관계로 해석된다.의 해석

$\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n})}$

그러면 n-1 인수의 함수가 됩니다.이것은 논리적이고 해석적인 것입니다.

$\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n})}$

$\displaystyle \forall y,z{\big (}A(x_{1},\ldots,x_{n-1}\ldots,x_{n-1},z)\display y=z ybig ).}$

각 종류의 정량화는 각 자유변수 x에 대해 ^[8]x를 결합하는 정량자를 추가함으로써 일련의 공식에 대응하는 폐쇄 연산자를 정의한다.예를 들어, 열린 식 n>2 µxⁿ+yⁿ=z의ⁿ 실존적 닫힘은 닫힌 식 δn µx µy µz (n>2 µxⁿ+yⁿ=zⁿ)이다. 후자의 공식은 자연수에 대해 해석될 때 페르마의 마지막 정리에 의해 거짓으로 알려져 있다.또 다른 예로, x+y=y+x와 같은 등식 공리는 보통 교환성을 나타내기 위해 δx δy(x+y=y+x)와 같이 보편적 폐쇄를 나타낸다.

Paugal, Multal 및 기타 정도 수량자

앞에서 설명한 수량화 중 다음과 같은 수량화에는 적용되지 않습니다.

n < 100의 정수가 많으므로 n은 2 또는 3 또는 5로 나누어집니다.

다음과 같은 해석 메커니즘 중 하나를 얻을 수 있습니다.의미 영역 X에 더해 X와 컷오프 번호 0 < a a b 1 1에 정의된 확률 측도 P를 제공했다고 가정합니다. 만약 A가 변수₁ v, ...,v의_n 함수 F인 자유 변수₁ x,....,x를_n 갖는 공식이라면, 그 해석은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many}}x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n}}$

v,...v의_1n-1 함수로, T는 다음과 같다.

$\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$

그렇지 않으면 F를 선택합니다.마찬가지로, 해석은

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few}}x_{n}A(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n}}}$

v,...v의_1n-1 함수로, F는 다음과 같은 경우에만 해당된다.

${\displaystyle 0<\operatorname {P}\{w:F(v_{1},\ldots,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$

그렇지 않으면 ^{[citation needed]}T가 됩니다.

기타 수량자

시간이 지남에 따라 몇 가지 다른 수식어가 제안되었다.특히, 용액 ^{[9]: 28} 수량화자는 section(섹션 부호)와 "thats"로 표기되어 있다.예를들면,

$\displaystyle \left [\S n\in \mathbb {N} \display n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}$

"n 4 4가 {0,1,2}에 있도록² N에 있는 n"이라고 읽습니다.set-builder 표기법에서는 다음과 같은 구문을 표현할 수 있습니다.

$\displaystyle \{n\in \mathbb {N}:n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$

다른 수식과는 달리 ^[10]θ는 수식이 아닌 집합을 산출한다.

수학에서 가끔 사용되는 다른 수량식에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

• ...와 같은 요소는 무한히 많다.
• 확실히 많은 요소들에도 불구하고...(경우에 따라서는 "거의 모든 요소에 대해...").
• ...와 같은 요소는 셀 수 없을 정도로 많다.
• 헤아릴 수 없을 만큼 많은 요소에도 불구하고...
• 양의 측정값 집합의 모든 요소에 대해...
• 측정값 0의 집합을 제외한 모든 요소의 경우...

역사

아리스토텔레스 논리라고도 불리는 용어 논리는 자연어에 가깝고 형식적인 분석에도 적합하지 않은 방식으로 수량화를 다룬다.논리라는 용어는 기원전 4세기의 모든 것, 일부, 그리고 아니요를 다루었는데, 이 또한 진부한 양상에 관한 설명에서 다루었다.

1827년, 조지 벤덤은 수량화 원리를 설명하는 Whally 박사의 논리 요소에 대한 비판적인 검토와 함께 그의 새로운 논리 체계 개요를 출판했지만, 그 책은 널리 ^[11]유통되지 않았다.

윌리엄 해밀턴은 "양자화"와 "양자화"라는 용어를 만들었다고 주장했는데, 아마도 1840년 경 에든버러 강의에서 그랬을 것이다.아우구스투스 드 모르간은 1847년에 이것을 확인했지만, 현대의 용법은 1862년 드 모르간에서 시작되었고, 그는 "우리는 수량화로서 모든 것과 일부 모두를 받아들이지 않을 것이다."^[12]와 같은 발언을 했다.

Gottlob Frege는 1879년 그의 Begriffsschrift에서 담론의 영역에 걸쳐 서술어에 나타나는 변수를 묶기 위해 계량사를 처음으로 사용했다.그는 변수(또는 관계)를 도식 공식에 나타나는 다른 직선으로 보조개 위에 써서 보편적으로 계량화한다.프레게는 실존적 수량화를 위한 명시적 표기법을 고안하지 않고 대신 ~~x~, 즉 대치법을 사용했다.1903년 버트런드 러셀의 수학 원리까지 프레게의 수량화 처리는 거의 주목받지 못했다.

Peirce (1885년)에서 절정에 이른 작품에서, 찰스 샌더스 피어스와 그의 학생 오스카 하워드 미첼은 독립적으로 보편적, 실존적 수량화, 그리고 결합 변수를 발명했다.피어스와 미첼은 wrote과 σ을_xx 썼는데, 여기서 우리는 x과 x을 쓴다.피어스의 표기법은 1950년대 에른스트 슈뢰더, 레오폴드 로웬하임, 토랄프 스콜렘, 그리고 폴란드 논리학자들의 저서에서 찾을 수 있다.가장 주목할 만한 것은 1차 논리의 완전성에 관한 Kurt Gödel의 획기적인 1930년 논문과 Peano 산술의 불완전성에 관한 1931년 논문의 표기법이다.

피어스의 계량화 접근법은 윌리엄 어니스트 존슨과 주세페 페아노에게 영향을 주었는데, 그는 또 다른 표기법, 즉 x의 보편적 수량화에 대한 (x)와 x의 실존적 수량화에 대한 (1897년에) µx를 발명했다.따라서 수십 년 동안 철학과 수리 논리학의 표준 표기법은 "담화 영역의 모든 개인은 특성 P를 가지고 있다"는 표현을 위해 (x)P, "담화 영역에 적어도 한 명의 개인이 존재한다"는 표현을 위해 (xx)P였다. 페아노는 사실상 후자의 T를 확산시켰다.유럽 전역에서 행킹하고 있습니다.페아노의 표기법은 화이트헤드와 러셀, 퀴네, 알론조 교회의 프린키피아 매스매티카에 의해 채택되었다.1935년 겐젠은 페아노의 symbol 기호와 유추하여 symbol 기호를 도입하였다.①은 1960년대까지 규범화되지 않았다.

1895년경, 피어스는 그의 실존적 그래프를 개발하기 시작했고, 그 변수는 암묵적으로 수량화된 것으로 볼 수 있다.변수의 가장 얕은 인스턴스가 짝수인지 홀수인지에 따라 변수의 수량화가 보편적인지 실존적인지 여부가 결정됩니다.(명예는 부정을 내포함으로써 결정되는 깊이의 반대입니다.)피어스의 그래픽 논리는 최근 몇 년 동안 이질적인 추론과 도식적 추론을 연구하는 사람들에 의해 관심을 끌었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 절대 일반성
• 거의 다
• 분기 수량자
• 조건부 수량화
• 계수 수량
• 결국 (수학)
• 일반화 수량화 - 수량화 명사 구문의 표준 의미론으로서 사용되는 고차 속성
• Lindström 정량자: 일반화 폴리아디치 정량자
• 정량자 제거
• 정량자 이동

레퍼런스

참고 문헌

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• 힐베르트, 다비드, 아커만, 빌헬름, 1950년(1928년)수학 논리의 원리첼시.그룬츠게 데 컨솔티첸 로지크 번역본.스프링거-벨라그.1928년 초판은 정량화가 현재 표준적인 방식, 즉 일정한 담론의 영역에 걸친 구속 변수로 의식적으로 채택된 최초의 것이다.이것은 1차 논리의 정의적인 측면입니다.
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• Westerstöl, Dag, 2001, "Quantiers", 루, 고블, ed., The Blackwell Guide to Philosical Logic.블랙웰이요
• 위제, 헤이케, 2003년숫자, 언어, 그리고 인간의 마음.케임브리지 대학 출판부ISBN 0-521-83182-2.

외부 링크

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• 스탠포드 철학 백과사전:
  • 샤피로, 스튜어트(2000)."고전 논리" (자연 추론 스타일의 1차 논리에 대한 구문, 모델 이론 및 메타토리를 포함합니다.)
  • Westerstöl, Dag(2005년)."일반화된 수량화"
• Peters, Stanley, Westerstöl, Dag(2002)."수량자"