모달 논리

Modal logic

모달 로직은 필요성과 가능성에 대한 진술을 표현하기 위해 개발된 공식 시스템의 집합이다.그것은 언어 철학, 인식론, 형이상학, 그리고 자연어 의미론에서 중요한 역할을 한다.모달 로직은 각각 가능성과 필요성을 나타내는 단항 연산자 {\ {\Box를 추가하여 다른 시스템을 확장합니다.예를 들어, 모달 공식P { \ P} can 、 " { \ P} " 、 " P { P} as 、 mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for { 인식적 필요성을 나타내는 경우, {\ P 인식적으로 P{\ P 필요하다고, 즉 알려진 것으로 명시한다. \Box 사용하여 논리적 필요성을 나타내는 경우, {\ \ PP {\ P 도덕적 또는 법적 [1]의무라고 명시합니다.

모달 로직의 표준 관계 의미론에서 공식은 가능한 세계에 대해 진실 값을 할당한다.하나의 가능한 세계에서의 공식의 참값은 접근 가능한 다른 세계에서의 다른 공식의 참값에 의존할 수 있습니다.특히, 접근 가능한 어떤 세계에서 Diamond P 참일 , 접근 가능한 모든 세계에서 P P)가 참일 (\\ P 참입니다.접근성 관계를 제한함으로써 얻을 수 있는 의미론에 관해 건전하고 완전한 다양한 증명 시스템이 존재한다.예를 들어 접근성 관계를 시리얼로 할 필요가 있는 경우에는 디온틱 모달 논리 D가 건전하고 완전하다.

모달 논리 뒤에 있는 직관은 고대로 거슬러 올라가지만, 최초의 모달 공리 체계는 1912년에 C. I. 루이스에 의해 개발되었다.현재 표준적인 관계적 의미론은 20세기 중반에 아서 프라이어, 자코 힌티카, 사울 크립케의 연구에서 나타났다.최근의 개발은 원래의 철학적 동기를 [2]넘어 관계적 의미론의 적용뿐만 아니라 이웃 의미론과 같은 대체 위상적 의미론을 포함한다.그러한 응용 프로그램에는 게임 이론,[3] 도덕 및 법 이론,[3] 디자인,[3] 다중 우주 기반 집합 이론,[4][5] 그리고 사회적 인식론포함됩니다.

모달 연산자의 구문

모달 연산자 {\ 연산자 ◻ \Diamond 구문 규칙은 범용 및 실존 수량자의 구문 규칙과 매우 유사합니다. 실제로 모달 연산자 {\ 및 모달 연산자가 있는 모든 공식은 명제 계산에서 일반적인 논리 연결입니다.us ( , { , \, \, \, \ )는 prenex normal 형식과 마찬가지로 de dicto normal 형식으로 다시 쓸 수 있습니다.한 가지 주요 경고:보편적 및 실존적 수량화자는 명제 변수 또는 수량화자 뒤에 오는 술어 변수에만 결합하지만, 모달 연산자 {\ {\는 접근 가능한 모든 세계를 수량화하므로 해당 범위의 공식에 결합됩니다.를 들어 (x ( ) ( ){ ( \ displaystyle ( \ x ( x^ { 2 } 0 y style \ x ( ^ { 2 } \ 으로 0 }= 0 대신 ( 2 0 2 1 \ 0 = )는 논리적으로 ( ( 2 1 y와 동등합니다.

수식에 양변 연산자와 양변 연산자가 모두 있는 경우, 인접한 한 쌍의 양변 연산자와 양변 연산자의 다른 순서는 다른 의미적 의미를 초래할 수 있다. 또한, 다중 모달 로직이 관련될 경우, 인접한 한 쌍의 모달 연산자의 다른 순서는 다른 의미적 의미를 초래할 수 있다.

의미론

관계적 의미론

기본 개념

모달 로직의 표준 의미론은 관계 의미론이라고 불립니다.이 접근법에서 공식의 진리는 종종 가능한 세계라고 불리는 점에 대해 결정됩니다.모달 연산자를 포함하는 공식의 경우 해당 참 값은 다른 액세스 가능한 월드에서 참인 값에 따라 달라질 수 있습니다.따라서 관계적 의미론은 다음과 [6]같이 정의된 모델을 사용하여 모달 로직의 공식을 해석한다.

  • 관계형 모델은 M , , { \ { M} = \ W , , \ 입니다.여기서 다음과 같이 입력합니다.
  1. W 가능한 세계의 집합입니다.
  2. R W W의 이진 관계입니다.
  3. {\ V 원자식과 세계의 각 쌍에 진실 값을 할당하는 평가 함수이다(: V × { , { V F F F 원자 공식의 집합입니다.)

W W 세트는 흔히 우주라고 불립니다.이진 R R 접근성 관계라고 불리며, 무엇이 진실인지 판단하기 위해 서로 볼 수 있는 세계를 제어합니다.예를 들어 w u { 에서 u w 액세스 할 수 있는 것을 의미합니다 w { w}라고 상태는 w { w이 있습니다.마지막으로 V{ V 밸류라고 불립니다.기능.그것은 어떤 원자식이 어떤 세계에서 참인지를 결정한다.

그런 다음 M의 w w에서 공식의 진실을 재귀적으로 정의합니다.

  • , { \ { M} , \ P} (w , ) \ V , P )=
  • P w P \ w style wP가 아닌 \display style
  • , Q) { \ { } , \ \ Q) wP\ w \ Q m m m m m m m m m m m m m m mffff m m m mff m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m
  • , w {\ Wu {\u}에 대해 w\ u \ displaystyle P
  • W의 일부 u(\u)에 대한 M {(\ uP if.

이 시멘틱스에 따르면에서 접근할 수 있는 모든 world에 대해 공식이 하며 w에서 할 수 있는 world에 대해 ww에서 접근할 수 있는 world를 보유할 경우 공식이 가능하며, 이에 따라 접근성 에 따라 \ w가 달라질 수 R 가능성의 상대적 특성을 표현할 수 있습니다.예를 들어, 우리는 우리의 물리 법칙을 고려할 때, 인간이 빛의 속도보다 더 빨리 여행하는 것은 불가능하지만, 다른 상황들을 고려할 때 그렇게 할 수 있었을 것이라고 말할 수 있다.접근성 관계를 사용하여 이 시나리오를 다음과 같이 변환할 수 있습니다.우리 세계에 접근할 수 있는 모든 세계에서는 인간이 빛의 속도보다 더 빨리 이동할 수 있는 것은 아니지만, 이 접근 가능한 세계들 중 하나에는 인간이 빛의 속도보다 더 빨리 이동할 수 있는 또 다른 세계가 있습니다.

프레임과 완전성

접근성 관계의 선택만으로도 공식의 진실 또는 거짓을 보증하기에 충분할 수 있습니다.예를 들어 접근성 관계가 반사적 M 생각해 보십시오.이 관계는 반사적이기 때문에 어떤 평가 함수를 사용하든 wP {\{ w\models P \ P 됩니다.이러한 이유로, 모달 논리학자들은 때때로 평가 함수를 제외한 관계형 모델의 부분인 프레임에 대해 이야기한다.

  • 관계 프레임은 쌍 R { { M } = \ G \ 입니다.G(\ G 가능한 세계의 집합이고 RG(\G 의 이진 관계입니다.

다양한 모달 로직 시스템은 프레임 조건을 사용하여 정의됩니다.프레임은 다음과 같습니다.

  • 반사적(wr w일 경우), G의 모든 w에 대해
  • symmetric(w R u가 u R w를 의미경우)은 G모든 w와 u에 대해 사용됩니다.
  • transitive는 w R u와 u R q가 함께 w R q를 의미하는 경우 G모든 w, u, q를 의미합니다.
  • 시리얼은 G 내의 모든 w에 대해 wru가 존재하도록 G 내의 일부 u가 존재하는 경우입니다.
  • 모든 u, t, w대해 w R u와 w R t가 u R t를 의미한다면(대칭에 의해 t R t와 u R u의미함) 유클리드

이러한 프레임 조건으로부터 발생하는 로직은 다음과 같습니다.

  • K : = 조건 없음
  • D : = 시리얼
  • T : = 재귀적
  • B : = 반사 및 대칭
  • S4 : = 반사적전이적
  • S5 : = 반사 유클리드

유클리드 속성은 반사성과 함께 대칭성과 전이성을 낳는다.(유클리드 특성은 대칭성과 전이성에서도 얻을 수 있습니다.)따라서 접근성 관계 R이 반사적이고 유클리드일 경우 R은 입증 가능한 대칭이며 전이적이다.따라서 S5 모델의 경우 R은 반사적이고 대칭적이며 전이적이기 때문에 R은 등가 관계이다.

우리는 이러한 프레임이 모든 세계가 W의 다른 모든 세계를 볼 수 있는 프레임과 동일한 유효한 문장 세트를 생성한다는 것을 증명할 수 있다(, 여기서 R은 "전체" 관계이다).그러면 해당 모달 그래프가 총 완성됩니다(즉, 더 이상 에지(관계)를 추가할 수 없음).예를 들어, 프레임 조건에 근거한 모달 로직에서는 다음과 같습니다.

g 요소 u에 u\u P와 wru가 유지되는 경우에만 w w P

전체 관계를 바탕으로 프레임을 고려한다면 다음과 같이 말할 수 있습니다.

w:G의 일부 요소 에 대해\ P가 유지되는 경우에만 pw P

후자의 규정에서accessibility 조항을 삭제할 수 있습니다.이는 이러한 합계 프레임에서는 모든 wu가 모두 해당되기 때문입니다.단, 모든 S5 프레임에서는 해당되지 않아도 됩니다.S5 프레임은 서로 완전히 연결되어 있지만 서로 분리되어 있는 여러 부분으로 구성되어 있을 수 있습니다.

이들 논리 시스템은 모두 다음 섹션에서 나타내는 것처럼 공리적으로 정의될 수도 있습니다.를 들어 S5에서는 P \ P \ P \\ \ implies P \ displaystyle \ P\ \ ◻ P \ style P \ P \ ( P )라고 합니다.h, 다른 로직의 약점.

위상 의미론

모달 논리도 위상 구조를 사용하여 해석되었습니다.예를 들어, Interior Semantics는 다음과 같이 모달 로직의 공식을 해석합니다.

토폴로지 은 튜플 X , display Vdisplay display { \ \{ X } = \, V \ rangle 입니다.여기서X , \ , \ \ 토폴로지 이고 V스타일의 함수입니다기본 내부 의미론에서는 다음과 같이 모달 로직의 공식을 해석합니다.

  • P \ , Piff V () \ x\V ( )
  • , \ \} , \ neg \ } , x \ \ { , x \ \
  • , \ \ } , \ \ chi} , x x \ \ , x 、 X \\ { X } , x \ models \ ci 、 \
  • , display 、 \ display \{ , x \ box \ ifff u u u \ x \ Ualso X \ { \

위상적 접근법은 관계적 접근법들을 포함하며, 비정상적 모달 로직이 허용된다.그들이 제공하는 추가적인 구조는 또한 한 사람이 자신의 신념에 대해 가지고 있는 증거나 정당성과 같은 특정한 개념을 모델링하는 투명한 방법을 가능하게 한다.위상학적 의미론은 형식 인식론의 최근 연구에서 널리 사용되며 데이비드 루이스와 앤젤리카 크라처와 같은 반사실주의 논리에 선행한다.

공리 시스템

일반적인 모달 로직의 다이어그램. K4WProvidability 로직, 상단 모서리의 B는 KTBBrower 시스템을 나타냅니다.

모달 로직의 첫 공식화는 자명했다.C 이후 매우 다른 특성을 가진 수많은 변형이 제안되었다. 루이스는 1912년에 그 지역에서 일하기 시작했다.를 들어 Hughes and Cresswell(1996)은 42개의 정상 모드 로직과 25개의 비정상 모드 로직을 설명한다.Zeman(1973)은 Hughes와 Cresswell이 생략한 일부 시스템을 설명한다.

모달 논리학의 현대적 처리는 두 개의 단항 연산으로 명제 미적분을 증가시키는 것으로 시작되는데 하나는 "필요성"을 나타내고 다른 하나는 "가능성"을 나타낸다.이후 많이 사용된 C. I. Lewis의 표기법은 범위가 괄호로 설정된 접두어 "상자"(□p)에 의해 "필요하게 p"를 나타낸다.마찬가지로 접두어 "fixed"(◇p)는 "fixed p"를 나타낸다.1차 논리의 수량화자와 유사하게, "필요 p"(□p)는 수량화 범위(Kripke 의미론에서 접근 가능한 세계의 집합)가 비어 있지 않다고 가정하는 반면, "clipke p"(◇p)는 종종 암묵적으로θ {접근 가능한 세계의 집합은 비어 있지 않음)을 가정한다.표기법에 관계없이 이들 연산자는 고전적인 모달 로직에서 각각 다른 연산자로 정의할 수 있습니다.

  • p(필요한 p)는 ◇◇pp("not-p" 불가능)와 같다.
  • p(paramet p)는 θparametp("반드시 not-p"는 아님)와 같다.

따라서 □와 ◇는 이중 연산자 쌍을 형성합니다.

많은 모달 논리학에서, 필요성과 가능성 연산자는 부울 대수에서 나온 모르간의 법칙의 다음과 같은 유추들을 만족시킨다.

"X필수가 아니다"는 논리적으로 "X아닐 수 있다"와 동등하다.
"X가 논리적으로 "X가 아닌 것이 필요하다"는 과 동등하지 않다.

정확히 어떤 공리와 규칙이 사용 가능한 모달 논리 체계를 만들기 위해 명제 미적분에 추가되어야 하는가는 종종 증명하고 싶은 이론들에 의해 추진되는 철학적 의견의 문제이다; 또는 컴퓨터 과학에서, 그것은 어떤 종류의 계산적 또는 연역적 시스템을 모델링하기를 원하는지에 대한 문제이다.일반 모달 로직으로 통칭되는 많은 모달 로직에는 다음 규칙과 공리가 포함됩니다.

  • N, 필연성 규칙: p가 (N을 호출하는 시스템/모델의) 정리/동일 경우, □p도 마찬가지로 정리입니다(예 p) {(\ p (\
  • K, 분포 공리: □(p q) →(□p →□q).

Saul Kripke를 기려 "K"라고 이름 붙여진 가장 약한 정규 모달 논리는 단순히 □, 규칙 N, 그리고 공리 K에 의해 증가된 명제 미적분이다.K는 제안이 필요할 수 있는지 여부를 판단하지 못한다는 점에서 약하지만, 단지 필요하다는 점에서 약하다.즉, 만약 □p가 참이라면 □□p는 참이고, 즉 필요한 진리는 "필연적으로 필요하다"는 것이 K의 정리가 아니다.이러한 혼란이 강제적이고 인위적인 것으로 간주된다면 K의 이 결함은 큰 문제가 아니다.어떤 경우든, 그러한 질문에 대한 다른 답변은 다른 모달 논리 시스템을 산출합니다.

K에 공리를 추가하면 다른 잘 알려진 모달 시스템이 생성됩니다.만약 p가 필요하다면 p가 이라는 것을 K로 증명할 수 없다.공리 T는 이 결함을 해결합니다.

  • T, Reflexivity Axiom: pp (p가 필요한 경우 p가 해당)

T는 모든 모달 로직이 아닌 대부분의 모달 로직을 수용합니다.Zeman(1973)은 S10 같은 몇 가지 예외를 설명한다.

기타 잘 알려진 기본 공리는 다음과 같습니다.

  • 4: →◻◻ { 스타일\Box p
  • B: →◻ p \p
  • D: p \ \p \ \ p}
  • 5: →◻p \ \ p \ Box \ p}

시스템(굵은 글씨로 축, 기울임꼴로 시스템)을 나타냅니다.

  • K : = K + N
  • T : = K + T
  • S4 : = T + 4
  • S5 : = T + 5
  • D : = K + D.

K에서 S5는 시스템의 중첩 계층을 형성하여 일반 모달 로직의 핵심을 구성합니다.그러나 특정 시스템에는 특정 규칙 또는 규칙 세트가 적합할 수 있습니다.예를 들어 논리적으로 p \ \ p\ p p ) ( p to to to to to to to to,,,,,,,,,,,,, ◻ p \ p\ \ p는 적절하다고 생각되지만 p →◻ p \ display p display p\to \ Diamond p를 포함해서는 안 될 것입니다. 사실은 에러에 호소합니다.ral은 p경우 p를 허용해야 한다고 말하는 것도 좋습니다).

일반적으로 사용되는 시스템 S5는 단순히 모든 모달 진실을 필요로 한다.예를 들어 p가 가능한 경우 p가 가능한 은 "필요"합니다.또한 p가 필요한 경우에는 p가 필요합니다.S5가 모든 종류의 관심사양식을 기술하지 않기 때문에 다른 모달 논리체계가 공식화되었습니다.

구조 증명 이론

자연 연산의 순차 계산과 시스템은 여러 모달 논리학을 위해 개발되었지만, 순수성(증명 이론은 라벨과 같은 논리적 개념을 도입하지 않음)과 분석성(논리 규칙은 명확한 설명을 뒷받침함)과 같이 좋은 구조적 증명 이론에서 기대되는 다른 특징과 일반성을 결합하는 것은 어려운 것으로 입증되었다.n)의 증거).더 복잡한 계산이 일반성을 달성하기 위해 모달 논리에 적용되었습니다.

의사결정 방법

분석 테이블로는 모달 [citation needed]로직에서 가장 일반적인 결정 방법을 제공합니다.

철학에서의 모달 논리학

알레틱 논리

필요성과 가능성의 양식은 알틱 양상이라고 불린다.그것들은 라틴어 에서 유래한 특별한 양식이라고도 불린다.모달 논리는 이러한 개념을 다루기 위해 처음 개발되었고, 그 후에야 다른 개념으로 확장되었다.이러한 이유로, 또는 아마도 그들의 친숙함과 단순함 때문에 필요성과 가능성은 종종 형식 논리의 주제로 가볍게 취급된다.게다가, 다른 개념을 상대화하는 것보다 법률, 물리, 유목학, 인식론 등과 같은 필요성에 대한 상대화의 의미를 이해하는 것이 더 쉽다.

고전적 모달 논리학에서, 명제는 다음과 같이 말한다.

  • 그것반드시 거짓이 아닌 경우(사실인지 거짓인지에 관계없이)
  • 그것이 거짓이 아닌 경우(즉, 참이며 반드시 참)
  • 그것반드시 거짓이고 반드시 참이 아닌 경우(즉, 가능하지만 반드시 참은 아니다)
  • 만약 그것이 사실이 아니라면 불가능하다(즉, 거짓이고 필연적으로 거짓이다).

따라서 고전적 모달 논리학에서는 가능성 또는 필요성의 개념이 기본이 되는 것으로 간주될 수 있으며, 여기서 이러한 다른 개념들은 드 모르간 이중성의 방식으로 정의된다.직관적인 모달 논리는 가능성과 필요성을 완벽한 대칭이 아닌 것으로 취급한다.

예를 들어, 편의점으로 걸어가는 동안 프리드리히의 집을 지나쳐서 불이 꺼지는 것을 관찰한다고 가정해 봅시다.돌아오는 길에 전원이 켜져 있는 것을 알 수 있습니다.

  • '누군가 불 좀 켰나' 이런 게 필요해요.
  • "프리드리히가 불을 켰다", "프리드리히의 룸메이트 막스가 불을 켰다", "아돌프라는 이름의 도둑이 프리드리히의 집에 침입해서 불을 켰다"는 말이 붙는다.
  • 위의 문장은 모두 가능합니다.
  • 소크라테스가 불을 켰다는 불가능하다.

(물론 이 비유는 진정 엄밀한 방식으로 진부한 양식을 적용하지는 않는다.그러려면 인간은 죽음에서 살아날 수 없다, 소크라테스는 불멸의 뱀파이어가 아니다, 우리는 빛을 거짓으로 믿게 만든 환각제를 복용하지 않았다 등 공리적으로 진술해야 한다.on", ad ininitum.진실과 거짓의 절대 확실성은 '사변 삼각형을 그리는 것은 불가능하다', '총각은 모두 미혼이다' 등 논리적으로 구성된 추상적 개념의 의미에서만 존재한다.

어떤 것이 가능하지만 사실이 아니라는 개념을 가진 사람들에게, 이러한 용어의 의미는 여러 "가능한 세계" 또는 "대체 우주"를 생각함으로써 더 이해할 수 있다; 어떤 "필요한 것"은 모든 가능한 세계에서 진실이고, 어떤 "가능한 것"은 적어도 하나의 가능한 세계에서 진실이다.d. 이러한 "가능 세계 의미론"은 크립케 의미론으로 공식화된다.

물리적 가능성

물리법칙에 의해 [citation needed]허용된다면 어떤 것이 물리적으로나 명목적으로 가능하다.예를 들어, 현재의 이론은 원자 번호[7]126인 원자가 존재하는 것을 허용하는 것으로 생각됩니다. 비록 그러한 원자가 존재하지 않더라도 말이죠.이와는 대조적으로, 현대 과학은 논리적으로 [8]빛의 속도를 넘어서는 가속이 가능하지만, 물질 입자나 [9]정보는 물리적으로 가능하지 않다고 규정한다.

형이상학적 가능성

철학자들[who?] 사물이 과학적 법칙에 의해 지시된 것과 독립적인 속성을 가지고 있는지 여부를 논의한다.예를 들어, 물리주의를 옹호하는 일부 사람들이 생각하듯이, 모든 생각하는 생명체는 몸을 가지고[10] 있고 시간의 흐름을 경험할 수 있다는 것은 형이상학적으로 필요할지도 모른다.Saul Kripke는 모든 사람은 반드시 그들이 가지고 있는 부모를 가지고 있다고 주장해왔다: 다른 부모를 가진 사람은 같은 [11]사람이 아닐 것이다.

형이상학적 가능성은 논리적인[12] 가능성보다 더 제한적이라고 생각되어 왔다.그러나 논리적 가능성 또는 물리적 가능성과의 정확한 관련성은 논란의 여지가 있다.철학자들은[who?] 또한 형이상학적 진리가 단순히 "정의상" 필요한 것인지, 아니면 그것이 세계에 대한 근본적인 깊은 사실을 반영하는 것인지, 아니면 완전히 다른 무언가에 대해 의견이 엇갈린다.

인식론적 논리

인식론적 양식문장확실성을 다룬다.□ 연산자는 "x know that…"로 번역되고 ◇ 연산자는 "모든 x know에 대해, 그것은 사실일 수 있다"로 번역됩니다. 통상적인 말에서 형이상학적 양식과 인식론적 양식 모두 유사한 단어로 표현됩니다. 다음과 같은 대비가 도움이 될 수 있습니다.

Jones라는 사람은 합리적으로 둘 다 말할 수 있다. (1) "Bigfoot이 존재할 가능성은 없다. 나는 그것을 확신한다."와 (2) "Bigfoot이 존재할 가능성이 있다."Jones가 말하는 (1)의 의미는 이용 가능한 모든 정보를 고려할 때 Bigfoot의 존재 여부에 대한 의문이 남아 있지 않다는 것입니다.이것은 인식론적 주장이다.(2)에 의해 그는 빅풋이 존재하지 않더라도 존재할 수 있다는 형이상학적 주장을 펼친다: 북미의 숲에서 깃털이 없고 두 발로 걷는 큰 생명체가 존재할 수 없다는 물리적, 생물학적 이유는 없다.마찬가지로, "이 문장을 읽는 사람은 키가 14피트이고 차드라는 이름을 가진 사람이 될 수 있다" 것은 형이상학적으로는 사실이지만 (그런 사람은 그들의 키와 이름 때문에 어떻게든 그렇게 하는 것을 막을 수 없을 것이다), 당신이 그 묘사와 일치하지 않는 한, 그리고 만약 14피트의 재능이 알려져 있다면 인식적으로는 사실이 아니다.인간은 존재한 적이 없다.

다른 방향에서 보면, 존스는 (3) "골드바흐의 추측이 사실일 도 있고, 또한 그것이 거짓일 수도 있다.", 그리고 (4) "만약 그것이 사실이라면, 그것은 반드시 진실이고, 아마도 거짓이 아니다."라고 말할 수 있다.여기서 존스는 그가 알고 있는 모든 것에 대해 그것이 진실인지 거짓인지 인식적으로 가능하다는 것을 의미한다(골드바흐의 추측은 진실인지 거짓인지 증명되지 않았다). 하지만 만약 증거가 있다면, 골드바흐의 추측이 논리적으로 거짓이라는 것을 보여줄 것이다.-그것을 위반하는 숫자의 집합은 있을 수 없다.논리적 가능성은 진리의 한 형태이다.(4) 수학적 진실이 거짓일 가능성이 있는지 없는지에 대해 주장하지만(3) 수학적 주장이 가능한지에 대해 주장할 뿐이다. 존스가 아는 모든 것은 (즉, 확실성에 대해 말한다) 수학적 주장이 구체적으로 참인지 거짓인지에 대해 모든 것을 말한다.그리고 다시 존스는 자신을 부정하지 않는다.Jones가 반드시 옳은 것은 아니라는 것을 알 필요가 있습니다.골드바흐의 추측이 사실인 동시에 입증 불가능하다는 것은 가능하다.

인식론적 가능성은 형이상학적 가능성이 없는 방식으로 실제 세계와도 관련이 있다.형이상학적 가능성은 세상이 그랬을 법한 방식과 관련이 있지만 인식론적 가능성은 세상이 그랬을 법한 방식과 관련이 있다.예를 들어, 떠나기 전에 우산을 가져가야 하는지 알고 싶다고 합시다.만약 당신이 "에 비가 올 가능성이 있다"고 말한다면, 그것은 내가 우산을 가져가느냐 마느냐에 달려있을 것이다.하지만 만약 당신이 "에 비가 내리는 것이 가능하다"고 말한다면, 형이상학적 가능성의 관점에서, 나는 이 모달 계몽에 더 나을 것이 없다.

인식론적 모달 논리의 몇 가지 특징들은 논의 중이다.예를 들어 x가 p안다면 x는 p를 안다는 것을 안다는 것입니까?즉, 이러한 시스템에서 □P →□□P가 공리여야 하는가?이 질문에 대한 답은 [13]불분명하지만, 인식론적 모달 로직에는 일반적으로 최소한 하나 이상의 공리가 포함되어 있습니다. 왜냐하면 이 공리는 모든 정상적인 모달 로직에서 최소한 참이기 때문입니다(자율 시스템에 대한 섹션 참조).

  • K, 분포 Axiom : ( ) ( →◻q ) {( q )\( \ p \q )} 。

인식론적 양식과 진부한 양식이 서로 구별되는 것으로 간주되어야 하는지에 대한 의문이 제기되었다.'세상의 진실'(알레틱)과 '개인의 마음속의 진실'([14]epistemic) 사이에 실질적인 차이가 없다는 것이다.조사에서는 문법적 [15]분위기에 의해 알트어 및 인식론적 양식이 공식적으로 구별되는 단일 언어를 발견하지 못했습니다.

시간 논리

시간 논리는 시제를 사용한 표현의 의미론에 대한 접근법이다. 즉, 언제의 조건을 가진 표현이다.'2 + 2 = 4'와 같은 표현들은 항상 참이지만, 'John is happy'와 같은 긴장된 표현들은 가끔 참일 뿐이다.

시간 논리학에서, 시제 구문은 형식적인 측면에서 다루어지는데, 여기서 시간의 대화를 공식화하기 위한 표준 방법은 두 쌍의 연산자를 사용하는 것이다. 하나는 과거에 대한 연산자이고 다른 하나는 미래에 대한 연산자(P는 단지 '현재 P인 경우'를 의미한다).예를 들어 다음과 같습니다.

FP : 경우에 따라서는 P가
GP : P는 항상 그렇습니다.
PP: 가끔 P가
HP : P는 항상 그랬습니다.

그러면 적어도 3개의 모달 로직이 개발될 수 있습니다.예를 들어, 우리는 다음과 같이 규정할 수 있다.

\ \ P= P는 어느 시점 t에 해당된다
\P}= P항상 해당됩니다 t

또는 이러한 오퍼레이터를 거래하여 미래(또는 과거)에만 대응할 수도 있습니다.예를들면,

§ \}P= FP
\}P= GP

또는,

§ \}P= P 및/또는 FP
\}P= P GP

연산자 F와 G는 처음에는 외부인 것처럼 보일 수 있지만 정상적인 모달 시스템을 생성합니다.FP는 「GP와 같은 것에 주의해 주세요.위의 연산자를 조합하여 복잡한 문장을 작성할 수 있습니다.예를 들어, PP →□PP는 (효과적으로) 과거진실인 모든 것이 필요하다고 말합니다.

내일 비가 올 수도 있고 안 올 수도 있다고 하는 것은 타당해 보인다.반면, 과거를 바꿀 수 없기 때문에, 어제 비가 온 것이 사실이라면, 어제 비가 오지 않았을 것이다.과거는 고정된 것 같기도 하고, 미래가 그렇지 않은 방식으로 필요한 것 같기도 합니다.이것은 우발적인 필요성이라고 불리기도 합니다.하지만 과거가 '고정'이고, 미래의 모든 것이 결국 과거가 된다면, 미래의 사건도 필요하다고 말하는 것이 타당해 보인다.

마찬가지로, 미래 우발 사태의 문제는 미래에 대한 주장의 의미론을 고려한다: '내일은 해전이 있을 것이다' 또는 '내일은 해전이 없을 것이다'라는 명제 중 하나가 지금 사실인가?이 논제를 고려하면서 아리스토텔레스는 미래에 관한 주장을 위해 이원성의 원리를 거부하게 되었다.

추가 이진 연산자는 시간 로직과도 관련이 있습니다(선형 시간 로직 참조).

시간 논리 버전은 컴퓨터 과학에서 컴퓨터 작업을 모델링하고 그에 대한 이론을 증명하기 위해 사용될 수 있습니다.한 버전에서 ◇P는 "앞으로 계산에서 P가 참이 될 수 있다"를 의미하며, □P는 "앞으로 계산에서 P가 항상 참이 될 것"을 의미한다.다른 버전에서 ◇P는 "연산의 바로 다음 상태에서 P는 참일 수 있다"를 의미하며, □P는 "연산의 바로 다음 상태에서 P는 참이 될 것이다"를 의미한다.이들은 접근성 관계의 선택에 따라 다릅니다.(P는 항상 "P가 현재 컴퓨터 상태에서는 true"라는 의미입니다.)이 두 가지 예는 비결정적 또는 완전히 이해되지 않은 계산을 포함합니다. 다른 유형의 프로그램 분석에 특화된 많은 다른 모달 로직이 있습니다.각각은 자연스럽게 조금씩 다른 공리로 이어진다.

신논리

마찬가지로 도덕성, 또는 일반적으로 의무와 규범에 대한 논의는 모달 구조를 가지고 있는 것처럼 보인다."You must this"와 "You may do this"의 차이는 "This is needs"와 "This possible"의 차이와 매우 유사합니다.이러한 논리를 그리스어로 의무라는 뜻의 데온틱이라고 한다.

논리 논리학은 일반적으로 크립케 의미론에서 접근성 관계의 반사성에 의미론적으로 대응하는 공리 T가 결여되어 있다. 기호에서는 \ \}이다 □를 "의무적인 것으로 해석하면, T는 비공식적으로 모든 의무가 참이라고 말한다.예를 들어, 다른 사람을 죽이지 않는 것이 의무라면(즉, 살인은 도덕적으로 금지되어 있다) T는 사람들이 실제로 다른 사람을 죽이지 않는다는 것을 암시한다.그 결과는 명백히 잘못된 것이다.

대신, 크립케 의미론을 사용하여, 우리는 우리의 세계가 모든 의무를 실현하지는 못하지만, 그것에 접근할 수 있는 세계는 실현한다고 말한다(즉, T는 이러한 세계에 머무른다).이 세계들은 이상화된 세계라고 불립니다.P는 우리 세계에 접근할 수 있는 모든 이상적인 세계라면 우리 세계에 대한 의무이다.이것이 형식적 의미론에 대한 최초의 해석 중 하나였지만, 최근에는 [16]비판의 대상이 되고 있다.

One other principle that is often (at least traditionally) accepted as a deontic principle is D, , which corresponds to the seriality (or extendability or unboundedness) of the accessibility relation.그것은 "전혀 암시할 수 없다"는 칸트 사상의 한 형태이다. (명백히 "캔"은 다양한 의미로 해석될 수 있다, 예를 들어 도덕적인 의미 또는 신학적 의미).

논리 논리학의 직관적인 문제

우리가 윤리를 표준 모달 논리로 공식화하려고 할 때, 우리는 몇 가지 문제에 부딪힙니다.를 들어, K: 당신이 돈을 훔쳤고, 또 다른 질문: 당신은 소액의 돈을 훔쳤다고 가정해 봅시다.이제 우리가 "당신이 돈을 훔쳤다면, 그것은 적은 금액이어야 한다"는 생각을 표현하고 싶다고 가정해 봅시다.두 가지 후보가 있을 것 같은데

(1)( →◻ 스타일 Q
(2) ( ) {\ Q

단, (1)과 K는 모두 □Q를 수반합니다.그것은, 소액의 돈을 훔친 경우입니다.이건 분명 옳지 않아요. 왜냐하면 당신은 아무것도 훔치지 말았어야 했어요.그리고 (2)도 효과가 없다: "돈을 훔쳤다면 적은 금액이어야 한다"는 올바른 표현이 (2)라면, (3) "돈을 훔쳤다면 큰 금액이어야 한다"는 올바른 표현은 (K ( )\아무것도 훔치지 않아야 합니다. 또는 K 하지만 우리는 ( ( )\( Q) ) ( K Q } } ( \ Q \ K) ) 。따라서 문장 (3)은 가설에서 따랐다(물론 같은 논리가 문장 (2)을 나타낸다).하지만 그것은 옳을 수 없고, 우리가 자연어를 사용할 때는 옳지 않다.누군가에게 도둑질을 해서는 안 된다고 말하는 것이 그들이 [17]도둑질을 한다고 해서 많은 돈을 훔치라는 것을 의미하지는 않는다.

독사스틱 로직은 (일부 대리인의) 신념의 로직과 관련되어 있다.독사스틱이라는 용어는 "믿음"을 뜻하는 고대 그리스어 독사에서 유래되었다.일반적으로 독사스틱 논리에서는 "그것은 믿어진다"는 뜻으로 □을 사용하거나 특정 작용제 s와 상대적으로 비교될 때 "그것은 s에 의해 믿어진다"는 뜻으로 사용된다.

모달 로직의 가장 일반적인 해석에서는 "논리적으로 가능한 세계"를 고려한다.만약 어떤 진술이 모든 가능한 세계에서 사실이라면, 그것은 필요한 진실이다.만약 어떤 진술이 우리 세계에서는 사실이지만 모든 가능한 세계에서는 사실이 아니라면, 그것은 우연한 진실이다.어떤 가능한 세계에서 진실인 진술은 가능한 진실이라고 불린다.

빅풋의 존재는 가능하지만 실재하지는 않는다는 이 '가능 세계 관용어' 아래 빅풋이 존재하는 가능 세계는 있지만 실제 세계에는 빅풋이 존재하지 않는다고 말한다.그러나 이 주장이 우리에게 무엇을 약속하는지는 불분명하다.우리가 정말로 가능한 세계의 존재를 주장하고 있는 걸까요? 우리의 실제 세계만큼, 단지 실제가 아닐 뿐이죠.Saul Kripke는 '가능 세계'라는 용어가 [18]가능성의 개념을 시각화하는 유용한 방법일 뿐이라고 '가능 세계'는 잘못된 명칭이라고 믿는다.그에게 당신은 6이 아닌 4를 굴릴 수 있었다와 4를 굴린 세상은 있지만 실제 세계에서는 6을 굴렸다라는 문장은 크게 다르지 않으며 우리에게도 가능한 세계의 [19]존재를 확약하지 않는다.반면에, 데이비드 루이스는 모든 가능한 세계는 우리 자신의 세계만큼 현실적이며, 우리의 세계를 실제와 구별짓는 것은 단지 우리의 세계, [20]세계라고 주장함으로써 스스로를 악명높게 만들었다.그 입장은 "모달 리얼리즘"의 주요 신조이다.어떤 철학자들은 존재론적으로 사치스럽다고 생각하여 어떤 버전의 모달 리얼리즘도 지지하기를 거부하며, 이러한 존재론적 약속을 바꿔치기하기 위한 다양한 방법을 찾는 것을 선호한다.로버트 아담스는 '가능 세계'가 '세계 이야기' 즉 일관된 명제 집합으로 더 잘 생각된다고 주장한다.따라서 이러한 상황을 일관성 있게 [21]설명할 수 있다면 4를 굴렸을 가능성이 있습니다.

컴퓨터 과학자들은 일반적으로 분석되는 특정 종류의 계산에 특화된 모달 연산자에 대해 매우 구체적인 해석을 선택할 것입니다."모든 세계" 대신 "모든 가능한 컴퓨터의 다음 상태" 또는 "모든 미래의 컴퓨터 상태"가 표시될 수 있습니다.

기타 응용 프로그램

문학, 시, 미술,[22][23] 역사 등 인문 분야에서 모달 논리가 사용되기 시작했다.

역사

모달 로직의 기본 개념은 고대로 거슬러 올라간다.아리스토텔레스는 그의 선행 분석서 제1권 (8장-22절)에서 양식적 삼단논법을 개발하였고, 테오프라스토스는 이를 [24]개선하려고 시도했다.또한 아리스토텔레스의 작품에는 De Interpretatione § 9의 유명해상 전투 논쟁과 같이, 현재 모달 논리와 잠재력과 시간의 연관성에 대한 예상으로 보여지는 구절들이 있다.헬레니즘 시대에 논리학자 디오도로스 크로노스, 변증법학자 필로, 스토아크 크리시푸스는 각각 가능성과 필요성의 상호정의성을 설명하고, 공리 T를 받아들였으며, 악명 높은 마스터 [25]논리를 해결하기 위해 모달 논리와 시간 논리의 요소들을 결합하는 모달 시스템을 개발했다.모달 논리학의 가장 초기의 형식적 시스템은 궁극적으로 "시간적 모달"[26] 삼단 논리의 이론을 개발한 아비세나에 의해 개발되었다.자각적인 주제로서의 모달 논리는 특히 Ockham의 WilliamJohn Duns Scotus의 저작에 기인하며, 주로 본질과 사고대한 진술을 분석하기 위해 비공식적으로 추론한다.

19세기에, 휴 맥콜은 모달 논리에 혁신적인 기여를 했지만,[27] 많은 인정을 받지 못했다.C. I. 루이스는 1912년 "논리의 암시와 대수"[28][29]로 시작하는 일련의 학술적 기사에서 현대 모달 논리를 확립했다.루이스는 고전 논리가 거짓이 어떤 [30]명제를 내포한다는 원리와 같은 물질적 함축의 역설들을 부여한다는 이유로 모달 논리, 특히 엄격한 의미를 발명하도록 이끌었습니다.이 작업은 1932년 S1에서 S5까지 5개의 시스템을 소개한 그의 저서 심볼릭 로직(C.[31] H. Langford와 함께)에서 절정을 이뤘다.

루이스 이후, 모달 논리는 수십 년 동안 거의 주목을 받지 못했다.니콜라스 레셔는 버트랜드 러셀이 [32]거절했기 때문이라고 주장해 왔다.하지만, 얀 데노즈카는 데노즈카가 "MDL"이라고 부르는 모달 체계가 러셀의 작품에 묘사되어 있다고 말하면서,[33] 비록 러셀이 물질의 분석에서 썼듯이, 모달리티의 개념이 "명제적 기능과 혼동하는 명제에서 비롯되었다"고 믿었지만, 이 견해에 반대했다.

아서 노먼 프라이어는 루스 바르칸 마르쿠스에게 양화된 모달 [34]논리에 관한 논쟁에서 모달 논리에 대한 편견 때문에 잘 준비하라고 경고했다.

Ruth C. Barcan(나중에 Ruth Barcan Marcus)은 정량화된 모달 로직의 첫 번째 공리 시스템인 Lewis의 S2, S4, S5[35][36][37]1차 및 2차 확장을 개발했다.

모달 의미론의 현대 시대는 1959년 Saul Kripke(당시 18세 하버드 대학 학부생)가 모달 논리학의 현재 표준인 Kripke 의미론을 도입하면서 시작되었다.이들은 일반적으로 "가능한 세계" 의미론이라고 불립니다.Kripke와 A. N. Priority는 이전에 어느 정도의 길이로 대응하고 있습니다.크립케의 의미론은 기본적으로 단순하지만, 증거는 E. W. Beth에 의해 설명되었듯이 의미표 또는 분석표를 사용하여 완화됩니다.

A. N. Previr는 1957년에 "결국"과 "이전"을 의미하는 모달 연산자 [F]와 [P]를 추가하여 모달 로직과 밀접한 관련이 있는 현대적인 시간 로직을 만들었다.Vaughan Pratt는 1976년에 다이내믹 로직을 도입했습니다.1977년 Amir Pnueli연속적으로 운영되는 동시 프로그램의 동작을 공식화하기 위해 시간 논리를 사용할 것을 제안했다.시간 로직의 맛에는 명제 동적 로직(PDL), (명제적) 선형 시간 로직(LTL), 계산 트리 로직(CTL), 헤네시-밀너 로직 및 [clarification needed]T포함됩니다.

모달 로직의 수학적 구조, 즉 단항 연산(종종 모달 대수)으로 증강된 부울 대수(Boolean algebra)는 1941년 J. C. McKinsey의 S2S4가 [38]결정가능하다는 증거와 함께 나타나기 시작했고 알프레드 타르스키와 그의 제자 Bjarni Jsson(1951-Tarson)의 작품에서 완전한 꽃을 피웠다. 연구는 S4와 S5가 원래 토폴로지의 내부폐쇄 연산자의 특성을 포착하기 위해 설계된 부울 대수의 적절한 확장인 내부 대수의 모델이라는 것을 밝혀냈다.모달 로직의 텍스트는 일반적으로 부울 대수학 위상학 연구와의 관련성을 언급하는 것 이상을 하지 않는다.형식 모달 로직의 역사와 관련 수학에 대한 자세한 조사는 로버트 골드블랫(2006)[39]을 참조한다.

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메모들

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레퍼런스

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추가 정보

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  • Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metalysics of Modality, New York: Bloomsbury, 2016.

외부 링크