폭발원리

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고전적 논리학, 직관논리학 및 이와 유사한 논리학 체계에서 폭발의 원리(라틴어: ex falso[sequitur] quodlibet, '허위로부터, 어떤 것이든 [follows]), 또는 ex reconfecte[sequitur] quodlibet, 'recomponcience-Scotus'의 원리)는 어떤 진술이 될 수 있는 법칙이다.모순에서 ^[1]벗어나다 즉, 일단 모순이 주장되면, 그것으로부터 어떤 명제(그들의 부정 포함)를 추론할 수 있다; 이것은 연역 폭발이라고 알려져 있다.^[2][3]

이 원리의 증거는 12세기 프랑스의 철학자 윌리엄 소이슨에 의해 처음 제시되었다.^[4] 폭발의 원리로 인해 형식적 자명제에서 모순(불일관성)의 존재는 참담하다, 어떤 진술도 증명될 수 있기 때문에 진리와 거짓의 개념을 경시한다.^[5] 20세기 전환기를 전후해 수학의 기초에서 러셀의 역설과 같은 모순이 발견되어 수학의 전체 구조를 위협하였다. 고틀롭 프레게, 에른스트 제르멜로, 아브라함 프레이엔켈, 소랄프 스콜렘 등 수학자들은 이러한 모순을 제거하기 위해 세트 이론을 수정하는 데 많은 노력을 기울였고, 그 결과 현대적인 제르멜로-프렌켈 세트 이론이 나왔다.

원칙의 입증으로서 두 가지 모순된 진술을 고려하라."모든 레몬이 노란색이다"와 "모든 레몬이 노란색인 것은 아니다" 그리고 두 가지 모두 사실이라고 가정해보자. 만일 그렇다면, 다음과 같은 주장을 사용함으로써, 예를 들어, "유니콘이 존재한다"는 주장을 증명할 수 있다.

1. 우리는 "모든 레몬이 노란 것은 아니다"라고 그것이 사실이라고 가정해 왔듯이 알고 있다.
2. 우리는 "모든 레몬은 노란색"이라는 것을 알고 있다. 그것이 사실이라고 가정해 왔기 때문이다.
3. 따라서 2부 진술의 1부 "모든 레몬은 노란색이거나 유니콘이 존재한다"는 2부 진술도 사실이어야 하는데, 이는 (이것이 가정된 바와 같이) 1부 "모든 레몬은 모두 노란색이다.
4. 그러나 '모든 레몬이 노란 것은 아니다'(이것이 가정된 바와 같이)라는 것을 알고 있기 때문에, 1부는 거짓이며, 따라서 2부는 반드시 진실해야 2부 진술, 즉 유니콘이 존재한다는 것을 보장한다.

이러한 문제들에 대한 다른 해결책으로, 몇몇 수학자들은 폭발의 원리를 제거하는 상존 논리학이라고 불리는 대체 이론들을 고안해냈다.^[5] 이것들은 다른 증거에 영향을 주지 않고 일부 모순된 진술들을 증명할 수 있게 한다.

상징적 표현

상징논리학에서는 폭발의 원리를 다음과 같은 방법으로 개략적으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$어떤$$ 문장에 대해서도 P와 비-P가 모두 참이라면 Q가 참이라는 것을 논리적으로 따른다.

증명

아래는 상징논리를 이용한 원리의 형식적인 증거다.

스텝	프로포지션	파생
1	$P}$	가정
2	$\displaystyle \neg P}$	가정
3	$P\lor Q}$	분리소개(1)
4	$(\displaystyle Q}$	이항 삼단논법 (3,2)

이것은 서론에서 주어진 비공식적 주장의 상징적인 버전일 뿐, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 "모든 레몬은 노란색"을, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은 "유니콘은 존재한다"를 나타낸다. 우리는 (1) 모든 레몬이 노란색이고 (2) 모든 레몬이 노란색은 아니라고 가정하는 것으로 시작한다. 모든 레몬은 노란색이라는 명제로부터 (3) 모든 레몬은 노란색이거나 유니콘이 존재한다고 추론한다. 그러나 그때 이것과 모든 레몬이 노란 것은 아니라는 사실로부터 우리는 (4) 유니콘이 이분법적 삼단논법으로 존재한다고 추론한다.

의미론적 주장

그 원리에 대한 대체 논거는 모델 이론에서 비롯된다. A sentence ${\displaystyle P}$ is a semantic consequence of a set of sentences ${\displaystyle \Gamma }$ only if every model of ${\displaystyle \Gamma }$ is a model of ${\displaystyle P}$. However, there is no model of the contradictory set ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$. A fortiori, there is no model of ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ that is not a model of ${\displaystyle Q}$. Thus, vacuously, every model of ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ is a model of ${\displaystyle Q}$. Thus ${\displaystyle Q}$ is a semantic consequence of ${\displaystyle (P\wedge$$\lnot$ P$)}$.

상존 논리학

하위 경쟁 형성 연산자를 허용하는 상존 로지스틱이 개발되었다. 모델이론적 상존성 논리학자들은 종종 {${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \varphi }$ } }${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$의 모델이 있을 수 없다는 가정을 부정하고$$ 그러한 모델이 있는 반제적 시스템을 고안한다. 대안으로, 그들은 명제를 진실과 거짓으로 분류할 수 있다는 생각을 거부한다. 증명-이론적 상존적 논리학은 일반적으로 폭발을 도출하는 데 필요한 단계 중 하나의 유효성을 부인하는데, 여기에는 일반적으로 이분법적 삼단논법, 이분법적 도입, 환원법적 부조리가 포함된다.

사용법

폭발 원리의 변성적 가치는 이 원리가 가지고 있는 어떤 논리적 시스템에서도 ⊥(또는 동등한 형태, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ { { { { { { { { {$${ {\$displaystyle \land$\lnot $\pi$ $\backslash \})$를 증명하는 파생 이론은 그 모든 진술이 이론이 되어 진리와 거짓을 구별할 수 없게 되기 때문에 가치가 없다는 것이다. 즉, 폭발의 원리는 고전적 논리에 있어서 비 모순의 법칙을 주장하는 것인데, 그것이 없으면 모든 진리 진술이 무의미해지기 때문이다.

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참고 항목

• 결과물 미라빌리스 – 클라비우스의 법칙
• 투석증 – 진정한 모순의 존재에 대한 믿음
• 배제된 중간 법칙 – 모든 명제는 참 또는 거짓이다.
• 모순되지 않는 법칙 – 어떤 명제도 진실일 수 없고 진실이 아닐 수 없다.
• 상존하는 논리 – 모순을 해결하는 데 사용되는 로직 계열
• 관여의 역설 - 폭발 원리에서 파생된 것으로 보이는 역설
• Reducationctio ad loonum – 명제가 모순을 낳기 때문에 거짓이라는 결론
• 사소함 – "P와 not-P" 형식의 모든 진술이 사실이라는 믿음

참조