강제(수학)

세트 이론의 수학적인 훈련에서 강제성은 일관성과 독립성 결과를 증명하는 기술이다. 그것은 1963년 폴 코헨에 의해 처음 사용되었는데, 체르멜로-프라엔켈 집합 이론으로부터 선택 공리와 연속 가설의 독립성을 증명하기 위해 사용되었다.

강제력은 그 다음 해에 상당히 재작업되고 단순화되었으며, 그 이후 세트 이론과 재귀 이론과 같은 수학 논리학의 영역 모두에서 강력한 기법의 역할을 해왔다. 서술 집합 이론은 재귀 이론과 세트 이론 둘 다에서 강제하는 개념을 사용한다. 강제성은 모델 이론에서도 사용되어 왔지만, 강제성은 언급하지 않고 직접 제네릭을 정의하는 것이 모델 이론에서는 일반적이다.

직감

직관적으로 강제성은 설정된 이론 우주 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V$을(를$)$ 더 큰 $우주$로 확장하는$$ 것으로 구성된다$\{\backslash$$displaystyle$ V$^{*}.$ 예를 들어 이 더 큰 우주에서는 ${\displaystyle \omega$}$$${\displaystyle }$=${\displaystyle }${$,$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots \}}$ {$0,1,2,\dots}$의 새로운 하위 집합이 많이 있을 수 있다. 오래된 우주에서 연속체 가설을 위반하는 거지

유한한 세트를 다룰 때는 불가능하지만, 이것은 무한함에 대한 칸토어의 역설의 또 다른 버전일 뿐이다. 원칙적으로 다음을 고려할 수 있다.

${\displaystyle V^{*}=V\time \{0,1\}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$과$($${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (x,0)}$을(를) 식별한 다음 "new" 형식$({\displaystyle \mathrm{x}}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,1)$을 포함하는 확장된 멤버십 관계를 도입한다$.$ 강제성은 이 아이디어의 보다 정교한 버전이며, 하나의 새로운 세트로의 존재로 확장이며, 미세한 것이다.팽창된 우주의 성질에 대해 연구한다.

현재 래미티드 포스라고 불리는 코헨의 독창적인 기술은 여기에 기술되어 있는 미 래미티드 포스먼트와는 약간 다르다. 강제성은 부울 값 모형의 방법과도 같으며, 일부는 개념적으로 더 자연스럽고 직관적이라고 느끼지만, 일반적으로 적용하기가 훨씬 더 어렵다.

포셋 강제 설정

강제 포셋은 3중$({\displaystyle }$P ,${\displaystyle \le }$, ${\displaystyle 1\mathbf{}}$)$$순서가 지정된(\$displaystyle)(\mathb {P} ,\leq$ ,\mathbf ${1})$이며$,$ 여기서 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq$ $}}$은(는) 무원자 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 사전 주문이며$$, 이는 다음과 같은 조건을 만족함을 의미한다.

• For each ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, there are ${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$ such that ${\displaystyle q,r\leq p}$, with no ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ such that ${\displaystyle s\leq q,r}$. The largest element of ${\displaystyle \mathbb$${P}$$}$은(는) $1{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 즉 $모든{\displaystyle }$ p${\displaystyle p}$ P {\$displaystyle$$p$\leq \$mathbf$$${1$}$입니다$.$

$P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 멤버를 강제 조건 또는 정의 조건이라고 한다$$. $p{\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\leq}$을(를) "${\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$보다 강하다고 읽는다.$$ 직관적으로, 작은 간격$[{\displaystyle }$3${\displaystyle .1415926\mathrm{,}}$ 3.${\displaystyle 1415927}$] $[\displaystyle [3.1415926,3.1415927]$이 숫자${\displaystyle }$π에 대해 [${\displaystyle 3.}$1$]{\displaystyle[3.1,3.2]$보다 더 많은 정보를 제공하는$$ 것처럼, "더 작은" 조건은 "더 많은" 정보를 제공한다.

다양한 규약이 사용되고 있다. 일부 저자는 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq }$도 대칭적이지 않도록$$ 요구하므로 관계가 부분 순서다. 어떤 이들은 표준 용어와 상충되는 부분 순서라는 용어를 사용하는 반면, 어떤 이들은 사전 순서라는 용어를 사용한다. 가장 큰 원소는 분배될 수 있다. 역순도 사용되는데, 특히 사하론 셀라와 그의 공동저자들이 가장 눈에 띈다.

P-이름

강제 포셋 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과$($와) 연관된 P {\$displaystyle$ V$^{{(\mathb {P} )}$은(는) P ${\$-name의 $클래스{\displaystyle {}^{}}$ V${\displaystyle {(P\mathbb{})}^{}}$이다. $A{\displaystyle \mathbb{}}$ P ${\$- 이름은$$ 양식의$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A}$집합임$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{{}}}}}\mathb {P} {\text{-name 및}}}\p\in \mathb {P}}}$

이것은 사실 초지름 재귀에 의한 정의다. $∅{\displaystyle \varnot$ $}$ 빈 집합$$,$$$\alpha {\displaystyle }$+ 1 ${\$$displaystyle \alpha$$$+1$},$$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$\alpha $},$ P {\displaystyle {\$mathcal{P}}}$의 후속 서수, 제한 서수 순으로 다음 계층을 정의하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{정렬}}}$

그런 $다음{\displaystyle \mathbb{}}$ P ${\$-name$$ 클래스를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name}(\alpha )~~\alpha ~{\text}은(는) 서수형이다}\}.}$

$P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이름은$$ 사실 우주의 팽창이다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$을(를$)$ 지정하면 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$ ${\$을(를) $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$-name으로$$ 정의함

${\displaystyle {\x}=\{\check {y},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

다시 말하지만, 이것은 정말로 트랜스피니트 재귀에 의한 정의다.

해석

$P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 $하위{\displaystyle }$ 집합 G ${\displaystyle G}$을(를) 지정하면$,$ 다음으로 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ - 이름에서$$ 해석 또는 평가 맵을 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {val}(u,G)=\{\\operatorname {val}(v,G)\mid \exists p\in G:(v,p)\in u\}.}$

이것은 다시 한번 트랜스파이널 재귀에 의한 정의다. $1{\displaystyle \mathbf{}}$∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {$1$} \in$ G$\}$인 경우 ${\displaystyle \mathrm{val}}$ ${\displaystyle (x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$, G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {val}({\check {x},G)=x}$. 그 다음 정의한다.

${\displaystyle {\underline{G}}=\{\cHECK{p},p)\mid p\in G\}}$

그래서 ${\displaystyle \mathrm{val}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \underset{}{G\_}}$ ,${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= {${\displaystyle \mathrm{val}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$, ${\displaystyle G}$ )${\displaystyle p}$p ${\displaystyle \in }$ G}${\displaystyle }$=${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {val}({\underline {G},G)=\{\cHECK{p},G}\mid p\in$ G$\backslash \}.$

예

A good example of a forcing poset is ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$, where ${\displaystyle I=[0,1]}$ and ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ is the collection of Borel subsets of ${\displaystyle I}$ having non-zero Lebesgue measure. 이 경우 조건을 확률로 이야기할 수 있으며, ${\displaystyle \mathrm{Bor}}$bor${\displaystyle }$( ${\displaystyle I}$ )${\displaystyle \operatorname {Bor}$ ($I)}$ -name은$$ 확률적 의미로 멤버십을 할당한다. 이 예가 제공할 수 있는 준비된 직관력 때문에 확률론적 언어는 때때로 다른 다양성 강제력 포셋과 함께 사용된다.

계산 가능한 전이 모델 및 일반 필터

강제 적용의 핵심 단계는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}에 주어진다.$FC{\displaystyle }$$}}}$ 유니버스$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$ V ${\displaystyle V$에 없는 적절한 개체 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 찾기 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$-name에$$ 대한 모든 해석의 결과 클래스는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$}의 모델이 될 것이다.${\displaystyle \mathrm{원래}}$ $V{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle V$$}$을($$를$)$ 적절하게 확장하는 $FC$$}}.$$$

Instead of working with ${\displaystyle V}$, it is useful to consider a countable transitive model ${\displaystyle M}$ with ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )\in M}$. "Model" refers to a model of set theory, either of all of ${\displaystyle {\mathsf {Z$$FC$ 또는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$}의 크지만 유한 부분 집합의 모델$FC$ 또는 그 변종. "투명성"은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle x\in y\in M$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle$ x$\in M}$을 의미하며$,$ 모스토프스키 붕괴 보조정리에서는 회원관계가 충분히 근거가 있는 경우 이를 가정할 수 있다고 명시하고 있다. 전이성의 효과는 멤버십과 다른 기본적인 개념들을 직관적으로 다룰 수 있다는 것이다. 모델의 계수성은 뢰웬하임-스콜렘 정리에 의존한다.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 집합이므로$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에는 집합이 없으므로 이는 러셀의 역설에서 따온 것이다.$$ 선택 및 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 추가하기 위한$$ $적절한{\displaystyle }$ 세트 G ${\displaystyle G}$은(는) $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 일반 필터.$$"필터" 조건은 다음을 의미한다.

• ${\displaystyle G\subseteq \mathb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• $p{\displaystyle }$q ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\geq\in G},$p${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$;${\displaystyle p\in G;}$
• $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle qq}$ G ${\displaystyle p,q\in G$ 그러면 r ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ {\$displaystyle$ r$\$$in$ $G}$이(가$)$ 존재하며, $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ $q.$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) "일반"인 것은 다음을 의미한다.

• If ${\displaystyle D\in M}$ is a "dense" subset of ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (that is, for each ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, there exists a ${\displaystyle q\in D}$ such that ${\displaystyle q\leq p}$), then ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$.

일반 필터 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$}의 존재는 Rasiowa-Sikorski 보조정리로부터 따온다$$. In fact, slightly more is true: Given a condition ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, one can find a generic filter ${\displaystyle G}$ such that ${\displaystyle p\in G}$. Due to the splitting condition on ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (termed being 'atomless' above), if ${\displaystyle G}$ is 필터, ${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }$ G ${\displaystyle \mathb {P} \setminus$ G$}$이(가) 조밀하다$$. $G$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle G\in$ M$}$인 경우$,$ M ${\displaystyle$${P} \setminus G\in M}$은(는) $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$mathsf {$Z$$}$의 모델이기 $때문$에 P { G of G because$$ $G{\displaystyle \mathbb{}}$ $∖$ M ${\displaystyleannowstylease$ M}$FC$ 이러한 이유로 $일반{\displaystyle }$ 필터는 M ${\displaystyle M}$에 없는 경우$.$

강제

일반 필터 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle P\mathbb{}}$ ${\$을(를) 지정하면 다음과 같이 진행된다$.$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 $있는{\displaystyle \mathbb{}}$ P$${\displaystyle $\mathb$ {${\displaystyle {P\mathbb{}}^{}}$$}$}의$$ 하위 $클래스$는 M${\displaystyle {}^{}}$( P${\displaystyle {}^{}}$) ${\$로 표시된다$.$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val}(u,G)~{\\Big }~u\in M^{(\mathb {P} )}\right\}.}$

$M{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ M[$G]}$의 $집합{\displaystyle }$ 이론$$$연구$를 M {\$displaystyle$ M$}$의 이론으로 축소하기 위해$,$ 하나는 일반적인 1차 논리처럼 구축된 "강제 언어"로, 멤버십은 2진 관계, $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ P ${\$이름을$$ 상수로 한다.

Define ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ (to be read as "${\displaystyle p}$ forces ${\displaystyle \varphi }$ in the model ${\displaystyle M}$ with poset ${\displaystyle \mathbb {P} }$"), where ${\displaystyle p}$ is a condition, ${\displaystyle \varphi }$ is a formula in the forcing language, and the ${\displaystyle u_{i}}$'s are ${\displaystyle \mathbb {P} }$-names, to mean that if ${\displaystyle G}$ is a generic filter containing ${\displaystyle p}$, then ${\displaystyle M[G]\models \phi (\mathrm{val}(u_1,G),\dots ,\mathrm{val}(u_{}}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$. The special case ${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ is often written as "${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$" or simply " ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$, ${\displaystyle {P\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathb {P}}\varphi$ $$$}".$ 그러한 문장은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 무엇이든$$$M{\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M[G]}$에 적용된다.

What is important is that this external definition of the forcing relation ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ is equivalent to an internal definition within ${\displaystyle M}$, defined by transfinite induction over the ${\displaystyle \mathbb {P} }$-names on instances of ${\disp$$laystyle u\in v}$와 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u=v}$, 그리고 나서 공식의 복잡성에 대한 일반적인 유도에 의해. 이는 $M{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M[G]}$의 모든 속성이 $실제로$ M ${\displaystyle M$의 속성이며, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$}의 검증이라는 효과가 있다.$M{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle M[G]}$의 $FC}}$은(는) 간단해진다$$. 이는 일반적으로 다음과 같은 세 가지 주요 속성으로 요약된다.

• Truth: ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ if and only if it is forced by ${\displaystyle G}$, that is, for some condition ${\displaystyle p\in G}$, we have ${\displaystyle p{⊩}_{M,\mathbb{P}}\phi (u_1}$${\displaystyle {}_{},}$ , ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle p\vdash _{M,\mathb {P}}\varphi (u_{1},\ldots,u_{n$
• 정의 가능성: "${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$, ${\displaystyle {P\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$(${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle u_{}}$n ) ${\displaystyle p\vdash _{M,\mathb {P}$}\$varphi (u_{1},\ldots ,u_{n$ 문장은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystyle M}$에서 정의할 수 있다$.$
• Coherence: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.

$우리$는 수식의 복잡성에 대한 유도를 ${\displaystyle {통해}_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$$M{\displaystyle }$${\displaystyle \$$Vdash _{M,\$$mathb{$P$}}}}}}}$의 강제관계를 정의하고$,{\displaystyle }$ 그 복잡성에 대한 유도를$$ 통해 원자 공식에 대한 관계를 먼저 정의한 다음 임의 공식에 대해 정의한다.

우리는 먼저 원자 공식에 대한 강제 관계를 정의하고 동시에 x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ x$\in$ y$}$과 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y}$ 두 가지 공식 유형에 대해 강제 관계를 정의한다$.$ $즉{\displaystyle }$, $하나$의 R${\displaystyle (p}$ , ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle t\mathbb{}}$)$${\$displaystyle R(p,a,b,t,\mathb {P})$을 정의하며, 여기서 t$$ ${\displaystytle$ t$}$은 $공식$의 유형을 다음과 같이 나타낸다$$.

1. ${\displaystyle R(p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \mathrm{b}}$, 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathb {P}$)은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p\Vdash _{\mathb {}a\in b}$을 의미한다$.$
2. ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle p}$,${\displaystyle a}$ , b${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1\mathbb{}}$,${\displaystyle }$P )${\displaystyle$R$(p,a,b,1,\mathb {P}$ )은$$$p{\displaystyle {}_{}}$⊩ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {a\mathbb{}}_{}}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyp$ p$\vdash _{\mathb {}}a=b}$를 의미한다$.$
3. ${\displaystyle R(p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \mathrm{b}}$, ${\displaystyle b\mathbb{}}$, 2${\displaystyle }$, P ) ${\displaystyle$ R$(p$,a$,b,2,\mathb$ {$P}$)은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p\Vdash _{\mathb {}a}$a\$subseteq$ b$}$을 의미한다$.$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 조건이고 ${\displaystyle a}$ 및 b ${\displaystyle b}$은(는) $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -name이다$$. $R{\displaystyle (p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, t${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathb {P})$을 $\in {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in}$ -유도법으로$$ 정의하도록 한다.

R1. ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$ if and only if ${\displaystyle (\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists (s,c)\in b)(r\leq s\,\land \,R(r,a,c,1,\mathbb {P} ))}$.

R2. ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$ if and only if ${\displaystyle R(r,a,b,2,\mathbb {P} )\,\land \,R(r,b,a,2,\mathbb {P} )}$.

R3. ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$ if and only if ${\displaystyle (\forall (s,c)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow \,R(r,c,b,0,\mathbb {P} ))}$.

좀 더 형식적으로 다음 이진 관계 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ - 이름을 사용한다$$. $적어도{\displaystyle }$$$ 하나의 조건 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle s($$a,b)$에 대해$$${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$$,$ )${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ a$} 및$ $b$ ${\displaystyle$ b$}$을$(를) 보유$하도록 한다$.$ This relation is well-founded, which means that for any name ${\displaystyle a}$ the class of all names ${\displaystyle b}$, such that ${\displaystyle S(a,b)}$ holds, is a set and there is no function ${\displaystyle f:\omega \longrightarrow Names}$ such that ${\displaystyle (\mathrm{\forall }n\in \omega )S(f(n+1)}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle(\forall n\in \omega)S(f(n+1),f(n$

일반적으로 근거가 충분한 관계는 사전 순서가 아니다. 왜냐하면 그것은 전이적이지 않을 수 있기 때문이다. 그러나 "순서"로 간주할 경우, 무한히 감소하는 시퀀스가 없는 관계이며, 어떤 요소에서든 그 아래의 요소 등급이 집합인 경우 관계된다.

Transitability를 위해 어떤 이항 관계도 닫기 쉽다. 만약이 최소한 하난 플레이어와 한정되어 순서 c0,…, cn{\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n}은 이름을{\displaystyle}과 b{\displaystyle b},<>로 b{\displaystyle a<, b}}일부 n을에(도메인{0,…, n}과 지도로{){0,\dots ,n\}\displaystyle});0{\displaystyle n>0}su보유하고 있다.ch는${\displaystyle {}_{}c}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle c_{0}=a$ ${\displaystyle c}$ n${\displaystyle {}_{}}$= b ${\displaystyle c_{n}=b}$ 및$$ 모든 < ${\displaystyle i<$$n{\displaystyle \},<img\; alt="i<n"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/91c05cfe196f3903cbcdf8fa268053e3b8a57724"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.296ex;\; height:2.176ex;">}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$)$${\$displaysty S(c_{i-1},c_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}{$i$$}i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그런 명령도 근거가 충분하다.

이름 쌍에 대해 다음과 같이 잘 정의된 순서를 정의한다. ${\displaystyle T}$(${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$)${\displaystyle T((a,b),$ ($c,d)}$ 중 하나가 유지되는 경우$$:

1. { , { , ${\displaystyle \max\{a,b\}<\max\{c,d$
2. ${\displaystyle max}${ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle max}${${\displaystyle c,}$ d $} {\displaystyle \max$$\{a,b\}=\max\{c,d$\}, a min {$,d$ min {\style $\c,d$
3. ${\displaystyle max}${ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle max}${$c$ ${\displaystyle d}$ $} {\daystyle \max\{$a,$b\}=\$max\{$c,d\}}$ 및$$ ${\displaystyle min}$ ${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle min}${${\displaystyle c,}$d${\displaystyle \backslash \}}$ ${\daystyle \{a,b\}={c$$,d$

$R{\displaystyle }$$$${\displaystyle (p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle p\mathbb{}}$) ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathb {P}$ )은 이름의$$쌍$(,{\displaystyle b}$ )${\displaystyle(a,b)}$에 대한 재귀로 정의된다$$. 모든 쌍에 대해, 그것은 "심플러" 쌍에 대한 동일한 관계로 정의된다. Actually, by the recursion theorem there is a formula ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$ such that R1, R2 and R3 are theorems because its truth value at some point is defined by its truth values in "smaller" points relative to the some well-founded relation used as an "ordering". 이제 강제 관계를 정의할 준비가 되었다.

1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p\vdash _{\mathb {P}a\in b}$는 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle R(p,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$, b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaysty a,b\in Name\,\land$\, $R(p,a,b,0, {P$을 의미한다.
2. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= b ${\displaystyle p\vdash _{\mathb {P} }a=b}$은${\displaystyle (}$는${\displaystyle )}$ a, ${\displaystyle b}$ $a$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle R(p,}$ a, $, 1$, ${\displaysty$ a$,b$\,$\land \R($p,$b,1$,\$mathb})$을 의미한다$.$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\lnot f(a_{1},\dots ,a_{n})}$ means ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,\lnot (\exists q\leq p)q\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})}$.
4. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(f(a_{1},\dots ,a_{n})\land g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$ means ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Nam$$e\,\land \,$ ($p\vdash _{\mathb {P} }f(a_{1},\dots,a_{n})\land(p\Vdash _{\mathb {P})\land(a_{1},\dots,a_{n$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall x)f(a_{1},\dots ,a_{n},x)}$ means ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,a_{1},\dots ,a_{n$$}\\in Name\,\land \,(\all b\in Names)p$$\Vdash _{\mathb {P} }f(a_{1},\dots,a_{n}b$ .

Actually, this is a transformation of an arbitrary formula ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ to the formula ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ where ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle \mathbb {P} }$ are additional 변수들 이것은$$ 계산 가능한 전이 모델과 $관계없이{\displaystyle }$모든 $집합$의 우주 V {\displaystyle $V}$에서 강제 관계에 대한 정의다. 그러나 이러한 강제력의 "합성적" 공식과 일부 계산 가능한 전이 모델 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 강제력의 "대안적" 공식 사이에는 관계가 있다$.$

1. 공식 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$n ) ${\displaystyle$ f$(x_{1},\dots,x_{n}})$에 $대해{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{Z}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C$${\$displaystyle${\$mathsf {Z$} 이론의$$ $정리{\displaystyle }$ T ${\displaystytle T}$이 있다$$.$FC}}}$ (for example conjunction of finite number of axioms) such that for any countable transitive model ${\displaystyle M}$ such that ${\displaystyle M\models T}$ and any atomless partial order ${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$ and any ${\displaystyle \mathbb {P} }$-generic filter ${\displaysty$$LE$ G$}($$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 이상$$)
   $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

   

이것을 강제 관계의 확정성의 속성이라고 한다.

일관성

위의 논의는 포셋 P ${\$을$($를) 강제하는 포셋 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle V$에 속하지$$않는 일반 $필터{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가${\displaystyle )}$ $존재$한다고 가정하여 V [$$G ] {\$displaystystyle V[G]$가 다시$$ 설정된 것으로 요약할 수 있다.$Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}을(를) 모델링하는 etic 우주$FC$ 더군다나 $V{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[G]}$의 모든 진리는 강제 관계를 $수반$하는 V ${\displaystyle V}$의 진리로 축소될 수도$$ 있다.

$계산{\displaystyle }$ 가능한 전이 모델 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 또는$$ 전체 $우주{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$에 인접한 두 가지 스타일이 모두 일반적으로 사용된다$.$ 일반적으로는 집합 또는 클래스 모델에 대한 언급이 없는 강제력의 "내부" 정의를 사용하는 접근법이 덜 보여진다. 이것이 코헨의 원래 방법이었고, 한 번의 정교함에서 부울 가치 분석의 방법이 된다.

코언 강제력

The simplest nontrivial forcing poset is ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$, the finite partial functions from ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ under reverse inclusion. That is, a condition ${\displaystyle p}$ is essentially two disjoint finite subsets ${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$ and ${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$ of ${\displaystyle \omega }$, to be thought of as the "yes" and "no" parts of ${\displaystyle p}$, with no information provided on $값$이$$p {\$displaystyle p}$의 도메인 외부에 있음$.$ "${\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $q$$}$보다 q$$${\displaystyle q$ 즉 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$$}$의 "예" 및 "아니오" 부분이 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystystyp}$의 "s" 부분과 의 상위 집합임을$$ 의미한다$.$nse, 더 많은 정보를 제공하라.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 이 포셋의 일반 필터로 설정하십시오$$. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) $모두{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$ G$}$에 $있으면$ $G$$$${\displaystyle$ $p\cup q$$}$이(가) 필터이기 때문에 p${\displaystyle }$because $q{\displaystyle }$ ${\$displaystystyle g}이(가)가 조건이다$$. $즉{\displaystyle }$, G ${\displaystyle G}$의 두 조건이 공통$$ 영역에 동의하기 때문에$$ $g{\displaystyle }$ =${\displaystyle =}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=\bigcup G}$은 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}에서 2 ${\displaysty$ 2}까지$$잘 정의된 부분 함수라는 뜻이다.

$사실{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$은 총함수다. $n{\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n\in \omega$ ${\displaystyle {Dn}_{}}$= {${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$p${\displaystyle (}$n ${\displaystyle )}$가 ${\displaystyle \text{정의}}$되도록 두십시오${\displaystyle .}$ ${\displaystyle D_{n}=\p\midp(n)~{\text{is 정의$ Then ${\displaystyle D_{n}}$ is dense. (Given any ${\displaystyle p}$, if ${\displaystyle n}$ is not in ${\displaystyle p}$'s domain, adjoin a value for ${\displaystyle n}$—the result is in ${\displaystyle D_{n}}$.) A condition ${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$ has ${\displaystyle }$도메인에서$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$을(를) 사용하고 p${\displaystyle p}$ g ${\displaystyle$ p$\p\displaystyle g($$n{\displaystyle )}$을$($를) 정의하고 있으므로$$ g ${\displaystyle (n}$ ) ${\displaystystyle$g($n)}$

Let $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle g{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ X$={g^{-1}[1]},$ 일반 조건의 모든 "예" 멤버 집합$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 이름을 직접$$ 지정할 수 있다. 내버려두다

${\displaystyle {\X}=\좌측\{\좌측({\check {n},p\우측)\mid p(n)=1\우측\}.}$

Then ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$ Now suppose that ${\displaystyle A\subseteq \omega }$ in ${\displaystyle V}$. We claim that ${\displaystyle X\neq A}$. Let

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid(\exists n)(n\in \operatorname {Dom}(p)\land(p(n)=1\iffn\notin A)\}\}.}$

그러면 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$가 밀도 있게 된다. ($p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$을$($를) 지정하면 해당 도메인에 $없는$ n$${\$displaystyle n}$을(를) 찾아서 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystystyn}$의 상태와 반대로$$ $n{\displaystyle }$ ${\$designing $style n}$에 대한 값을 붙인다.$$ 그러면 아무 p ${\displaystyle p}$G ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle D_{}}$ A ${\$ 증인 ${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p\backslash in\; G\backslash cap\; D\_\{A\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c25fc6e5f968f1646e701231f0f4a73a832acb85"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:11.898ex;\; height:2.509ex;">}}$ ${\displaystyle \ne }$ A ${\displaystyle X\neq$A$\}.$ $요약$하면 X ${\displaystyle X$}는 Ω ${\displaysty \omega$}의 "새로운" 부분 집합이며$,$ 반드시$$ 무한정이다.

ω×ω 2{\displaystyle\omega \times \omega_{2}과}ω{\displaystyle \omega}를 교체하는 것, 즉 대신이 유입 형태(n, α){\displaystyle(n,\alpha)}, n<>로는 부분 기능 유한한;ω{\displaystyle n<, \omega}과α<>ω 2{\displaystyle \alpha<>\omega_{생각한다.2}}, w호스 출력은 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ $또는$ 1 ${\displaystyle 1}$이며$,$ 1은 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$개의 새로운$$ 하위 집합$($$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}).$ 그것들은 모두 밀도 인수에 의해 구별된다: 주어진 < < 2{\$displaystyle \alpha$<\$beta$<\$omega _{2}},$let.

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta )\}}$

그 다음 $각{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ α ${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}${\$displaystyle D_{\alpha$,\$beta}}}}$은 밀도가 높으며$$, 그 속의 일반적 조건은 α번째 새로운 집합이 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta}$t의$$ 새로운 집합 어딘가에서 동의하지 않는다는 것을 증명한다.

이것은 아직 연속체 가설의 위조는 아니다. One must prove that no new maps have been introduced which map ${\displaystyle \omega }$ onto ${\displaystyle \omega _{1}}$, or ${\displaystyle \omega _{1}}$ onto ${\displaystyle \omega _{2}}$. For example, if one considers instead ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\om$$ega ,\omega _{1})}$, finite partial functions from ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle \omega _{1}}$, the first uncountable ordinal, one gets in ${\displaystyle V[G]}$ a bijection from ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle \omega _{1}}$. In other words, ${\displ$$aystyle \omega _{1$}가 붕괴되었으며, 강제연장에서는 카운트 가능한 서수형이다.

그렇다면 연속 가설의 독립성을 보여주는 마지막 단계는 코헨 강제력이 추기경을 붕괴시키지 않는다는 것을 보여주는 것이다. 이를 위해, 충분한 결합 속성은 강제 포셋의 모든 항정치를 계산할 수 있다는 것이다.

카운트 가능한 체인 조건

An (strong) antichain ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle \mathbb {P} }$ is a subset such that if ${\displaystyle p,q\in A}$, then ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ are incompatible (written ${\displaystyle p\perp q}$), meaning there is no ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle r}$ $\$ p {\$displaystyle$ r$\leq$p} $및{\displaystyle }$r ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r\leq q}$과 같은 ${\displaystyle \mathbb{P}}$ {\displaystyle r\leq$}$$$$}.$ Borel 세트의 예에서 ${\displaystyle \mathrm{비호환성}}$은${\displaystyle }$p$$q ${\displaystystyp\cap q$}이 0을 의미한다$$. 유한 부분함수의 예에서 비호환성은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\cup q}$이(가) 함수가 아님을$$ 의미하며, 즉$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$과 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 일부 도메인 입력에 서로 다른 값을 할당한다$$.

${\displaystyle \mathbb{P}}$ ${\$은(는) $P{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {P}$의 모든 반칙이 카운트$$ 가능한 경우에만 카운트 가능한 체인 조건(c.c.)을 충족한다$$. (분명히 부적절하다는 그 이름은 오래된 용어로부터 보류된 것이다. 일부 수학자들은 "countable antichain condition"을 위해 "c.a.c."라고 쓴다.

It is easy to see that ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ satisfies the c.c.c. because the measures add up to at most ${\displaystyle 1}$. Also, ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$ satisfies the c.c.c., but the proof is more difficult.

불가산 어파에 W 0{\displaystyle W_{0}W{W\displaystyle}축소}크기 n{n\displaystyle}의 집합의 일부 n<>;ω{\displaystyle n<, \omega}. 만약 p(e1))b1{년 불가산 아과 W⊆ 핀 ⁡(E, 2)((E,2)}.displa$ystyle p(e_{1})=b_{1}}$ for uncountably many ${\displaystyle p\in W_{0}}$, shrink this to an uncountable subfamily ${\displaystyle W_{1}}$ and repeat, getting a finite set ${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ and an uncountable family $$${\displaystyle W_{k}}$ of incompatible conditions of size ${\displaystyle n-k}$ such that every ${\displaystyle e}$ is in ${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$ for at most countable many ${\displaystyle p\in W_{k}}$. Now, pick an arbitrary ${\displaystyle p\i$$n_{k$을(를) $선택$하고 $p{\displaystyle }$ ${\$에서 도메인 구성원이 p$${\$displaystyle p}$과(와) 공통인 구성원이 아닌 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에서 선택하십시오$.$ Then ${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ and ${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ are compatible, so ${\displaystyle W}$ is not an antichain. 즉, ${\displaystyle \mathrm{Fin}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\mathrm{E}}$, 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$ -anticines를$$ 계산할 수 있다.

강제력에 있어서 반제의 중요성은 대부분의 목적에서 밀집된 집합과 최대 반점이 동등하다는 것이다. 최대 반창고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$}은$$(는) 더 큰 반창고로 확장할 수 없는 것이다. 즉, 모든 요소 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ $p\in \mathb {P}$$$$}$이(가) $A$의 일부 구성원과 호환됨을$$ 의미한다$.$ 최대 반제의 존재는 조른의 렘마에서 따온 것이다. 최대 안티체인 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$을$($를) 지정하면

$\displaystyle D=\좌측\{p\in \mathb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq)\right\}.}$

Then ${\displaystyle D}$ is dense, and ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ if and only if ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$. Conversely, given a dense set ${\displaystyle D}$, Zorn's Lemma shows that there exists a maximal antichain ${\displaystyle A\subseteq D}$, and then ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \varnothing }$ $\$ {\$displaystyle G\cap D$\neq $\varnothing }$ $만약$ G ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing}$이(가) 아닌 경우만 해당된다$.$

$P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) c.c.c.를 만족한다고$$ 가정해 보십시오. $x{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle x,y\in V}$에$$$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$→ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ $f$$:$$x\to y$$}$ 함수가$$ 있는 경우$,$ 다음과 같이$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 내부에$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystytle f}$을(를) 대략적으로 표시할 수 있다. $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$을(를) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}($$V{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $V$$[G]}$의 정의에 따라$)$로 $하고{\displaystyle }$$$p {\$displaystyle$}을(를$)$ x {\$displaystystyle$ $x}$에서 y$}(으$)로$$ 함수로 강제하는 조건으로$$ 설정하십시오$.$ $함수{\displaystyle }$ F ${\$displaystyp {\$displaysty)$를 정의하십시오.도메인이 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$인$$$}$에 의해 $.$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\df}{}}}{}}\{b\왼쪽(\exists q\in \mathb {P})\왼쪽[(q\vdash ~u\p)\land \left({\check{a}\a}\오른쪽)={\cHECK{b}\오른쪽)\오른쪽]\오른쪽\}\right.}$

강제력의 정의에 의해 $이{\displaystyle }$ 정의는 V ${\displaystyle V}$ 내에서 타당하다$.$ 강제력의 일관성에 의해 다른 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$은(는) 호환되지 $않는{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ p$}$에서 $나온다$ c.$c$에 따르면 F${\displaystyle ()}$ ${\displaystystyle$F$(a)$를 계산할 수 있다$$.

요약하면, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 따라 다르기$$ $때문$에 V ${\displaystyle V}$에서 f$${\$displaystyle f$}을(를) 알 수$$ 없지만$,$ c.c.c.-forc에 대해서는 크게 알 수 없는 것은 아니다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) 관계 없이 임의의 $입력$에서 f$${\$displaystyle f$}의 값이 무엇인지에$$ 대한 카운트 가능한 추측 집합을 식별할 수 있다$.$

이것은 다음과 같은 매우 중요한 결과를 가지고 있다. If in ${\displaystyle V[G]}$, ${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$ is a surjection from one infinite ordinal onto another, then there is a surjection ${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$ in ${\displaystyle V}$, and consequently, a surjection ${\displaystyle h:$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 $\알파 \to \beta$ $\}.$ 특히 추기경들은 쓰러질 수 없다. 결론은 $V{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[G$에서 2 ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}.

이스턴 강제력

위의$$ 코헨 모델에서 연속체의 정확한 값과 일반적으로 추기경 $cardinals{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\$$cappa }$을$($를) 위한 핀${\displaystyle \mathrm{fin}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \times }$ $)$, 2 ) {\$displaysty$ \$operatorname {Fin}(\$omega $\time \kappa ,$2)과 같은 변형은 로버트 M에 의해 계산되었다. $G{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\displaystyle \mathsf{H}}$ ${\$일반화된 연속체 가설)를 위반하는 방법도 알아낸 솔로베이(Solovay)는 일반 추기경에게만 한정된 횟수로 한정했다. 예를 들어 위의 코헨 모델에서 ${\displaystyle \mathsf{C}}$ H ${\$이$($가) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 있으면$$ 2${\displaystyle }2{\displaystyle }$ ${\displaystyle {0{\mathrm{}}_{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}}=\displaystystyleph$$_${{2$}}.$

윌리엄 B. 이스턴은 $G{\displaystyle \mathsf{}}$ C H ${\$을(를) 위반하는 적절한 등급 버전을 마련하여 알려진 제한사항(단조성, 칸토르의 정리, 쾨니히의 정리)이 유일한 Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}임을 기본적으로 보여주었다.$FC}}$ - 제공$$ 가능한 제한 사항(이스턴의 정리 참조).

이스턴의 작품은 적절한 수준의 조건을 갖춘 강제력을 수반한다는 점에서 눈에 띄었다. 일반적으로 적절한 등급의 조건으로 강제하는 방법은 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의 모형을 제시하지 못한다.$FC$ 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{Fin}}$ fin${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \times }$ O ${\displaystyle \mathbf{n}}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \operatorname {Fin}(\omega$ $\timees \$ ${$$On},$$2$을$($를) 사용하여 강제 작업을 $수행$하면 ${\displaystyle \mathbf{모든}}$ 서수의 적절한 클래스가 된다$$. 반면 ${\displaystyle \mathrm{Fin}}$fin${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \mathbf{On}}$ )${\displaystyle \operatorname {Fin}(\omega ,\mathbf {On})$을(를) 사용하여 강제로 명령을 실행하면 서수의 카운트 가능한 열거가 도입된다$$. 두 경우 모두 $결과{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[G]}$이(가) $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의 모델이 아닌 것으로 확인됨$FC}}$ $.$

한때는 더 정교한 강제력이 단수 추기경의 권력에도 자의적인 변동을 허용할 것으로 생각되기도 했다. 그러나, $이것$은 Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}${\$displaystyle${\$mathsf {Z$}에서 증명할 수 있는 몇 가지 제약이 더 있을 정도로 어렵고 미묘하며 심지어 놀라운 문제로 판명되었다.$FC}}$과(와) 다양한 대형 카디널 속성의 일관성에 따라 강제 모델 포함. 아직 해결되지 않은 문제들이 많이 남아 있다.

무작위 부동산

무작위 강제력은 관계 $\subseteq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }($포함 맥락에서 더 작은 집합은 순서에서 더 작은 집합이고 더 많은 정보를 가진 상태를 나타냄)에 의해 순서가 ${\displaystyle \mathrm{정해진}}$${\displaystyle }$모든 콤팩트 하위 집합의$$ $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle [0,$displaystystystyled [$0$$]$에 대해 강제하는 것으로 정의할 수 있다.$$ 중요한 밀도 집합에는 두 가지 유형이 있다.

1. 임의의 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 집합$$
   $${\displaystyle D_{n}=\왼쪽\{p\in P:\operatorname {diam}(p)<{\frac {1}{n}\오른쪽\}}}}$$

   
   ${\displaystyle \mathrm{직경}}$ diam(${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \operatorname {diam}(p)}$은(는) $설정$된$$p {\$displaystyle$ p$}$의 직경이다$.$
2. 측정값 1의$$ Borel 하위 집합 $B{\displaystyle }$⊆${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$에 대해 세트
   $${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

   
   밀도가 높다

For any filter ${\displaystyle G}$ and for any finitely many elements ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$ there is ${\displaystyle q\in G}$ such that holds ${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$. In case of this ordering, this means that any filter is se유한 교차 특성을 갖는 소형 집합의 t. 이러한 이유로 필터의 모든 요소의 교차점은 비어 있지 않다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 임의의 양의 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해 조밀한 세트 ${\displaystyle {Dn}_{}}$ ${\$을 교차하는 필터인$$ 경우, $필터{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$은 임의의 작은 양의 직경 조건을 포함한다$.$ 따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 모든 조건의 교차점은 직경이 0이다$$. 그러나 지름이 0인 비어 있지 않은 세트는 단골격뿐이다. 따라서 \$bigcap$G}에 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{G}\in$\bigcap G$}$과 같은 실제 번호 r ${\displaystyle G_{}}$ ${\$ r_${G}$가 정확히 한 개 있다$.$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$을(를) 측정값 1의 보렐 집합으로 한다$$. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$과$($와) 교차하는 경우, $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r_{G}\in$ B$\}.$

그러나 계산 가능한 전이 모델 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대한 일반 필터가 $V$ ${\displaystyle V}$에 없음$.$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 의해 정의된$$ 실제 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$는 V ${\displaystyle V$의 요소가 아닐 가능성이 있다. The problem is that if ${\displaystyle p\in P}$, then ${\displaystyle V\models }$ "${\displaystyle p}$ is compact", but from the viewpoint of some larger universe ${\displaystyle U\supset V}$, ${\displaystyle p}$ can be non-compact and the intersection of all conditions from the generic filter ${\displaystyle }$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 실제로 비어 있다. 이러한 이유로 우리는 G로부터 조건의 위상학적 $폐쇄$의${\displaystyle }$C${\displaystyle }$= {${\displaystyle p\stackrel{\text{'}}{}}$s ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle p}$g ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle$ C$=\{\p}:p\in$ G$\}}$을(^{[clarification needed]}를) 고려한다. $p{\displaystyle }$${\displaystyle \stackrel{}{}\supseteq }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\p}\supseteq p}$과 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 유한 교차로 특성 때문에 집합 C$$${\displaystyle C}$도 유한 교차로 특성을 갖는다. 세트 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 요소는 경계 집합의 폐쇄로 경계 집합이다$$.^{[clarification needed]} 따라서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 유한한 교차로 특성을 가진 콤팩트 집합이므로$$^{[clarification needed]} 비빈 교차로인 것이다. ${\displaystyle \mathrm{직경}}$ ${\displaystyle (p\stackrel{}{}\text{'}\text{'})}$= ${\displaystyle \mathrm{직경}}$ ${\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \operatorname {diam}({p})=\operatorname {diam}(p$){diam}($p$$)$과 지상 $모델{\displaystyle }$ $V$${\$$displaystyty$$$V$}$이 우주 U {\}로부터 메트릭을 상속하므로$,$ $C$는 임의로 되어$$ 있다. 마지막으로, 세트 $C{\displaystyle }${\$displaystyle C}$의 모든 멤버에 속하는 실제가 정확히 한 개 있다$.$ $일반$ 필터 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) r $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를${\displaystyle )}$ G = {p = {${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P_{}}$ : ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ G : r G${\displaystyle {}_{}}$p$\in P:r_{G}\in$ {p$\}$로 재구성할 수 있다$$$.$

${\displaystyle a}$이(가) ${\displaystyle r_{}}$ G ${\$의 이름이고$,$^{[clarification needed]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle B\in V}$에 대해 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle V\models$ $\}"$을(를$)$ 유지한 다음, "${\displaystyle }$ ${\displaystyle$"을("을(를 유지하십시오.

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathb {P}}a\in {\check {B}\right)}$

일부 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in G}$에 대한 이름$.$ 일반 $필터{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G$}에$$$$ 대해 ${\displaystyle a}$이(가) 유지됨

$\displaystyle \operatorname {val}(a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}.}$

그러면

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathb {P}}a\in {\check {B}\right)}$

모든 조건 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 유지하십시오$.$

모든 보렐 세트는 합리적 엔드포인트와의 간격에서 시작하여 카운트 가능한 횟수인 보완 및 계수 가능한 유니언의 운영을 적용하여 고유하지 않게 구축할 수 있다. 이런 공사의 기록을 보렐 코드라고 한다. Given a Borel set ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle V}$, one recovers a Borel code, and then applies the same construction sequence in ${\displaystyle V[G]}$, getting a Borel set ${\displaystyle B^{*}}$. It can be proven that one gets the same set independent of the construction of ${\display$$스타일 B}$ $,$ 그리고 기본 속성이 보존된다. 예를 들어, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C$ $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$∗ ${\displaystyle {}^{}}$ { ${\$ C$^\{*\}\}\},$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystytle B}$이 0이면, $B{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystytype$ B$^{*}$이 0이다$$. $이$ 매핑 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ B$^{*}}$는 주입식이다$$.

For any set ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ such that ${\displaystyle B\in V}$ and ${\displaystyle V\models }$"${\displaystyle B}$ is a Borel set of measure 1" holds ${\displaystyle r\in B^{*}}$.

즉, $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) V$${\$displaystyle$V}의 관점에서 "0과 1의 무한 무작위 시퀀스"라는$$ 것을 의미하며$,$ 이는 지상 $모델{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V}$로부터 모든 통계적 테스트를 만족함을 의미한다$.$

$따라서{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$을$($를) 임의의 실재물로 볼 때

${\displaystyle G=\왼쪽\{B~({\text{{}V)\mid r\in B^{*}~({\text{{}V[G])\right\}.}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과($)$ G {\$displaystyle$ G$}$ 사이의 상호간 정의 때문에$,$ $일반적$으로${\displaystyle }$V ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[R]}$을(를) V [ ${\displaystyle G}$ ] ${\displaystystyle V[G]}$에 쓴다$.$

$V{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[G]}$의 리얼에 대한 다른 해석은 Dana Scott에 의해 제공되었다$$. Rational numbers in ${\displaystyle V[G]}$ have names that correspond to countably-many distinct rational values assigned to a maximal antichain of Borel sets – in other words, a certain rational-valued function on ${\displaystyle I=[0,1]}$. Real numbers in ${\displaystyle V[G]}$ then correspond to D그러한 기능, 즉 측정 가능한 함수의 에데킨드 컷.

부울 값 모형

아마도 더 분명히, 이 방법은 부울 값 모델의 관점에서 설명될 수 있을 것이다. 이들에서 어떤 문장은 단순한 참/거짓 값이 아니라 완전한 원자 없는 부울 대수로부터 진실 값을 할당받는다. 그러면 우리 이론의 진술에 참/거짓 값을 할당하는 이 부울 대수학에서 초필터가 선택된다. 요점은 결과론에는 이 초 여과기를 포함하는 모델이 있는데, 이 초 여과기로 구식 여과기를 확장하여 얻은 새로운 모델로 이해할 수 있다는 것이다. 적절한 방법으로 부울 값 모형을 선택함으로써 원하는 특성을 가진 모형을 얻을 수 있다. 그 안에서, 어떤 의미에서 (이 확장/소수성을 가지고 있기 때문에) 진실이어야 하는 진술만이 진실일 것이다.

메타 물질적 설명

강제력을 가할 때, 우리는 보통 어떤 ${\displaystyle \mathsf{문장}}$이 ${\displaystyle \mathsf{Z}}$ F$$C {\$displaystyle${\$mathsf {Z$}과(와) 일치한다는 것을 보여주려고 한다.$FC}}($또는 Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$의 일부 확장 선택 사항)$FC}}$ ).$$ 인수를 해석하는 한 가지 방법은 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}을(를) 가정하는 것이다.$FC}}$은(는) 일관성이 있으며, 그 다음 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ F ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}을(를) 입증한다.새로운 문장과 결합된 $FC}}$도 일관성이 있다$$.

각각의 "조건"은 유한한 정보 조각이다. 그 개념은 오직 유한한 조각만이 일관성과 관련성이 있다는 것이다. 왜냐하면, 압축성 정리에 의해, 이론은 그 공리의 모든 유한한 부분집합이 만족스러운 경우에만 충족되기 때문이다. 그러면 우리는 우리의 모델을 확장하기 위해 무한정 일관된 조건들을 선택할 수 있다. 따라서, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\${\$mathsf {Z$}의 일관성을 가정한다.$FC$ $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의 일관성을 입증한다.$FC}}}$이(가) 이 무한 세트까지 확장됨$$

논리 설명

괴델의 두 번째 불완전성 정리로는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}과 같이 충분히 강한 형식 이론의 일관성을 증명할 수 없다.$FC}}},$ 이론 자체의 공리만을 사용하여, 이론이 일관되지 않는 한$.$ 따라서 수학자는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의 일관성을 입증하려고 시도하지 않는다.${\displaystyle \mathsf{Z}}$ F ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의 공리만 사용하는$$ FC$}$$FC$ 또는 Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle C}$+ H ${\displaystyle {\mathsf${${\displaystyle \mathrm{ZFC}}$$}+H}$이(가) $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$+ H ${\displaystyle {\mathsf {\zFC}+H}$만을 사용하여$$ 가설 $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$H}에 대해 일관성을$$ 증명하기 위해$.$ 이러한 이유로 일관성 증명의 ${\displaystyle \mathrm{목적}}$은 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$${\displaystyle }$${\displaystyle$ ${\$$mathsf$${ZFC}+$$H$$}$의 일관성 대비$$ 일관성을 입증하는 데 있다$.$$FC$ 그러한 문제는 상대적 일관성의 문제로 알려져 있는데, 그 중 하나가 증명된다.

상대적 일관성 증명의 일반적인 스키마는 다음과 같다. 어떤 증거도 유한하므로 다음과 같은 유한한 수의 공리만을 사용한다.

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}+\lnot \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC}+H)\vdash(\exists T)(\operatorname {Fin}(T)\land T\subseteq {\mathsf {ZF {Z}FC}\land(T\vdash \lnot H)).}$

지정된 증거에 대해 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$$FC}}$은(는) 이 증명의 유효성을 확인할 수 있다$$. 이것은 증명의 길이에 대한 유도로 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\mathsf {Z}FC}\vdash(\all T)((T\vdash \lnot H)\오른쪽 화살표({\mathsf {Z)FC}\vdash(T\vdash \lnot H))).}$

그런 다음

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}+\lnot \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC}+H)\vdash(\exists T)(\operatorname {Fin}(T)\land T\subseteq {\mathsf {ZF {Z}FC}\land({\mathsf{Z)FC}\vdash(T\vdash \lnot H))).}$

다음을 증명함으로써

라고 단정할 수 있다

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}+\lnot \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC}+H)\vdash(\exists T)(\operatorname {Fin}(T)\land T\subseteq {\mathsf {ZF {Z}FC}\land({\mathsf{Z)FC}\vdash(T\vdash \lnot H)\land({\mathsf {Z)FC}\vdash \operatorname {Con}(T+H)),}$

에 해당하는

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}+\lnot \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC}+H)\vdash \not \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC}),}$

(*)을 부여한다. 상대적 일관성 증명(**)의 핵심이 입증되고 있다. $A{\displaystyle \mathsf{}}$ Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$$FC}}$의 Con ${\displaystyle (T}$+ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Con}(T+H)$은 Z ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의$$ 모든 유한 부분 집합 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$에 대해 구성할 수 있다$$.$FC}}}$개의$$ 공리($Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$)$FC}}$개$$ 악기 물론). (${\displaystyle \mathrm{Con}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$+ ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \operatorname {Con}(T+H)}$에 대한 범용 증명은 물론 없음)

$Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$$FC$ 어떤 조건 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해$$p ${\displaystyle p}$에 의해 강제된 공식 집합(이름으로 평가됨)이$$ 연역적으로 닫힌다는 것을 증명할 수 있다. 또한 모든 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$]에 대해$FC}}$ 공리$$, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$}$FC}}$은(는) 이 공리가 $1{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 의해 강제된다는 것을 증명한다$.$ 그러면 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을 강제하는 조건이 하나 이상 있다는 것을 증명하기에 충분하다$.$

부울 값 강제력의 경우 절차는 유사하며, $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 부울 값이 $0{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 아님을$$ 증명한다$.$

또 다른 접근법은 반사 정리를 사용한다. $주어진{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{유한}}$한 Z$$F C {\$displaystyle$ {\$mathsf {Z$$]$ 집합에 대해$FC}}$ 공리$$, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}이(가) 있음$이$공리 집합에 카운트 가능한 전이적 모델이 있음을 입증하는 FC$$}}. $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의$$ 지정된 유한 $집합{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$에 대해$FC}}$ 공리$$, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}의$$ 유한 $집합{\displaystyle {}^{}}$ T ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 있음$FC}}$은(는) $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$와 같은 공리$FC}}}$ proves that if a countable transitive model ${\displaystyle M}$ satisfies ${\displaystyle T'}$, then ${\displaystyle M[G]}$ satisfies ${\displaystyle T}$. By proving that there is finite set ${\displaystyle T''}$ of ${\displaystyle {\mathsf {Z$$FC}}}$ axioms such that if a countable transitive model ${\displaystyle M}$ satisfies ${\displaystyle T''}$, then ${\displaystyle M[G]}$ satisfies the hypothesis ${\displaystyle H}$. Then, for any given finite set ${\displaystyle T}$ of ${\displaystyle {\mathsf {Z$$FC}}$ 공리$$, $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ C ${\$}$FC}}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{Con}}$ ${\displaystyle (T}$+ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Con}(T+H)}$을(를) 증명함$.$

때때로 (***)에서는 $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\$}보다$$ 더 강력한 $이론{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(가) 있다.$FC}}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Con}}$ ${\displaystyle (T}$+ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Con}(T+H$을(를) 증명하는 데 사용된다$$. 그렇다면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle \mathrm{일관성}}$ 대비$$ Z F ${\displaystyle \mathsf{C}}$+ ${\displaystyle \mathsf{H}}$ ${\displaystyle {\mathsf{ZFC}+H}$의 일관성 증거를 확보했다$.$ $Z{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \mathrm{Con}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathsf{}}$ F ${\displaystyle \mathsf{C}}$) ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaysty {mathsf}$ ↔ ${\displaystyle (Z\mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$ ${\displaystyle \mathsf{L}}$) {$mathsF$}에 유의하십시오.$FC}\vdash \operatorname {Con}({\mathsf {ZFC})\좌우$ 이동 $\operatorname {Con}({\mathsf {ZFL$ $여기$서 ${\displaystyle \mathsf{Z}}$ F$$L {\$displaystyle${\$mathsf {Z$}.$FL}}$은(는) ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathsf{F}}$+ V${\displaystyle }$= L ${\displaystyle {\mathsf{ZF}+V=L}($구축성의 공리)이다$$.

참고 항목

• 강제 개념 목록
• 좋은 이름

참조

• 벨, J. L. (1985) 옥스포드 세트 이론의 부울 가치 모델과 독립 증명서 ISBN0-19-853241-5
• Cohen, P. J. (1966). Set theory and the continuum hypothesis. Addison–Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, V. N. (2001) [1994], "Forcing Method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kunen, K. (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Set Theory: The Third Millennium Edition. Spring-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

외부 링크

• 닉 위버의 저서 '수학자들을 위한 강요'는 강요의 기본적 기계를 배우고자 하는 수학자들을 위해 쓰여졌다. 잘 훈련된 수학자에게 제2의 본성이 되어야 하는 형식적인 구문을 가진 시설을 넘어서 논리학의 어떤 배경도 가정하지 않는다.
• 티모시 차우의 기사 '강제로의 초보 가이드'는 많은 기술적 세부사항을 회피하는 강제력의 개념을 잘 소개한 것이다. 이 논문은 차우의 뉴스그룹 기사인 Forcing for dummies에서 나왔다. 초급자 안내서에는 개선된 설명 외에 부울 가치 모델에 대한 섹션도 포함되어 있다.
• 또한 초심자를 대상으로 하지만 초심자의 기사보다 기술적인 세부사항을 더 많이 포함하고 있는 케니 이즈워런의 기사 "강제력에 대한 경쾌한 소개"와 "연속 가설"을 참조하라.
• 코헨, P. J. 연속성 가설의 독립성, 미국 국립과학원 절차, 제50권, 제6권 (1963년 12월 15일), 페이지 1143–1148.
• 코헨, P. J. 연속체 가설의 독립, II, 미국 국립과학원 회보, 제51권, 제1호 (1964년 1월 15일), 페이지 105–110.
• 폴 코헨은 역사 강의인 '강제의 발견'(로키 마운틴 J. 수학)을 했다. 제32권, 제4권(2002년), 1071년–1100년)은 그가 어떻게 자신의 독립성을 증명할 수 있었는지에 관한 것이다. 링크된 페이지에는 개방형 액세스 PDF를 위한 다운로드 링크가 있지만 브라우저가 이를 검색하려면 링크된 페이지에서 참조자 헤더를 보내야 한다.
• 가나모리 아키히로: 칸토어에서 코헨으로 이론 설정
• Weisstein, Eric W. "Forcing". MathWorld.