관련성 논리

Relevance logic

목적적합성 논리는 목적적합성 논리라고도 불리며, 함축성선행결과가 목적적합성을 요구하는 일종의 비종류적 논리다. 그들은 하위 구조 또는 모달 로직의 가족으로 간주될 수 있다. 일반적으로는 그렇지만 보편적으로는 아니지만 영국인, 특히 오스트레일리아 로지컬에 의해 관련 논리라고 불리고, 미국 로지컬에 의해 관련 논리라고 한다.

목적적합성 논리는 고전적 진실-기능적 논리에서 "물질적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함양 이 생각은 새로운 것이 아니다: C. I. 루이스는 고전적 논리가 거짓이 어떤 명제를 내포한다는 원칙과 같은 물질적 함축의 역설들을 부여한다는 이유로 모달 논리학, 특히 엄격한 함축적 함의 발명으로 인도되었다.[1][2] 따라서 "내가 당나귀라면 2와 2는 4"는 물질적 함의로 번역될 때 사실이지만, 진정한 함의는 어떤 관련성의 개념에 의해 선행과 결과의 관계를 맺어야 하기 때문에 직관적으로 거짓인 것처럼 보인다. 그리고 화자가 당나귀인지 아닌지는 2와 2가 4인지와는 전혀 관련이 없어 보인다.

목적적합성 논리는 공식적으로 목적적합성의 개념을 어떻게 개념을 포착하는가? 명제 미적분학에 대한 구문론적 제약조건의 관점에서, 전제 및 결론이 원자 공식(논리적 결합체를 포함하지 않는 공식)을 공유하는 것은 필요하지만 충분하지는 않다. 술어 미적분학에서 관련성은 전제 및 결론 사이의 변수와 상수의 공유를 요구한다. 예를 들어, 자연 공제 시스템의 규칙에 일정한 제한을 두는 것으로 (강력한 조건과 함께) 이를 보장할 수 있다. 특히 피치형 자연공제는 추론의 결론과 관련된 전제를 나타내는 추론 적용의 각 행 끝에 태그를 도입하여 관련성을 수용하도록 조정할 수 있다. 겐첸식 속편석회속편 오른쪽이나 왼쪽의 임의 공식을 도입할 수 있는 약화된 규칙을 제거함으로써 수정할 수 있다.

관련 로직의 주목할 만한 특징은 그것들이 상존하는 로직이라는 것이다: 모순의 존재는 "폭발"을 야기하지 않을 것이다. 이는 어떤 명제적 또는 서술적 문자를 결과물과 공유하지 않는 모순된 선행 조건부가 참(또는 파생될 수 없음)일 수 없다는 사실에서 따온 것이다.

역사

관련 논리는 1928년 소련의 철학자 이반 E에 의해 제안되었다. 오를로프(1886년 – 1936년 경)는 그의 엄밀한 수학 논문 "명제의 양립 논리"에서 마테마테스키 스보닉에 실렸다. 관련 함축의 기본 사상은 중세 논리에 나타나며, 어떤 선구적인 작업은 1950년대에 아커만,[3] 모모,[4] 교회[5] 했다. 누엘 벨냅앨런 로스 앤더슨(다른 사람들과 함께)은 이 주제에 관한 주제Entrainment를 다음과 같이 썼다. 1970년대 관련성과 필요성의 논리(90년대에 출간된 제2권) 그들은 관여의 시스템과 관련성의 시스템 모두에 초점을 맞췄다. 이 두 시스템에서는 전자의 종류에 대한 함의가 목적적합하고 필요한 것이어야 한다.

공리

관련 논리의 초기 발전은 더 강력한 시스템에 초점을 맞췄다. 루틀리의 발전–Meyer 의미론은 다양한 약한 로직들을 이끌어냈다. 이러한 로직 중 가장 약한 것은 관련성 논리 B이다. 그것은 다음과 같은 공리와 규칙으로 공리화된다.

규칙은 다음과 같다.

다음과 같은 공리 중 어느 하나를 더하면 보다 강력한 로직을 얻을 수 있다.

다음과 같이 B에 공리를 가미하여 얻을 수 있는 B보다 강한 몇 가지 주목할 만한 로직들이 있다.

  • DW의 경우 공리 1을 추가하십시오.
  • DJ의 경우 공리 1, 2를 추가한다.
  • TW의 경우 공리 1, 2, 3, 4를 추가한다.
  • RW의 경우 공리 1, 2, 3, 4, 8, 9를 추가한다.
  • T의 경우 공리 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11을 추가한다.
  • R의 경우 공리 1-11을 추가한다.
  • For E, add axioms 1-7, 10, 11, , and , where is defined as .
  • RM의 경우 모든 공리를 추가하십시오.

모델

루틀리-마이어 모델

관련 로직의 표준 모델 이론은 리처드 루틀리로버트 마이어가 개발한 Routley-Meyer ternary-relative 의미론이다. A Routley–Meyer frame F for a propositional language is a quadruple (W,R,*,0), where W is a non-empty set, R is a ternary relation on W, and * is a function from W to W, and . A Routley-Meyer model M is a Routley-Meyer frame F together with a valuation, , that assigns a truth value to each 각 지점과 관련된 원자 명제 W aW Routley-Meyer 프레임에는 몇 가지 조건이 있다. 을(를) 으)로 정의하십시오

  • a
  • a b} b c b, c
  • 및 R c{\ R
  • = a
  • b a b인 경우, a ∗

Write and to indicate that the formula is true, or not true, respectively, at point in . One final condition on Routley-Meyer models is the hereditariness condition.

  • M , 이라면 그 다음에 M , 모든 원자제 p {\

귀납적 논거에 의해, 유전성은 아래의 진실 조건을 이용하여 복잡한 공식으로 확장되는 것을 보여줄 수 있다.

  • M, 공식 에 대해 b 다음에 M,

복잡한 공식에 대한 진실 조건은 다음과 같다.

  • , , ,

A formula holds in a model just in case . A formula holds on a frame iff A holds in every model . A formula is valid in A가 그 등급의 모든 프레임을 지탱하는 경우 프레임의 클래스 모든 루틀리의 계급–위 조건을 만족하는 마이어 프레임은 관련 논리 B를 검증한다. R과 *에 적절한 제한을 두면 다른 관련 로직을 위한 Routley-Meyer 프레임을 얻을 수 있다. 이러한 조건은 일부 표준 정의를 사용하여 기술하기가 더 쉽다. Let be defined as , and let be defined as . Some of the frame conditions and the axioms they validate are the fol저음의

이름 프레임 조건 공리
사이비-모듀스 폰스
접두사
접미사
수축
결막삼단논법
주장
E 공리
밍글 공리 b c a\ c b{ c}
환원제
대조
제외중간
엄격한 시사점 약화
약화

마지막 두 가지 조건은 관련 로직들이 원래 개발되어 피하고자 했던 약화의 형태를 검증한다. 그것들은 루틀리의 융통성을 보여주기 위해 포함되어 있다.–Meyer 모델.

운영 모델

Urquhart 모델

관련 로직의 부정이 없는 파편에 대한 운영 모델은 알래스카 우르쿠하트가 박사 논문과 후속 연구에서 개발했다. 운영 모델 뒤에 있는 직관적인 아이디어는 모델에서 포인트가 정보의 일부라는 것이며, 조건부를 지원하는 정보와 그것의 선행조건을 지원하는 정보를 결합하면 그 결과를 뒷받침하는 일부 정보가 산출된다는 것이다. 운영 모델은 일반적으로 부정을 해석하지 않기 때문에, 이 절에서는 조건부, 접속사 및 분리가 있는 언어만을 고려할 것이다.

An operational frame is a triple , where is a non-empty set, , and is a binary operation on . Frames have conditions, some of which may be dropped 다른 로직들을 모델링하는 것. 관련 논리 R의 조건부 모델링을 위해 Urquhart가 제안한 조건은 다음과 같다.

이러한 조건 하에서 운용 프레임은 조인-세밀라티즈다.

운영 모델 은(는) 평가 V (가) 있는 프레임 이며, 점 쌍과 원자 제안을 진실 값 T 또는 F에 매핑한다. 은(는) 다음과 같은 복잡한 공식에 대한 평가 으)로 확장할 수 있다.

  • 원자 제안을 위한
  • , , ,

A formula holds in a model iff . A formula is valid in a class of models iff it holds in each model .

R의 조건부 파편은 반달형 모델의 등급에 관해서 건전하고 완전하다. 결합과 분리가 있는 논리는 R의 조건부, 접속사, 분리가 있는 파편보다 적절하게 강하다. 특히 공식→ (c ) ( ) →(C) to C)\to (A\ C 운영 모델에 유효하나 R에서는 무효가 된다. R에 대한 운용 모델에 의해 생성된 논리는 키트 파인(Kit Fine)과 제럴드 찰우드(Gerald Charlwood)에게 온전한 자명한 증명 시스템을 가지고 있다. 찰우드는 또한 논리에 대한 자연적 공제 제도를 제공했는데, 이것은 그가 자칭 제도와 동등한 것으로 증명되었다. 찰우드는 자신의 자연공제 제도가 다그 프라위츠가 제공하는 제도와 맞먹는다는 것을 보여줬다.

의미론은 W 비어 있지 않은 월드 {\displaystyle W}와 접근성 관계 을 프레임에 추가함으로써 E의 조건부를 모델링할 수 있다. 접근성 관계는 E의 조건부에 S4의 필요성이 있다는 생각을 포착하기 위해 반사적이고 전이적일 필요가 있다. 그 후 가치평가는 원자제안, 점, 세계의 3배수를 진리 가치에 매핑한다. 조건부의 진실 조건은 다음과 같이 변경된다.

의미론은 K K}에 관계 {\}을 추가함으로써 T의 조건부 모델링에 적용할 수 있다 관계는 다음과 같은 조건을 준수하기 위해 요구된다.

  • y y z 인 경우 z
  • 인 경우 z y

조건부의 진실 조건은 다음과 같이 변경된다.

운영 모델과 함께 수축 없는 관련 로직 TW와 RW를 모델링하는 두 가지 방법이 있다. 번째 방법은 = x x의 조건을 삭제하는 것이다 두 번째 방법은 프레임의 반일률 조건을 유지하고 프레임에 이항 관계인 를) 추가하는 것이다. 이러한 모델의 경우, 조건부의 진실 조건은 다음과 같이 변경되며, TW의 경우 순서가 추가된다.

험버스톤 모형

Urquhart는 R에 대한 반일률 논리가 R의 양의 파편보다 적절하게 강하다는 것을 보여주었다. Lloyd Humberstone은 분리를 위해 다른 진실 조건을 허용하는 운영 모델의 농축을 제공했다. 그 결과 모델의 등급은 정확히 R의 양의 파편을 생성한다.

An operational frame is a quadruple , where is a non-empty set, , and {, } are binary operations on . Let 은(는) x x= ) 로 정의된다 프레임 조건은 다음과 같다.

  1. , and

운영 모델 은(는) 평가 V (가) 있는 프레임 이며, 점 쌍과 원자 제안을 진실 값 T 또는 F에 매핑한다. 은(는) 다음과 같은 복잡한 공식에 대한 평가 으)로 확장할 수 있다.

  • 원자 제안을 위한
  • , + M, M 및 M,
  • , , ,
  • or or ; and

A formula holds in a model iff . A formula is valid in a class of models iff it holds in each model .

R의 긍정적인 파편은 이 모델들의 등급에 관해서 건전하고 완전하다. 험버스톤의 의미론은 다음과 같이 프레임 조건을 떨어뜨리거나 추가함으로써 서로 다른 로직을 모델링하는 데 적용할 수 있다.

시스템 프레임 조건
B 1, 5-9, 14
TW 1, 11, 12, 5-9, 14
EW 1, 10, 11, 5-9, 14
RW 1-3, 5-9
T 1, 11, 12, 13, 5-9, 14
E 1, 10, 11, 13, 5-9, 14
R 1-9
RM 1-3, 5-9, 15

대수적 모형

일부 관련 로직에는 논리 R과 같은 대수적 모델이 주어질 수 있다. R에 대한 대수적 구조는 de Morgan monoids인데, 여기서 sixtuples(\,∨, ) ,\이다.

  • is a distributive lattice with a unary operation, obeying the laws and if then ;
  • , the binary operation is commutative () and associative (), and , i.e. (는) e 을(를) 가진 아벨의 모노이드다.
  • 모노이드는 격자무늬이며 ( z)=( ) ( ){ ( x z ) (lor y)\lor ( z
  • x; 및
  • x z 그러면 ≤ z¬ ¬ {{ { { { {{ { { { \ \ y

의 조건을 해석하는 x→ y y( x ) 로 정의된다 de Morgan 모노이드(monoid)는 잔류 격자로서, 다음과 같은 잔류조건에 따른다.

해석 (는) 명제 언어에서 de Morgan M 이르는 동형상이다.

  • ( )atomic 모든 원자제안에 대해,

de Morgan 모노이드 v 을(를 할 경우 A 에 있다고 말할 수 있다 공식 은 모든 해석에 유효하다. 모든 모건 모노이드. 모건 모노이드에게 논리 R은 건전하고 완전하다.

참고 항목

참조

  1. ^ Lewis, C. I. (1912년) "임플렉션과 논리의 대수." 마인드, 21:522–531.
  2. ^ Lewis, C. I. (1917). "물적 함의에 관한 문제들." 철학, 심리학, 과학 방법 저널, 14:350–356.
  3. ^ Ackermann, W. (1956), "Begründung einer strengen Implikation", Journal of Symbolic Logic, 21 (2): 113–128, JSTOR 2268750
  4. ^ Moh, Shaw-kwei (1950), "The Deduction Theorems and Two New Logical Systems", Methodos, 2: 56–75 Moh Shaw-Kwei, 1950, "," Methodos 2 56-75.
  5. ^ Church, A. (1951), The Weak Theory of Implication 콘트로리에르테스 덴켄: A가 편집한 운터수충겐 zum Logikkalkull and jur Logik der Einzelwissenschaften, Kommemissions-Verlag Karl Alberg. 메네, A. 빌헬미와 H. 앙실, 22~37쪽.

참고 문헌 목록

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  • ----와 J. M. 던, 1992. 수반: 목적적합성과 필요성의 논리, vol. II, 프린스턴 대학 출판부.
  • 마레스, 에드윈, 마이어, R. K., 2001, 고블, 루, 에드, 《철학적 논리학의 블랙웰 가이드》에 수록된 "관련 로직스". 블랙웰.
  • 리처드 루틀리, 발 플럼우드, 로버트 K 마이어, 로스 T. 브래디. 관련 로직과 라이벌. 1982년 리지뷰
  • R. Brady(편집), 관련 로직과 경쟁 상대(제2권), Aldershot: 애쉬게이트, 2003년
  • Urquhart, Alasdair (1972). "Semantics for relevant logics" (PDF). Journal of Symbolic Logic. 37: 159–169. doi:10.2307/2272559.
  • 알래스데어 우르쿠하트 참여의미론. 1972년 피츠버그 대학의 박사 논문.
  • 카탈린 빔보(Katalin Bimbo), 관련성 로직 D. 재켓(ed.), (과학철학 핸드북 5권, D. Gabbay, P) 타가드, J. 우즈(eds), 엘스비에(North-Holland), 2006, 페이지 723–789.
  • J. Michael Dunn과 Greg Restall. 관련성 논리 철학적 논리학 핸드북 제6권, F. 귄트너와 D. Gabbay (eds.), Dordrecht: Kluwer, 2002, 페이지 1–136.
  • Stephen Read, 관련 논리학, 옥스포드: 블랙웰, 1988.
  • Humberstone, Lloyd (1987). "Operational semantics for positive R". Notre Dame Journal of Formal Logic. 29 (1): 61–80. doi:10.1305/ndjfl/1093637771.

외부 링크