모순

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전통적인 논리학에서, 어떤 명제가 그 자신 또는 확립된 사실과 충돌할 때 모순이 발생한다.그것은 종종 거짓된 믿음과 편견을 탐지하는 도구로 사용된다.응용 논리의 일반적인 경향을 설명하면서, 아리스토텔레스의 비전통성의 법칙은 "같은 것이 동시에 속할 수 있고 같은 대상과 ^[1]같은 측면에서 속하지 않을 수 있다"고 말한다.

현대의 형식 논리학과 유형 이론에서, 이 용어는 주로 하나의 명제(falsum symbol ${\$ { $displaystyle \bot$$}$ )에 의해 종종 표현된다; 명제는 논리 규칙을 사용하여 그것으로부터 거짓이 도출될 수 있는 경우 모순이다.그것은 무조건 잘못된 제안이다(즉, 자기 모순적인 제안).^[2][3]이것은 명제 모음으로 일반화 될 수 있으며, 그 후 모순을 "포함"한다고 한다.

역사

역설의 창조로, 플라톤의 유티데무스 대화는 모순의 개념의 필요성을 보여준다.이어지는 대화에서 디오니소도로스는 모순의 존재를 부인하고 소크라테스가 반박하고 있다.

나는 놀라서 이렇게 말했다.디오니소도로스라니?프로타고라스의 제자들과 그들 이전의 다른 사람들에 의해 유지되고 고용된 당신의 이 논문을 자주 듣고 놀랐습니다. 그리고 제게는 꽤 훌륭하고 자살적이면서도 파괴적인 것으로 보입니다. 그리고 저는 그것에 대한 진실을 당신에게서 듣게 될 가능성이 가장 높다고 생각합니다.속담에 거짓이란 없다. 사람은 진실을 말하거나 아무 말도 하지 말아야 한다.그게 당신 입장 아닌가요?

실제로 디오니소도로스는 "허위 의견 같은 것은 없다"고 동의한다.무지와 소크라테스의 "나를 비난하라"는 요구는 없다.소크라테스는 "하지만 당신이 말한 것처럼 거짓을 말하는 것이 ^[4]불가능하다면 어떻게 반박할 수 있겠는가?"라고 대답한다.

형식 논리에서는

고전논리, 특히 명제논리 및 1차논리에서는 $명제{\displaystyle }${\(\$displaystyle$ \$varphi)$는 $(\displaystyle \vdash \bot$인 경우에만 ${\displaystyle \mathrm{모순}}$이다. 왜냐하면 $모순$되는 $\{\backslash (\backslash {\displaystyle }$$displaystyle \varphi ）$ $display$ style \$varpyle$ \vdisplay \vpi } } } \ } \ }$iii$ varvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarvarivar \val \val istylei \vr$all{\displaystyle }$ $(\{{\displaystyle \mathrm{}}$$displaystyle \psi$$})({$displaystyle \bot \vdash \psi $}$이므로) 모순을 포함한 일련의 공리에서 어떤 제안도 입증할 수 있습니다.이것은 "폭발의 원리" 또는 "ex falso quodlibet"이라고 불립니다.^[5]

완전한 논리에서 공식은 만족스럽지 못한 경우에만 모순된다.

모순에 의한 증명

일련의 일관된 전제 조건 $(\displaystyle$ \$Sigma$$)$ 및$$ 명제$(\displaystyle$ \$vdash \varphi ）$에 $display(\displaystyle$ \Sigma$$$$$varphi$）(\displaystyle \Sigma$$$）$ display display $display{\displaystyle }$ display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display ${\displaystyle \mathrm{display}}$display display display display $a$\cup $\{\neg \varphi \}\vdash \bot$}(즉,$$${\displaystyle \sigma }$ \ $displaystyle \Sigma$} 및$$$$ ${\$ \ $displaystyle \neg \varphi ）$ 。따라서 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$¬ { ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$$$¬ ${\displaystyle \phi }$φ φ $}$ display display $、$ { \ $style$ \$Sigma$ \$cup$ \ { \ $neg$ \ varphi \ } \ $vdash$ \ bot$$$}$의 증명에 의해 ${\$${\$ {\ {\ $display{\displaystyle \mathrm{}}$ display therefore therefore therefore $thereforedisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplay therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore therefore the the the the the the the the the the the proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves proves광범위한 이론의 타당성을 확인하다.이는 $제외$된 중간 A의${\displaystyle \mathrm{법칙}\mathrm{}}$A(\$displaystyle$ A$\vee\neg$ A$)$가 공리로서 받아들여지는 논리에만 해당된다.

고전논리와 유사한 공리를 가진 논리와 모순에 의한 증명 없이 최소한의 논리를 사용함으로써 우리는 최소한의 ^[6]논리의 정리가 아닌 고전논리의 정리를 고려함으로써 모순을 다루는 다양한 규칙의 자명한 강도와 속성을 조사할 수 있다.이러한 확장의 각각에 의해 중간 로직이 발생합니다.

1. DNE(double-negation elimination)는 가장 강력한 원리로, 공리화 ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle Aa}$ A$a$ A \ displaystyle $\neg \neg$ A \ implies $A$이며, 이를 최소 로직에 더하면 고전 로직이 된다.
2. Ex falso quodlibet(EFQ)는 공리화된 ${\displaystyle \S }$ $(\displaystyle \bot \implies$ A$)$로 부정의 많은 결과를 인정하지만, 일반적으로 부조리를 수반하지 않는 명제를 일관적인 명제로부터 추론하는 데는 도움이 되지 않습니다.최소 논리에 더해지면 EFQ는 직관적인 논리를 산출합니다.EFQ는 최소 로직 상에서의 ex conclusione quodlibet($A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge \mathrm{}}$A ${\displaystyle b}$ A$b$ B$b$ \ $displaystyle$A \$land$ \ $neg$A \ $implies$B$$)와 동등합니다.
3. 피어스의 규칙(PR)은 부조리를 명시적으로 언급하지 않고 모순에 의해 증거를 포착하는 공리$A$B )${\displaystyle a}$ A$$ \ $displaystyle$（ A \ $implies$ B ) \$implies$ A$$） 。최소 로직 + PR + EFQ는 고전 로직을 생성합니다.
4. Gödel-Dummett(GD) $공리{\displaystyle }$ A${\displaystyle b}$ B${\displaystyle b}$ A$$\ $displaystyle$ A \ $implies$B \ $vee$B \ $implies$ A$$。가장 간단한 판독은 참값의 선형 순서가 있다는 것입니다.최소 로직 + GD는 Gödel-Dummett 로직을 생성합니다.Peirce의 규칙은 최소한의 논리에 대한 GD를 수반하지만 GD에 의해 수반되지는 않는다.
5. Law of the excluded middle (LEM), axiomatised ${\displaystyle A\vee \neg A}$, is the most often cited formulation of the principle of bivalence, but in the absence of EFQ it does not yield full classical logic.최소 로직 + LEM + EFQ는 고전 로직을 생성합니다.PR은 최소한의 논리로 LEM을 수반하지만 LEM에 의해 수반되지는 않는다.Peirce 규칙의 공식 B가 부조리에 한정되어 있고${\displaystyle \mathrm{,}}$ $A___displaystyle(\neg$ A$\implies$ A$)\backslash$$implies$A_______________________________________________________________________________________________
6. 제외된 중간(WLEM)의 약법칙은 공리화${\displaystyle \mathrm{}a}$ A${\displaystyle \mathrm{}a}$ A style A$$display A $display$ display style \$neg A$ \$neg A$ and$$ 、 dispositional \$neg$ \neg $A$and 、 dispositional logic보다는 고전적 논리, 즉 dispositional logic에서 분리 및 존재 속성이 유지되지 않는 시스템을 생성한다.결론에서 ble-negating.LEM은 최소한의 논리로 WLEM을 수반하지만 WLEM에 의해 수반되지는 않습니다.WLEM은 결합에 대한 부정을 분배하는 De Morgan의 법칙의 인스턴스와 동일합니다.「${\displaystyle }$」 ( ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle Ab}$ B$$（ \ $displaystyle \neg ( A$ \$land$ B ) \$iff$A \ $vee$ B $\}$ 。

기호 표현

수학에서 증명 내의 모순을 나타내기 위해 사용되는 기호는 다양하다.^[7]모순을 나타내기 위해 사용할 수 있는 기호로는 op, Opq$,$({displaystyle$\오른쪽$ 화살표\왼쪽 $화살표$ ,, $displaystyle\$왼쪽 $화살표\!!)$ 등이 있습니다.$\!\!\!\!$$\backslash !\}$ / 및 ※; 어떤 기호에서도, 진실값 "false"를 예를 들어 "0"으로 대체할 수 있다(부울 대수에서 흔히 볼 수 있다).Q.E.D. 또는 그 변형 중 일부가 모순 기호 바로 뒤에 나타나는 것은 드문 일이 아닙니다.사실, 이것은 원래 가정이 거짓으로 증명되었음을 나타내기 위해 모순에 의한 증명에서 종종 발생하며, 따라서 부정은 참이어야 한다.

공리적인 시스템에서의 모순의 개념과 일관성의 증명

일반적으로 일관성 증명에는 다음 두 가지가 필요합니다.

1. 자명한 체계
2. 시스템 내에서 공식 p와 그 부정 ~p를 모두 도출할 수 없다는 것을 증명한다.

그러나 어떤 방법을 사용하든, 모든 일관성 증거는 모순의 원시적 개념을 필요로 하는 것처럼 보인다.게다가, 이 개념은 동시에 반복론의 정의에서 형식적인 시스템의 "외부"가 되어야 하는 것처럼 보인다.

에밀 포스트가 1921년 "기본 명제의 일반 이론 입문"에서 명제 미적분의 일관성에 대한 그의 증거를 프린키피아 매스매티카(PM)의 것 이상으로 확장했을 때, 그는 일반화된 포스테이션 집합(즉, 공리)에 관해 더 이상 자동으로 호출할 수 없을 것이라고 관찰했다."확정"의 개념—이러한 개념은 다음 공식에 포함되지 않을 수 있습니다.

일련의 전제조건의 가장 중요한 요건은 일관성이 있다는 것이다.일관성의 일반적인 개념은 부정하는 모순의 개념을 포함하기 때문에, 그리고 이 함수는 일반적으로 [일반화된 공식의 집합]에서 원시적인 것으로 나타나지 않기 때문에, 새로운 정의가 ^[8]주어져야 한다.

이 문제에 대한 Post의 해결책은 Ernest Nagel과 James R에 의해 제공된 데모 "A successful Absolute Proof of Consistency"에 설명되어 있습니다. 1958년 괴델의 증명서에 나온 뉴먼.그들은 또한 "진실"과 "진실"이라는 통상적인 "진실 가치"와의 "정합" 개념에 관한 문제를 관찰했다.그들은 다음을 관찰하였다.

반복론의 특성은 진실과 거짓의 개념으로 정의되어 왔다.그러나 이러한 개념들은 분명히 공식 미적분학 밖의 무언가에 대한 언급을 포함한다.따라서 실제로 본문에 언급된 절차는 시스템에 대한 모형을 제공함으로써 미적분을 해석합니다.이러한 이유로 저자들은 약속했던 것, 즉 "공식 자체의 순수한 구조적 특징의 관점에서 공식의 속성을 정의하겠다"는 것을 하지 않았다.[진짜]...모형에 기초한 일관성의 증명, 공리의 진실에서 일관성에 이르기까지 논쟁하는 것은 문제를 ^[9]바꿀 뿐이다.

PM의 원시 S₁ V₂ S [포함 OR] 및 ~S (부정)와 같은 일부 "원시 공식"이 주어지면, 누군가는 이러한 원시 개념의 관점에서 공리를 정의해야 한다.Post는 철저한 방법으로 PM에서 설명하고 (Nagel과 Newman과 마찬가지로 아래 참조) 아직 정의되지 않은 tautologous의 속성은 "상속"이라고 정의한다: 만약 어떤 것이 일련의 tautologous 공리(포스트)와 치환과 modus pon을 포함하는 추론 시스템으로 시작한다면, 일관된 시스템은 tautologous만을 산출할 것이다.수식을 사용합니다.

동시 발생의 정의에 관해, Nagel과 Newman은 두 개의 상호 배타적이고 포괄적인 분류₁ K와₂ K를 만들고, 두 개의 변수₁(예₂: S와 S)가 이러한 분류에서 할당될 때 공리(의 결과)에 해당된다.이는 원시 공식에도 적용됩니다.예를 들어 "S와 S가₂ 모두 K이면₁₂ SV S형식을₁₂ K로 하고₂, 그렇지 않으면 K로₁ 한다", "S가 K이면₁ ~S형식을 K로₂ 하고, 그렇지 않으면 K로₁ 한다."^[10]

따라서 Nagel과 Newman은 이제 tautologous의 개념을 정의할 수 있다. "공식은 두 가지 요소 중 어느 쪽에 배치되든 K 등급에₁ 속하는 경우에만 tautology이다."^[11]이렇게 하면 모델이나 해석을 고려하지 않고 "동일성이 있다"는 특성이 설명된다.

예를 들어 ~S₁ V S와₂ 같은 공식과 K to₁ S와₂ K to₂ S를 할당하면₁ 공식을 평가하고 그 결과를 클래스 중 하나 또는 다른 클래스에 배치할 수 있습니다.K의₁ ~S₁₂ 위치에 K를 할당하고₁, 이 할당으로 인해 공식이 K로₂ 분류되는 것을 알 수 있습니다.그러므로 정의상 우리의 공식은 반복법이 아니다.

Post는 시스템이 일관성이 없다면 그 시스템에서 추론(즉, 반복법에서 파생된 일련의 공식 중 마지막 공식)이 궁극적으로 S 자체를 산출할 수 있다고 보았다.변수 S에 대한 할당은 등급₁ K 또는₂ 등급 K 중 하나에서 발생할 수 있으므로, 차감은 반복론의 상속 특성을 위반한다(즉, 등급₁ K에 속하는 공식에 대한 평가를 도출해야 한다).이를 통해 Post는 모순의 개념을 사용하지 않고 다음과 같은 불일치의 정의를 도출할 수 있었다.

정의.시스템이 수정되지 않은 변수 p [Newman 및 Nagel 예제의 S]의 주장을 산출하는 경우, 시스템은 불일치하다고 할 수 있다.

다시 말해, 일관성의 증거를 구성할 때 "모순"의 개념은 없어질 수 있다. 즉, "상호 배타적이고 포괄적인" 계급의 개념이다.자명한 시스템은 "모순"^{[citation needed]}의 개념을 포함할 필요가 없다.

철학

논리 정합주의의 인식론 이론 지지자들은 전형적으로 믿음의 정당화에 필요한 조건으로서, 그 믿음은 논리적으로 모순되지 않는 믿음의 시스템의 일부를 형성해야 한다고 주장한다.Graham Priest를 포함한 몇몇 다이얼러티스트들은 일관성이 ^[12]일관성을 요구하지 않을 수도 있다고 주장해왔다.

실용적 모순

실용적 모순은 주장의 진술이 주장과 모순될 때 발생한다.이 경우 말하는 내용이 아니라 발언 행위가 결론을 ^[13]약화시키기 때문에 불일치가 발생한다.

변증법적 유물론

변증법적 유물론에서:헤겔주의에서 파생된 모순은 일반적으로 하나의 영역, 하나의 통합된 힘 또는 객체 안에 본질적으로 존재하는 대립을 말한다.이 모순은 형이상학적 사고와는 반대로 객관적으로 불가능한 것이 아닙니다.왜냐하면 이러한 모순되는 힘은 객관적인 현실 속에 존재하기 때문입니다.서로 상쇄하는 것이 아니라 서로의 존재를 실제로 정의하기 때문입니다.마르크스주의 이론에 따르면, 예를 들어 다음과 같은 사실에서 그러한 모순을 발견할 수 있다.

• (a) 다음과 같이 막대한 부와 생산력이 공존한다.
• (b) 극도의 빈곤과 빈곤
• (c) (a)가 (b)의 존재에 반하는 존재

헤겔주의와 마르크스주의 이론은 역사의 변증법적 성격이 모순의 하위화, 즉 합성으로 이어질 것이라고 규정한다.그러므로 마르크스는 역사가 자본주의가 논리적으로 사회주의 사회로 진화하도록 만들 것이며, 생산수단은 사회의 착취계층과 고통받는 계층에 동등하게 봉사할 것이며, 따라서 (a)와 (b)^[14] 사이의 이전의 모순을 해결할 것이라고 가정했다.

마오쩌둥의 모순에 관한 철학 에세이(1937년)는 마르크스와 레닌의 논제를 더 발전시켰고 모든 존재는 ^[15]모순의 결과라고 주장했다.

외부 형식 논리

구어적 용법은 논리적인 의미에서 모순되는 전제조건에 따라 적절한(또는 정당한 것으로 인식되는) 행동이나 진술에 서로 모순되는 라벨을 붙일 수 있다.

모순에 의한 증명은 수학에서 증명을 구성하기 위해 사용된다.

그 과학적 방법은 모순을 이용하여 나쁜 이론을 조작한다.

「 」를 참조해 주세요.

• Argument Clinic – Monty Python 스케치 - Monty Python 스케치, 두 논쟁자 중 한 명이 반복적으로 자신의 주장에 모순만 사용하는 Monty Python 스케치
• 자동안톤 – 두 가지 상반된 의미를 가진 단어
• 반대(논리)
• Dialethism : true와 false 양쪽의 스테이트먼트가 존재하는 것을 확인합니다.
• 이중 기준 – 일관성 없는 원칙 적용
• 이중 사고 – 서로 모순되는 두 가지 믿음을 동시에 올바른 것으로 받아들인다.
• 그레이엄의 의견 불일치 계층
• 아이러니 – 수사적 기법과 문학적 기법
• 부정합의 법칙
• 모순에 대하여 - 1937년 마오쩌둥의 마오이스트 에세이
• 옥시모론 – 화법의 형상
• 패러센스존재논리
• 패러독스 – 명백히 모순되는 진술
• 반복 – 논리학에서는 항상 참인 스테이트먼트
• TRIZ – 문제 해결 도구

주 및 참고 자료

참고 문헌

• Otto Bird, D. 프랑스어 및 독일어판에서 번역된 Jozef Maria Bochenski 1960 Précis of Mathematical Logic.레이델, 도드레흐트, 남네덜란드
• Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Gödel: 수학논리학의 소스북 1879-1931, 하버드 대학 출판부, 케임브리지, ISBN 0-674-32449-8 (pbk)
• 어니스트 나겔과 제임스 R.Newman 1958 Gödel's Proof, 뉴욕대학교 출판사, 카드 카탈로그 번호: 58-5610.

외부 링크

• "Contradiction (inconsistency)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Contradiction, law of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Horn, Laurence R. "Contradiction". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.