수학

수학
지역들 수론 기하학. 대수학 미적분학과 분석 이산수학 논리와 집합론 확률 통계학 및 의사결정과학 과학과의 관계 물리학 화학 지구과학 계산 생물학 언어학 경제학 철학 교육
포탈
v t

수학은 숫자, 공식과 관련된 구조, 형태와 그것들이 들어있는 공간, 그리고 양과 그 변화에 대한 주제를 포함하는 지식의 한 분야입니다.이 주제들은 현대 수학에서 각각 정수론,^[1] 대수학,^[2] 기하학,^[1] 분석의 주요 하위 분야로 표현됩니다.^[3][4]수학자들 사이에 학문적 학문에 대한 공통된 정의에 대한 일반적인 합의는 없습니다.

대부분의 수학적 활동은 추상적인 물체의 성질을 발견하고 그것을 증명하기 위해 순수한 이성을 사용하는 것을 포함합니다.이 객체들은 자연으로부터의 추상화 또는 현대 수학에서 공리라고 불리는 특정한 속성을 갖도록 규정된 개체들로 구성됩니다.증명은 이미 확립된 결과에 연역 규칙을 연속적으로 적용하는 것으로 구성됩니다.이러한 결과에는 이전에 증명된 정리, 공리 및 자연에서 추상화된 경우 고려 중인 이론의 진정한 출발점으로 간주되는 몇 가지 기본 속성이 포함됩니다.^[5]

수학은 자연과학, 공학, 의학, 금융, 컴퓨터 과학 그리고 사회과학에서 필수적입니다.수학이 현상을 모델링하는 데 광범위하게 사용되지만, 수학의 기본적인 진리는 어떤 과학적 실험으로부터도 독립적입니다.통계학이나 게임 이론과 같은 수학의 일부 영역은 응용 분야와 밀접한 상관관계를 가지고 개발되며, 응용수학으로 분류되는 경우가 많습니다.다른 영역은 응용 프로그램과 독립적으로 개발되지만(따라서 순수 수학이라고 함) 나중에 실용적인 응용 프로그램을 찾는 경우가 많습니다.^[6][7]예를 들어, 기원전 300년에 Euclid로 거슬러 올라가는 정수 인수분해의 문제는 현재 컴퓨터 네트워크의 보안을 위해 널리 사용되는 RSA 암호 시스템에 사용되기 전에는 실용적인 응용 프로그램이 없었습니다.

역사적으로, 증명의 개념과 그와 관련된 수학적 엄격함은 그리스 수학에서 처음으로 나타났고, 가장 주목할 만한 것은 유클리드의 수학이었습니다.^[8]수학은 처음부터 기하학과 산술학(자연수와 분수의 조작)으로 나뉘었는데, 대수학과^[a] 무한소 미적분학이 새로운 영역으로 도입된 16세기와 17세기까지입니다.그 이후로 수학적 혁신과 과학적 발견 사이의 상호작용은 둘 다의 발전에 있어 급격한 잠금 단계 증가로 이어졌습니다.^[9]19세기 말, 수학의 기초 위기는 공리적 방법의 체계화로 이어졌고,^[10] 이는 수학 영역의 수와 그 적용 분야의 극적인 증가를 예고했습니다.현대 수학 과목 분류에는 60개 이상의 1급 수학 영역이 나열되어 있습니다.

어원

수학이라는 단어는 고대 그리스어로 "배우는 것", "알게 되는 것", "공부", "과학"을 뜻하는 math άθηma (μ ēμα)에서 유래했습니다.그 단어는 고전 시대에도 "수학 공부"라는 더 좁고 더 기술적인 의미를 가지게 되었습니다.^[12]그 형용사는 수학 ē마티코스(μα θημα τικός)로, "학습과 관련된" 또는 "학문적인"을 의미하며, 마찬가지로 "수학"을 의미하게 되었습니다.특히, 수학 ē 마티크 ḗ 테켄 ē(μα θη μα τικὴ τέχνη; 라틴어: 아르스 수학)는 "수학적 예술"을 의미했습니다.

마찬가지로, 피타고라스 학파의 두 주요 사상학파 중 하나는 수학 τικοί 마티코이 (μα θη μα ē)로 알려졌는데, 이는 그 당시에 현대적인 의미에서 "수학자"가 아닌 "학습자"를 의미했습니다.피타고라스인들은 그 단어의 사용을 단지 산술과 기하학의 연구에만 국한시킨 최초의 사람들이었을 것입니다.아리스토텔레스 (기원전 384–322) 시대까지 이 의미는 완전히 확립되었습니다.^[14]

라틴어로, 그리고 1700년경까지 영어로, 수학이라는 용어는 "수학"이 아닌 "천문학" (또는 때로는 "천문학")을 더 일반적으로 의미했습니다; 약 1500년에서 1800년 사이에 그 의미는 점차 현재의 것으로 바뀌었습니다.이러한 변경으로 인해 다음과 같은 몇 가지 오역이 발생했습니다.예를 들어 성 아우구스티누스가 기독교인들이 수학자를 조심해야 한다고 경고한 것은 수학자들을 비난하는 것으로 잘못 해석되기도 합니다.^[15]

영어의 겉보기 복수형은 라틴어 중성 복수형 수학(Cicero)으로 거슬러 올라가는데, 그리스어 복수형 수학 ē마티카(τὰ μα θημα τικά)에 기초한 것으로 대략 "모든 것이 수학적"을 의미합니다.그리스어에서 물려받은 형이상학.^[16]영어에서 명사 mathematics는 단수 동사를 취합니다.그것은 종종 수학 또는 북미에서 수학으로 줄여집니다.^[17]

수학 영역

르네상스 이전에, 수학은 두 개의 주요 영역으로 나뉘었습니다: 산술, 숫자의 조작에 관한 것, 기하학, 도형에 관한 연구.^[18]숫자학과 점성술과 같은 몇몇 종류의 의사과학은 수학과 명확하게 구분되지 않았습니다.^[19]

르네상스 시대에는 두 지역이 더 등장했습니다.수학적 표기법은 대수학으로 이어졌는데, 대수학은 대략적으로 말해서 연구와 수식의 조작으로 이루어져 있습니다.미분적분학은 두 개의 하위 분야인 미분적분학과 적분적분학으로 구성되어 있으며, 변수로 표현되는 것처럼 다양한 양 사이의 전형적인 비선형 관계를 모델링하는 연속 함수를 연구하는 학문입니다.이 구분은 산술학, 기하학, 대수학^[20], 미적분학의 네 가지 주요 분야로 19세기 말까지 지속되었습니다.천체역학이나 고체역학과 같은 분야는 수학자들에 의해 연구되었지만, 현재는 물리학에 속하는 것으로 여겨집니다.^[21]조합학의 주제는 기록된 역사의 많은 부분 동안 연구되어 왔지만, 17세기까지 수학의 분리된 한 분야가 되지 않았습니다.^[22]

19세기 말, 수학의 기초적 위기와 그에 따른 공리적 방법의 체계화는 수학의 새로운 영역의 폭발로 이어졌습니다.^[23][10]2020년 수학 과목 분류는 63개 이상의 1급 영역을 포함합니다.^[24]이러한 영역 중 일부는 수론(고등 산술의 현대적인 이름)과 기하학에 대해 사실인 것처럼 오래된 구분에 해당합니다.다른 여러 1단계 영역은 이름에 "기하학"이 있거나 일반적으로 기하학의 일부로 간주됩니다.대수학과 미적분학은 일급 영역으로 나타나지 않고 각각 몇 개의 일급 영역으로 나뉩니다.다른 일급 영역은 20세기에 등장했거나 수학적 논리와 기초와 같은 수학으로 이전에 고려되지 않았습니다.^[25]

수론

수론은 숫자, 즉 자연수${\displaystyle }$(${\displaystyle N\mathbb{}),}$ ${\displaystyle (\mathbb {N})},$ 후에$$ 정수${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{})}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z})},$ 유리수${\displaystyle }$(${\displaystyle Q\mathbb{})}$로 확장되었습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q})}$ 수론은$$ 한때 산술이라고 불렸습니다.하지만 요즘에는 이 용어가 주로 수치 계산에 사용됩니다.^[26]숫자 이론은 고대 바빌론과 아마도 중국까지 거슬러 올라갑니다.고대 그리스의 유클리드와 알렉산드리아의 디오판토스가 두 명의 저명한 초기 수론자였습니다.^[27]추상적인 형태의 수론에 대한 현대적인 연구는 주로 피에르 드 페르마와 레온하르트 오일러에 기인합니다.이 분야는 아드리앙 마리 레전드르와 칼 프리드리히 가우스의 공헌으로 결실을 맺었습니다.^[28]

쉽게 언급되는 숫자 문제들은 종종 수학 전반에 걸쳐 정교한 방법을 필요로 하는 해결책을 가지고 있습니다.대표적인 예로 페르마의 마지막 정리가 있습니다.이 추측은 피에르 드 페르마에 의해 1637년에 언급되었지만, 그것은 대수기하학, 범주론, 그리고 호몰로지 대수학에서 스킴 이론을 포함한 도구를 사용한 앤드류 와일스에 의해 1994년에서야 증명되었습니다.^[29]다른 예로는 2보다 큰 모든 짝수 정수는 두 소수의 합이라고 주장하는 골드바흐 추측이 있습니다.1742년 크리스티안 골드바흐에 의해 언급된, 그것은 상당한 노력에도 불구하고 증명되지 않은 채로 남아 있습니다.^[30]

수론은 분석적 수론, 대수적 수론, 수의 기하학 (방법 지향), 디오판토스 방정식, 초월 이론 (문제 지향) 등 여러 하위 영역을 포함합니다.^[25]

기하학.

기하학은 수학의 가장 오래된 학문 중 하나입니다.그것은 주로 측량과 건축의 필요를 위해 개발된 선, 각도, 원과 같은 형태에 대한 경험적인 조리법으로 시작되었지만, 그 이후로 많은 다른 하위 분야로 발전했습니다.^[31]

근본적인 혁신은 고대 그리스인들이 모든 주장을 증명해야 한다는 증명의 개념을 도입한 것입니다.예를 들어, 두 길이가 동일하다는 것을 측정으로 확인하는 것은 충분하지 않습니다. 두 길이의 동일성은 이전에 승인된 결과(정리)와 몇 가지 기본 진술로부터 추론을 통해 입증되어야 합니다.기본 진술은 자명하기 때문에(가설) 증명의 대상이 되지 않거나(축약어) 연구 대상 정의의 일부입니다.모든 수학의 기초가 된 이 원리는 기하학을 위해 처음으로 정교하게 만들어졌고, 기원전 300년경 유클리드에 의해 그의 책 Elements에서 체계화되었습니다.^[32][33]

결과적인 유클리드 기하학은 유클리드 평면(평면 기하학)과 3차원 유클리드 공간의 선, 평면, 원으로 구성된 형상과 그 배열에 대한 연구입니다.^[b][31]

유클리드 기하학은 르네 데카르트가 오늘날 데카르트 좌표라고 불리는 것을 도입한 17세기까지 방법이나 범위의 변화 없이 개발되었습니다.이것은 패러다임의 큰 변화를 이루었습니다.실수를 선분의 길이(숫자 선 참조)로 정의하는 대신, 숫자인 좌표를 사용하여 점을 나타낼 수 있습니다.따라서 대수학(그리고 나중에 미적분학)은 기하학적 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다.기하학은 순수한 기하학적 방법을 사용하는 합성 기하학과 체계적으로 좌표를 사용하는 분석 기하학의 두 가지 새로운 하위 분야로 나누어졌습니다.^[34]

해석 지오메트리를 사용하면 원과 선과 무관한 곡선을 연구할 수 있습니다.이러한 곡선을 함수의 그래프로 정의할 수 있으며, 이 그래프를 통해 미분 기하학이 유도됩니다.또한 이들은 암시적 방정식, 종종 다항식 방정식(대수 기하학을 생성함)으로 정의될 수 있습니다.해석기하학은 또한 3차원 이상의 유클리드 공간을 고려할 수 있게 합니다.^[31]

19세기에 수학자들은 평행선 공준을 따르지 않는 비유클리드 기하학을 발견했습니다.이 발견은 그 가설의 진리에 의문을 제기함으로써 수학의 근본적 위기를 드러내는 러셀의 역설에 합류한 것으로 여겨져 왔습니다.이러한 위기의 양상은 공리적 방법을 체계화하고, 선택된 공리의 진리가 수학적 문제가 아니라는 것을 채택함으로써 해결되었습니다.^[35][10]결국 공리적 방법은 공리를 바꾸거나 공간의 특정 변환 하에서 변하지 않는 성질을 고려하여 얻은 다양한 기하학을 연구할 수 있게 합니다.^[36]

오늘날 기하학의 하위 영역은 다음과 같습니다.^[25]

• 16세기에 지라드 데아르게스에 의해 소개된 투영 기하학은 평행선이 교차하는 무한대의 점을 추가함으로써 유클리드 기하학을 확장합니다.이를 통해 교차선과 평행선에 대한 처리를 통합하여 고전 기하학의 여러 측면을 단순화할 수 있습니다.
• 아핀 기하학, 평행성에 상대적이고 길이의 개념으로부터 독립적인 특성에 대한 연구.
• 미분 가능한 함수를 사용하여 정의되는 미분 기하학, 곡선, 표면 및 일반화에 대한 연구입니다.
• 다양체 이론, 더 큰 공간에 꼭 내재되어 있지 않은 모양에 대한 연구.
• 리만 기하학, 곡선 공간에서의 거리 특성에 대한 연구.
• 다항식을 사용하여 정의되는 곡선, 표면 및 일반화에 대한 연구인 대수 기하학.
• 위상, 연속적인 변형하에서 유지되는 특성에 대한 연구.
  • 대수적 위상학, 대수적 방법의 위상학에서의 사용, 주로 호몰로지 대수학.
• 이산 기하학, 기하학의 유한한 구성에 대한 연구.
• 볼록 기하학, 최적화의 응용 프로그램에서 중요성을 따지는 볼록 집합에 대한 연구입니다.
• 복소수 기하학, 실수를 복소수로 대체하여 얻은 기하학.

대수학

대수학은 방정식과 공식을 조작하는 기술입니다.디오판토스 (3세기)와 알콰리즈미 (9세기)는 대수학의 두 주요 선구자였습니다.^[38][39]디오판토스는 해를 얻을 때까지 새로운 관계를 추론함으로써 알려지지 않은 자연수를 포함하는 방정식을 풀었습니다.알콰리즈미는 방정식의 한 면에서 다른 면으로 항을 이동시키는 것과 같은 방정식을 변환하는 체계적인 방법을 도입했습니다.대수학이라는 용어는 그가 그의 주요 논문의 제목에서 이 방법들 중 하나를 명명할 때 사용했던 '깨진 부분들의 재결합'^[40]을 의미하는 아랍어 단어 알자브르에서 유래되었습니다.

대수학은 알려지지 않은 또는 불특정한 수를 나타내기 위한 변수의 사용을 도입한 프랑수아 비에테 (1540–1603)와 함께 고유한 영역이 되었습니다.^[41]변수는 수학자들이 수학 공식을 사용하여 표현된 숫자에 대해 수행해야 하는 연산을 설명할 수 있게 해줍니다.

19세기까지 대수학은 주로 선형 방정식(현재 선형 대수)과 단일 미지의 다항식에 대한 연구로 구성되었으며, 이를 대수 방정식(모호한 용어이지만 여전히 사용 중인 용어)이라고 불렀습니다.19세기 동안, 수학자들은 산술 연산의 일반화가 종종 유효한 숫자 이외의 것들(예를 들어, 행렬, 모듈 정수, 기하 변환)을 나타내기 위해 변수를 사용하기 시작했습니다.^[42]대수적 구조의 개념은 이것을 다루는데, 요소가 지정되지 않은 집합, 그 집합의 요소에 작용하는 연산, 그리고 이 연산들이 따라야 할 규칙들로 구성됩니다.따라서 대수학의 범위는 대수적 구조에 대한 연구를 포함하게 되었습니다.이 대수학의 대상은 에미 노더의 영향과 업적에 의해 확립된 것처럼 현대 대수학 또는 추상 대수학이라고 ^[43]불렸습니다. (후자의 용어는 주로 교육적 맥락에서 나타나는데, 수식을 조작하는 오래된 방식과 관련된 기초 대수학과는 반대입니다.)

어떤 형태의 대수적 구조는 수학의 많은 분야에서 유용하고 종종 기본적인 특성을 가지고 있습니다.그들의 연구는 대수학의 자율적인 부분이 되었고 다음을 포함합니다.^[25]

• 집단 이론;
• 현장 이론
• 선형대수학과 본질적으로 동일한 연구를 하는 벡터공간;
• 고리이론
• 치환환의 연구인 치환대수학은 다항식의 연구를 포함하며, 대수기하학의 기초적인 부분입니다.
• 호몰로지 대수학;
• 리 대수학과 리 군론;
• 컴퓨터의 논리적 구조를 연구하기 위해 널리 사용되는 부울 대수.

수학적 대상으로서 대수 구조의 종류를 연구하는 것은 보편 대수학과 범주 이론의 목적입니다.^[44]후자는 (대수적 구조뿐만 아니라) 모든 수학적 구조에 적용됩니다.그 기원에서 위상 공간과 같은 비대수적 대상에 대한 대수적 연구를 허용하기 위해 상동 대수학과 함께 도입되었습니다. 이 특정한 적용 영역을 대수적 위상이라고 합니다.^[45]

미적분학과 분석

이전에 무한소 미적분학이라고 불렸던 미적분학은 17세기 수학자 뉴턴과 라이프니츠에 의해 독립적으로 동시에 도입되었습니다.^[46]그것은 근본적으로 서로 의존하는 변수들의 관계를 연구하는 것입니다.미적분학은 오일러에 의해 함수의 개념과 다른 많은 결과들의 도입으로 18세기에 확장되었습니다.^[47]현재 "calculus"는 주로 이 이론의 기초 부분을 가리키며, 고급 부분은 "analysis"가 일반적으로 사용됩니다.

분석은 다시 변수가 실수를 나타내는 실수 분석과 변수가 복소수를 나타내는 복소수 분석으로 세분화됩니다.분석에는 다음과 같은 수학의 다른 영역에서 공유하는 많은 하위 영역이 포함됩니다.^[25]

• 다변량 미적분학
• 함수 분석(변수가 다양한 함수를 나타내는 경우)
• 연속체에 대한 확률 이론과 밀접한 관련이 있는 통합, 측도 이론 및 잠재 이론
• 통상적인 미분 방정식.
• 편미분 방정식;
• 수치 분석, 주로 많은 응용 분야에서 발생하는 보통 미분 방정식과 편미분 방정식의 해의 컴퓨터 계산에 전념합니다.

이산수학

이산수학은 일반적으로 개별적이고 셀 수 있는 수학적 대상을 연구하는 것입니다.예를 들어 모든 정수의 집합을 들 수 있습니다.^[48]여기서 공부하는 대상은 이산적이기 때문에 미적분학과 수학적 분석의 방법은 직접적으로 적용되지 않습니다.^[c]알고리즘, 특히 그 구현과 계산 복잡성은 이산 수학에서 중요한 역할을 합니다.^[49]

4색 정리와 최적 구 패킹은 20세기 후반에 해결된 이산 수학의 두 가지 주요 문제였습니다.^[50]오늘날까지 열려 있는 P 대 NP 문제는 많은 계산적으로 어려운 문제에 잠재적으로 영향을 미칠 수 있기 때문에 이산 수학에서도 중요합니다.^[51]

이산수학은 다음을 포함합니다.^[25]

• 주어진 제약 조건을 만족시키는 수학적 대상을 열거하는 기술인 콤비네이터.원래 이 객체들은 주어진 집합의 요소 또는 부분 집합이었습니다. 이는 다양한 객체들로 확장되었고, 이것은 조합수학과 이산수학의 다른 부분들 사이에 강력한 연결고리를 형성합니다.예를 들어, 이산 기하학은 기하학적 모양의 카운트 구성을 포함합니다.
• 그래프 이론과 하이퍼그래프
• 오류 수정 코드 및 암호학의 일부를 포함하는 코딩 이론
• 매트로이드 이론
• 이산기하학
• 이산 확률 분포
• 게임 이론 (연속적인 게임들도 연구되지만 체스나 포커와 같은 대부분의 일반적인 게임들은 별개입니다.
• 조합 최적화, 정수 프로그래밍, 제약 조건 프로그래밍을 포함한 이산 최적화

수학적 논리와 집합론

수학적 논리학과 집합론의 두 과목은 19세기 말부터 수학에 속했습니다.^[52][53]이 시기 이전에는 집합은 수학적 대상으로 간주되지 않았고 논리학은 수학적 증명에 사용되었지만 철학에 속했고 수학자들에 의해 구체적으로 연구되지 않았습니다.^[54]

무한 집합에 대한 칸토어의 연구 이전에, 수학자들은 실제로 무한 집합을 고려하는 것을 꺼려했고, 무한을 끝없는 열거의 결과로 여겼습니다.칸토어의 연구는 실제로 무한 집합을^[55] 고려했을 뿐만 아니라 칸토어의 대각선 주장에 따라 다양한 크기의 무한을 암시한다는 것을 보여줌으로써 많은 수학자들의 기분을 상하게 했습니다.이는 칸토어의 집합론에 대한 논란으로 이어졌습니다.^[56]

같은 시기에, 수학의 다양한 영역은 기본적인 수학적 대상에 대한 이전의 직관적인 정의가 수학적인 엄격함을 보장하기에 불충분하다고 결론 내렸습니다.이러한 직관적 정의의 예로는 "집합은 객체들의 집합", "자연수는 셀 때 사용되는 것", "점은 모든 방향에서 길이가 0인 모양", "곡선은 움직이는 점이 남긴 흔적" 등이 있습니다.

이것은 수학의 근본적인 위기가 되었습니다.^[57]그것은 결국 형식화된 집합론 안에서 공리적 방법을 체계화함으로써 주류 수학에서 해결되었습니다.대략적으로 말하면, 각각의 수학적 대상은 모든 유사한 대상들의 집합과 이러한 대상들이 가져야 하는 속성들에 의해 정의됩니다.^[23]예를 들어, 페아노 산술에서 자연수는 "0은 숫자", "각 숫자는 고유한 계승자를 가진다", "각 숫자는 고유한 선행자를 가진다", 그리고 몇 가지 추론 규칙에 의해 정의됩니다.^[58]이러한 현실로부터의 수학적 추상성은 1910년경 데이비드 힐버트가 창시한 현대 형식주의 철학에 구체화되어 있습니다.^[59]

이렇게 정의된 대상의 '성질'은 비록 많은 수학자들이 이 성질에 대해 의견을 가지고 있고, 그들의 의견(때로는 '직관'이라고도 불리는)을 연구와 증명을 지도하기 위해 사용한다고 하더라도, 수학자들이 철학자들에게 맡기는 철학적 문제입니다.이 접근법은 수학적 대상으로서 "논리"(즉, 허용된 추론 규칙의 집합), 정리, 증명 등을 고려하고, 이들에 대한 정리를 증명할 수 있게 합니다.예를 들어, 괴델의 불완전성 정리들은 자연수를 포함하는 모든 일관된 형식 체계에서 사실이지만, 체계 내부에서는 증명할 수 없는 정리들이 있다고 주장합니다.^[60]이러한 수학의 기초에 대한 접근법은 20세기 전반에 브라우어가 이끄는 수학자들에 의해 도전을 받았는데, 그들은 직관주의 논리를 장려했는데, 이 논리는 배제된 중용의 법칙이 명백하게 결여되어 있습니다.^[61][62]

이러한 문제와 논쟁은 모델 이론(다른 이론 내부의 일부 논리 이론 모델링), 증명 이론, 유형 이론, 계산 가능성 이론 및 계산 복잡성 이론과 같은 하위 영역과 함께 수학적 논리의 광범위한 확장으로 이어졌습니다.^[25]수학적 논리학의 이러한 측면들은 컴퓨터가 등장하기 전에 도입되었지만, 컴파일러 설계, 프로그램 인증, 증명 보조 및 컴퓨터 과학의 다른 측면에서의 사용은 차례로 이러한 논리 이론의 확장에 기여했습니다.^[63]

통계학 및 기타 의사결정과학

통계학 분야는 수학적 방법, 특히 확률 이론에 기초한 절차를 사용하여 데이터 샘플의 수집과 처리에 사용되는 수학적 응용입니다.통계학자는 임의 표본 추출 또는 임의 추출 실험을 통해 데이터를 생성합니다.^[65]통계적 표본이나 실험의 설계에 따라 사용할 분석 방법이 결정됩니다.관측 연구의 데이터 분석은 통계 모델과 추론 이론을 사용하여 모델 선택 및 추정을 사용합니다.그런 다음 모형과 결과 예측을 새로운 데이터와 비교하여 테스트해야 합니다.^[d]

통계 이론은 예를 들어 모수 추정, 가설 검정, 최상의 방법 선택 등의 절차를 사용하는 등 통계적 조치의 위험(예상 손실)을 최소화하는 결정 문제를 연구합니다.이러한 전통적인 수학적 통계 영역에서 통계적 결정 문제는 특정 제약 조건 하에서 예상 손실이나 비용과 같은 목적 함수를 최소화함으로써 공식화됩니다.예를 들어, 조사를 설계하는 데에는 주어진 신뢰 수준으로 모집단 평균을 추정하는 데 드는 비용을 최소화하는 것이 포함됩니다.^[66]통계학의 수학적 이론은 최적화를 사용하기 때문에 연산 연구, 제어 이론, 수학 경제학과 같은 다른 결정 과학과 중복됩니다.^[67]

계산수학

계산 수학은 일반적으로 인간의 수치 용량에 비해 너무 큰 수학 문제를 연구하는 학문입니다.^[68][69]수치해석학은 함수해석학과 근사이론을 이용한 해석상의 문제점에 대한 방법을 연구하는 것으로, 수치해석학은 반올림 오차에 특별한 초점을 두고 근사와 이산화를 연구하는 것을 광범위하게 포함합니다.^[70]수치 분석과 더 넓은 범위에서 과학 컴퓨팅은 수학 과학의 비분석적 주제, 특히 알고리즘-행렬-그리고 그래프 이론을 연구합니다.컴퓨터 수학의 다른 분야로는 컴퓨터 대수학과 기호 계산이 있습니다.

역사

고대의

수학의 역사는 계속해서 증가하는 추상화의 연속입니다.진화론적으로 말하면, 지금까지 발견된 최초의 추상화는 아마도 숫자에 대한 추상화였을 것입니다.^[71] 예를 들어, 두 개의 사과와 두 개의 오렌지가 공통적인 무언가를 가지고 있다는 것을 깨닫는 것은, 예를 들어, 두 개의 사과와 두 개의 오렌지가 함께 있다는 것입니다.뼈에서 발견되는 통계에서 입증되듯이, 물리적인 물체들을 세는 방법을 인식하는 것뿐만 아니라, 선사시대 사람들은 시간과 같은 추상적인 양들을 세는 방법, 즉 날짜, 계절, 또는 연도를 알고 있었을지도 모릅니다.^[72][73]

더 복잡한 수학에 대한 증거는 바빌로니아와 이집트인들이 세금과 다른 재정적 계산, 건축과 건설, 천문학을 위해 산술, 대수, 기하학을 사용하기 시작한 3000년경까지는 나타나지 않습니다.^[74]메소포타미아와 이집트에서 가장 오래된 수학 문헌은 기원전 2000년부터 1800년까지입니다.많은 초기 문헌들이 피타고라스의 세 배를 언급하고 있기 때문에, 추론에 의하면, 피타고라스 정리는 기본적인 산술과 기하학 다음으로 가장 오래되고 널리 퍼진 수학적 개념인 것으로 보입니다.고고학적 기록에 처음 등장하는 것은 바빌로니아 수학에서 기초 산술( 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)입니다.바빌로니아 사람들은 또한 자릿값 체계를 가지고 있었고 오늘날에도 각도와 시간을 측정하기 위해 사용되고 있는 60진법의 숫자 체계를 사용했습니다.^[75]

기원전 6세기에 그리스 수학이 뚜렷한 학문으로 등장하기 시작했고 피타고라스 학파와 같은 일부 고대 그리스인들은 그것을 그 자체로 하나의 학문으로 여겼던 것으로 보입니다.^[76]기원전 300년 경, 유클리드는 정의, 공리, 정리, 그리고 증명으로 구성된 오늘날 수학에서 사용되는 공리적인 방법으로 진화한 가설과 첫 번째 원리에 의해 수학적 지식을 조직했습니다.^[77]그의 책, Elements는 역사상 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서로 널리 여겨지고 있습니다.^[78]고대의 가장 위대한 수학자는 종종 시라쿠사의 아르키메데스 (c.기원전 287년 – 기원전 212년)라고 여겨집니다.^[79]그는 혁명의 표면적과 고체의 부피를 계산하는 공식을 개발했고 현대의 미적분학과 크게 다르지 않은 방법으로 무한급수의 합을 갖는 포물선의 호 아래의 넓이를 계산하기 위해 소진의 방법을 사용했습니다.^[80]그리스 수학의 다른 주목할 만한 업적은 원뿔곡선 (페르가의 아폴로니우스, 기원전 3세기),^[81] 삼각법 (니케아의 히파르코스, 기원전 2세기),^[82] 대수학의 시작 (디오판토스, 서기 3세기)입니다.^[83]

힌두-아랍 수 체계와 그 연산 사용 규칙은 오늘날 전 세계에 걸쳐 사용되고 있으며, 서기 1천년 동안 인도에서 발전하여 이슬람 수학을 통해 서구 세계로 전해졌습니다.^[84]인도 수학의 다른 주목할 만한 발전은 사인과 코사인의 현대적인 정의와 근사 그리고 무한급수의 초기 형태를 포함합니다.^[85][86]

중세 이후

이슬람의 황금기, 특히 9세기와 10세기 동안, 수학은 그리스 수학 위에 많은 중요한 혁신을 이루어냈습니다.이슬람 수학의 가장 주목할 만한 업적은 대수학의 발전이었습니다.이슬람 시대의 다른 업적으로는 구면 삼각법의 발전과 아라비아 숫자 체계에 소수점을 추가한 것이 있습니다.^[87]이 시기의 많은 유명한 수학자들은 알콰리스미, 오마르 카얌, 샤라프 알드 ī 알 ṭ ī와 같은 페르시아인들이었습니다.그리스어와 아랍어의 수학 교과서들은 차례로 중세 시대에 라틴어로 번역되어 유럽에서 사용할 수 있게 되었습니다.^[89]

근대 초기 동안, 수학은 프랑수아 비에테 (1540–1603)의 변수와 기호 표기법의 도입, 숫자 계산을 크게 단순화한 1614년의 John Napier에 의한 로그의 도입과 같은 수학에 혁명을 일으켰던 혁신들과 함께, 서유럽에서 가속적인 속도로 발전하기 시작했습니다.천문학과 해양 항해에 있어서, 기하학을 대수학으로 줄이기 위해 르네 데카르트 (1596–1650)에 의한 좌표의 도입, 아이작 뉴턴 (1642–1726/27)과 고트프리트 라이프니츠 (1646–1716)에 의한 미적분학의 발전.18세기의 가장 유명한 수학자인 레온하르트 오일러 (1707–1783)는 이러한 혁신들을 표준화된 용어를 사용하여 하나의 말뭉치로 통합하고 수많은 정리들의 발견과 증명으로 완성했습니다.

아마도 19세기의 가장 중요한 수학자는 독일의 수학자 칼 가우스였을 것입니다. 그는 대수학, 해석학, 미분기하학, 행렬이론, 수론, 통계학과 같은 분야에 많은 공헌을 했습니다.^[90]20세기 초, 쿠르트 괴델은 부분적으로 산술을 설명할 정도로 강력하다면 어떤 일관된 공리계도 증명할 수 없는 진정한 명제를 포함할 것이라는 것을 보여주는 불완전성 정리를 발표함으로써 수학을 변형시켰습니다.^[60]

수학은 그 이후로 크게 확장되었고, 수학과 과학 사이에 유익한 상호작용이 있었습니다.수학적 발견은 오늘날까지 계속되고 있습니다.미하일 B에 의하면.세브류크는 미국 수리학회 회보 2006년 1월호에서 "1940년(MR 운영 첫 해)부터 수리학 리뷰 데이터베이스에 포함된 논문과 책의 수는 현재 190만권 이상이며, 매년 75,000개 이상의 항목이 데이터베이스에 추가됩니다.이 바다에 있는 압도적인 대다수의 작품들은 새로운 수학적 정리와 그 증명들을 포함하고 있습니다."^[91]

기호 표기와 용어

수학적 표기법은 과학과 공학에서 복잡한 개념과 성질을 간결하고 모호하지 않고 정확한 방법으로 표현하기 위해 널리 사용됩니다.이 표기법은 연산, 불특정 수, 관계 및 기타 수학적 대상을 나타내는 데 사용되는 기호로 구성되어 있으며, 이를 식과 공식으로 조립합니다.^[92]더 정확하게 말하면, 숫자와 다른 수학적 대상들은 변수라고 불리는 기호들로 표현되는데, 변수들은 일반적으로 라틴어 또는 그리스어 문자들이고, 종종 첨자들을 포함합니다.연산 및 관계는 일반적으로 +(플러스), ×(multip),$$∫ {\textstyle \int}(integral), =(equal), <(미만)>과 같은 특정 기호 또는 문자로 표시됩니다.이 모든 기호는 일반적으로 특정 규칙에 따라 그룹화되어 표현식과 공식을 형성합니다.^[95]일반적으로 표현과 공식은 단독으로 나타나는 것이 아니라 현재 언어의 문장에 포함되는데, 여기서 표현은 명사구, 공식은 절의 역할을 합니다.

수학은 추상적이고 이상화된 다양한 물체의 특성과 그것들이 상호작용하는 방법을 연구하는 광범위한 분야를 포괄하는 풍부한 용어를 개발했습니다.그것은 의사소통을 위한 표준적인 기초를 제공하는 엄격한 정의를 기반으로 합니다.공리 또는 공준은 증명할 필요 없이 참으로 받아들여지는 수학적 진술입니다.수학적 진술이 아직 증명되지 않은 경우(또는 반증된 경우), 이를 추측이라고 합니다.연역적 추론을 사용한 일련의 엄격한 논증을 통해 참임이 증명된 진술은 정리가 됩니다.다른 정리를 증명하는 데 주로 사용되는 특수한 정리를 보조정리라고 합니다.보다 일반적인 발견의 일부를 구성하는 입증된 사례를 결과라고 합니다.^[96]

수학에서 사용되는 수많은 전문 용어들은 다항식과 동형과 같은 신조어들입니다.^[97]다른 전문 용어는 공통된 의미와 약간 다를 수 있는 정확한 의미로 사용되는 공통 언어의 단어입니다.예를 들어, 수학에서 "또는"은 "하나, 다른 또는 둘 다"를 의미하는 반면, 일반적인 언어에서는 "하나 또는 다른"을 의미하거나 "하나 또는 다른"을 의미합니다(수학에서 후자는 "독점적 또는"이라고 불립니다).마지막으로, 많은 수학 용어들은 완전히 다른 의미로 사용되는 일반적인 단어들입니다.^[98]이것은 정확하고 진정한 수학적 주장이지만 필요한 배경을 가지고 있지 않은 사람들에게는 말도 안 되는 것처럼 보이는 문장으로 이어질 수 있습니다.예를 들어, "모든 사용 가능한 모듈은 평평합니다" 및 "필드는 항상 링입니다.

과학과의 관계

수학은 대부분의 과학에서 현상을 모델링하는 데 사용되며, 이를 통해 실험 법칙으로부터 예측이 이루어질 수 있습니다.^[99]모든 실험으로부터 수학적 진리의 독립성은 그러한 예측의 정확성이 모형의 적합성에만 의존한다는 것을 의미합니다.^[100]부정확한 예측은 잘못된 수학적 개념에 의해 발생하는 것이 아니라 사용되는 수학적 모델을 변경할 필요가 있음을 의미합니다.^[101]예를 들어, 수성의 근일점 세차운동은 뉴턴의 중력 법칙을 더 나은 수학적 모델로 대체한 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 등장한 후에야 설명될 수 있었습니다.^[102]

수학이 과학인지 아닌지에 대해서는 여전히 철학적 논쟁이 있습니다.그러나 실제로 수학자들은 일반적으로 과학자들과 그룹을 이루고 수학은 물리학과 많은 공통점을 공유합니다.그들과 마찬가지로, 그것은 반증 가능한 것인데, 수학에서 결과나 이론이 틀리면, 이것은 반례를 제공함으로써 증명될 수 있다는 것을 의미합니다.과학에서와 마찬가지로, 이론과 결과(정리)는 종종 실험으로부터 얻어집니다.^[103]수학에서 실험은 선택된 예에 대한 계산 또는 도형 또는 수학적 대상의 다른 표현에 대한 연구(종종 물리적 지지가 없는 마음 표현)로 구성될 수 있습니다.예를 들어, 자신의 정리를 어떻게 생각했냐는 질문에 가우스는 "durch planmässiges Tattonieren"이라고 대답한 적이 있습니다.^[104]그러나, 몇몇 저자들은 수학이 경험적인 증거에 의존하지 않음으로써 과학의 현대적인 개념과 다르다고 강조합니다.^{[105][106][107][108]}

순수 응용수학

19세기 이전까지만 해도 서양의 수학 발전은 주로 기술과 과학의 필요에 의해 이루어졌으며, 순수 수학과 응용 수학의 뚜렷한 구분이 없었습니다.^[109]예를 들어, 자연수와 산술은 셈의 필요성을 위해 도입되었고, 기하학은 측량, 건축, 천문학에 의해 동기 부여되었습니다.후에 아이작 뉴턴은 중력 법칙으로 행성의 움직임을 설명하기 위해 무한소 미적분학을 도입했습니다.게다가, 대부분의 수학자들 또한 과학자였고, 많은 과학자들 또한 수학자였습니다.^[110]하지만, 고대 그리스의 순수 수학 전통에서 주목할 만한 예외가 발생했습니다.^[111]

19세기에 들어 칼 바이어슈트라스나 리차드 데데킨트와 같은 수학자들은 점점 더 내적인 문제, 즉 순수 수학에 연구를 집중하게 되었습니다.^[109][112]이것은 수학을 순수 수학과 응용 수학으로 나누어지게 만들었고, 후자는 종종 수학적 순수주의자들 사이에서 더 낮은 가치를 가지고 있다고 여겨지게 되었습니다.하지만 두 사람 사이의 선이 자주 흐려집니다.^[113]

제2차 세계대전의 여파는 미국과 다른 곳에서 응용수학의 발전을 급증하게 했습니다.^[114][115]응용을 위해 개발된 많은 이론들은 순수 수학의 관점에서 흥미로운 것으로 나타났고, 순수 수학의 많은 결과들은 수학 이외의 응용을 가지고 있는 것으로 나타났습니다. 결국, 이러한 응용의 연구는 "순수 이론"에 대한 새로운 통찰을 줄 수 있습니다.^[116][117]

첫 번째 사례의 예는 로랑 슈워츠가 양자역학에서 수행된 계산을 검증하기 위해 도입한 분포 이론이며, 이는 즉시 (순수) 수학적 분석의 중요한 도구가 되었습니다.^[118]두 번째 경우의 예는 실수의 1차 이론의 결정 가능성입니다. 알프레드 타르스키가 참임을 증명한 순수 수학의 문제인데, 계산 복잡도가 너무 높아서 구현이 불가능한 알고리즘이 있습니다.^[119]구현할 수 있고 다항식과 부등식의 체계를 해결할 수 있는 알고리즘을 얻기 위해 조지 콜린스는 실제 대수기하학에서 기본적인 도구가 된 원통형 대수 분해를 소개했습니다.^[120]

오늘날 순수 수학과 응용 수학의 구분은 수학을 넓은 영역으로 나누는 것이라기보다는 수학자들의 개인적 연구 목적에 대한 문제입니다.^[121][122]수학 과목 분류에는 "일반 응용 수학" 부분이 있지만 "순수 수학"에 대해서는 언급하지 않습니다.^[25]그러나, 이 용어들은 여전히 캠브리지 대학의 수학부와 같은 일부 대학 학과의 이름으로 사용되고 있습니다.

비합리적 유효성

수학의 비합리적인 효과는 물리학자 유진 위그너(Eugene Wigner)^[7]에 의해 이름 지어지고 처음으로 명백해진 현상입니다.그것은 많은 수학적 이론들이 (심지어 가장 순수한) 그들의 초기 대상 밖에 응용을 가지고 있다는 사실입니다.이러한 응용은 수학의 초기 영역 밖에 있을 수 있으며 수학 이론이 도입되었을 때 전혀 알려지지 않았던 물리적 현상에 관한 것일 수 있습니다.^[123]수학 이론의 예상치 못한 응용의 예는 수학의 많은 분야에서 찾아볼 수 있습니다.

주목할 만한 예는 RSA 암호 시스템을 통한 안전한 인터넷 통신을 위해 일반적으로 사용되기 2,000년 전에 발견된 자연수의 주요 인수분해입니다.^[124]두번째 역사적인 예는 타원의 이론입니다.그것들은 고대 그리스 수학자들에 의해 원추형 단면(즉, 원추형과 평면의 교차점)으로 연구되었습니다.요하네스 케플러가 행성들의 궤도가 타원형이라는 것을 발견한 것은 거의 2,000년 후의 일입니다.^[125]

19세기에 기하학(순수 수학)의 내적 발전은 비유클리드 기하학, 3차원 이상의 공간, 다양체에 대한 정의와 연구로 이어졌습니다.이 시기에 이 개념들은 물리적 현실과 완전히 단절된 것처럼 보였지만, 20세기 초에 알베르트 아인슈타인은 이 개념들을 근본적으로 사용하는 상대성 이론을 발전시켰습니다.특히, 특수 상대성 이론의 시공간은 차원 4의 비유클리드 공간이고, 일반 상대성 이론의 시공간은 차원 4의 (곡선) 다양체입니다.^[126][127]

수학과 물리학 사이의 상호작용의 두드러진 측면은 수학이 물리학의 연구를 이끌 때입니다.이것은 양전자와 $중입자$ω의 발견으로 설명됩니다. ${\displaystyle$ \Omega$$^{-}} 두 경우 모두 이론의 방정식에는 설명할 수 없는 해가 있었고, 이는 알려지지 않은 입자의 존재에 대한 추측과 이러한 입자의 탐색으로 이어졌습니다.두 경우 모두 몇 년 후 특정 실험에 의해 이 입자들이 발견되었습니다.^{[128][129][130]}

특정과학

이 섹션은 검증을 위해 추가적인 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 밝혀지지 않은 자료에 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다. 출처 찾기 : 과학과의 "수학" 관계 – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2022년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

이 서브섹션은 위키백과 편집자의 개인적인 감정을 진술하거나 주제에 대한 독창적인 주장을 제시하는 개인적인 성찰, 개인적인 에세이 또는 논증적인 에세이처럼 쓰여집니다. 백과사전식으로 다시 작성하여 개선을 도와주시기 바랍니다. (2022년 12월) (본 템플릿 메시지 삭제 방법 및 시기 알아보기)

물리학

수학과 물리학은 그들의 현대사에서 서로에게 영향을 미쳤습니다.현대 물리학은 수학을 풍부하게 사용하며,^[131] 또한 주요 수학 발전의 동기이기도 합니다.^[132]

컴퓨팅

20세기 기술의 발전은 컴퓨팅이라는 새로운 과학의 길을 열었습니다.^[e]이 분야는 수학과 몇 가지 면에서 밀접한 관련이 있습니다.이론 컴퓨터 과학은 본질적으로 수학적입니다.통신 기술은 암호학 및 코딩 이론에서 특히 전송 보안과 관련하여 매우 오래된 수학 분야(예: 산술)를 적용합니다.이산수학은 복잡도 이론, 정보 이론, 그래프 이론 등 컴퓨터 과학의 많은 분야에서 유용합니다.^{[citation needed]}

그에 대한 보답으로 컴퓨팅은 새로운 결과를 얻기 위한 필수 요소가 되었습니다.이것은 수학적 통찰력을 발견하기 위해 실험을 사용하는 실험 수학으로 알려진 기술의 그룹입니다.^[133]가장 잘 알려진 예는 1976년 컴퓨터의 도움으로 증명된 4색 정리입니다.이것은 수학자가 증명의 각 부분을 증명해야 하는 규칙이었던 전통적인 수학에 혁명을 일으켰습니다.1998년, 구형 포장에 대한 케플러 추측 또한 부분적으로 컴퓨터에 의해 증명된 것처럼 보였습니다.그 이후로 국제적인 팀이 공식적인 증거를 작성하는 작업을 했습니다; 그것은 2015년에 완료되었습니다.^[134]

형식적으로 작성되면 증명 보조자라는 프로그램을 사용하여 증명을 확인할 수 있습니다.^[135]이 프로그램들은 증명의 정확성에 대해 불확실한 상황에서 유용합니다.^[135]

이론 컴퓨터 과학에서 주요 미해결 문제는 P 대 NP입니다.그것은 7개의 밀레니엄 상 문제 중 하나입니다.^[136]

생물학과

생물학은 생태학이나 신경생물학과 같이 확률을 광범위하게 사용합니다.^[137]하지만 생물학에서 확률에 대한 논의의 대부분은 진화론적 적합성이라는 개념에 중점을 두고 있습니다.^[137]

생태학은 인구 역학을 시뮬레이션하고,^[137][138] 포식자 먹이 모델과 같은 생태계를 연구하고, 오염 확산을 측정하거나,^[139] 기후 변화를 평가하기 위해 모델링을 많이 사용합니다.^[140]모집단의 동역학은 로트카-볼테라 방정식과 같은 결합 미분 방정식으로 모델링할 수 있습니다.^[141]하지만 모델 검증의 문제가 있습니다.이것은 특히 모델화의 결과가 정치적 결정에 영향을 미칠 때 매우 심각합니다. 모순된 모델의 존재는 국가들이 가장 유리한 모델을 선택할 수 있게 합니다.^[142]

유전자형 진화는 하디-바인버그 원리로 모델링될 수 있습니다.^{[citation needed]}

계통지리학은 확률론적 모델을 사용합니다.^{[citation needed]}

의학은 새로운 치료법이 효과가 있는지 여부를 결정하기 위해 임상시험의 데이터를 이용하여 통계적 가설 검정을 사용합니다.^{[citation needed]}

20세기가 시작된 이래로, 화학은 분자를 3차원으로 모델링하기 위해 컴퓨팅을 사용해 왔습니다.생물학에서 고분자의 형태는 가변적이며 작용을 결정한다는 것이 밝혀졌습니다.이러한 모델링은 유클리드 기하학을 사용합니다. 이웃 원자들은 거리와 각도가 상호작용 법칙에 의해 고정된 다면체를 형성합니다.^{[citation needed]}

지구과학

구조지질학과 기후학은 확률론적 모델을 사용하여 자연재해의 위험을 예측합니다.^{[citation needed]}마찬가지로, 기상학, 해양학, 행성학 또한 모델을 많이 사용하기 때문에 수학을 사용합니다.^{[citation needed]}

사회과학

사회과학에서 사용되는 수학의 영역은 확률/통계학과 미분방정식(stochastic 또는 deterministic)을 포함합니다.^{[citation needed]}이 영역들은 사회학,^[143] 심리학,^[144] 경제학, 금융학, 언어학과 같은 분야에서 사용됩니다.^{[citation needed]}

수학 경제학의 기본적인 전제는 이성적인 개별 행위자인 호모 이코노믹쿠스('lit.경제적 인간')의 것입니다.^[145]이 모델에서 각 개인은 자신의 이익을 극대화하기 위해 노력하고,^[145] 항상 완벽한 정보를 사용하여 최적의 선택을 합니다.^{[146][better source needed]}이러한 원자론적인 경제관은 개인의 계산이 수학적 계산으로 바뀌기 때문에 상대적으로 쉽게 사고를 수학화할 수 있게 해줍니다.이러한 수학적 모델링은 "문학적" 분석으로 발견하기 매우 어려울 경제적 메커니즘을 탐색할 수 있게 해줍니다.^{[citation needed]}예를 들어, 경기 순환에 대한 설명은 사소한 것이 아닙니다.수학적 모델링 없이는 단순한 통계적 관측이나 입증되지 않은 추측을 넘어서기가 어렵습니다.^{[citation needed]}

그러나 많은 사람들이 호모 이코노미쿠스의 개념을 거부하거나 비판해왔습니다.^{[146][better source needed]}경제학자들은 실제 사람들은 대개 제한된 정보를 가지고 있고 종종 형편없는 선택을 한다고 지적합니다.^{[146][better source needed]}또한, 실험실 실험에서 보여지듯이, 사람들은 개인적인 이득뿐만 아니라 공정함과 때로는 이타심에 관심을 갖습니다.^{[146][better source needed]}비평가들에 따르면, 수학화는 재료의 과학적인 가치화를 가능하게 하는 겉치레입니다.^{[citation needed]}

20세기 초, 역사적인 움직임을 공식으로 표현하려는 움직임이 있었습니다.^{[citation needed]}1922년 니콜라이 콘드라티예프는 경제 성장 또는 위기의 단계를 설명하는 ~50년의 콘드라티예프 사이클을 식별했습니다.^[147]19세기 말에 Nicolas-Remi Brück[fr]와 Charles Henri Lagrange[fr]는 지정학으로 그들의 분석을 확장했습니다.그들은 사람들을 그들의 정점에 이르게 한 거대한 운동의 역사적 존재를 확립하기를 원했습니다. 그리고 그들의 쇠퇴로.^{[148][verification needed]}보다 최근에는 1990년대부터 피터 터친이 기후역학을 개발하는 일에 매진하고 있습니다.^[149] (특히, 그는 터친 주기를 발견했는데, 터친 주기는 ~50년 간격의 짧은 주기로 폭력이 급증하고, 더 긴 주기인 ~200~300년에 걸쳐 겹친다고 예측합니다.)^[150]

그렇다고 해서 사회과학의 수학화가 위험이 없는 것은 아닙니다.논란이 되고 있는 책 "멋진 넌센스" (1997)에서, 소칼과 브릭몬트는 특히 수학이나 물리학에서 나오는 과학 용어의 사회과학에서의 근거 없거나 남용적인 사용을 비난했습니다.복잡한 시스템(실업의 진화, 사업 자본, 인구의 인구 통계학적 진화 등)에 대한 연구는 기초 수학적 지식을 사용합니다.그러나 특히 실업에 대한 계산 기준이나 모델의 선택은 논란의 대상이 될 수 있습니다.^{[citation needed]}

점성술과 난해증과의 관계

Ptolemy, 아랍 천문학자, Regiomantus, Cardano, Kepler, 또는 John Dee와 같은 몇몇 유명한 수학자들은 또한 유명한 점성가로 여겨집니다.중세 시대에 점성술은 수학을 포함하는 과학으로 여겨졌습니다.테오도르 츠빙거는 그의 백과사전에서 점성술은 "다른 신체에 작용하는 신체의 활발한 움직임"을 연구하는 수학 과학이라고 썼습니다.그는 그들의 "접합과 반대"를 예측하기 위해 "[별들의] 영향을 확률 있게 계산"할 필요성을 수학에 유보했습니다.^[151]

점성술은 더 이상 과학으로 여겨지지 않습니다.^[152]

철학

현실

수학과 물질적 실체의 연관성은 적어도 피타고라스 시대부터 철학적 논쟁을 불러왔습니다.고대 철학자 플라톤은 물질적 실재를 반영하는 추상화는 그 자체로 시공간 밖에 존재하는 실재를 가지고 있다고 주장했습니다.그 결과 수학적 대상이 추상적으로 어떻게든 스스로 존재한다는 철학적 견해를 플라톤주의라고 부르기도 합니다.그들의 가능한 철학적 의견과는 별개로, 현대 수학자들은 그들의 연구 대상을 실제 대상으로 생각하고 말하기 때문에 일반적으로 플라톤주의자로 여겨질 수 있습니다.^[153]

아르망 보렐은 수학 현실에 대한 이 관점을 다음과 같이 요약하고 G. H. 하디, 찰스 헤르미테, 앙리 푸앵카레, 알베르트 아인슈타인의 인용문을 제공하여 그의 견해를 뒷받침했습니다.^[128]

어떤 것이 다른 사람들의 마음 속에 우리의 것과 같은 형태로 존재하고, 그것에 대해 함께 생각하고 논의할 수 있다고 확신하는 순간, ("주관적"과는 반대로) 객관적이 됩니다.^[154]수학의 언어는 매우 정확하기 때문에 그러한 합의가 존재하는 개념을 정의하는 데 이상적으로 적합합니다.내 생각에, 그것은 우리에게 객관적인 존재감, 수학의 현실감을 제공하기에 충분합니다.

그럼에도 불구하고 플라톤주의와 추상화에 대한 동시적인 견해는 수학의 비합리적인 효과를 설명하지 못합니다.^[155]

제안된 정의

수학의 정의나 그 인식론적 지위, 즉 다른 인간의 활동 중에서 수학의 위치에 대한 일반적인 합의는 없습니다.^[156][157]많은 전문 수학자들은 수학의 정의에 관심이 없거나 정의할 수 없다고 여깁니다.^[156]수학이 예술인지 과학인지에 대한 합의조차 이루어지지 않고 있습니다.^[157]어떤 사람들은 "수학은 수학자가 하는 일"이라고 말합니다.^[156]그들 사이에 수학이 무엇이고 무엇이 아닌지에 대한 강한 공감대가 있기 때문에 이것은 말이 됩니다.대부분의 제안된 정의는 수학을 연구 대상으로 정의하려고 합니다.^[158]

아리스토텔레스는 수학을 "양의 과학"으로 정의했고 이 정의는 18세기까지 우세했습니다.그러나 아리스토텔레스는 양에 대한 초점만으로는 수학과 물리학과 같은 과학을 구별할 수 없다는 점에 주목했습니다. 그의 견해에 따르면 추상화와 양에 대한 연구는 실제 사례와 "생각에서 분리할 수 있는" 특성으로 수학을 구별 짓는 것입니다.^[159]수학자들이 물리적 현실과 명확한 관계가 없는 무한 집합과 같은 주제를 다루기 시작한 19세기에는 다양한 새로운 정의가 제시되었습니다.^[160]20세기 초부터 등장하여 계속 등장하는 수학의 새로운 영역이 많은 상황에서, 이 학문의 대상으로 수학을 정의하는 것은 불가능한 일이 됩니다.

수학을 정의하는 또 다른 방법은 방법을 사용하는 것입니다.따라서 학문의 한 분야는 증명, 즉 순수 논리적 추론에 의존하는 주장인 정리를 증명할 수 있는 즉시 수학으로서의 자격을 얻을 수 있습니다.^[161]다른 사람들은 수학이 공리적 집합론의 연구라고 생각합니다. 왜냐하면 이 연구는 현재 현대 수학의 많은 부분에 대한 기초 학문이기 때문입니다.^[162]

엄밀성

수학적 추론은 엄격함을 요구합니다.이것은 정의가 절대적으로 모호하지 않아야 하며 경험적 증거와 직관을 사용하지 않고 ^[f]추론 규칙의 일련의 적용으로 증명을 축소할 수 있어야 한다는 것을 의미합니다.^[g][163]엄격한 추론은 수학에만 국한된 것은 아니지만, 수학에서 엄격함의 기준은 다른 곳보다 훨씬 높습니다.수학의 간결함에도 불구하고, 엄격한 증명은 표현하는 데 수백 페이지가 필요할 수 있습니다.컴퓨터 지원 증명의 등장으로 255페이지의 Feit와 ^[h][164]같이 증명 길이를 더욱 확장할 수 있게 되었습니다.톰슨 정리.^[i]이러한 경향의 결과는 무오류라고 볼 수는 없지만 거기에 붙어 있을 개연성이 있는 준실증주의적 증명의 철학입니다.^[10]

수학에서 엄격함의 개념은 고대 그리스까지 거슬러 올라가는데, 그들의 사회는 논리적이고 연역적인 추론을 장려했습니다.그러나 이러한 엄격한 접근 방식은 비합리적인 숫자와 무한대의 개념과 같은 새로운 접근 방식에 대한 탐색을 방해하는 경향이 있습니다.16세기에는 기호 표기법을 통해 엄밀한 증명력을 입증하는 방법이 강화되었습니다.18세기에 사회적 전환은 수학자들이 가르치는 것을 통해 그들의 유지를 얻도록 이끌었고, 이것은 수학의 근본적인 개념에 대해 더 신중하게 생각하도록 이끌었습니다.이것은 기하학적인 방법에서 대수적인 방법과 산술적인 증명으로 전환하는 동안 더 엄격한 접근법을 만들었습니다.^[10]

19세기 말, 수학의 기본 개념의 정의는 역설(비유클리드 기하학과 바이어스트라스 함수)과 모순(러셀의 역설)을 피하기에 충분히 정확하지 않은 것으로 나타났습니다.이것은 수학 이론의 아포딕트 추론 규칙에 공리를 포함시킴으로써 해결되었습니다; 고대 그리스인들에 의해 개척된 공리적 방법의 재도입.^[10]이는 증명이 옳거나 잘못되었기 때문에 "엄격한 증명"은 수학에서 더 이상 중요한 개념이 아니며, "엄격한 증명"은 단순히 흉흉한 것입니다.엄밀성이라는 특별한 개념이 작용하는 것은 증명의 사회화된 측면에서이며, 다른 수학자들에 의해 명백하게 반박될 수 있습니다.수년 또는 심지어 수십 년 동안 증명이 받아들여진 후에는 신뢰할 수 있는 것으로 간주될 수 있습니다.^[165]

그럼에도 불구하고, "엄격한" 개념은 수학적 증명인 것이 무엇인지 초보자들에게 가르치는 데 유용할 수 있습니다.^[166]

교육 및 실습

교육

수학은 문화적 경계와 시대를 넘나드는 뛰어난 능력을 가지고 있습니다.인간의 활동으로서, 수학의 실천은 교육, 직업, 인식, 대중화 등을 포함하는 사회적 측면을 가지고 있습니다.교육에서 수학은 교육과정의 핵심적인 부분이고 STEM 학문의 중요한 요소를 형성합니다.전문 수학자들의 중요한 직업은 수학 선생님 혹은 교수님, 통계학자, 계리사, 재무 분석가, 경제학자, 회계사, 상품 거래자, 혹은 컴퓨터 컨설턴트를 포함합니다.^[167]

고고학적 증거는 수학 수업이 기원전 2천년경 고대 바빌로니아에서 일어났다는 것을 보여줍니다.^[168]고대 근동과 기원전 300년경 그레코로만 세계에서 필적 수학 훈련을 받은 것과 비교할 만한 증거가 발견되었습니다.^[169]가장 오래된 것으로 알려진 수학 교과서는 이집트에서 기원전 1650년에 만들어진 린드 파피루스입니다.^[170]책의 부족 때문에, 고대 인도의 수학적 가르침은 베다 시대 (기원전 1500년경 – 기원전 500년경)c.부터 기억된 구전을 사용하여 전달되었습니다.^[171]당나라(서기 618~907년) 시대 중국 황실에서는 국가 관료에 편입하기 위해 과거시험에 수학 교과 과정을 도입했습니다.^[172]

암흑시대 이후, 유럽의 수학 교육은 종교 학교들에 의해 쿼드리비움의 일부로 제공되었습니다.교육학에서의 공식적인 수업은 16세기와 17세기에 예수회 학교들로부터 시작되었습니다.대부분의 수학 교과과정은 프랑스와 독일에서 번성하기 시작한 19세기까지 기본적이고 실용적인 수준에 머물렀습니다.수학 수업을 다룬 가장 오래된 저널은 1899년에 출판을 시작한 L'Enseignment Mathématique였습니다.^[173]서양의 과학 기술의 발전은 수학을 핵심적인 요소로 하는, 많은 국민 국가에서 중앙 집중식 교육 시스템의 설립을 이끌었습니다. 처음에는 군사적인 응용을 위해서 말이죠.^[174]수업의 내용은 다양하지만, 오늘날 거의 모든 나라들이 상당한 시간 동안 학생들에게 수학을 가르칩니다.^[175]

학교생활 중 수학적 역량과 긍정적 기대는 해당 분야의 진로관심도와 강한 연관성을 갖습니다.교사, 학부모, 또래집단에 의한 피드백동기와 같은 외재적 요인이 수학에 대한 흥미도에 영향을 미칠 수 있습니다.^[176]수학을 공부하는 몇몇 학생들은 그 과목에서 그들의 성적에 대한 두려움이나 두려움을 가질 수 있습니다.이것은 수학 불안 또는 수학 공포증으로 알려져 있으며 학업 성적에 영향을 미치는 장애 중 가장 두드러진 것으로 여겨집니다.수학불안은 부모와 교사의 태도, 사회적 고정관념, 개인적 특성 등 다양한 요인으로 인해 발생할 수 있습니다.불안을 해소하는 데 도움이 되는 것은 교육적 접근법의 변화, 부모 및 교사와의 상호작용, 개인에 맞는 맞춤 치료 등에서 비롯될 수 있습니다.^[177]

심리학(미학, 창의성, 직관)

수학적 정리의 유효성은 이론적으로 컴퓨터 프로그램에 의해 자동적으로 이루어질 수 있는 증명의 엄격성에만 의존합니다.이것은 수학적인 작품에 창조성이 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않습니다.반대로, 많은 중요한 수학적 결과(정리)는 다른 수학자들이 풀지 못한 문제의 해결책이며, 이를 해결하는 방법의 발명은 해결 과정의 근본적인 방법일 수 있습니다.^[178][179]극단적인 예로는 아페리 정리가 있습니다.로저 아페리는 증명을 위한 아이디어만 제공했고, 공식적인 증명은 몇 달 후에 다른 세 명의 수학자들에 의해서만 주어졌습니다.^[180]

창의력과 엄격함은 수학자들의 활동에서 유일한 심리적 측면은 아닙니다.어떤 수학자들은 그들의 활동을 게임으로, 더 구체적으로 퍼즐을 푸는 것으로 볼 수 있습니다.^[181]이러한 수학적 활동의 측면은 레크리에이션 수학에서 강조됩니다.

수학자들은 수학의 미적 가치를 발견할 수 있습니다.아름다움과 마찬가지로, 정의하기는 어렵지만, 단순성, 대칭성, 완전성, 그리고 일반성과 같은 특징들을 포함하는 우아함과 공통적으로 관련되어 있습니다.수학자의 사과문에서 G. H. Hardy는 미적 고려가 그 자체로 순수 수학 연구를 정당화하기에 충분하다는 믿음을 표현했습니다.그는 또한 수학적 미학에 기여하는 중요성, 의외성, 필연성과 같은 다른 기준들을 발견했습니다.^[182]폴 에르트 ő스는 가장 아름다운 증거들을 모아놓은 신성한 모음집인 "The Book"을 언급함으로써 이러한 감정을 더욱 역설적으로 표현했습니다.Erd ő스에 의해 영감을 받은 1998년 책 The Book은 특히 간결하고 계시적인 수학적 논쟁의 모음집입니다.특히 우아한 결과들이 포함된 몇 가지 예들은 무한히 많은 소수들이 있다는 유클리드의 증명과 조화 분석을 위한 빠른 푸리에 변환입니다.^[183]

어떤 사람들은 수학을 과학으로 간주하는 것은 7개의 전통적인 교양과목에서 그것의 예술성과 역사를 경시하는 것이라고 생각합니다.^[184]이러한 관점의 차이가 발생하는 한 가지 방법은 수학적 결과가 (예술에서와 같이) 생성되는지 아니면 (과학에서와 같이) 발견되는지에 대한 철학적 논쟁입니다.^[128]레크리에이션 수학의 인기는 많은 사람들이 수학 문제를 푸는 것에서 발견하는 즐거움의 또 다른 표시입니다.

20세기에 수학자 L. E. J. 브라우어는 직관주의라고 알려진 철학적 관점을 시작했는데, 이것은 수학을 마음 속의 특정한 창조적 과정과 주로 동일시하는 것입니다.^[59]직관주의는 다시 구성주의로 알려진 입장의 한 가지 맛으로, 수학적 대상이 단순히 논리에 의해 간접적으로 보장되는 것이 아니라 직접적으로 구성될 수 있는 경우에만 유효하다고 간주합니다.이것은 구성주의자들이 특정 결과, 특히 배제된 중간 법칙에 기초한 실존적 증명과 같은 주장을 거부하도록 만듭니다.^[185]

결국, 구성주의나 직관주의 모두 고전 수학을 대체하거나 주류의 수용을 이루지 못했습니다.그러나, 이러한 프로그램들은 직관주의적 논리와 다른 기본적인 통찰력과 같은 구체적인 발전에 동기를 부여했으며, 이는 그들 자신의 권리로 평가됩니다.^[185]

문화영향

이 섹션의 예와 관점은 주로 서양 문화를 다루며 주제에 대한 세계적인 관점을 나타내지 않습니다. 필요에 따라 이 섹션을 개선하거나, 대화 페이지에서 문제에 대해 논의하거나, 새 섹션을 만들 수 있습니다.(2022년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

예술적 표현

서양의 귀에 잘 들리는 음은 기본적인 진동수가 단순한 비율인 소리입니다.예를 들어 옥타브는 주파수를 두 배로 늘리고 완벽한 5분의 1은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{주파수}}{}}$를 32 ${\$를 곱합니다$.$^{[186][187][better source needed]}

진동수와 조화 사이의 이러한 연관성은 프랑스 바로크 작곡가이자 음악 이론가인 ^[188]장 필립 라모에 의해 자연스럽게 논의되었습니다.이는 기본 도(1)의 고조파 분석(다음 그림에서 2~15 참조)에 근거합니다. 첫 번째 고조파와 그 옥타브가 잘 어울립니다.

빨간색의 곡선은 다음 두 가지 현상을 반영하는 로그 모양입니다.

• 우리의 청각 체계에서 소리의 음정은 소리의 진동수의 대수에 비례합니다.
• 기본 주파수의 정수 배인 고조파 주파수.

다른 동물들과 마찬가지로 인간은 대칭 패턴이 더 아름답다고 생각합니다.^[189]수학적으로, 물체의 대칭들은 대칭 그룹이라고 알려진 그룹을 형성합니다.^[190]

예를 들어, 거울 대칭군의 기초가 되는 군은 두 요소의 순환군, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ / $2\mathbb {Z}$입니다$.$ 로르샤흐 검정은 나비와 더 일반적으로 (적어도 표면에서는) 동물의 몸뿐만 아니라 이 대칭에 의해 불변하는 도형입니다.^{[citation needed]}바다 표면의 파도는 번역 대칭성을 가지고 있습니다: 파봉 사이의 거리만큼 사람의 관점을 이동하는 것은 바다에 대한 사람의 관점을 바꾸지 않습니다.^{[citation needed]}또한 프랙탈은 자기 유사성(대개 근사^{[citation needed]})을 가지고 있습니다.^{[191][192][better source needed]}

대중화

전문용어 없이 수학을 제시하는 행위가 대중적인 수학입니다.^[193]일반인들은 수학적 불안에 시달리고 수학적 대상은 추상성이 강하기 때문에 수학을 발표하는 것은 어려울 수 있습니다.^[194]그러나 인기 있는 수학 글쓰기는 응용 프로그램이나 문화적 연결을 사용함으로써 이를 극복할 수 있습니다.^[195]그럼에도 불구하고, 수학은 인쇄 매체나 텔레비전 매체에서 대중화의 주제가 되는 경우는 거의 없습니다.

시상 및 경품 문제

수학에서 가장 권위 있는 상은 1936년에 제정되어 4년마다 (제2차 세계 대전 무렵을 제외하고) 최대 4명에게 수여되는 ^[196][197]필즈상입니다.^[198][199]이것은 수학적으로 노벨상과 동등한 것으로 여겨집니다.^[199]

다른 명망 있는 수학상은 다음과 같습니다.^[200]

• 2002년에^[201] 제정되어 2003년에 처음 수상된^[202] 아벨상
• 2009년에^[203] 도입되어 2010년에^[204] 최초로 수여된 평생공로상 Chern Medal
• AMS 르로이 P. 1970년부터^[205] 수여된 스틸상
• 1978년에^[207] 제정된 ^[206]울프상 평생공로상 수학.

"힐베르트의 문제"라고 불리는 23개의 열린 문제들의 유명한 목록은 1900년에 독일 수학자 다비드 힐베르트에 의해 편찬되었습니다.^[208]이 목록은 수학자들 사이에서 큰 명성을 얻었고,^[209] 2022년^[update] 현재 적어도 13개의 문제(일부 문제는 해석 방식에 따라)가 해결되었습니다.^[208]

"천년상 문제"라는 제목의 7개의 중요한 문제들의 새로운 목록이 2000년에 출판되었습니다.그것들 중 하나인 리만 가설은 힐베르트의 문제들 중 하나를 복제합니다.이 문제들에 대한 해결책은 백만 달러의 보상을 받습니다.^[210]현재까지 이러한 문제 중 하나인 푸앵카레 추측만이 해결되었습니다.^[211]

참고 항목

참고문헌

메모들

인용문

서지학

추가열람

라이브러리 리소스정보 수학

온라인도서 라이브러리의 리소스 다른 라이브러리의 리소스