변수(수학)

수학에서 변수는 변화하거나 변화할 수 있는 표현이나 수량의 자리 표시자 역할을 하는 기호로, 함수나 집합의 임의적 요소를 나타내는 데 자주 사용된다. 숫자 외에도 변수는 벡터, 행렬 및 함수를 나타내기 위해 일반적으로 사용된다.^[1]

변수를 명시적인 숫자인 것처럼 대수적 계산을 하면 하나의 계산에서 다양한 문제를 해결할 수 있다. 전형적인 예로는 2차 방정식이 있는데, 2차 방정식을 나타내는 변수에 대해 단순히 주어진 방정식의 계수의 숫자 값을 대체함으로써 모든 2차 방정식을 해결할 수 있다.

수학 논리학에서 변수는 이론의 불특정 용어(즉, 메타변수)를 나타내는 기호나 이론의 기본 객체(가능한 직관적 해석을 참조하지 않고 조작된다.

어원

"변수"는 라틴어인 변수(variable)에서 유래했으며, "변수(us)"는 "다양하다"를 의미하며 "변수(capable)"는 "-아빌리스"는 "변수(capable)"를 의미한다.^[2]

개념의 창세기 및 진화

7세기에 브라마굽타는 Brahmasphuṭasiddhanta의 대수 방정식에서 미지의 것을 나타내기 위해 다른 색을 사용했다. 이 책의 한 부분은 "여러 색깔의 등분"^[3]이라고 불린다.

16세기 말 프랑수아 비에트는 단순한 대체에 의해 결과를 얻기 위해, 오늘날에는 변수라고 불리는 문자로 알려진 숫자와 알려지지 않은 숫자를 표현하는 아이디어와 그것들을 숫자처럼 계산하는 아이디어를 소개했다. 비에테의 관례는 알려진 값에는 자음을, 알려지지 않은 값에는 모음을 사용하는 것이었다.^[4]

1637년 레네 데카르트는 "미지의 것을 x, y, z로, a, b, c로 등식으로 표현하는 관습을 발명했다"고 밝혔다.^[5] 비에테의 관례에 반하여 데카르트는 여전히 일반적으로 사용되고 있다. 수학에서 x라는 글자의 역사는 1887년 사이언티픽 아메리칸 기사에서 논의되었다.^[6]

1660년대부터 아이작 뉴턴과 고트프리드 빌헬름 라이프니즈는 소수 미적분을 독자적으로 개발하였는데, 이는 근본적으로 변량량의 극소수 변화가 첫 번째 변수의 함수인 다른 양의 해당 변동을 유도하는 방법을 연구하는 것으로 구성된다. 거의 1세기 후, 레온하르트 오일러는 미적분학의 용어를 고치고 함수 f에 대해 y = f(x)라는 표기법과 변수 x, 값 y를 도입하였다. 19세기 말까지 변수라는 단어는 거의 전적으로 함수의 주장과 가치를 언급하였다.

19세기 후반에는 미적분학의 기초가 어디에서도 다를 수 없는 연속함수와 같은 명백한 역설을 다룰 만큼 충분히 정형화되지 않은 것으로 나타났다. 이 문제를 해결하기 위해 칼 위어스트라스는 한계에 대한 직관적인 개념을 형식적인 정의로 대체하는 것으로 구성된 새로운 형식주의를 도입했다. 한계에 대한 이전의 개념은 "변수 x가 다양하고 a에 치우치면 f(x)는 L에 치우친다"는 것이었는데, "끝"에 대한 정확한 정의가 없었다. 위어스트라스는 이 문장을 공식으로 대체했다.

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\; x-a <\eta \Rightarrow L-f(x) <\epsilon ,}$

5개 변수 중 어느 것도 변화하지 않는 것으로 간주되지 않는다.

이러한 정적 공식은 변수의 현대적 개념으로 이어졌는데, 이는 단순히 알 수 없거나 주어진 집합의 어떤 요소(예: 실수의 집합)로 대체될 수 있는 수학적 객체를 나타내는 기호일 뿐이다.

변수의 특정 종류

변수는 같은 수학 공식에서 서로 다른 역할을 하는 것이 일반적이며, 이를 구분하기 위해 이름이나 한정자가 도입되었다. 예를 들어, 일반 입방정식

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

4, a, b, c, d 등 5개의 변수를 갖는 것으로 해석되며, 이 변수는 숫자로 간주되며, 다섯 번째 변수인 x는 알 수 없는 숫자로 이해된다. 이들을 구별하기 위해 변수 x를 알 수 없는 변수라고 하며, 이 마지막 용어는 방정식에 대해 부정확하지만 다른 변수를 모수나 계수 또는 때로는 상수라고 하며, 이 방정식의 왼쪽에서 정의한 함수에 대해 유보해야 한다.

함수의 맥락에서 변수라는 용어는 함수의 인수를 통칭한다. "실제 변수의 함수", "x는 함수 f: x ↦ f(x)의 변수", "f는 변수 x의 함수"(함수의 인수가 변수 x에 의해 언급됨을 의미)와 같은 문장에서는 일반적으로 이러한 경우가 이에 해당한다.

같은 맥락에서 x와 독립적인 변수는 상수 함수를 정의하므로 상수라고 부른다. 예를 들어, 통합의 상수는 다른 해독제를 얻기 위해 특정 해독제에 첨가되는 임의의 상수함수다. 다항식 함수와 다항식 함수의 관계가 강하기 때문에, "정수"라는 용어는 불변성의 상수함수인 다항식의 계수를 나타내기 위해 자주 사용된다.

이와 같이 "정수함수"의 약어로 "정수함수"를 사용하는 것은 수학에서 단어의 정상적인 의미와 구별되어야 한다. 상수 또는 수학적 상수는 예를 들어, 0, 1, π과 집단의 정체성 요소로서 잘 정의되지 않은 숫자 또는 다른 수학적 대상이다.

변수에 대한 기타 특정 이름:

• 알 수 없는 것은 풀어야 할 방정식의 변수다.
• 불확정(nidmal)은 다항식 또는 공식 파워 시리즈에 나타나는 기호로, 일반적으로 변수라고 불린다. 형식적으로 말하면 미확인은 변수가 아니라 다항식 링이나 공식 파워시리즈의 링에 있는 상수다. 그러나 다항식이나 파워 시리즈와 그들이 정의하는 기능들 사이의 강한 관계 때문에 많은 저자들은 불연속성을 특별한 종류의 변수로 여긴다.
• 매개변수는 문제 입력의 일부인 수량(일반적으로 숫자)이며, 이 문제의 전체 해결 동안 일정하게 유지된다. 예를 들어, 역학에서 고체의 질량과 크기는 그 움직임 연구를 위한 매개변수다. 컴퓨터 과학에서 매개변수는 다른 의미를 가지며 함수의 주장을 나타낸다.
• 자유 변수 및 경계 변수
• 랜덤 변수는 확률 이론과 그 적용에 사용되는 변수의 일종이다.

이 모든 변수의 교파들은 의미론적 성격을 띠고 있으며, 그 변수와 함께 계산하는 방법(syntax)은 모두 동일하다.

종속변수와 독립변수

미적분학과 물리학 및 다른 과학에 대한 그것의 적용에서, 가능한 값은 다른 변수의 값에 따라 달라지는 변수, 예를 들어 y를 고려하는 것이 오히려 일반적이다. 수학적 용어에서, 종속 변수 y는 x의 함수 값을 나타낸다. 공식을 단순화하기 위해 종속 변수 y와 함수 매핑 x에 대해 동일한 기호를 사용하는 것이 종종 유용하다. 예를 들어 물리적 시스템의 상태는 압력, 온도, 공간 위치, ...와 같은 측정 가능한 양에 따라 달라지는데, 이 모든 양은 시스템이 진화하면, 즉 시간의 기능인 것이다. 시스템을 설명하는 공식에서 이러한 수량은 시간에 따라 달라지는 변수에 의해 표현되며, 따라서 시간의 함수로 암묵적으로 고려된다.

따라서 공식에서 종속변수는 다른(또는 여러 다른) 변수의 함수를 암시적으로 나타내는 변수다. 독립 변수는 종속적이지 않은 변수다.^[7]

종속적이거나 독립적일 변수의 속성은 종종 관점에 따라 달라지며 본질적이지 않다. 예를 들어 표기법 f(x, y, z)에서는 세 변수가 모두 독립적일 수 있으며 표기법은 세 변수의 함수를 나타낸다. 반면 y와 z가 x(종속 변수)에 의존한다면 표기법은 단일 독립 변수 x의 함수를 나타낸다.^[8]

예

만약 f 함수를 정의한다면

${\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)}$

x는 정의되는 함수의 인수에 대한 변수 서열이며, 이는 실제 숫자가 될 수 있다.

아이덴티티에서

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}{2}}}}$

변수 i는 정수 1, 2, ..., n(변동이 개별 값 집합에 걸쳐 있기 때문에 인덱스라고도 함)을 차례로 지정하는 합계 변수인 반면 n은 매개변수(공식 내에서 변동하지 않음)이다.

다항식 이론에서 도끼 2의 다항식은 일반적으로 도끼² + bx + c로 표시되는데, 여기서 a, b, c는 계수(고정된 것으로 가정한다, 즉 고려된 문제의 매개변수)라고 하고 x는 변수라고 한다. 다항식 함수에 대해 이 다항식을 연구할 때 이 x는 함수 인수를 나타낸다. 그 자체로 다항식을 연구할 때 x는 불확실한 것으로 여겨지며, 이러한 상태를 나타내기 위해 대신 대문자로 쓰는 경우가 많다.

표기법

수학에서 변수들은 일반적으로 한 글자로 표시된다. 그러나 이 글자는 x와₂ 같이 첨자가 자주 따르며, 이 첨자는 숫자, 다른 변수(x_i), 단어나 단어의 약어(x와_in x_out), 심지어 수학 식일 수도 있다. 컴퓨터 과학의 영향 아래에서, 사람들은 순수한 수학에서 몇 개의 문자와 숫자로 구성된 몇몇 변수 이름들을 만날 수 있다.

17세기 프랑스의 철학자·수학자 레네 데카르트에 이어 알파벳 초기의 문자(예: a, b, c), 알파벳 끝의 문자(예: x, y, z, t)는 알려진 값과 매개변수에 흔히 사용되며, 알파벳 끝의 문자(예: x, y, z, t)는 미지와 함수의 변수에 흔히 사용된다.^[9] 인쇄 수학에서 표준은 이탤릭체 활자체로 변수와 상수를 설정하는 것이다.^[10]

예를 들어, 일반적인 2차 함수는 일반적으로 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\...}$

여기서 a, b 및 c는 매개변수(상수 함수라고도 함)인 반면 x는 함수의 변수다. 이 기능을 나타내는 보다 명확한 방법은

${\displaystyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\...}$

x의 함수 인수 상태를 명확히 하고, 따라서 a, b, c의 지속적인 상태를 암시적으로 만든다. c는 x의 상수함수인 용어로 발생하기 때문에 상수항이라고 한다.^{[11]: 18}

수학의 특정 분기와 응용은 보통 변수에 대한 특정 명명 규칙을 가지고 있다. 역할이나 의미가 비슷한 변수에는 연속된 문자가 할당되는 경우가 많다. 예를 들어, 3D 좌표 공간의 세 축을 일반적으로 x, y, z라고 부른다. 물리학에서 변수의 이름은 주로 그들이 기술하는 물리적인 양에 의해 결정되지만, 다양한 명명 규칙이 존재한다. 확률에서 흔히 따르는 관례와 통계량은 무작위 변수의 이름에 X, Y, Z를 사용하고, 해당 실제 값을 나타내는 변수에 x, y, z를 유지하는 것이다.

다른 많은 논설적인 사용법들이 있다. 일반적으로 유사한 역할을 하는 변수는 연속된 문자 또는 첨자가 다른 동일한 문자로 표현된다. 아래는 가장 흔한 사용법들 중 하나이다.

• a, b, c, d(때로는 e와 f로 확장)는 종종 매개변수나 계수를 나타낸다.
• a₀, a₁, a₂, ...는 비슷한 역할을 한다. 그렇지 않으면 너무 많은 다른 글자가 필요할 것이다.
• a_i 또는 u는_i 종종 시퀀스의 i번째 용어 또는 시리즈의 i번째 계수를 나타내기 위해 사용된다.
• f 및 g(때로는 h)는 일반적으로 함수를 나타낸다.
• i, j, k(때로는 l 또는 h)는 인덱스 패밀리의 다양한 정수 또는 지수를 나타내기 위해 종종 사용된다. 또한 장치 벡터를 나타내는 데 사용될 수 있다.
• l와 w는 종종 그림의 길이와 폭을 나타내기 위해 사용된다.
• l는 또한 선을 나타내기 위해 사용된다. 숫자 이론에서, 나는 종종 p와 같지 않은 소수만을 가리킨다.
• n은 일반적으로 물체의 수나 방정식의 정도와 같은 고정 정수를 나타낸다.
  • 예를 들어 행렬의 치수에 대해 두 개의 정수가 필요한 경우, 일반적으로 m과 n을 사용한다.
• p는 종종 소수 또는 확률을 나타낸다.
• q는 종종 주요 권력이나 지수를 나타낸다.
• r은 종종 반지름, 나머지 또는 상관 계수를 나타낸다.
• t는 종종 시간을 나타낸다.
• x, y, z는 일반적으로 유클리드 기하학에서 한 점에 대한 세 가지 데카르트 좌표를 나타낸다. 확장자에 의해 해당 축의 명칭을 지정하는 데 사용된다.
• z는 일반적으로 복잡한 숫자 또는 통계에서 정규 랜덤 변수를 나타낸다.
• α, β, γ, θ, φ, φ은 일반적으로 각도 측정을 나타낸다.
• ε은 대개 임의로 작은 양의 숫자를 나타낸다.
  • ε과 Δ는 일반적으로 두 개의 작은 긍정을 나타낸다.
• λ은 고유값에 사용된다.
• σ은 종종 총계 또는 통계에서 표준 편차를 나타낸다.
• μ는 종종 평균을 나타낸다.
• π은 pi에 쓰인다.

참고 항목

• 집적 상수
• 다항식의 상수 항
• 자유 변수 및 경계 변수(경계 변수를 더미 변수라고도 함)
• 불확정(변수)
• 람다 미적분학
• 수식
• 관측가능변수
• 물리적 상수
• 변수(컴퓨터 과학)

참고 문헌 목록

• J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 1 ff.
• Karl Menger, "수학과 자연과학의 변수에 대하여", 영국 과학철학저널 5:18:134–142 (1954년 8월) JSTOR 685170
• 자로슬라프 페레그린 "자연어로 된 변수: 그들은 어디에서 왔을까?"라고 물었고, M. Boettner, W. Thimmel, eds, Variable-Free Semantics, 2000, 페이지 46–65.
• W.V. Quine, "Variables Descripted Away", 미국철학회의 104:343–347 (1960)

참조