암묵함수

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
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전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
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v t

수학에서 암묵적 방정식은 R(x₁, …, x_n) = 0 형식의 관계인데 여기서 R은 여러 변수의 함수(종종 다항식)이다. 예를² 들어 단위 원의 암묵적 방정식은 x + y - 1² = 0이다.

암묵적 함수는 함수의 값으로 간주되는 변수 중 하나를 다른 변수들과 인수로 간주하는 암묵적 방정식으로 정의되는 함수다.^{[1]: 204–206} 예를 들어 단위 원의 방정식²² x + y - 1 = 0은 -1 ≤ x ≤ 1이면 x의 암묵적 함수로 정의하고, 하나는 y를 음이 아닌 값으로 제한한다.

암묵적 함수 정리는 어떤 종류의 관계가 암묵적 함수를 정의하는 조건, 즉 어떤 연속적으로 다른 다변량 함수의 영점 집합의 지표 함수로 정의되는 관계를 제공한다.

예

역함수

함수의 일반적인 유형은 역함수다. 모든 함수가 고유한 역 함수를 갖는 것은 아니다. g가 고유한 역수를 갖는 x의 함수라면 g라고⁻¹ 하는 g의 역함수는 방정식의 해답을 주는 고유함수다.

${\displaystyle y=g(x)}$

y의 관점에서 x의 경우 이 솔루션은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle x=g^{-1(y)\,}$

g를⁻¹ g의 역순으로 정의하는 것은 암묵적인 정의다. 만약 g())=2배 − 1, 다음 g−1(y).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-p 일부 기능 g 들어, g−1(y)명시적으로 인스턴스에 대한closed-form 표현 — 나갈 수 있다.Arser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ1(y+1). 그러나 이는 종종 불가능하거나 (아래 제품 로그 예에서와 같이) 새로운 표기법을 도입해야만 가능하다.

직관적으로, 종속변수와 독립변수의 역할을 서로 바꾸어 g로부터 역함수를 얻는다.

예: 제품 로그는 y - xe^x = 0 등식의 x에 대한 솔루션을 제공하는 암시적 함수다.

대수 함수

대수함수는 계수 자체가 다항식인 다항식 방정식을 만족시키는 함수다. 예를 들어, 한 변수 x의 대수 함수는 방정식의 y에 대한 해답을 제공한다.

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\...}$

여기서 계수 a_i(x)는 x의 다항 함수다. 이 대수함수는 용액 방정식 y = f(x)의 우측으로 쓸 수 있다. 이렇게 쓰여진 f는 다액의 암묵함수다.

대수적 함수는 수학적 분석과 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수 함수의 간단한 예는 단위 원 방정식의 왼쪽에 의해 제시된다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0\,.}$

y에 대한 해결 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}:\,}$

그러나 이 명시적 해결책을 명시하지 않더라도 단위 원 방정식의 암묵적 해결책을 y = f(x)로 지칭할 수 있는데 여기서 f는 다액의 암묵적 함수다.

y의 2차 방정식, 입방정식, 4차 방정식에 대해 명시적 해법이 발견될 수 있지만, 5차 방정식 및 상위 방정식에 대해서는 일반적으로 동일하지 않다.

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,}$

그럼에도 불구하고 다중값 암묵함수 f를 포함하는 암묵적 해법 y = f(x)를 여전히 참조할 수 있다.

주의사항

모든 방정식 R(x, y) = 0이 단일 값 함수의 그래프를 의미하는 것은 아니며, 원 방정식은 하나의 두드러진 예다. 또 다른 예는 x - C(y) = 0으로 주어진 암묵적 함수인데, 여기서 C는 그래프에 "점프"가 있는 입방 다항식이다. 따라서 암묵적 함수가 참(단일 값) 함수가 되려면 그래프의 일부만 사용해야 할 수 있다. 암묵적 함수는 x축의 일부에서 "확대"하고 일부 원치 않는 함수 분기를 "삭제"한 후에만 참 함수로 성공적으로 정의될 수 있다. 그러면 y를 다른 변수의 함수로 표현하는 방정식이 작성될 수 있다.

정의 방정식 R(x, y) = 0은 다른 병리학도 가질 수 있다. 예를 들어, x = 0 방정식은 y에 대한 솔루션을 제공하는 함수 f(x)를 의미하지 않는다. 그것은 수직선이다. 이와 같은 문제를 피하기 위해 허용 가능한 종류의 방정식이나 도메인에 다양한 제약조건을 부과하는 경우가 많다. 암묵적 함수 정리는 이러한 종류의 병리학을 균일하게 다루는 방법을 제공한다.

암묵적 분화

미적분학에서 암묵적 분화라고 하는 방법은 암묵적으로 정의된 함수를 구별하기 위해 체인 규칙을 이용한다.

방정식 R(x, y) = 0으로 정의되는 암묵적 함수 y(x)를 구별하기 위해서는 일반적으로 y에 대해 명시적으로 해결한 다음 구별하는 것이 불가능하다. 대신, x와 y에 대해 R(x, y) = 0을 완전히 구별한 다음 dy/dx가 x와 y의 측면에서 파생상품을 명시적으로 얻을 수 있는 결과적인 선형 방정식을 해결할 수 있다. 원래의 방정식을 명시적으로 풀 수 있는 경우에도, 총 분화에서 비롯되는 공식은 일반적으로 훨씬 간단하고 사용하기 쉽다.

예

예 1

고려하다

${\displaystyle y+x+5=0\,.}$

이 방정식은 y에 대해 쉽게 풀 수 있으며,

$[\displaystyle y=-x-5\}$

여기서 오른쪽은 y(x) 함수의 명시적 형식이다. 그런 다음 분화는 dy/dx = -1을 부여한다.

또는 원래의 방정식을 완전히 구별할 수 있다.

${\displaystyle {\dx}{dx}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{dx}{dx}}}{dx}}}}}{dx}}=0\,;\\\\\frac {d}{dx}+1+0&=0\, .\end{정렬}}}$

dy/dx 제공에 대한 해결

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=-1\}$

앞에서 얻은 것과 같은 대답

예 2

명시적 분화를 사용하는 것보다 암묵적 분화가 쉬운 암묵적 함수의 예는 방정식에 의해 정의된 함수 y(x)이다.

${\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,}$

x에 대해 명시적으로 이를 구별하려면 먼저 다음 사항을 확인해야 한다.

${\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}{2}}\}\}$

그런 다음 이 기능을 구별하십시오. 이것은 두 가지 파생상품을 만들어낸다. 하나는 y≥ 0에 대한 것이고 다른 하나는 y < 0에 대한 것이다.

원래 방정식을 암묵적으로 구별하는 것이 상당히 쉽다.

${\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}=0\}}$

부여

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}}{4y}=-{\frac {x^{3}}}\,}$

예 3

흔히 y에 대해 명시적으로 해결하기가 어렵거나 불가능하며, 암묵적인 차별화가 유일하게 실현 가능한 차별화 방법이다. 그 예는 방정식이다.

${\displaystyle y^{5}-y=x\,}$

y를 x의 함수로 명시적으로 나타내는 것은 대수적으로 불가능하며, 따라서 명시적 분화로 dy/dx를 찾을 수 없다. 암묵적 방법을 사용하면 dy/dx를 얻기 위해 방정식을 구별하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}-{dx}}={\frac {dx}{dx}}\}}$

여기서 dx/dx = 1. dy/dx를 인수해 보면

${\displaystyle \left(5y^{4}-1\오른쪽){\frac {dy}{dx}=1\}$

그 결과물이 나오는.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {1}{5y^{4}-1}\}$

다음에 대해 정의된

${\displaystyle y\neq \pm {1}{\frac {1}{4}{5}}}\pm {\text{and}}\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}},}}\\\\\,}},},},},},.}$

암묵적 함수의 파생에 대한 일반 공식

R(x, y)이 0이면, 암시함수 y(x)의 파생상품은 다음과 같이^{[2]: §11.5} 주어진다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial R}{\partial r}\,}{\frac {\partial R}}},}{\frac {R_}}}={R_{x}}}}\}}}}}}$

여기서 R과_x R은_y x와 y에 관한 R의 부분파생상품을 나타낸다.

위의 공식은 일반화된 체인 규칙을 사용하여 R(x, y) = 0: 양쪽의 x에 대한 총 파생상품을 구하는 것에서 유래한다.

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}{dx}}+{\frac {dx}{\partial R}{\partial y}{\frac}{dx}=0\}}}}$

이 때문에

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}+{\partial R}{\partial y}{\frac}{dx}=0\}}}$

dy/dx에 대해 해결했을 때 위의 표현을 제공한다.

암묵적 함수 정리

Let R(x, y) be a differentiable function of two variables, and (a, b) be a pair of real numbers such that R(a, b) = 0. If ∂R/∂y ≠ 0, then R(x, y) = 0 defines an implicit function that is differentiable in some small enough neighbourhood of (a, b); in other words, there is a differentiable function f that is defined and differentiable in some neighb이 인접 지역에서 R(x, f(x) = 0인 a의 우리성.

조건 ∂R/∂y ≠ 0은 접선이 수직이 아닌 경우 (a, b)가 암묵적 방정식 R(x, y) = 0의 암묵적 곡선의 정규점임을 의미한다.

덜 기술적인 언어에서는 함수가 존재하며 곡선에 비수직 접선이 있으면 구별할 수 있다.^{[2]: §11.5}

대수 기하학에서

R(x₁, …, x_n) = 0 형식의 관계를 고려하십시오. 여기서 R은 다변량 다항식이다. 이 관계를 만족하는 변수의 값 집합을 n = 2이면 암묵적 곡선, n = 3이면 암묵적 표면이라고 한다. 암묵적 방정식은 대수 기하학의 기초로서, 그 연구의 기본 주체는 좌우가 다항식인 여러 암묵적 방정식의 동시해법이다. 이러한 동시 해법 세트를 아핀 대수 집합이라고 한다.

미분 방정식에서

미분 방정식의 해법은 일반적으로 암묵적 함수로 표현된다.^[3]

경제학 응용 프로그램

한계대체율

경제학에서 수준 집합 R(x, y) = 0이 두 재화의 소비량 x와 y에 대한 무관심 곡선일 때, 암묵적 파생상품 dy/dx의 절대값은 두 재화의 한계대체율, 즉 x의 한 단위의 손실에 무관심하기 위해 얼마나 많은 y를 받아야 하는가에 대한 것으로 해석된다.

한계기술대체율

이와 유사하게, 레벨 세트 R(L, K)은 노동력의 활용 수량 L과 물리적 자본의 K의 다양한 조합을 보여주는 등사량이며, 각 조합은 일정한 양의 동일한 생산량을 생산하게 될 것이다. 이 경우 암묵적 파생상품 dK/dL의 절대값은 두 생산요인 즉, 기업이 동일한 양의 생산물을 생산하기 위해 1개의 노동단위로 얼마나 더 많은 자본을 사용해야 하는지에 대한 기술적 대체의 한계 비율로 해석된다.

최적화

흔히 경제이론에서는 객관적 기능이 특정한 기능형태로 제한되지 않았더라도 효용함수나 이익함수와 같은 일부 기능은 선택 벡터 x에 관해서 최대화되어야 한다. 암묵적 함수 정리는 최적화의 1차 조건이 선택 벡터 x의 최적 벡터 x*의 각 요소에 대한 암묵적 함수를 정의함을 보장한다. 이윤이 극대화되고 있을 때, 그 결과 생기는 암묵적 기능은 일반적으로 노동 수요 기능과 다양한 상품의 공급 기능이다. 효용이 극대화되고 있을 때, 그 결과 생기는 암묵적 기능은 일반적으로 노동공급 기능과 다양한 상품에 대한 수요함수다.

더욱이 문제의 매개변수가 x*에 미치는 영향(묵시적 함수의 부분적 파생상품)은 전체 분화를 이용하여 발견된 1차 조건 시스템의 총 파생상품으로 표현할 수 있다.

참고 항목

참조

추가 읽기

• Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. pp. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

외부 링크

• Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관: