링 이론

대수학에서, 링 이론(ring theory)은 덧셈과 곱셈이 정의되고 정수에 대해 정의된 연산과 유사한 특성을 갖는 고리 구조이다^[1].고리 이론은 고리 구조, 그 표현, 또는 다른 언어에서 모듈, 특별한 종류의 고리(군 고리, 나눗셈 고리, 보편적 포락 대수)뿐만 아니라 이론 자체 내에서 그리고 동질적 특성과 폴리 같은 그것의 응용에 관심이 있는 것으로 증명된 속성들의 배열을 연구한다.명목상의 아이덴티티

교환 링은 비교환 링보다 훨씬 더 잘 이해됩니다.교환환의 많은 자연적인 예를 제공하는 대수기하학과 대수적 수이론은 오늘날 현대 수학의 주요 영역인 교환환 이론의 많은 발전을 이끌었다.이 세 가지 분야(대수 기하학, 대수적 수 이론 및 교환 대수학)는 매우 밀접하게 연결되어 있기 때문에, 일반적으로 특정 결과가 어떤 분야에 속하는지 결정하는 것은 어렵고 무의미하다.예를 들어 힐베르트의 늘스텔렌사츠는 대수기하학의 기초가 되는 정리이며, 교환대수의 관점에서 기술되고 증명된다.마찬가지로, 페르마의 마지막 정리는 교환대수의 일부인 기초 산술의 관점에서 언급되지만, 그 증명은 대수적 수 이론과 대수적 기하학의 깊은 결과를 포함한다.

더 특이한 행동이 발생할 수 있기 때문에 비교환 링은 맛이 상당히 다릅니다.이론이 그 자체로 발전한 반면, 꽤 최근의 경향은 마치 비존재하는 함수의 고리인 것처럼 기하학적 방식으로 특정 클래스의 비가환의 이론을 구축함으로써 가환적 발전을 병렬화하려고 시도하고 있다.이러한 경향은 1980년대에 비가환 기하학의 발전과 양자 그룹의 발견으로 시작되었다.이것은 특히 비변환 노에테르 ^[2]고리에 대한 이해를 향상시켰다.

링의 정의와 기본 개념 및 속성에 대해서는 링(수학)을 참조하십시오.링 이론 전반에 걸쳐 사용되는 용어의 정의는 링 이론 용어집에서 찾을 수 있습니다.

교환환

고리의 곱셈이 가환이면 가환이라고 한다.가환환이란 친숙한 수 체계와 유사하며 가환환에 대한 다양한 정의는 정수의 특성을 공식화하기 위해 설계되었습니다.교환환 또한 대수기하학에서 중요하다.교환환 이론에서, 숫자는 종종 이상에 의해 대체되고, 소수의 정의는 소수의 본질을 포착하려고 시도합니다.적분 도메인, 0이 아닌 두 원소가 0을 얻기 위해 곱하지 않는 단순하지 않은 정류환, 정수의 다른 속성을 일반화하고 나눗셈을 연구하는 적절한 영역 역할을 합니다.주요 아이디얼 도메인은 모든 아이디얼이 정수로 공유되는 또 다른 속성인 단일 요소에 의해 생성될 수 있는 통합 도메인입니다.유클리드 도메인은 유클리드 알고리즘이 수행될 수 있는 필수 도메인이다.교환환의 중요한 예는 다항식 및 그 요인환의 링으로 구성할 수 있습니다.요약 : 유클리드 도메인 principal주이상 도메인 unique고유 인수분해 도메인 integral적분 도메인 comm환.

대수기하학

대수기하학은 여러모로 교환대수의 거울상입니다.이 대응은 대수적 다양성의 점과 좌표 고리의 최대 이상 사이에 일대일 대응 관계를 확립하는 힐베르의 눌스텔렌사츠에서 시작되었다.이 대응은 대수적 다양성의 대부분의 기하학적 특성을 연관된 교환환의 대수적 특성으로 번역(그리고 증명)하기 위해 확대되고 체계화되었습니다.알렉산더 그로텐디크는 어떤 교환환으로부터도 만들어질 수 있는 대수적 다양성의 일반화인 체계를 도입함으로써 이것을 완성했다.더 정확히 말하면, 교환 고리의 스펙트럼은 자리스키 토폴로지를 갖추고 고리 다발로 증강된 그것의 주요 이상 공간이다.이러한 개체는 "아핀 체계"(아핀 품종의 일반화)이며, 그런 다음 아틀라스의 차트를 함께 붙임으로써 다지관을 구성하는 방법과 유사하게 (순수 대수적 방법에 의해) 그러한 여러 아핀 체계를 "붙임으로써" 얻습니다.

비가환환

비가환 링은 여러 면에서 행렬의 링과 유사합니다.대수기하학 모델에 따라, 최근 비가환환에 기초한 비가환기하학을 정의하려는 시도가 있었다.비가환환과 연관대수(벡터 공간이기도 한 고리)는 모듈의 범주를 통해 종종 연구된다.링 위의 모듈은 링이 내형상의 링으로 작용하는 아벨 군으로, 벡터 공간에서 필드(모든 0이 아닌 요소가 반전되는 통합 도메인)가 작용하는 방식과 매우 유사합니다.불변환환의 예는 정사각형 행렬의 고리 또는 더 일반적으로 아벨 군 또는 모듈의 내형상 및 모노이드 고리에 의해 제시된다.

표현 이론

표현 이론은 수학의 한 분야로, 비변환 고리를 많이 이용한다.벡터 공간의 선형 변환으로 요소를 표현하여 추상 대수 구조를 연구하고 이러한 추상 대수 구조에 대한 모듈을 연구합니다.본질적으로, 표현은 추상 대수 객체를 행렬과 비가환 행렬의 덧셈과 행렬 곱셈의 관점에서 그 요소들을 행렬과 대수 연산에 의해 설명함으로써 더 구체화한다.이러한 서술에 적응할 수 있는 대수적 객체에는 군, 연관대수 및 리 대수가 포함된다.이들 중 가장 두드러진 것은 (그리고 역사적으로 최초의) 그룹의 요소들이 행렬 곱셈이 되도록 가역 행렬로 표현되는 그룹의 표현 이론이다.

몇 가지 관련 정리

일반

구조 정리

Artin-웨더번 정리는 반단순 고리의 구조를 결정한다.
제이콥슨 밀도 정리는 원시 고리의 구조를 결정한다.
골디의 정리는 골디 고리의 구조를 결정한다
자리스키-사무엘 정리는 교환 주 이상환의 구조를 결정한다.
홉킨스 가족-레비츠키 정리는 노에테르 고리가 아르티니아 고리가 되기 위한 필요충분한 조건을 제공한다.
모리타 이론은 두 개의 링이 "동등한" 모듈 범주를 가질 때를 결정하는 이론으로 구성됩니다.
카르탕-브라우어-Hua 정리는 분할 고리의 구조에 대한 통찰력을 준다.
웨더번의 작은 정리는 유한 도메인이 필드라는 것을 말한다.

다른.

스콜렘-노에테르 정리는 단순한 고리의 자기동형성을 특징짓는다.

링의 구조 및 불변성

교환 링의 치수

이 섹션에서 R은 교환환을 나타냅니다.R의 크럴 차원은 ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ 0 ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ p ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ⊊ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ n \ $displaystyle$ \ $mathfrak {p} _$ { $0$ } \ $subsetneq$ \ $cdots$ \ $subsetneq$ \ cdots neq \ cdsetneq \ $mathfrak {p}$ _ 0 . p 1 ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ . n the the the the the the 。필드 k 위의 $t_{1},\cdots,t_{n}}$ 은 $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ (는) 차원 n을 가집니다.차원 이론의 기본 정리는 다음과 같은 숫자가 노이테리언 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ , $(R,{\mathfrak {m}})$ ) { $style (R,$ {\ $mathfrak {m$ ^[3]에 대해 일치함을 말한다.

R의 크럴 차원.
$1차$ 이상 $m$ 의 ${\mathfrak {m}}$ 최소 발전기 수 $.$
$\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ m $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ ( $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ ) $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ k $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ 0 $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ / $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ k + $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ 1 ( \ $displaystyle$ \ $textstyle \operatorname {gr$ } _ { \ $mathfrak$ { m} = \ $bigoplus$ _ { $k$ } { \ $mathfrak$ { m} / { $m$ } + $k }$ } k $。$

교환환 R은 소수 이상 ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ p $′$ \ style { $mathfrak { p$ } \ $display$ { $mathfrak$ { $p$ } \ p = p fr \ display style { $mathfrak$ { ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ p ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ $=$ { $mathfrak$ { p} ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ { \ frak }} {\ f}} {stystystlemathfrak { display }} { mathfrak } {\ f} {\ f} {\frak}의 유한 사슬이 ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ 한다면 현존재하는 교환환 R} ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ { $p}_{n}=mathmathfrak {p}}$ 은 ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ 체인에 있는 두 아이디얼 사이에 추가적인 소수 아이디얼을 삽입할 수 없다는 의미에서 최대값이며 $,$ p(\ $displaystyle\mathfrak {p})$ 와 ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}'$ p $(\$ ${\mathfrak {p}}$ 의 ${\mathfrak {p}}'$ 모든 최대값 사슬은 길이가 같다 $.$ 응용 프로그램에 표시되는 노이더리언 링은 사실상 모두 현수막입니다.Ratliff는 noetherian 국소 적분 도메인 R이 모든 주요 ${\mathfrak {p}}$ p $(\$ style $\mathfrak$ {p ${\mathfrak {p}}$ 에 대해 현수막임을 증명했다.

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {mathfrak {p}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

$\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ 서 ht $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ \ $displaystyle \operatorname {ht}$ { $mathfrak$ ${\mathfrak {p}}$ { $p}}$ 은 $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ p $\$ 의 ${\mathfrak {p}}$ ^[4]높이입니다.

만약 R이 완전히 생성된 k-대수영역이라면, 그 차원은 k에 대한 분수장의 초월도이다.S가 교환환 R의 적분연장이면 S와 R은 같은 치수를 가진다.

밀접하게 관련된 개념은 깊이와 글로벌 차원의 개념입니다.일반적으로 R이 노에테르 국소환일 경우 R의 깊이는 R의 치수 이하이다.등식이 유지되면 R은 Cohen-Macaulay 링이라고 불립니다.일반 로컬 링은 Cohen-Macaulay 링의 예입니다.R이 유한한 전역 차원을 가지며, 이 경우 전역 차원이 R의 크룰 차원일 경우에만 R이 정규 국소 고리라는 것이 Serre의 정리이다.이것의 의의는 지구적 차원이 동질적인 개념이라는 것이다.

모리타 당량

R 위의 왼쪽 모듈의 카테고리가 S 위의 왼쪽 모듈의 카테고리와 동일하면 2개의 링 R, S는 모리타 등가라고 한다.사실, 모리타 등가인 두 개의 교환 고리는 동형이어야 하므로, 이 개념은 교환 고리의 범주에 새로운 것을 추가하지 않는다.단, 치환환의 경우 비치환의 모리타 당량일 수 있으므로 모리타 당량은 동형보다 거칠다.모리타 등가는 특히 대수적 위상 및 함수 분석에서 중요하다.

링 및 Picard 그룹을 통해 최종 생성된 투영 모듈

R을 가환환으로 $\mathbf {P} (R)$ P ( $)$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ {P} ( $R)$ 를 $\mathbf {P} (R)$ R 위에 완전히 생성된 투영 모듈의 동형 클래스 집합으로 하고, $\mathbf {P} _{n}(R)$ ( $\mathbf {P} _{n}(R)$ R $\mathbf {P} _{n}(R)$ ) \ $displaystyle \mathbf {P} _{n}$ (R $)$ 을 $\mathbf {P} _{n}(R)$ Rank M의 상수로 하는 서브셋으로 한다. $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ dim $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ M $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ k ( $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ ) { $displaystyle \operatorname {Spec} R$ \ $to \mathbb {Z}$ , , {\ $mathfrak$ {p} \ $mapsto$ \ $dim M$ \ $otimes$ _ ${R}$ k ( {\ $mathfrak {p}}$ ) } } $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ ^[5] } 、 $\mathbf {P} _{1}(R)$ ( $\mathbf {P} _{1}(R)$ \ $mathp$ ) $\$ mathp ) $_ stylashstyle {\mathBf}$ 이것은 ^[6]R의 피카르 군이라고 불리는 아벨 군이다.R이 R의 분수 F의 필드를 갖는 적분 도메인인 경우,^[7] 다음과 같은 그룹의 정확한 순서가 있습니다.

{\displaystyle 1 to R^{*} \to F^{*} {\overset {f\mapsto fR} {\to }} \operatorname {Cart} (R) \to {Pic} (R) \to 1)

$\operatorname {Cart} (R)$ 서 Cart $\operatorname {Cart} (R)$ ( $\operatorname {Cart} (R)$ ) \ $style \operatorname {Cart}(R)$ 는 $\operatorname {Cart} (R)$ R의 분수 이상 집합입니다.만약 R이 정규 도메인이라면(즉, 임의의 소수 이상에서 정규), Pic(R)은 정확히 ^[8]R의 제수 클래스 그룹이다.

예를 들어 R이 주요 이상 영역일 경우 Pic(R)은 사라집니다.대수적 수론에서 R은 정수의 고리로 간주될 것이며, 이것은 데데킨트이고 따라서 규칙적이다.따라서 Pic(R)은 정수의 링과 PID의 편차를 측정하는 유한군(클래스 번호의 최종도)이다.

또 $\mathbf {P} (R)$ P $)$ 의 $\mathbf {P} (R)$ 완성도 $(\$ displaystyle $\mathbf {P}($ R $\mathbf {P} (R)$ 를 고려할 수 있습니다.그 결과 교환환 K(R)가₀ 됩니다.두 개의 교환환 R, S가 모리타 당량일 경우 K(R₀) = K(S)라는₀ 점에 유의한다.

비가환 구조

비교환 링의 구조는 교환 링의 구조보다 복잡합니다.예를 들어, 사소하지 않은 고유(양면) 이상을 포함하지 않고, 사소하지 않은 고유 왼쪽 또는 오른쪽 이상을 포함하는 단순한 링이 존재합니다.가환환에는 다양한 불변량이 존재하지만, 비가환환의 불변량은 찾기 어렵다.예를 들어, 링의 nilradical, 즉 모든 nilpotent 원소의 집합은 링이 가환적이지 않는 한 반드시 이상적인 것은 아니다.특히, 분할 링 위의 모든 n × n 행렬의 링에 있는 모든 non-potent 요소의 집합은 선택된 분할 링에 관계없이 결코 이상을 형성하지 않는다.단, 비가환환에 대해 정의된 nilradical의 유사점은 교환성이 가정될 때 nilradical과 일치한다.

고리의 제이콥슨 래디컬의 개념, 즉 단순한 오른쪽(왼쪽) 모듈의 모든 오른쪽(왼쪽) 전멸자의 교집합이 하나의 예입니다.제이콥슨 래디컬이 링에서 모든 최대 오른쪽(왼쪽) 이상의 교차점으로 볼 수 있다는 사실은 고리의 내부 구조가 모듈에 의해 어떻게 반영되는지를 보여준다.또한 링에서 모든 최대 오른쪽 이상의 교차점은 링의 모든 최대 왼쪽 이상의 교차점과 동일하며, 링이 가환인지 여부에 관계없이 모든 링의 맥락에서 마찬가지입니다.

비가환 고리는 수학에서 보편적으로 존재하기 때문에 활발한 연구 영역이다.예를 들어, 한 장에 걸친 n-by-n 행렬의 고리는 기하학, 물리학 및 수학의 많은 부분에서 자연적으로 발생함에도 불구하고 가환적이지 않습니다.보다 일반적으로, 아벨 그룹의 내형 고리는 거의 가환성이 없으며, 가장 간단한 예는 클라인 4 그룹의 내형 고리다.

엄밀하게는 불변환 링 중 가장 잘 알려진 것은 4분의 1입니다.

적용들

숫자 필드의 정수 링

대수적 다양성의 좌표환

만약 X가 아핀 대수 다양체라면, X 위의 모든 규칙 함수 집합은 X의 좌표 고리라고 불리는 고리를 형성한다.투영 변종의 경우, 균질 좌표 고리라고 불리는 유사한 고리가 있습니다.이 링들은 본질적으로 다양성과 같은 것입니다. 본질적으로 독특한 방식으로 대응합니다.이는 힐베르트의 Nullstellensatz 또는 체계 이론 구조(즉, 스펙과 Proj)를 통해 볼 수 있다.

불변환

고전적 불변성 이론의 기본적 (아마도 가장 기본적인) 질문은 V에 대한 유한군(또는 보다 일반적으로 환원적) G의 작용 하에서 불변인 다항식 $k[V]$ k [ $](\style$ k $[V])$ 에서 $k[V]$ 다항식을 찾고 연구하는 것이다.대표적인 예는 대칭 다항식의 고리입니다. 대칭 다항식은 변수의 치환 하에서 불변하는 다항식입니다.대칭 다항식의 기본정리는 이 고리가 R $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ [ $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ 1, $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ n $]$ { $display$ R[\ $sigma _{$ 1},\ $ldots,\sigma _{$ n}}이며 $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ , 여기서 $\sigma _{i}$ i \ $displaystyle \sigma$ _ ${i}$ 는 $\sigma _{i}$ 기본 대칭 다항식이다.

역사

교환환 이론은 대수적 수 이론, 대수적 기하학, 불변 이론에서 비롯되었다.이 주제들의 발달의 중심에는 대수적 수장 및 대수적 함수장에서의 정수환과 두 개 이상의 변수에서의 다항식의 고리가 있었다.비가환 이론은 복소수를 다양한 초복소수 체계로 확장하려는 시도에서 시작되었다.교환환 이론과 비교환환 이론의 기원은 19세기 초로 거슬러 올라가지만, 그 성숙도는 20세기의 3번째 10년에야 달성되었다.

좀 더 정확히 말하자면, 윌리엄 로완 해밀턴은 사분위수와 사분위수를, 제임스 코클은 테사린과 사분위수를, 윌리엄 킹던 클리퍼드는 그가 대수적 모터라고 부르는 분할 사분위수의 열렬한 지지자였다.이러한 비가환 대수와 비연관 리 대수는 대상이 특정 수학적 구조 유형으로 나누기 전에 보편 대수 내에서 연구되었다.재편성의 한 가지 징후는 대수적 구조를 설명하기 위해 직접 합계를 사용한 것이다.

다양한 초복소수는 조지프 웨더번(1908)과 에밀 아르틴(1928)에 의해 매트릭스 링으로 확인되었다.웨더번의 구조 정리는 Artin이 그것들을 Artinian 고리로 일반화 하는 동안, 한 장에 걸친 유한 차원 대수에 대해 공식화되었습니다.

1920년, 에미 노에터는 W. 슈마이들러와 협력하여, 그들이 고리에 좌우의 이상을 정의한 이상 이론에 대한 논문을 발표했다.이듬해 그녀는 이상과 관련된 상승 사슬 조건을 분석하는 링베레이첸의 이상 이론이라는 획기적인 논문을 발표했다.저명한 대수학자 어빙 카플란스키(Irving Kaplansky)는 이 작품을 "혁명적"^[9]이라고 불렀고, 이 출판물은 "노이더 고리"라는 용어를 만들어 냈으며, 몇몇 다른 수학적 대상들을 노이더 ^[9]^[10]고리라고 불렀다.

메모들

^ 링 이론은 rngs의 연구도 포함할 수 있다.
^ Goodearl & Warfield(1989년).
^ 마쓰무라 1989, 정리 13.4
^ 마쓰무라 1989, 정리 31.4
^ Weibel 2013, Ch I, 정의 2.2.3
^ Weibel 2013, Ch I의 제안 3.2보다 앞선 정의
^ Weibel 2013, Ch I, Proposition 3.5
^ Weibel 2013, Ch I, Collollary 3.8.1
^ ^a ^b 킴벌링 1981, 페이지 18
^ Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, translated by Blocher, H. I., Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8, 페이지 44~45.

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[1] 링 이론은 rngs의 연구도 포함할 수 있다.

[FOOTNOTEGoodearlWarfield1989-2] Goodearl & Warfield(1989년).

[3] 마쓰무라 1989, 정리 13.4

[4] 마쓰무라 1989, 정리 31.4

[5] Weibel 2013, Ch I, 정의 2.2.3

[6] Weibel 2013, Ch I의 제안 3.2보다 앞선 정의

[7] Weibel 2013, Ch I, Proposition 3.5

[8] Weibel 2013, Ch I, Collollary 3.8.1

[FOOTNOTEKimberling198118-9] 킴벌링 1981, 페이지 18

[10] Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, translated by Blocher, H. I., Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8, 페이지 44~45.

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