매트로이드

수학의 한 분야인 조합론에서, 매트로이드 /memetrtrɔd/는 벡터 공간에서의 선형 독립의 개념을 추상화하고 일반화하는 구조이다.매트로이드를 공리적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 가장 중요한 것은 독립 집합, 기저 또는 회로, 순위 함수, 폐쇄 연산자, 닫힌 집합 또는 평면이다.부분 순서 집합의 언어로 유한 매트로이드는 기하학적 격자와 같다.

매트로이드 이론은 선형 대수와 그래프 이론의 용어로부터 광범위하게 차용되는데, 이는 주로 이러한 분야에서 중심적인 중요성의 다양한 개념의 추상화이기 때문이다.매트로이드는 기하학, 위상, 조합 최적화, 네트워크 이론 및 코딩 ^[1][2]이론에서 응용 분야를 찾아냈습니다.

정의.

(^[3]확정한) 매트로이드를 정의하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

독립 집합

독립성 측면에서 유한 $매트로이드{\displaystyle }$M({$displaystyle$ M$})$은$, I){$displaystyle($E$$,$ {\$mathcal$${I$입니다. 여기서$E{\displaystyle }$$({$$displaystyle$ E$}$는 유한 집합(그라운드 집합)이고 I$(\displaystyle$ {$I})$는 독립성({$displaystyle$ E$})$의 $하위{\displaystyle }$ 집합입니다.다음 속성:^[4]

• (I1) 빈 집합은 독립적입니다. 즉, $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$ I \ $displaystyle$\ $emptyset$$in$\$mathcal${$I$}$$。또한 E$$\ $displaystyle$ $E$$$}의 서브셋이 하나 이상 독립적입니다. $즉{\displaystyle \mathcal{}}$, I$${\${\displaystyle \mathrm{}}$∅ {\ {\ {\ {\ \ $displaystyle$ \ $mathcal${$I$}$$$。$
• (I2) 독립 세트의 모든 서브셋은 독립적입니다.즉, 각 $A$에${\displaystyle }$${\displaystyle 대해\mathcal{}}$ A${\displaystyle {(\backslash }^{}}$$displaystyle$ A$'\subseteq E$에 $대해$ A(\displaystyle A$'\$subseteq E)가 I$(\$ A)이면 A$(\$displaystyle A)가 I(\$mathcal$ {I$})$가 된다$.$
• (I3) A$(style$ A$)$와 B$(display$ style$$ B)가 $2개$의 독립된 세트(즉, 각 세트가 독립적$)이며 A(\$display$$$style$ A$)$가 B(\display $style$ B$)$보다 많은 요소를 가지고 있는 $경우{\displaystyle }$ X$display style$ x${\displaystyle \backslash }$$in$ A$\backslash$ B$)$가 ${\displaystyle \mathrm{존재}}$합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle }${\$displaystyle${\$mathcal {I$ 이것은 증강 속성 또는 독립 집합 교환 속성이라고도 합니다$.$

처음 두 속성은 독립 시스템(또는 추상 단순 복합체)으로 알려진 조합 구조를 정의합니다.

베이스 및 회로

독립적이지 않은 접지 $세트{\displaystyle }$E(\$style$ E$)$의 서브셋을 종속이라고 합니다.최대 독립 집합, 즉$E$의$$$요소{\displaystyle }$ 추가에 의존하게 되는 독립 집합을 매트로이드의 기초라고 합니다.$M$의 회로$(\$$displaystyle$$$M$)$는 $E$의 $최소{\displaystyle }$ 종속 서브셋(\$displaystyle$ E)입니다.즉, 적절한 서브셋이 모두 독립되어 있는 종속 세트입니다.이 용어는 그래픽 매트로이드의 회로가 대응하는 ^[4]그래프 내의 사이클이기 때문에 발생합니다.

매트로이드의 종속 세트, 베이스 또는 회로는 매트로이드를 완전히 특징짓습니다.매트로이드는 종속되지 않은 경우에만, 베이스의 서브셋인 경우에만, 그리고 회로가 포함되지 않은 경우에만 독립적입니다.종속 집합, 베이스 및 회로의 집합은 각각 매트로이드에 대한 공리로 간주될 수 있는 단순한 특성을 가지고 있다.예를 들어 $매트로이드{\displaystyle }$M(\$displaystyle$$$M$)$을 쌍$)$으로 정의할 수 있습니다$.$$여기$서$$E(\$displaystyle$ E$)$는 기존과 같이 유한 $집합$이고 B$(\$는 E$(\displaystyle$ E$)$의 서브셋 집합입니다.문제:^[4]

• (B1) $(\$가 비어 있지 않습니다.
• (B2) A$(style$ A$)$와 B$(style$$$B$)$가 B$(\$displaystyle {$B})$와 $(\displaystyle$a\$in$ A\$setminus$ $B$$)$의 $별개$의 멤버인 $경우{\displaystyle }$ B${\displaystyle (\mathrm{style}}$ A${\displaystyle \backslash }$in $A$$\$setminus B$)$라는 $요소$가 존재하며$,{\displaystyle }$ B($style$ B$)$가 A$($style$$A)와 B(style A)를$$ 설정한다.$a\}\cup$\{$b\}\in{mathcal {B$ 이 속성은 기본 교환 속성이라고 불립니다.

B(\$displaystyle\mathcal {B})$의 멤버는 다른 멤버의 서브셋이 될 수 없습니다.

순위 함수

$M$의 두 개의 기저가 동일한 수의 원소를 갖는다는 것은 선형대수의 기저를 정리하는 것과 직접적으로 유사한 매트로이드 이론의 기본적인 결과이다.이 숫자를 M$(\displaystyle$M$)$의 등급이라고 합니다. M$(\displaystyle$ M$)$이$$E(\$displaystyle$ E$)$의 매트로이드이고$$A(\$displaystyle$ A$)$가 E$(\displaystyle$ E$)$의 서브셋인 $경우{\displaystyle }$$,$ A$(\$$displaystyle$ A$)$의 매트로이드는$독립적$이라고 간주하여 정의할 수 있습니다.M$${\$displaystyle$ M$\}$에서 독립되어 있는 경우에만 서브매트로이드 및 E$${\$displaystyle$ E$\}$의 서브셋에 대해 설명할 수 있습니다.$서브셋{\displaystyle }$A의 랭크(\$displaystyle$ A$)$는 매트로이드의 랭크 $함수{\displaystyle }$ r$)(\displaystyle$ r$(A))$에 의해 지정되며,^[4] 다음과 같은 특성이 있습니다.

• (R1) 랭크 함수의 값은 항상 음이 아닌 정수이다.
• (R2) $서브셋A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{display}}$E \ $displaystyle$ A \ $subset$ E$,$${\displaystyle }$、$r{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle a}$ A${\displaystyle }$\ $displaystyle$r ( $A$) \ $leq$ A $。$
• (R3) 임의의 2개의 $서브셋A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ $E,$ \$displaystyle$ A$,$B${\displaystyle \backslash }$$subset$E에$$대해${\displaystyle }$r (${\displaystyle Ab}$B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle r}$( B$$)${\displaystyle }$\ $displaystyle$r ($A$ / $cup$ B ) +$r$ (${\displaystyle }$B ) + r ( $B$ ) \ displaystyle ( A \ $cap$ B $) R$.
• (R4) 임의의$$ $집합{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$ 및$요소{\displaystyle }$ x(\$displaystyle$ x$)$에 $대해{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$(${\displaystyle A\mathrm{from}}${${\displaystyle }$x })${\displaystyle x}$ r (${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$+$$ $displaystyle$r ( A )\$leq r$( A$\cup$\ {$x\}\leq r$ ($A)+1$가 있습니다.일반적으로 첫 번째 부등식은 다음과 같습니다.$)({displaystyle$ r$(A)\leq$ r$(B)\leq$ r$(E$ 즉, 랭크는 단조로운 함수입니다${\displaystyle .}$

이러한 특성은 유한 매트로이드의 대체 정의 중 하나로 사용할 수 있습니다. (${\displaystyle E}$,${\displaystyle r}$) {$displaystyle (E,r)$ } 이$$ 이러한 특성을 만족하는 경우$,$ E {\$displaystyle$ E$}$ $위$의 매트로이드의 독립적 집합은 R${\displaystyle (A)}$$$${\displaystyle =}$ A의 $하위{\displaystyle }$ $집합$으로 정의할 수 있습니다.${\displaystyle }$\$displaystyle$ r$(A)= A$ 부분순서 집합의 언어로 이러한 매트로이드 구조는 부분순서 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$M \$displaystyle$ A \ $subset$M인 기하학적 격자와 동등하다$.$

${\displaystyle A}$-${\displaystyle r}$ ( \ $displaystyle$ A$$-$r$ ($A$)는 $A$의 무효라고 불리며, 독립된 세트를 얻기 위해$A$에서 $제거$해야 하는 요소의 최소 수입니다.$M의$E$(\$$displaystyle$$$M$)$의 무효를 M$(\displaystyle$ M$)$의 무효라고 합니다.$차이{\displaystyle }$r(${\displaystyle E)}$ -${\displaystyle r}$($)$ (\$displaystyle$r$(E)-r(A$$))$은 $A$의 코랭크로 불리기도 합니다.

폐쇄 연산자

M$(\displaystyle$ M$)$을 위와 같이 순위 함수$r{\displaystyle }$(\$displaystyle$ r$)$을 갖는 유한 $집합{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$의 매트로이드로 $한다{\displaystyle }$.E ${\displaystyle$ E$}$의 $서브셋{\displaystyle }$A {\$displaystyle$ A$}$의 닫힘(또는 스팬) ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle A}$) \$displaystyle \operatorname {cl}$ ($A)$은 세트입니다.

${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$A ) ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle xe}$ E ${\displaystyle \mid r}$ (${\displaystyle A}$ )${\displaystyle =r}$ ( ${\displaystyle A}$) } $}$ { $displaystyle$ \$operatorname${ cl } (A) = e$\mid$ r$(A$) =$r${\$bigl (A)$ \ cup \ $x$\ {\ { r} \ $r$ \ r } \ r } } } } } } } } 。

이것은 폐쇄 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ ${\displaystyle cl\mathcal{}}$:${\displaystyle }$P (${\displaystyle E}$ ) ${\displaystyle \to P\mathcal{}}$ (${\displaystyle E}$ ) \$displaystyle \operatorname {cl}$ :${\mathcal {P}\ to${\$mathcal {P}}$을 정의합니다$$. $여기$서 P$${\$displaystyle \mathcal {P}}}$은 다음 속성을 가진 전력 집합을 나타냅니다.

• (C1)$E$의 $모든{\displaystyle }$ 서브셋$$X(\$displaystyle$$$E$)$에 대해 X($)\displaystyle$ X$\subseteq \operatorname {cl$$X)$
• (C2)$E$의 $모든{\displaystyle }$ $서브셋{\displaystyle }$X {\$displaystyle$X$\}$에 대해 cl ${\displaystyle （X}$ ） $=$ ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle X）}$。{ $displaystyle \operatorname {cl}(X$)=\$operatorname {cl}(\operatorname {cl}(X$
• (C3) X${\displaystyle y}$Y \ $displaystyle$X \ $subseteq Y$$$、 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$（ ${\displaystyle X}$） cl${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ （ $）$ \ $displaystyle$$$X$$$y$ yY의$$$$ $모든{\displaystyle }$ $서브셋$에 $대해$$,$ cl${\displaystyle }$（ X ） cl （ Y ） \ $displaystyle$ \$operatorname { cl$（ $X$） \ $subseteq$）
• $($C4) 모든 $요소{\displaystyle }$ $A{\displaystyle }$$(\displaystyle$ a)$$및$$$B$$(\$$displaystyle$E$)$및$$E$(\displaystyle$ E$)$의 $모든{\displaystyle }$ $서브셋$ Y$(\displaystyle$ Y$)$에 대해${\displaystyle \mathrm{cl}}$( ( $b$ { b ${\displaystyle \}}$ ) ${\displaystyle \mathrm{cl}（}$ $Y$ \ $displaystyle$a （$$\$cup$）${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$ )${\displaystyle \mathrm{cl}}$ (${\displaystyle Y}$ $)\displaystyle$ b$\in \operatorname {cl}(Y\cup$\{$a\})\setminus \operatorname {cl}(Y$

이러한 특성 중 처음 세 가지는 폐쇄 연산자의 정의 특성입니다.네 번째는 Mac Lane-Steinitz 교환 자산이라고도 합니다.이러한 특성은 ^[4]매트로이드의 또 다른 정의로 간주할 수 있습니다. 이러한 특성을 따르는 모든 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$cl :${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$E )$$ ($E$ ) : { \ $mathcal${ $P }$ （ $E$） \ $mathcal${$P$} （ E$$$$） 。

플랫

닫힘이 자신과 동일한 집합을 닫힘 또는 매트로이드의 ^[5]평면 또는 부분 공간이라고 한다.순위가 최대인 경우 세트가 닫힙니다. 즉, 세트에 다른 요소를 추가하면 순위가 증가합니다.매트로이드의 닫힌 집합은 덮개 파티션 속성으로 특징지어집니다.

• (F1) 포인트 $세트{\displaystyle }$ E$(\displaystyle$ E$)$ 전체가$$ 닫힙니다.
• (F2) S$${$displaystyle$ S$$$}$ 및 T {$displaystyle$ T$}$가 평면일 $경우{\displaystyle }$ $S{\displaystyle t}$T { $displaystyle$ S$\cap$ T$}$는 평면입니다.
• (F3) S ${\displaystyle$ S$}$가 평면인 $경우{\displaystyle }$, E${\displaystyle$ E$\setminus S}$의 각 요소는 S$${\$displaystyle$ S$}$를 커버하는 $평면{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$ 중$$ 하나$(T$ {\$displaystyle$$$ T$$$}$는 S {\$displaystyle$ S$}$를 적절히 $포함$하지만 평면$$Ustyle S$}$는 $없음{\displaystyle }$)에 있습니다.$Tween{\displaystyle }$S($디스플레이 스타일$ S$)$ 및$$ $(디스플레이 스타일$ T$)$입니다.

집합 포함에 의해 부분적으로 정렬된 모든 평면의 $클래스{\displaystyle \mathcal{}}$ L$)$ {{style\$mathcal {L}}(M)}$은(는) 매트로이드 격자를 형성한다.반대로, 모든 $매트로이드{\displaystyle }$ 격자 L(\$displaystyle$ L$)$은 다음과 같은 닫힘 연산자 아래에서 원자의 집합$$E(\$displaystyle$ E$)$ 위에$$ 매트로이드를 형성합니다$.{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{결합}}$ S$(\displaystyle \bigvee S$인 원자 $집합{\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$의 경우,

${\displaystyle \mathrm{cl}}$"${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$ ) ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle x}$" ${\displaystyle E}$ " ${\displaystyle x}$ " " x${\displaystyle }$" ${\displaystyle S}$ $}$ { $displaystyle \operatorname { cl$} ( S ) = \ {$x$ \ $in$E \ $mid$x \ $leq$\ $bigve$ S \$$}$$。

이 매트로이드의 평면은 격자의 요소와 일대일로 대응하며, 격자 $요소 y$에 대응하는$$ 평면은 세트이다$.$

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle xe}$ E${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle y}$ { $displaystyle$ \ { $x$ \ $in$E \ $mid$x \ $leq$ y \$$}$$。

따라서 이 매트로이드의 평면 격자는 L$(\displaystyle$ L$)$과 자연 동형이다.

하이퍼플레인

$r$의 매트로이드에서는 $랭크$$r$- 1의 플랫을 하이퍼플레인이라고 부릅니다.(하이퍼플레인(Hyperplane)은 코톰(coatom) 또는 코포인트로도 불린다.)이들은 최대 고유 평면입니다. 즉, 평면인 하이퍼플레인의 유일한 슈퍼셋은 매트로이드의 모든 요소 중 세트 $(\displaystyle$ E$)$입니다.동등한 정의는 코아톰은 E의 서브셋으로 M에 걸쳐 있지 않지만 다른 요소를 추가하면 ^[6]스패닝세트가 됩니다

매트로이드 하이퍼플레인의 H$(\$ $패밀리$에는 다음과 같은 특성이 있으며, 이는 매트로이드의 ^[6]또 다른 공리화로 간주될 수 있다.

• $($H1) X가${\displaystyle Y}$인$$H(\$displaystyle$ {H})에는 X$(\$displaystyle X$\$subseteq $Y$와$함께{\displaystyle }$$$X(\$displaystyle$ X$$)와 Y$(\displaystyle$ Y$)$가 구별되는 $집합$이 없습니다. 즉, 하이퍼플레인이 Sper 패밀리를 형성합니다.
• (H2) 각 $($$표시 스타일$ x$\$$in$ E$)$ 및$$ $고유{\displaystyle }$ Y$($$)$에${\displaystyle }$대해 XH($표시 스타일$ x$\$$notin$ Y$\$$cup$ Z$)$가 $존재합니다.$

그래포이드

Minty(1966)는 그래포이드를 트리플$L, C, D$$)$로 정의했습니다.$여기$서 C$(\displaystyle$ C$$$)$와 D(\$displaystyle$ D$)$는 L$(\displaystyle$ L$)$의 빈 서브셋이 아닌 클래스입니다.

• (G1) C$('$$회로$'라고 함)의 어떤 요소도 다른 요소를 포함하지 않는다.
• (G2) D$('$$코시크릿$'이라고 함)의 어떤 요소도 다른 요소를 포함하지 않는다.
• (G3) C$\displaystyle$ C$\$displaystyle$$ D$\displaystyle$ D\displaystyle은 정확히$$ 하나의 $요소$로 교차하지 않습니다.
• (G4)$$L {$displaystyle$ L$}$이(가) G $=$ {$g$ {$displaystyle$ G$=\{g$\}($$싱글톤 집합)과 $하위{\displaystyle }$집합 ${\displaystyle R,}$ $,$ B(\$displaystyle$ R$, G$, $B)$의 분리 결합으로 표현될 $때$마다 X${\displaystyle }$that$$ {$displaystyle$X\$in$ C$}$가 $존재$한다${\displaystyle .}$$laystyle$ Y$\in$ D$}$는 g${\displaystyle }$} ${\displaystyle Y、}$ B$$ G . { $displaystyle$ g$\in$ Y$\subseteq$ B$\cup$ G }로 $존재$합니다$.$

그는 C$(\displaystyle$ C$)$가 회로 $등급$이고 D$(\displaystyle$ D$)$가 코키 회로 $등급$인 매트로이드가 있음을 증명했습니다.반대로 C$(\displaystyle$ C$)$ 및$$ $(\displaystyle$ D$)$가 접지 $세트{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$를 가진 $매트로이드{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$의 회로 및 코커킷 클래스인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle }$($, C, D)$는 그래프 모양입니다.따라서 그래포이드는 매트로이드의 자기 이중 암호형 공리화를 제공한다.

예

프리매트로이드

E$(\displaystyle$ E$)$를 유한 집합으로 $합니다{\displaystyle }$.$E(\displaystyle$ E$)$의 모든 서브셋 세트는 매트로이드의 정의를 충족합니다.이것은 프리 매트로이드 $오버 E$라고 불립니다$.$

균일한 매트로이드

E$(\displaystyle$ E$)$를 유한 집합으로 $하고{\displaystyle }$ k$(\displaystyle$ k$)$를 자연수로 $합니다{\displaystyle }$.$E\displaystyle$E의$$ $모든{\displaystyle }$$k{\displaystyle }$\$displaystyle$ k$\element$ 서브셋을 기준으로 하여 E$\displaystyle$에 매트로이드를 정의할 수 있다.이것은 $k$의$$균일한 매트로이드라고 불립니다.$랭크$$$k의 균일한 매트로이드와 n개의 $요소(\displaystyle$$$n$)$의 $균일$한 ${\displaystyle {매트로이드}_{}}$는${\displaystyle {}_{}}$U k$,$ n(\$displaystyle U_{k,$n$\})$로 표시됩니다.랭크 2 이상의 균일한 매트로이드는 모두 단순합니다(추가 용어 참조).n${displaystyle n}$개$$ $포인트$에서 2등급의 균일한 매트로이드는$n{\displaystyle }${$displaystyle$ n$}$개 포인트라인이라고 불립니다.매트로이드는 크기가 1에 매트로이드의 순위를 더한 회로가 없는 경우에만 균일합니다.균일한 매트로이드의 직접 합계를 파티션 매트로이드라고 합니다.

균일한 $매트로이드{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {U0\mathrm{},}_{}}$ $(\$에서는 모든 요소가 루프(독립된 세트에 속하지 않는 요소)이며 균일한 매트로이드 ${\displaystyle {Un}_{}}$,$(\$ U_${n,n$에서는 모든 요소가 콜루프(모든 베이스에 속하는 요소)입니다.이 두 가지 유형의 매트로이드의 직접 합은 모든 요소가 루프 또는 콜루프인 분할 매트로이드이며, 이를 이산 매트로이드라고 합니다.이산 매트로이드의 동등한 정의는 그라운드 $세트{\displaystyle }$E(\$displaystyle$ E$)$의 모든 적절하고 비어 있지 않은 서브셋이 분리기인 매트로이드이다.

선형대수의 매트로이드

매트로이드 이론은 주로 벡터 공간에서의 독립성과 차원의 특성에 대한 깊은 검토에서 발전했다.이렇게 정의된 매트로이드를 표시하는 방법은 두 가지가 있습니다.

• E$(\displaystyle$ E$)$가 벡터 $공간{\displaystyle }$V(\$displaystyle$ V$)$의 유한 부분 집합인 $경우{\displaystyle }$$,$ M(\$displaystyle$M)의 독립 집합을$$E(\$displaystyle$ E$)$의 선형 독립 부분 집합으로 취함으로써$E$(\$displaystyle$ E$)$에 $매트로이드{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$을 정의할 수 있습니다.이 매트로이드에 대한 독립 집합 공리의 유효성은 스타이니츠 교환 보조법칙에 따라 달라집니다.$M{\displaystyle }$$(\displaystyle$ M$)$이 이렇게 정의할 수 있는 매트로이드인 $경우{\displaystyle }$ 집합 E$(\displaystyle$ E$)$는 M$(\displaystyle$ M$)$을 $나타냅니다$.이러한 종류의 매트로이드는 벡터 매트로이드라고 불립니다.이렇게 정의된 매트로이드의 중요한 예는 파노 매트로이드, 파노 평면에서 파생된 3등급 매트로이드, 7개 점(매트로이드의 7개 요소) 및 7개 선(매트로이드의 적절한 비중요 평면)을 가진 유한 기하학이다.유한장 GF(2) 위의 3차원 벡터 공간에서 요소가 0이 아닌 7개의 점으로 설명될 수 있는 선형 매트로이드입니다.단, GF(2) 대신 실수를 사용하여 Fano 매트로이드에 대해 유사한 표현을 제공할 수 없습니다.
• 필드에 입력된 $매트릭스{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$는 일련의 컬럼에 $매트로이드{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$을 발생시킵니다.평면에서 종속된 열 집합은 벡터로 선형 종속된 열 집합입니다.이 매트로이드는$A$의$$$기둥{\displaystyle }$ 매트로이드라고 $불리며{\displaystyle }$, $A$는$M$의$$$기둥{\displaystyle }$매트로이드라고 불리며, 예를 들어 Fano 매트로이드는 3 × 7 (0,1) 매트릭스로 나타낼 수 있습니다.열 매트로이드는 다른 이름의 벡터 매트로이드에 불과하지만 행렬 표현을 선호하는 이유가 종종 있습니다.(한 가지 기술적인 차이가 있습니다. 즉, 기둥 매트로이드는 동일한 벡터를 가진 다른 요소를 가질 수 있지만 위에서 정의한 벡터 매트로이드는 가질 수 없습니다.보통 이 차이는 미미하며 무시할 수 있지만 E$${\$displaystyle$ E$}$를 벡터의 멀티셋으로 $하면{\displaystyle }$ 두 정의가 완전히 일치합니다.)

벡터 매트로이드에 해당하는 매트로이드는 다르게 표시될 수 있지만 표현 가능 또는 선형이라고 합니다.M${displaystyle$ $}이 필드$ F${$displaystyle F$\}$ 위의 벡터 매트로이드와 동일하다면 M{$displaystyle$ M$}$이 F${displaystyle$ F$\}$ $위$에 표시되며, $특히{\displaystyle }$ M${displaystyle$ M$}$이 실수에 표시된다면 M${$displaystyle M}이 실수에 표시된다.예를 들어 그래픽 매트로이드(아래 참조)는 그래프 측면에서 표시되지만 모든 필드에 걸쳐 벡터로 표시할 수도 있습니다.매트로이드 이론의 기본적인 문제는 주어진 $F에$걸쳐 표현될 수 있는 매트로이드를 특징짓는 것이다; 로타의 추측은 모든 유한 필드에 대해 가능한 특성을 설명한다$.$지금까지의 주요 결과는 투테(1950년대)로 인한 이진 매트로이드(GF(2)로 대표되는 것), 레이드와 빅스비로 인한 삼원 매트로이드(3원소 필드)로 대표되는 것, 그리고 세이모어(1970년대)로 분리된 4원소 매트로이드(4원소 필드)로 대표되는 것들이다.여기는 매우 개방적인 ^{[needs update?]}장소입니다.

일반 매트로이드는 가능한 모든 필드에 걸쳐 표시할 수 있는 매트로이드입니다.Vavmos 매트로이드는 어떤 필드에서도 나타낼 수 없는 매트로이드의 가장 단순한 예입니다.

그래프 이론의 매트로이드

매트로이드 이론의 두 번째 원천은 그래프 이론이다.

모든 유한 그래프(또는 멀티그래프) $(\displaystyle$ G$)$는 다음과 같이 $매트로이드{\displaystyle }$ M$displaystyle$ M$(G))$을 발생시킵니다. G(\$displaystyle$ G$$$)$의 모든 가장자리 집합을 E$(\$$displaystyle$ E$)$로 간주하고 단순하지 않은 경우에만 가장자리 집합을 독립적이라고 간주합니다.$그러면{\displaystyle M(}$G$)$ {$display style M($G)}을$$(를) 사이클 매트로이드라고 합니다.이 방법으로 도출된 매트로이드는 그래픽 매트로이드입니다.모든 매트로이드가 그래픽은 아니지만 세 가지 요소의 모든 매트로이드는 ^[7]그래픽입니다.모든 그래픽 매트로이드는 일반적입니다.

그래프상의 다른 매트로이드는 그 후에 검출되었습니다.

• 그래프의 쌍원형 매트로이드는 연결된 모든 서브셋이 최대 한 사이클을 포함하는 경우 에지 세트를 독립적으로 호출하여 정의합니다.
• 방향 또는 무방향 $그래프{\displaystyle }$ G$(\displaystyle$ G$)$에서$$E(\$displaystyle$ E$)$와 F$(\displaystyle$ F$)$를 두 개의 정점 $집합$으로 합니다.만약 F에서 U{U\displaystyle}vertex-disjoint 길{F\displaystyle}U{U\displaystyle}으로 집합을 E{E\displaystyle}에서. 이 E{E\displaystyle}에 matroid gammoid라고 불리는을 정의합니다.[8]엄격한 gammoid은 어느 정도는 땅이 하위 집합 U{U\displaystyle}독립적인 것으로 정의합니다.t${\displaystyle E}${\$displaystyle$ E$}$는$$G {\$displaystyle$ G$\}$^[9]의 전체 정점 집합입니다.
• 초당 $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle V}$ ,${\displaystyle E}$) { $displaystyle$ G = ($U$ ,$V$ , $E$) }$$에서는 요소가 초당 한 $변{\displaystyle }$U { \ $displaystyle$ U$$}의$$ 정점이고 독립 서브셋이 그래프의 일치점 세트인 매트로이드를 형성할 수 있다.이것은 횡방향 ^[10][11]매트로이드라고 불리며,^[8] 이것은 암모이드의 특별한 경우이다.횡단 매트로이드는 엄밀한 개머노이드에 ^[9]대한 이중 매트로이드입니다.
• 그래픽 매트로이드는 부호 있는 그래프, 게인 그래프 및 편향된 그래프에서 매트로이드로 일반화되었습니다.사이클의 구분 선형 $클래스{\displaystyle }$ B$(\displaystyle$ B$)$를 가진 $그래프{\displaystyle }$G(\$displaystyle$ G$)$는 "바이어스 그래프$G, B$라고 하며, 프레임 매트로이드와 바이어스 그래프의 리프트 매트로 알려진 2개의 매트로이드를 가지고 있습니다.모든 사이클이 고유 클래스에 속하는 경우 이러한 매트로이드는$G의 사이클$매트로이드와 일치합니다$.$주기가 구분되지 않는 경우 프레임 매트로이드는$G의$쌍원 매트로이드입니다$.$가장자리에 부호가 붙어 있거나 가장자리에 라벨이 붙어 있는 그래프인 게인 $그래프$입니다.그룹으로부터 영구히, 각각은 편향된 그래프를 발생시키고, 따라서 프레임과 리프트 매트로이드를 가진다.
• 라만 그래프는 구조 강성 이론에서 정의된 매트로이드인 2차원 강성 매트로이드의 기초를 형성한다.
• G$(\displaystyle$ G$)$를 연결된 그래프,$E{\displaystyle }$(\$displaystyle$ E$)$를 가장자리 집합으로 $합니다{\displaystyle }$.$G$${\displaystyle }$-$$ ($디스플레이{\displaystyle }$ $스타일 G-F)$가 계속 연결되도록 $E{\displaystyle }$$$($디스플레이 스타일$ E$)$의 서브셋$$F ($디스플레이 스타일$ F$)$의 컬렉션을$$I (디스플레이 스타일$$I (Display style I )$다음$으로 M ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle G}$ )$$\ $displaystyle$ M$^{*}$ ($G$ 요소 세트가$E{\displaystyle }$ \ $displaystyle$E이고$$I \ $display$ I$$\ $style$ 을 $독립{\displaystyle }$ 집합 클래스로 하는 매트로이드는 G$$\ $displaystyle$G$$의 본드 매트로이드입니다.랭크 $함수{\displaystyle }$r ($)\$ $displaystyle$ R$($F$)$는 사이클 수입니다.엣지 $서브셋{\displaystyle }$F(\$displaystyle$ F$)$ - 해당 서브그래프의 최대 포레스트 외부 에지 수 및 해당 서브그래프 내의 독립 사이클 수와 동일합니다.

필드 확장자의 매트로이드

매트로이드 이론의 세 번째 원천은 필드 이론이다.

필드를 확장하면 매트로이드가 생성됩니다.F$(\displaystyle$ F$)$와 K$(\displaystyle$ K$)$가 F$(\displaystyle$ F$)$를 $포함$하는$$K$(\$$displaystyle$$$K$)$를 가진 $필드$라고 $가정합니다.\displaystyle$ E$$(\$displaystyle$ K)의 유한 서브셋이라고 $가정$합니다.이 경우 E$(\displaystyle$ E$)$의 $서브셋{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$는 대수적으로 독립적입니다.확장 $필드{\displaystyle }$ F${\displaystyle (}$ $)(\style F(S$))는$$ S$style$ S$)$^[12]와 동일한 초월도를 가집니다.

이러한 종류의 매트로이드와 동등한 매트로이드를 대수 ^[13]매트로이드라고 합니다.대수적 매트로이드를 특징짓는 문제는 매우 어렵다; 그것에 대해 알려진 것은 거의 없다.Vavmos 매트로이드는 대수적이지 않은 매트로이드의 예를 제공합니다.

기본 구조

오래된 것으로 새로운 매트로이드를 만드는 몇 가지 표준적인 방법이 있다.

이중성

M이 유한 매트로이드인 경우, 동일한 기본 집합을 취하여 보수가 M의 기저인 경우에만 집합을 M*의 기저로 호출함으로써 직교 매트로이드 또는 이중 매트로이드 M*을 정의할 수 있습니다.M*이 매트로이드이고 M*의 쌍수가 ^[14]M임을 확인하는 것은 어렵지 않습니다.

이중은 매트로이드를 정의하는 다른 방법으로도 동일하게 잘 설명할 수 있습니다.예:

• 보완이 M에 걸쳐 있는 경우에만 집합은 M*에서 독립적입니다.
• 집합은 그 보완이 M의 코톰인 경우에만 M*의 회로이다.
• 듀얼의 ${\displaystyle 랭크}$ 함수는 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle }$S ) ${\displaystyle =}$S${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$+ r ( ${\displaystyle Es}$S$$) \ $display$ r^ { * （ S ） =$$S -$r$ ( $M$) +$r$ \ left ($E$ \ $setminus S$ \$right$ )$$} 입니다.

쿠라토프스키 정리의 매트로이드 버전에 따르면, M이 평면 그래프의 매트로이드인 경우에만 도형 매트로이드 M의 쌍대는 도형 매트로이드이다.이 경우 M의 쌍대는 ^[15]G의 쌍대 그래프의 매트로이드이다.특정 필드 F에 걸쳐 표현 가능한 벡터 매트로이드의 쌍대 또한 F에 대해 표현 가능하다.횡단 매트로이드의 이중성은 엄격한 감마이드이며 그 반대도 마찬가지입니다.

예

그래프의 주기 매트로이드는 결합 매트로이드의 이중 매트로이드입니다.

미성년자

M이 요소 집합 E를 가진 매트로이드이고 S가 E의 부분 집합인 경우, M to S(M-S)의 제한은 S에 포함된 M의 독립 집합인 집합 S의 매트로이드이다.그 회로는 S에 포함되는 M의 회로이며, 순위 기능은 S의 서브셋으로 제한된 M의 회로이다.선형대수에서, 이것은 S의 벡터에 의해 생성된 부분공간에 대한 제한에 해당한다. 동등하게 T = M-S일 경우, 이것은 T, 쓰여진 M\T 또는 M-T의 삭제라고 할 수 있다.M의 서브매트로이드는 일련의 결실의 결과입니다.순서는 무관합니다.^[16][17]

제한의 이중 작용은 ^[18]수축이다.T가 E의 부분집합인 경우, M/T에 의한 M의 수축은 순위함수가 $r{\displaystyle {}^{}a}$( A ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$ ( A${\displaystyle t}$T${\displaystyle }$) -${\displaystyle r}$ (${\displaystyle T}$) .$$\ $display style$ r ' ( A ) $= r$ ( A \ $cup$ T - R ( T ) $（$ T ;\ display style r ' ($A$ \ cup T ) ） 。} 선형대수에서는^[19] E - T의 벡터와 함께 T의 벡터가 생성한 선형공간으로 몫공간을 보는 것에 해당한다$.$

일련의 제한 및 수축 연산에 의해 M에서 얻은 매트로이드 N을 ^[17][20]M의 마이너라고 한다.우리는 M이 N을 마이너로 포함한다고 말한다.많은 중요한 매트로이드 과는 그 과에 속하지 않는 작은 매트로이드로 특징지어질 수 있다; 이것들은 금지되거나 제외된 ^[21]매트로이드라고 불린다.

합계와 합산

M을 기본 요소 집합 E의 매트로이드로 하고 N을 기본 집합 F의 다른 매트로이드로 한다.매트로이드 M과 N의 직접 합은 기본 집합이 E와 F의 분리 결합이고 독립 집합이 N의 독립 집합과 M의 독립 집합의 분리 결합인 매트로이드이다.

M과 N의 결합은 기본 집합이 E와 F의 결합(분리 결합이 아님)인 매트로이드이고, 독립 집합이 M과 N의 독립 집합의 결합인 서브셋이다. 일반적으로 "결합"이라는 용어는 E = F일 때 적용되지만, 가정은 필수적이지 않다.E와 F가 분리된 경우, 결합은 직접합이다.

추가 용어

M을 기본 요소 집합 E가 있는 매트로이드로 합니다.

• E는 M의 접지 집합이라고 할 수 있다.그 원소는 M의 점이라고 불릴 수 있다.
• 닫힘이 E인 경우 E의 서브셋은 M에 걸쳐 있습니다.닫힌 집합이 K이면 닫힌 집합 K에 걸친다고 한다.
• 매트로이드의 둘레는 가장 작은 회로 또는 종속 집합의 크기입니다.
• M의 단일 소자 회로를 형성하는 소자는 루프라고 불립니다.마찬가지로 요소가 아무런 ^[7][22]기반에도 속하지 않는 경우 요소는 루프입니다.
• 회로에 속하지 않는 소자를 콜루프 또는 지협이라고 합니다.마찬가지로 요소는 모든 기초에 속하는 경우 coloop입니다.루프와 coloops는 서로 ^[22]이중입니다.
• 2소자 집합 {f, g}이 M의 회로일 경우 f와 g는 ^[7]M에서 평행하다.
• 매트로이드는 1개 또는 2개의 요소로 구성된 회로가 없는 경우 단순하다고 불립니다.즉, 루프도 병렬 요소도 없습니다.조합 기하학이라는 용어도 사용됩니다.^[7]2소자 회로가 없어질 때까지 모든 루프를 삭제하고 각 2소자 회로에서 1개의 소자를 삭제하여 다른 매트로이드 M에서 얻은 단순 매트로이드를 ^[23]M의 단순화라고 한다.듀얼 매트로이드가 ^[24]단순할 경우 매트로이드는 동일 매트로이드가 된다.
• 회로의 결합을 M의 사이클이라고 부르기도 합니다.따라서 주기는 이중 매트로이드의 평면을 보완하는 것입니다.(이 사용법은 그래프 이론에서 "주기"의 일반적인 의미와 충돌합니다.)
• M의 세퍼레이터는 E의 서브셋 S로${\displaystyle }r{\displaystyle }$ (${\displaystyle S}$) +${\displaystyle r}$ (${\displaystyle E}$ -${\displaystyle S}$ ) ${\displaystyle =r}$ (${\displaystyle M}$) { $displaystyle$r ( $S$) +$r$ ( E - S ) $= r$ ( $M$)$$。적절하거나 비적절하지 않은 세퍼레이터는 E가 아닌 ^[25]세퍼레이터이다.축소할 수 없는 구분자는 비어 있지 않은 다른 구분자를 포함하지 않는 구분자입니다.축소할 수 없는 분리기는 접지 세트E를 분할합니다.
• 비어 있지 않은 두 매트로이드의 직합으로 쓸 수 없거나 적절한 구분자가 없는 매트로이드를 연결 또는 축소할 수 없는 매트로이드라고 합니다.매트로이드는 듀얼이 ^[26]연결된 경우에만 연결됩니다.
• M의 최대 불가축 서브매트로이드는 M의 성분이라고 불린다.성분은 M을 환원 불가능한 분리기로 제한하고 반대로 M을 환원 불가능한 분리기로 제한한다.구분 기호는 ^[25]구성 요소의 결합입니다.
• 매트로이드 M 또는 이를 포함하는 매트로이드 M이 기준 요소의 ^[27]쌍을 연결하는 선에 M의 모든 점이 포함되도록 기반을 갖는 경우 매트로이드 M을 프레임 매트로이드라고 합니다.
• 매트로이드는 모든 회로의 크기가 ^[28]등급과 같으면 포장 매트로이드라고 합니다.
• 매트로이드 $폴리토프{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$M({$displaystyle P_{M})$은 M({$displaystyle$M$\})$ 베이스의 $인디케이터{\displaystyle }$ 벡터의 볼록한 선체이다.

알고리즘

탐욕 알고리즘

가중 매트로이드는 요소에서 음이 아닌 실수에 이르는 함수와 함께 매트로이드입니다.요소의 부분 집합의 가중치는 부분 집합의 요소 가중치의 합계가 되도록 정의됩니다.그리디 알고리즘은 빈 ^[29]집합에서 시작하여 한 번에 하나의 요소를 반복하여 추가함으로써 증강 집합의 독립성을 유지하는 요소 중 최대 가중치 요소를 선택함으로써 매트로이드의 최대 가중치 기준을 찾는 데 사용할 수 있습니다.이 알고리즘은 독립성 오라클을 통해 매트로이드에 액세스할 수 있는 한 매트로이드의 정의에 대한 자세한 내용을 알 필요가 없습니다.

이 최적화 알고리즘은 매트로이드를 특성화하기 위해 사용할 수 있습니다.집합 F 패밀리가 서브셋을 취하면서 닫힌 경우 집합의 가중치에 관계없이 탐욕 알고리즘이 패밀리에서 최대 가중치 세트를 찾는 속성을 가지면 F는 매트로이드의 ^[30]독립 집합 패밀리가 되어야 합니다.

매트로이드 개념은 탐욕 알고리즘이 최적의 솔루션을 제공하는 다른 유형의 집합을 허용하도록 일반화되었습니다. 자세한 내용은 탐욕 및 매트로이드 임베딩을 참조하십시오.

매트로이드 파티션

매트로이드 분할 문제는 매트로이드 요소를 가능한 한 소수의 독립된 세트로 분할하는 것입니다.매트로이드 패킹 문제는 가능한 한 많은 분리된 스패닝 세트를 찾는 것입니다.둘 다 다항식 시간에 풀 수 있고, 순위를 계산하거나 매트로이드 합계에서 독립 집합을 찾는 문제로 일반화될 수 있다.

매트로이드 교차로

두 개 이상의 매트로이드의 교차는 각 매트로이드에서 동시에 독립적인 집합의 집합 집합 집합입니다.두 매트로이드의 교차점에서 가장 큰 집합 또는 최대 가중 집합을 찾는 문제는 다항식 시간으로 찾을 수 있으며, 다른 많은 중요한 조합 최적화 문제에 대한 해결책을 제공한다.예를 들어, 초당 그래프의 최대 매칭은 두 개의 분할 매트로이드를 교차시키는 문제로 표현될 수 있습니다.그러나 세 개 이상의 매트로이드가 있는 교차점에서 가장 큰 집합을 찾는 것은 NP-완전입니다.

매트로이드 소프트웨어

매트로이드를 사용한 계산을 위한 두 개의 독립형 시스템은 Kingan의 Oid와 Hlineny의 Macek입니다.둘 다 오픈 소스 패키지입니다."Oid"는 매트로이드를 실험하기 위한 인터랙티브하고 확장 가능한 소프트웨어 시스템입니다."Macek"는 대표적인 매트로이드와 함께 합리적으로 효율적인 조합 계산을 위한 도구와 루틴을 갖춘 특수 소프트웨어 시스템입니다.

오픈 소스 수학 소프트웨어 시스템 SAGE와 Macaulay2에는 모두 매트로이드 패키지가 포함되어 있습니다.

다항식 불변량

접지 집합 E의 유한 매트로이드 M과 관련된 두 개의 특히 유의한 다항식이 있다.각각은 매트로이드 불변량이며, 이는 동형 매트로이드가 동일한 다항식을 갖는다는 것을 의미합니다.

특성 다항식

M의 특성 다항식(때로는 색다항식이라고 ^[31]불리기도 하지만 색을 세지 않음)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p_{M}(\lambda):=\sum _{S\subseteq E}(-1)^{S}\subseteq ^{r(M)-r(S)},$

또는 동등하게(M에서 빈 집합이 닫혀 있는 한) 다음과 같이 처리한다.

${\displaystyle p_{M}(\lambda):=\sum _{A}\mu(\emptyset,A)\lambda^{r(M)-r(A)}\,}$

여기서 μ는 매트로이드의 기하학적 격자의 뫼비우스 함수를 나타내며, 합계는 매트로이드의 ^[32]모든 평면 A에 대해 구한다.

M이 그래프 G의 주기 매트로이드 M(G)일 때 특성 다항식은 색다항식의 약간의 변환이며, 여기서_G c는^c_M(G) G의 연결된 성분의 수이다.

M이 그래프 G의 결합 매트로이드 M*(G)일 때 특성 다항식은 G의 흐름 다항식과 같다.

M이 R(또는ⁿ F가 임의의 필드인 경우)에서ⁿ 선형 초평면 배열 A의 매트로이드 M(A)일 때 배열의 특성 다항식은 p(θ) = δp^n−r(M)_M(θ)로_A 주어진다.

베타 불변량

Crapo(1967)에 의해 도입된 매트로이드의 베타 불변성은 도함수에^[33] 대한 평가로서 특성 다항식 p의 관점에서 표현될 수 있다.

$\displaystyle \display(M)=display1)^{r(M)-1}p_{M}'(1)\}$

또는 직접로서^[34]

$\displaystyle \r(M)=param1)^{r(M)}\sum_{X\subseteq E}(-1)^{X}r(X)\ .}$

베타 불변량은 음수가 아니며, M이 연결 해제되거나 비어 있거나 루프가 있는 경우에만 0입니다.그렇지 않으면 M의 평탄한 격자에만 의존하며, M에 루프와 콜룹이 없다면 β(M) = β(M^∗)^[34]이다.

휘트니 숫자

첫 번째 종류의 M의 휘트니 숫자는 특성 다항식에서의$(\displaystyle\lambda)$의 거듭제곱 계수이다.구체적으로는 i번째 Whitney ${\displaystyle {번호}_{}}$ w${\displaystyle {}_{}i}$( M$$){ $displaystyle$w_{$i} (M$)}는 r${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {M)}^{}}$ - ${\displaystyle i^{}}$ \$displaystyle \lambda$^ {$r(M)-i}$의 계수이며, 뫼비우스 함수 값의 합계입니다.

${\displaystyle w_{i}(M)=\sum \{\mu(\emptyset,A):r(A)=i\}$

적절한 등급의 평수를 합한 것입니다.$이들{\displaystyle \mathrm{}}$ 번호는 (M)> ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle （}$ M${\displaystyle }$）$$} 0 ${\displaystyle \}}$ i$（$${\displaystyle M}$$）$ . \ $displaystyle$ 0 \ $leq$i \ $leq$r ( M )${\displaystyle }$} $。$

두 번째 종류의 M의 휘트니 번호는 각 등급의 아파트 번호입니다.${\displaystyle {즉}_{}}$, W i$)$ {$displaystyle W_{i}(M)}$는 랭크 i 플랫의 수입니다.

두 종류의 휘트니 숫자는 모두 제1종과 제2종의 스털링 숫자를 일반화하는데, 이는 완전한 그래프의 사이클 매트로이드와 칸막이 격자에 해당하는 휘트니 숫자이다.이들은 지안 카를로 로타가 매트로이드 이론의 창시자인 하슬러 휘트니의 이름을 따왔다.유한 순위 부분 순서 집합의 경우 이름이 유사한 숫자로 확장되었습니다.

투테 다항식

매트로이드의 Tute 다항식 T_M(x,y)는 특성 다항식을 두 변수로 일반화합니다.이것은 그것에 더 많은 조합적 해석을 주고 또한 그것에 이중성 속성을 준다.

${\displaystyle T_{M^{*}}}(x,y)=T_{M}(y,x,}$

이는 M의 속성과 M의 속성 사이의 많은 이중성을 의미한다. 투테 다항식의 정의 중 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle T_{M}(x,y)=\sum _{S\subseteq E}(x-1)^{r(M)-r(S)}(y-1)^{S -r(S)}}$

이것은 코랭크-늘성 또는 순위 생성 ^[35]다항식의 평가로서 투테 다항식을 표현한다.

${\displaystyle R_{M}(u,v)=\sum _{S\subseteq E}u^{r(M)-r(S)}v^{ S -r(S)}}$

이 정의에서 특성 다항식이 T의 평가_M, 특히 단순한 요인까지임을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle p_{M}(\lambda)=param1)^{r(M)}T_{M}(1-\lambda,0).}$

또 다른 정의는 T(1,1)가 ^[36]베이스의 수라는 사실을 반영하여 내부 및 외부 활동과 베이스의 합계에 관한 것이다.이것은 더 적은 수의 하위 집합을 합산하지만 더 복잡한 용어를 가지고 있는 투테의 원래 정의였다.

삭제 및 ^[37]축소에 의한 재귀에 관한 추가 정의가 있습니다.삭제-축소 ID는

${\displaystyle F}$$$( M ) = F ( M -${\displaystyle e}$) +${\displaystyle F}$(${\displaystyle M}$/${\displaystyle e}$) {$displaystyle$F ( M )$= F$ ( M - e ) = $F$( $M - e$ ) } (e { displaystyle e$$}가$$$$ 루프도 아니고 coloop도 아닌 $경우{\displaystyle }$)

이 재귀와 곱셈 조건을 만족시키는 매트로이드의 불변량(즉, 동형 매트로이드에 동일한 값을 취하는 함수)

${\displaystyle F(M\oplus M')=F(M)F(M')}$

투테-그로텐디크 ^[35]불변량이라고 합니다.Tutte 다항식은 가장 일반적인 불변량이다. 즉, Tutte 다항식은 Tutte-Grotendieck 불변량이고 모든 불변량은 Tutte ^[31]다항식의 평가이다.

그래프의 Tutte 다항식_G T는 주기 매트로이드의 Tutte 다항식_M(G) T입니다.

무한 매트로이드

무한 매트로이드의 이론은 유한 매트로이드의 이론보다 훨씬 더 복잡하고 그 자체의 주제를 형성한다.오랫동안, 어려움들 중 하나는 많은 합리적이고 유용한 정의들이 있었고, 그 중 어느 것도 유한 매트로이드 이론의 모든 중요한 측면을 포착하는 것으로 보이지 않았다.예를 들어, 무한 매트로이드라는 하나의 개념으로 염기, 회로, 이중성을 함께 갖는 것은 어려워 보였다.

무한 매트로이드의 가장 간단한 정의는 유한한 순위를 요구하는 것이다. 즉, E의 순위는 유한하다.이 이론은 유한 등급의 무한 매트로이드의 쌍대에는 유한 등급이 없기 때문에 이중성이 상실된다는 점을 제외하면 유한 매트로이드의 이론과 유사하다.유한 순위 매트로이드는 유한 차원 벡터 공간 및 유한 초월도의 필드 확장의 서브셋을 포함한다.

다음으로 가장 간단한 무한 일반화는 피니터리 매트로이드이다.매트로이드는 다음과 같은 성질을 가지고 있다면 완전하다.

$\displaystyle x\in \operatorname {cl}(Y)\왼쪽 화살표(Y'\subseteq Y)Y'{\text{는 유한하고 }}x\in \operatorname {cl}(Y')입니다.$

마찬가지로 모든 종속 집합에는 유한 종속 집합이 포함됩니다.예를 들어, 무한 차원 벡터 공간의 임의 부분 집합의 선형 의존성(그러나 힐베르트 및 바나흐 공간처럼 무한 의존성이 아님)과 무한 초월도의 필드 확장의 임의 부분 집합의 대수적 의존성이 있다.다시 말씀드리지만, 피니타이드 매트로이드의 클래스는 자기 이중화되지 않습니다. 왜냐하면 피니타이드 매트로이드의 이중화는 피니타이드 매트로이드가 아니기 때문입니다.유한 무한 매트로이드는 대수학과 강한 연관성을 가진 수리 논리의 한 분야인 모델 이론에서 연구된다.

1960년대 후반에 매트로이드 이론가들은 유한 매트로이드의 다른 측면을 공유하고 그들의 이중성을 일반화하는 보다 일반적인 개념을 요구했다.무한 모트로이드의 많은 개념이 이 도전에 대응하여 정의되었지만, 문제는 여전히 해결되지 않았다.검사에서 검토한 접근법 중 하나죠힉스는 B-매트로이드로 알려지게 되었고 1960년대와 1970년대에 힉스, 옥슬리 그리고 다른 사람들에 의해 연구되었다.Bruhn, Diestel, and Kriesell et al.(2013)의 최근 결과에 따르면, 다음과 같은 문제가 해결되었습니다.같은 생각을 독립적으로 도착해서, 그들은 독립, 염기, 회로, 폐쇄성과 계급의axiom—in 조건의 5등가 시스템을 제공했다.B-matroids의 이중성은 무한한 그래프에서 관찰할 수 있dualities generalizes.

다음과 같이 독립은 공리: 있다.

1. 그 빈 세트에 독립적이다.
2. 독립 집합의 모든 부분 집합이 독립적이다.
3. 매년nonmaximal(세트 포함에)독립적인 세트 ∖ 나는}{)}{\displaystyle I\cup){x\}∪에 독립적인 그런{\displaystyle x\in J\setminus 1세}고 최대 독립 첫발들 내딧었 J, x∈ 제이는.
4. 베이스 공간의 모든 서브셋 X에 대해 X의 모든 독립 서브셋 I는 X의 최대 독립 서브셋으로 확장될 수 있다.

이러한 공리를 통해 모든 매트로이드는 이중으로 구성됩니다.

역사

매트로이드 이론은 하슬러 휘트니에 의해 소개되었다.오랜 세월 잊혀진 나카사와 다케오 씨에 의해서도 독자적으로 발견되었다(니시무라 & 쿠로다 2009).

휘트니는 그의 중요한 논문에서 독립을 위한 두 가지 공리를 제공하고, 이러한 공리를 고수하는 모든 구조를 "매트로이드"라고 정의했다. (아마도 그것은 암시되었지만, 그는 적어도 하나의 부분 집합이 독립적이기를 요구하는 공리를 포함하지 않았다.)그의 주요 관찰은 이러한 공리가 그래프와 행렬 모두에 공통적인 "독립성"의 추상화를 제공한다는 것이었다.이것 때문에, 매트로이드 이론에서 사용되는 많은 용어들은 선형 대수학이나 그래프 이론에서의 유사한 개념에 대한 용어들과 유사하다.

휘트니가 처음으로 매트로이드에 대해 쓴 직후에, 손더스 맥 레인에 의해 매트로이드와 사영 기하학의 관계에 대한 중요한 기사가 쓰여졌다.1년 후, B. L. van der Waerden(1937)은 현대 대수학에 대한 그의 고전 교과서에서 대수학과 선형 의존성 사이의 유사점을 언급했다.

1940년대에 리차드 라도는 횡단적인 이론을 지향하며 "독립 시스템"이라는 이름으로 더 많은 이론을 개발했고, 이 주제에 대한 그의 이름은 여전히 가끔 사용됩니다.

1950년대에 W. T. 투트는 수년간 그가 유지했던 위치인 매트로이드 이론의 선두 주자가 되었다.그의 공헌은 배제된 소수자에 의한 이진법, 정규법, 그래픽 매트로이드의 특성화, 규칙적 매트로이드 표현성 정리, 사슬 군과 그 매트로이드의 이론, 그리고 그가 그의 결과의 많은 부분을 증명하기 위해 사용한 도구들, "경로 정리"와 "투테 호모토피 정리"를 포함하여 풍부했다.h는 너무 복잡해서 후대의 이론가들은 그것들을 증거에 사용할 필요성을 없애기 위해 많은 노력을 했다. (좋은 예는 투테의 일반적인 매트로이드 특징에 대한 짧은 증거이다.)

헨리 크레이포(1969년)와 토마스 브라이로프스키(1972년)는 투테 다항식(크래포에 의해 명명됨)으로 알려진 그래픽 다항식인 투테의 "디크로메이트"로 일반화했다.최근 (특히 2000년대에) 그들의 연구는 투테 다항식의 그래프만큼 많지는 않지만 많은 논문들이 뒤따르고 있다.

1976년 도미닉 웰시는 매트로이드 이론에 대한 최초의 포괄적인 책을 출판했다.

폴 시모어의 정규 매트로이드에 대한 분해 정리(1980년)는 1970년대 후반과 1980년대에 가장 중요하고 영향력 있는 작업이었다.Kahn & Kung(1982)의 또 다른 근본적인 공헌은 투영 기하학과 다우링 기하학이 매트로이드 이론에서 왜 그렇게 중요한 역할을 하는지 보여주었다.

이 무렵에는 다른 많은 중요한 기여자들이 있었지만, 아마도 1990년대의 가장 큰 단일 기여인 이성(Little 1995)을 통해 대표될 수 있는 투트의 삼원적 모트로이드(ternary matroid)에 대한 Geoff Whittle의 확장을 언급하는 것을 빠뜨려서는 안 된다.현재(2000년경부터) Jim Geelen, Gerards, Whittle 등의 Matroid Minor Project는 유한한 분야에서 대표되는 Matroid를 위해 복제하려고 시도하고 있으며, Robertson의 성공은 다음과 같습니다.시모어 그래프 마이너 프로젝트(Robertson- 참조)시모어 정리)는 매트로이드의 구조 이론에 상당한 발전을 가져왔다.다른 많은 사람들 또한 (21세기 전반과 20세기에) 번성하고 있는 매트로이드 이론의 그 부분에 기여했다.

연구자

매트로이드의 연구를 개척한 수학자들은 타케오 ^[38]나카사와, 손더스 맥 레인, 리처드 라도, W. T. 투테, B. L. 반 데어 웨든, 하슬러 휘트니를 포함한다.다른 주요 기여자에는 Jack Edmonds, Jim Geelen, Eugene Lawler, Laszlo Lovasz, Gian-Carlo Rota, P.D. 등이 있습니다. 시모어, 도미닉 웰시

「 」를 참조해 주세요.

• 항균제
• 콕서터 매트로이드
• 배향 매트로이드
• 프리 지오메트리(모델 이론)
• 폴리매트로이드
• 탐욕자

메모들

레퍼런스

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외부 링크

• "Matroid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
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• James Oxley : 매트로이드가 뭐죠? (PDF)
• Neil White : Matroid 어플리케이션