실험수학

실험수학은 수학적 사물을 조사하고 성질과 패턴을 식별하기 위해 연산을 사용하는 수학 접근법이다.^[1] 그것은 "실험적(갈릴레이, 베이컨, 아리스토텔레스 또는 칸트적 의미 중 하나)의 활용을 통한 수학적 공동체 내의 통찰의 체계화와 전달에 궁극적으로 그 자체를 염려하는 수학의 저 분야"로 정의되었다. 이 추적에서 얻은 자료"^[2]

Paul Halmos에 의해 표현된 것처럼: "수학은 연역적인 과학이 아니다. 그것은 진부한 말이다. 정리를 증명하려고 할 때 가설만 나열하지 않고 추론을 시작한다. 당신이 하는 일은 시행착오, 실험, 추측일 뿐이다. 사실이 무엇인지, 그리고 당신이 하는 일은 그 점에서 실험실 기술자가 하는 것과 비슷하다는 것을 알아내려고 하는 겁니다."^[3]

역사

수학자들은 항상 실험 수학을 연습해 왔다. 바빌로니아 수학과 같은 초기의 수학에 대한 기존의 기록은 일반적으로 대수적 정체성을 나타내는 수치적 예들의 목록으로 구성된다. 그러나 17세기에 시작된 현대 수학은 최종적이고 형식적이며 추상적인 발표로 결과를 발표하는 전통을 발전시켰다. 수학자가 원래 일반 정리를 공식화하도록 이끌었을 수 있는 수치적 예는 발표되지 않았고, 일반적으로 잊혀졌다.

별도의 연구 영역으로서의 실험 수학은 전자 컴퓨터의 발명으로 실현 가능한 계산의 범위가 크게 증가하면서 이전 세대의 수학자들이 이용할 수 있는 어떤 것보다도 속도와 정밀도가 훨씬 높아졌던 20세기에 다시 등장했다. 실험 수학의 중요한 이정표와 성취는 1995년 π의 이진수에 대한 베일리-보레인-플로프 공식의 발견이었다. 이 공식은 형식적인 추론에 의해서가 아니라 컴퓨터에 대한 수치적 검색에 의해 발견되었다. 그 후에야 엄격한 증거가 발견되었다.^[4]

목표 및 사용

실험 수학의 목적은 "이해와 통찰력을 창출하고, 추측을 만들어내고 확인하거나 맞서는 것, 그리고 일반적으로 전문 연구자와 초보자 모두에게 수학을 보다 구체적이고 생동감 있고 재미있게 만드는 것"이다.^[5]

실험 수학의 용도는 다음과 같이 정의되었다.^[6]

1. 통찰력과 직관을 얻는 것.
2. 새로운 패턴과 관계를 발견한다.
3. 그래픽 디스플레이를 사용하여 기초적인 수학 원리를 제시한다.
4. 시험하고 특히 추측을 거짓으로 한다.
5. 그것이 공식적인 증거 가치가 있는지 알아보기 위해 가능한 결과를 탐구하는 것.
6. 공식적인 증거를 위한 접근법을 제안하는 것.
7. 긴 수동 파생을 컴퓨터 기반 파생으로 대체.
8. 분석적으로 도출된 결과 확인.

도구 및 기술

실험 수학은 적분 및 무한 시리즈에 대한 근사값을 계산하기 위해 숫자 방법을 사용한다. 임의의 정밀도 산술은 이러한 값을 높은 정밀도(일반적으로 100개 이상의 유의한 수치)로 설정하기 위해 종종 사용된다. 정수 관계 알고리즘은 이러한 값과 수학 상수 사이의 관계를 검색하는 데 사용된다. 정밀도가 높은 값으로 작업하면 수학적인 우연을 진정한 관계로 오인할 가능성이 줄어든다. 그러면 추정된 관계의 형식적인 증거가 모색될 것이다. 추정된 관계의 형태가 알려지면 공식적인 증거를 찾는 것이 종종 더 쉽다.

만약 백범례를 찾고 있거나 소진에 의한 대규모 증거가 시도되고 있다면 분산 컴퓨팅 기법을 사용하여 여러 대의 컴퓨터 간에 계산을 나눌 수 있다.

자주 사용하는 것은 높은 효율을 요구하는 문제에 대한 공격을 위해 작성된 일반적인 수학 소프트웨어 또는 도메인별 소프트웨어로 만들어진다. 실험 수학 소프트웨어에는 대개 오류 감지 및 수정 메커니즘, 무결성 검사 및 하드웨어 또는 소프트웨어 오류에 의해 무효화될 가능성을 최소화하도록 설계된 중복 계산이 포함된다.

응용 프로그램 및 예제

실험 수학의 적용 및 예는 다음과 같다.

• 추측에 대한 백례를 찾기
  • 로저 프례는 실험적인 수학 기법을 사용하여 오일러의 힘의 합계에 대한 가장 작은 예를 찾아냈다.
  • 제타그리드 프로젝트는 리만 가설에 대한 백범례를 찾기 위해 만들어졌다.
  • 토마스의 올리베이라 에 실바는^[7] 콜라츠 추측에 대한 백작 샘플을 찾아보았다.
• 특정 속성이 있는 숫자 또는 객체의 새로운 예 찾기
  • 그레이트 인터넷 메르센 프라임 서치에서 새로운 메르센 프라임을 찾고 있다.
  • Great Periody Path Hunt는 새로운 주기적인 경로를 찾고 있다.
  • 아마존닷컴의 OGR 프로젝트는 최적의 골롬 지배자를 찾고 있다.
  • 리젤 체 프로젝트는 가장 작은 리젤 수를 찾고 있다.
  • 세븐틴 혹은 버스트 프로젝트는 가장 작은 시에르핀스키 숫자를 찾고 있다.
• 우연한 숫자 패턴 찾기
  • Edward Lorenz는 수치 기상 모델에서 비정상적인 행동을 조사함으로써 혼란스러운 역동 시스템의 초기 예인 로렌츠 끌어당김기를 발견했다.
  • 울람 나선은 우연히 발견되었다.
  • 울람 숫자의 패턴은 우연히 발견되었다.
  • 미첼 파이겐바움이 페이겐바움 상수를 발견한 것은 처음에는 수치 관측에 근거한 것이었고, 그 다음에는 엄격한 증거가 나왔다.
• 컴퓨터 프로그램을 사용하여 많은 수의 사례를 확인하지만 한정된 사례로 컴퓨터 지원 기능 소진에 의한 컴퓨터 지원 완료
  • 케플러 추측에 대한 토마스 헤일스의 증거.
  • 4가지 색 정리의 다양한 증거.
  • 순서 10의 유한 투사 평면의 비존재에 대한 클레멘트 램의 증거.^[8]
  • 게리 맥과이어는 최소 17개의 단서가 필요하다는 것을 증명했다.^[9]
• 분석적 증거를 찾는 동기를 부여하기 위한 추측의 상징적 검증(컴퓨터 대수학)
  • 수소 분자-이온으로 알려진 양자 3체 문제의 특별한 사례에 대한 해결책은 표준 양자 화학 기반 세트가 모두 램버트 W 함수의 일반화 측면에서 동일한 고유한 분석 솔루션으로 이어진다는 것을 깨닫기 전에 발견되었다. 이 작업과 관련된 것은 이전에 알려지지 않았던 중력 이론과 양자 역학 사이의 연결 고리를 낮은 차원으로 격리하는 것이다(양자 중력과 참고문헌 참조).
  • 상대론적 다체역학 영역, 즉 시간대칭 휠러-핀만 흡수기 이론: 진보된 리에나드-간 등가성입자 j가 입자 i에 작용하는 Wiechert probled와 입자 j에 작용하는 해당 입자 i의 잠재력은 수학적으로 입증되기 전에${\displaystyle }$1/${\displaystyle c{}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\$ 스타일 1$/c^{10}$를 주문할 때까지 철저하게 입증되었다. 휠러-파인만 이론은 양자 비독점성 때문에 관심을 되찾았다.
  • 선형 광학 영역에서는 비등방성 매체에서 이동하는 초음파 광 펄스에 대한 전기장 외피의 직렬 확장 검증. 이전의 팽창은 불완전했다. 그 결과는 실험으로 정당화될 수 있는 추가적인 용어를 보여주었다.
• 일반적으로 고밀도 숫자 계산을 수행한 다음 정수 관계 알고리즘(역방향 심볼 계산기 등)을 사용하여 이 값과 일치하는 수학 상수의 선형 조합을 찾아냄으로써 무한 시리즈, 무한 제품 및 통합(심볼 통합도 참조)을 평가한다. 예를 들어 1993년 컴퓨터 검색과 PSLQ 알고리즘을 이용한 조나단 보르웨인의 제자 엔리코 아우영에 의해 다음과 같은 정체성이 재발견되었다.^[10][11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{정렬}}}$

• 육안조사
  • 인드라 펄스에서 데이비드 뭄포드 등은 뫼비우스 변환과 쇼트키 그룹의 컴퓨터 생성 이미지를 사용하여 다양한 특성을 조사했는데, 이는 많은 추측과 추가 탐사에 대한 설득력 있는 증거를 제공했다.^[12]

그럴듯하지만 잘못된 예

어떤 그럴듯한 관계는 높은 정확도를 유지하지만, 여전히 사실이 아니다. 한 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\inflt }\cos(2x)\prod _{n=1}^{n1}{n=1}cos \left \frac{n}\right)\matrm {d}x={\frac {\pi}{8}}}}.}$

이 표현식의 양면성은 실제로 42번째 소수점 이후부터 다르다.^[13]

또ⁿ 다른 예는 x - 1의 모든 요인의 최대 높이(계수의 최대 절대값)가 n번째 사이클로토믹 다항식의 높이와 동일한 것으로 보인다는 것이다. 이는 컴퓨터가 n < 1000에 대해 사실임을 보여주었고 모든 n에 대해 사실일 것으로 예상되었다. 그러나 더 큰 컴퓨터 검색 결과, n번째 사이클로토믹 다항식의 높이가 2이지만 인자의 최대 높이는 3인 n = 14235에 대해 이 동등성이 유지되지 않는 것으로 나타났다.^[14]

실무자

다음의 수학자들과 컴퓨터 과학자들은 실험 수학 분야에 상당한 공헌을 했다.

참고 항목

• 보르웨이인 적분
• 컴퓨터 보조 교정쇄
• 증명 및 반박
• 실험수학(저널)
• 실험수학연구소

참조

외부 링크

• 실험수학(저널)
• 사이먼 프레이저 대학교 실험 및 건설 수학 센터
• 사우샘프턴 대학 수학교육 연구 협력단
• David H. Bailey와 Simon Plouffe의 숫자 상수 인식
• 실험수학의 심리학
• 실험 수학 웹사이트 (링크 및 자원)
• Great Periody Path Hunt 웹 사이트(링크 및 리소스)
• 연령 알고리즘: PSLQ, 정수 관계를 찾는 더 나은 방법 (대체 링크)
• 실험 알고리즘 정보 이론
• David H. Bailey와 Jonathan M의 실험 수학의 문제점 샘플 보르웨이인
• 데이비드 H. 베일리, 조나단 M의 실험 수학의 10가지 문제 보르웨이인, 비샤알 카푸어, 에릭 W. 와이스슈타인
• 뒤스부르크에센 대학교 실험수학연구소