연속적 기능을 이산적 기능에 이전하는 프로세스
유한요소법 으로 얻은 탈소된 부분 미분방정식에 대한 해법.응용수학 에서 탈고 란 연속함수 , 모형, 변수, 방정식을 이산함수로 전달하는 과정이다. 이 과정은 보통 디지털 컴퓨터의 수치평가와 구현에 적합하게 만들기 위한 첫 단계로 진행된다. 이분법화 란 이산형 등급 수가 2개인 특수한 사례로, 연속형 변수를 이분법 변수 로(이분법 분류 에서처럼 모델링 목적 으로 이분법을 만드는 것) 대략적으로 추정할 수 있다.
디스커트화는 이산수학과 도 관련이 있으며, 세분화된 계산 의 중요한 요소다. 이러한 맥락에서, 탈부착 은 다중 이산형 변수가 집계되거나 복수의 이산형 범주가 융합될 때와 같이 변수 또는 범주 세분성 의 수정을 참조할 수도 있다.
연속 데이터가 디스코트될 때마다, 디스코트 오류 의 양이 항상 존재한다. 목표는 현재 모델링 목적으로 무시 할 수 있는 수준으로 양을 줄이는 것이다.
디스커버리징 과 정량화 변조 를 가지고 있지만 항상 동일한 의미 를 갖는 것은 아니다. (특히 두 용어는 의미 필드 를 공유한다.) 탈부착 오류 와 정량화 오류 도 마찬가지다.
디스커트화에 관한 수학적 방법으로는 오일러-마루야마 방법 과 제로오더 홀드 가 있다.
선형 상태 공간 모델의 탈바꿈 탈소화는 또한 연속 미분 방정식 을 수치 계산 에 적합한 이산 차이 방정식 으로 변환하는 것과도 관련이 있다.
다음의 연속 시간 상태 공간 모델
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) + w ( t ) {\dot스타일 {\mathbf {x}}}}}}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x}(t)+\mathbf {B} \mathbf {u}+\mathbf {w}} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) + v ( t ) {\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {C} \mathbf {x}(t)+\mathbf {d} \mathbf {u}+\mathbf {v}}} 여기서 v 와 w 는 연속적인 무중력 백색 소음원 으로, 전력 스펙트럼 밀도 가 있다.
w ( t ) ∼ N ( 0 , Q ) {\displaystyle \mathbf {w}(t)\sim N(0,\mathbf {Q})} v ( t ) ∼ N ( 0 , R ) {\displaystyle \mathbf {v}(t)\sim N(0,\mathbf {R})} 입력 u 에 대해 제로 오더 보류 를 가정하고 노이즈 v에 대해 연속적인 통합을 가정하여 다음과 같이 분리가 가능하다.
x [ k + 1 ] = A d x [ k ] + B d u [ k ] + w [ k ] {\displaystyle \mathbf {x}[k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u}[k]+\mathbf {w}} y [ k ] = C d x [ k ] + D d u [ k ] + v [ k ] {\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u}[k]+\mathbf {v} 동족상잔치하여
w [ k ] ∼ N ( 0 , Q d ) {\daystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})} v [ k ] ∼ N ( 0 , R d ) {\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})} 어디에
A d = e A T = L − 1 { ( s I − A ) − 1 } t = T {\d}=e^{\mathbf {A}_{d}={\mathbf {A}T}={\mathcal {L}-1}\(s\mathbf {I} -\mathbf {A})^{-1\}_{t= T} B d ∫ τ 0 e A τ d τ B A A I B {\ daystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^){ T } e^{\ mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf B} mathbf {A}^{1}(\mathbf {A} _{d}- mathbf }}}, A 비정형 인 C d = C {\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C}} D d = D {\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D}} Q d = ∫ τ = 0 T e A τ Q e A ⊤ τ d τ {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{ T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A}^{\top }\tau }d\tau }}}} R d = R 1 T {\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{ T}} 및 T {\displaystyle T} , A \ displaystyle \mathbf A} top } [1] {\ displaystyle \mathbf {A}의
A 와d B 를d [2] : p. 215
e [ A B 0 0 ] T = [ A d B d 0 I ] {\displaystyle e^{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} &\mathbf {0}\mathbf {0} \end{bmatrix}}}} T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}\mathbf {B_{d}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I}\end{bmatrix}}}}}}}}} 여기서 A d {\ dplaystyle \mathbf {A} _ {d} 및 B dplaystyle \mathbf {B} _{d}}
공정 노이즈의 소멸 Q d {\ dplaystyle \mathbf {Q} _{d}} 그러나 먼저 행렬을 구성하고 그 지수값을[3]
F = [ − A Q 0 A ⊤ ] T {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}} T} G = e F = [ … A d − 1 Q d 0 A d ⊤ ] . {\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}. } 그런 다음 분해된 프로세스 노이즈는 G 의 오른쪽 하단 칸막이의 전치점에 G 의 오른쪽 상단 칸막이를 곱하여 평가한다.
Q d = ( A d ⊤ ) ⊤ ( A d − 1 Q d ) = A d ( A d − 1 Q d ) . {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}). } 파생 연속형 모델부터 시작
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x}(t)+\mathbf {B} \mathbf {u}(t)} 매트릭스 기하급수적으로
d d t e A t = A e A t = e A t A {\dplaystyle {\frac {d}{d}e^{\mathbf {A}t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A}t}=e^{\mathbf {A}}}}}}}} 모델을 미리 짜서
e − A t x ˙ ( t ) = e − A t A x ( t ) + e − A t B u ( t ) {\displaystyle e^{-\mathbf {A}t}\mathbf {\dot{x}}(t)=e^{-\mathbf {A}\mathbf {x}{x} \mathbf {B}\mathbf {u}} 우리가 알고 있는 것
d d t ( e − A t x ( t ) ) = e − A t B u ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x}(t)=e^{-\mathbf {A}\mathbf {B}\mathbf {u}(t)} 그리고 통합함으로써..
e − A t x ( t ) − e 0 x ( 0 ) = ∫ 0 t e − A τ B u ( τ ) d τ {\displaystyle e^{-\mathbf {A}t}\mathbf {x}(t)-e^{0}\mathbf {0}=\int_{0}^{0}e^{0}{0}^{-\mathbf {A}\mathbf {u}(tau}) }\dtau}}} x ( t ) = e A t x ( 0 ) + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x}(t)=e^{\mathbf {A}t}\mathbf {x}+\int _{0}^{t^{0}e^{0}{t^{}{}}e^{\mathbf {A}(tau )}\mathbf {u}\dau}\dau}} 연속형 모델에 대한 분석적 해결책이다.
이제 우리는 위의 표현을 탈피하고 싶다. 우리는 각 시간 단계마다 당신이 일정 하다고 가정한다.
x [ k ] = d e f x ( k T ) {\displaystyle \mathbf {x}[k]\\\stackrel {\mathrm {def}{=}}\\mathbf {x}(kT)} x [ k ] = e A k T x ( 0 ) + ∫ 0 k T e A ( k T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A}kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{k T}e^{\mathbf {A}(kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u}(\tau )d\tau } x [ k + 1 ] = e A ( k + 1 ) T x ( 0 ) + ∫ 0 ( k + 1 ) T e A ( ( k + 1 ) T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A}(k+1) T}\mathbf {x}(0)+\int _{0}^{(k+1) T}e^{\mathbf {A}((k+1)T-\tau )}\mathbf {B}\mathbf {u}(\tau )d\tau }} x [ k + 1 ] = e A T [ e A k T x ( 0 ) + ∫ 0 k T e A ( k T − τ ) B u ( τ ) d τ ] + ∫ k T ( k + 1 ) T e A ( k T + T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x}[k+1]=e^{\mathbf {A}T}\왼쪽[e^{\mathbf {A}kT}\mathbf {x}{x}+\int _{0}^{0}^{k] T}e^{\mathbf {A}(kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u}(\tau )d\tau \right]++\int_{kT}^{(k+1) T}e^{\mathbf {A}(kT+T-\tau )}\mathbf {B}\mathbf {u}(\tau )d\tau }} We recognize the bracketed expression as x [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k]} v ( τ ) = k T + T − τ {\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau } d τ = − d v {\displaystyle d\tau =-dv} u {\displaystyle \mathbf {u} } 적분 중에 일정하며, 이는 다시 산출된다.
x [ k + 1 ] = e A T x [ k ] − ( ∫ v ( k T ) v ( ( k + 1 ) T ) e A v d v ) B u [ k ] = e A T x [ k ] − ( ∫ T 0 e A v d v ) B u [ k ] = e A T x [ k ] + ( ∫ 0 T e A v d v ) B u [ k ] = e A T x [ k ] + A − 1 ( e A T − I ) B u [ k ] {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\ \&=&e^{\mathbf {A}\mathbf {x}[k]-\left(\int_{T}^{0}e^{0}e^{\mathbf {A}v\right)\mathbf {B}\mathbf {u}[k]\} \&=&e^{\mathbf {A}T}\mathbf {x}[k]+\left(\int _{0}^){ T}e^{\mathbf {A}v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u}[k]\ \&=&e^{\mathbf {A}T}\mathbf {x}[k]+\mathbf {A}^{-1}\좌측(e^{\mathbf {A}T}-\mathbf {I}\right)\mathbf {B}\mathbf {u}\end{kx}} 탈부착 문제에 대한 정확한 해결책이지
A {\ displaystyle \mathbf {A}}이( Taylor 확장 에 의해e T {\ displaystyle ^{\mathbf {A}T}
e A T = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( A T ) k . {\displaystyle e^{{\mathbf {A}}=\sum _{k=0}^{\frac {1}{k! }}}}{\mathbf {A}{}} }^{k}}} 이것은 생산된다.
x [ k + 1 ] = e A T x [ k ] + ( ∫ 0 T e A v d v ) B u [ k ] = ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ( A T ) k ) x [ k ] + ( ∑ k = 1 ∞ 1 k ! A k − 1 T k ) B u [ k ] , {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A}}\mathbf {x}[k]+\left(\int _{0}^){x} T}e^{{\mathbf {A} {}v}dv\right)\mathbf {B}\mathbf {u}[k]\ \&=&\왼쪽(\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{k! }}}}{\mathbf{A}}^{k}\오른쪽)\mathbf {x}[k]+\좌측(\sum _{k=1}^{\inflat }{\frac {1}{k! }}{{\mathbf{A}}^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B}\mathbf {u}[k],\end{matrix}}}} 어떤 형태는 실제로 사용되는 형태.
근사치 때로는 매트릭스 지수 및 통합 연산이 수반되는 무거운 매트릭스 때문에 정확한 탈바꿈이 어려울 수 있다. 작은 시간 단계 e A ≈ A T \displaystyle mathbf {A}\ {I} +\mathbf {A}T} .
x [ k + 1 ] ≈ ( I + A T ) x [ k ] + T B u [ k ] {\displaystyle \mathbf {x}[k+1]\대략(\mathbf {I} +\mathbf {A}T)\mathbf {x}[k]+) T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]} 이것을 유러법이라고 도 하는데, 포워드 오일러법이라고도 한다. Other possible approximations are e A T ≈ ( I − A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}} e A T ≈ ( I + 1 2 A T ) ( I − 1 2 A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left (\mathbf {I} +{\frac 1}{ 2}}\mathbf {A}T\right)\좌측(\mathbf {I} frac }{1 }}\mathbf {A}T\right)^{-1 바이린 변환 또는 투스틴 변환이라고 한다. 이 근사치들은 각각 다른 안정성 특성을 가지고 있다. 이선 변환은 연속 시간 시스템의 불안정성을 보존한다.
연속형 피쳐의 탈고 통계학 이나 기계학습에서 탈고 란 연속형 형상이나 변수를 탈고형 또는 명목형 형상으로 변환하는 과정을 말한다. 이것은 확률 질량 함수를 생성할 때 유용할 수 있다.
매끄러운 기능의 탈부착 일반화된 함수 이론에서, 탈색화 는 강화 분포 에 대한 콘볼루션 정리 의 특정한 사례로서 발생한다.
F { f ∗ III } = F { f } ⋅ III {\displaystyle {\mathcal {F}\{f*\operatorname { III} \}={\mathcal {F}\{f\}\cdot \operatorname { III} } F { α ⋅ III } = F { α } ∗ III {\displaystyle {\mathcal {F}\{\\ 알파 \cdot \operatorname} III} \}}={\mathcal {F}\{\#Alpha \}*\operatorname { III} } 여기서 III {\displaystyle \operatorname III} } 디락 빗, ⋅ III {\displaystyle \cdot \operatorname III} } ∗ III {\displaystyle *\operatorname III} } 주기화 , f {\displaystyle f} Dirac 델타 함수 Δ {\displaystyle \delta } 기타 압축적으로 지원 되는 함수) α {\displaysty \alpha 끊임없이 {\displaysty 성장 하는 일반 함수 )이다le 1} 제한 함수) 및 F {\ displaystyle {\mathcal{F}} 푸리에 변환 이다 매끄럽지 않은α {\displaystyle \alpha } 몰리퍼 를 사용하여 매끄럽게 만들 수 있다.
예를 들어, 끊임없이 1인 [\displaystyle 1] 디랙 델타 함수 의 선형 조합 계수로 해석된[. 1 1 ] 시퀀스 [. 빗 을 형성한다. 추가 절단 을 적용할 경우 유한 시퀀스를 얻는다( 1 1 1 ] {\디스플레이 [ ,1,1,1]).
참고 항목 참조 ^ Analytic Sciences Corporation. Technical Staff. (1974). Applied optimal estimation 121 . ISBN 0-262-20027-9 OCLC 960061 . ^ Raymond DeCarlo: 선형 시스템: NJ, 프렌티스 홀의 수치적 구현을 통한 상태 가변 접근법 ^ Charles Van Loan: 매트릭스 지수 , IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404, 1978 추가 읽기 외부 링크
![{\mathbf {x}}[k+1]={\mathbf A}_{d}{\mathbf {x}}[k]+{\mathbf B}_{d}{\mathbf {u}}[k]+{\mathbf {w}}[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e76d3f00a4ffc2b8214171b120b5c64ed67ecad)
![{\mathbf {y}}[k]={\mathbf C}_{d}{\mathbf {x}}[k]+{\mathbf D}_{d}{\mathbf {u}}[k]+{\mathbf {v}}[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60954d819a458cbbfaecb45337ebf610f2d6ff08)
![{\mathbf {w}}[k]\sim N(0,{\mathbf Q}_{d})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dcee136b863c44db67bab3ec8ddac03e4ab234)
![{\mathbf {v}}[k]\sim N(0,{\mathbf R}_{d})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f6c4f86c17384b1c831d33fd6e1c45d7b97748)
경우
(
![{\mathbf x}[k]\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ {\mathbf x}(kT)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc0e1ad9e945eee38efac0e3b5d0ff46237b3be)
![{\mathbf x}[k]=e^{{{\mathbf A}kT}}{\mathbf x}(0)+\int _{0}^{{kT}}e^{{{\mathbf A}(kT-\tau )}}{\mathbf B}{\mathbf u}(\tau )d\tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85215b58f30c40205c94cd3fec3dbd16bae1ac2b)
![{\mathbf x}[k+1]=e^{{{\mathbf A}(k+1)T}}{\mathbf x}(0)+\int _{0}^{{(k+1)T}}e^{{{\mathbf A}((k+1)T-\tau )}}{\mathbf B}{\mathbf u}(\tau )d\tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa76d8a30851a8df18ee1cae3f3cc638d1b9285)
![{\mathbf x}[k+1]=e^{{{\mathbf A}T}}\left[e^{{{\mathbf A}kT}}{\mathbf x}(0)+\int _{0}^{{kT}}e^{{{\mathbf A}(kT-\tau )}}{\mathbf B}{\mathbf u}(\tau )d\tau \right]+\int _{{kT}}^{{(k+1)T}}e^{{{\mathbf A}(kT+T-\tau )}}{\mathbf B}{\mathbf u}(\tau )d\tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9970af7c6dcf74cefaf5799607bf969e8373201)
![{\mathbf x}[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de738568b201f70e218c5199a23c2aaab2cc43)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26a0030a596f2a43ba0cfcfadeeef4dfcd1c0f7)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85132173d2580dae11d7a1cecee9683e70a92970)
![{\mathbf x}[k+1]\approx ({\mathbf I}+{\mathbf A}T){\mathbf x}[k]+T{\mathbf B}{\mathbf u}[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbbbc2ccc407e5c018c805b32a3a5a7437218b3)
(는) 
(는) 디스커트화, 
(는) 
(는) 급속히 감소하는 강화 분포(예: 
. 매끄럽지 않은![{\displaystyle [..,1,1,1,..]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86c8f472e5913de12dfc193277854c795ac9e28)
![{\displaystyle [1,1,1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc66b65aae3e64329a6d193aa71bcb91689b3c77)
