직관주의

Intuitionism
그것은 제도주의와 혼동되어서는 안 된다.
이 기사는 수학의 직관주의와 철학 논리에 관한 것이다.도덕적 인식론의 용어는 윤리적 직관주의를 참조한다.

수학 철학에서, 직관주의, 또는 신지각주의는 수학이 객관적인 현실에서 존재한다고 주장되는 기본 원리의 발견보다는 순전히 인간의 건설적인 정신 활동의 결과로 간주되는 접근법이다.즉, 논리와 수학은 객관적 현실의 깊은 속성이 드러나고 적용되는 분석 활동으로 간주되지 않고, 객관적 현실에서 가능한 독립적인 존재에 관계없이 보다 복잡한 정신구조를 실현하기 위해 사용되는 내부적으로 일관된 방법의 적용으로 간주됩니다.

진실과 증명

직관주의의 근본적인 구별되는 특징은 수학적 진술이 참이라는 것이 무엇을 의미하는지 해석하는 것이다.브루어의 원래 직관주의에서 수학적 진술의 진실은 주관적인 주장입니다: 수학적 진술은 정신적인 구조에 해당하고 수학자는 직관에 의해 그 구성의 타당성을 검증해야만 진술의 진실을 주장할 수 있습니다.진실에 대한 직관적 관념의 모호함은 종종 진리의 의미에 대한 잘못된 해석으로 이어진다.클린은 현실주의 입장에서 직감적 진실을 공식적으로 정의했지만, 브루어는 현실주의/플라톤주의 입장을 거부한 것을 볼 때 이 공식화를 무의미하게 거절할 것 같다.그러므로 직관적인 진실은 다소 잘못 정의되어 있다.하지만, 진실에 대한 직관적인 개념은 고전 수학의 그것보다 더 제한적이기 때문에, 직관론자는 그들이 증명하는 모든 것이 실제로 직관적으로 사실이라는 것을 확실히 하기 위해 고전 논리의 몇 가지 가정을 거부해야 한다.이것은 직관적인 논리를 낳는다.

직관주의자에게 어떤 성질을 가진 물체가 존재한다는 주장은 그러한 성질을 가진 물체를 구성할 수 있다는 주장이다.수학적인 물체는 정신구조의 산물로 간주되며, 따라서 물체의 존재는 그 구축의 가능성과 동등하다.이는 실체가 존재하지 않는다고 반박함으로써 실체의 존재를 증명할 수 있다는 기존의 접근법과 대조된다.직관주의자에게 이것은 유효하지 않다; 존재하지 않는 것에 대한 반박은 그 존재를 주장하기 위해 필요한 추정 객체에 대한 구조를 찾는 것이 가능하다는 것을 의미하지 않는다.이와 같이, 직관주의는 수학적 구성주의의 다양성이지만, 그것만이 유일한 종류는 아니다.

부정에 대한 해석은 직관주의 논리에서는 고전 논리학과 다르다.고전 논리학에서 진술의 부정은 진술이 거짓이라고 단언한다; 직관주의자에게 그것은 진술이 반박할 [1]수 있다는 것을 의미한다.그러므로 직관주의에서 긍정과 부정 사이에는 비대칭이 존재한다.스테이트먼트 P가 증명 가능한 경우 P는 반박할 수 없습니다.그러나 P를 반박할 수 없다고 해도 P의 증거가 되지 않는다.따라서 P는 not-not-P보다 더 강력한 문입니다.

마찬가지로, 직관주의자에게 A나 B가 보유한다고 주장하는 것은 A나 B 중 하나를 증명할 수 있다고 주장하는 것이다.특히, 배제된 중간 법칙인 "갑이냐 아니냐"는 유효한 원칙으로 받아들여지지 않는다.예를 들어, A가 직관주의자가 아직 증명하거나 반증하지 않은 수학적인 진술이라면, 그 직관주의자는 "A or not A"의 진실을 주장하지 않을 것이다.그러나 직관론자는 "A가 아니라 A"가 진실일 수 없다는 것을 받아들일 것이다.따라서 직관적 논리학의 "and"와 "or"는 고전적 논리학에서와 같이 드 모르간의 법칙을 만족시키지 못한다.

직관적인 논리는 추상적인 진실 대신 구성성을 대체하고 현대 수학에서 모델 이론의 증명에서 추상적인 진실로의 전환과 관련이 있다.논리 미적분은 진리가 아닌 정당성을 파생된 명제를 산출하는 변환에 걸쳐 보존합니다.그것은 몇몇 철학 학파, 특히 마이클 더밋의 반현실주의에 철학적 지지를 보내는 것으로 받아들여져 왔다.따라서, 그 이름이 전달할 수 있는 첫인상과 달리, 그리고 특정한 접근법과 분야(예: 퍼지 집합과 시스템)에서 실현된 것처럼, 직관주의 수학은, 아이러니하게도, 직관주의가 구축/거절/거부하려는 기본 요소들이 직관으로 받아들여지는, 기존의 기초 수학보다 더 엄격하다.반복적으로 주어집니다.

Infinity

직관주의의 다른 공식들 중에서, 무한의 의미와 현실에 대한 몇 가지 다른 입장이 있다.

퍼텐셜 무한대라는 용어는 끝없는 일련의 단계가 있는 수학적 절차를 의미합니다.각 단계가 완료된 후에는 항상 다른 단계를 수행해야 합니다.예를 들어 카운트 프로세스를 생각해 보겠습니다.1, 2, 3, ...

실제 무한대라는 용어는 무한대의 요소를 포함하는 완성된 수학적 객체를 말합니다.예를 들어 N = {1, 2, ...}의 자연수 집합이 있습니다.

칸토르의 집합론 공식에는 많은 다른 무한 집합이 있는데, 그 중 일부는 다른 것보다 크다.예를 들어, 자연수를 실수와 일대일로 대응시키기 위해 사용하는 절차는 항상 실패하기 때문에 모든 실수의 집합 R은 N보다 큽니다. 즉, "남은" 실수는 항상 무한히 존재합니다.자연수와 일대일 대응 상태에 놓일 수 있는 모든 무한 집합을 "계수 가능" 또는 "부정 가능"이라고 합니다.이 값보다 큰 무한 집합을 "카운트할 수 없음"[2]이라고 합니다.

칸토르의 집합론은 현재 현대 수학의 가장 일반적인 기초인 체르멜로-프랭켈 집합론의 공리 체계를 이끌었다.직관주의는 부분적으로 칸토어의 집합론에 대한 반작용으로 만들어졌다.

현대의 구성 집합론은 ZFC의 무한대 공리와 자연수의 집합 N을 포함한다.대부분의 현대 건설 수학자들은 셀 수 없을 만큼 무한 집합의 현실을 받아들입니다(그러나 반례는 알렉산더 에세닌-볼핀을 참조한다.

브루어는 실제 무한의 개념을 거부했지만 잠재적 무한의 개념은 인정했다.

1946년 바일씨에 따르면 브루어는 모든 자연수의 전체성에 대한 실존적 성격에 대한 믿음을 뒷받침하는 증거가 없다는 점을 분명히 했다.다음 번호로 넘어감으로써 이미 도달한 단계를 넘어 증가하는 수열은 무한을 향해 열려있는 다양한 가능성이다; 그것은 영원히 창조의 상태로 남아 있지만, 그 자체로 존재하는 사물의 폐쇄적인 영역은 아니다.우리가 하나를 맹목적으로 다른 것으로 바꾼 것이 러셀의 악순환 원칙이 제시한 것보다 더 근본적인 본성의 원천인 반감을 포함한 우리의 어려움의 진정한 원천이다.브루어는 눈을 뜨고 깨달음의 모든 인간의 가능성을 초월하는 '절대'에 대한 믿음에 의해 길러진 고전 수학이 증거에 기초한 진정한 의미와 진실을 주장할 수 있는 진술을 얼마나 뛰어넘는지 보게 했다." (클린(1952)메타수학 입문, 48-49)

역사

직관주의의 역사는 19세기 수학의 두 가지 논쟁으로 거슬러 올라갈 수 있다.

그 중 첫 번째는 게오르크 칸토르의 초한산수 발명과 그의 스승으로 유명한 레오폴드 크로네커를 포함한 다수의 저명한 수학자들에 의한 그 이후의 거절이었다.

그 중 두 번째는 집합론을 통해 모든 수학을 논리적인 공식화하려는 고틀롭 프레지의 노력이었고 러셀의 역설의 발견자인 젊은 버트런드 러셀에 의해 좌절되었다.프레게는 3권의 최종 작품을 계획했지만, 2권이 출판될 무렵 러셀은 프레게에게 그의 역설의 개요를 설명하는 편지를 보냈는데, 이것은 프레게의 자기 참조 규칙 중 하나가 모순적이라는 것을 보여주었다.두 번째 책의 부록에서 프레지는 그의 시스템의 공리 중 하나가 실제로 러셀의 [3]역설로 이어졌음을 인정했다.

프레게는 우울증에 빠졌고 계획했던 대로 3권을 출판하지 않았다고 한다.자세한 내용은 데이비스(2000) 제3장 및 제4장: 프레지:돌파구에서 절망과 칸토어로:인피니티를 통해 우회합니다.원작을 보려면 van Heijenoort와 van Heijenoort의 해설을 참조하십시오.

이러한 논란은 칸토르가 초한산술에서 그의 결과를 증명하는 데 사용한 논리적인 방법들이 러셀이 그의 패러독스를 구성하는데 사용한 것과 본질적으로 동일하기 때문에 강하게 연관되어 있다.그러므로 러셀의 역설의 해답을 선택하는 방법은 칸토어의 초무한 산술에 따른 지위에 직접적인 영향을 미친다.

20세기 초에 L. E. J. 브루어는 직관주의자의 입장을 대표했고 데이비드 힐베르트는 형식주의자의 입장을 대표했다.쿠르트 괴델은 플라톤주의자로 언급되는 의견을 제시했다.앨런 튜링은 다음과 같이 생각한다: "증거에 있는 모든 단계가 기계적인 것은 아니며, 일부는 직관적인 논리 체계." (1939년 데이비스 2004년 페이지 210에 전재됨) 나중에 스티븐 콜 클린은 메타 수학 입문(1952년)에서 직관주의에 대한 보다 이성적인 고려를 가져왔다.

니콜라스 기신은 양자 불확정성, 정보 이론, 시간의 [4]물리학을 재해석하기 위해 직관주의 수학을 채택하고 있다.

기부자

직관 수학의 분과

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Imre Lakatos (2015) [1976]. Proofs and Refutations The Logic of Mathematical Discovery. Cambridge Philosophy Classics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-11346-6.
  2. ^ 연속체의 카디널리티로 설명되다
  3. ^ 피터 기흐와 맥스 블랙, 바질 블랙웰, 옥스퍼드, 1960년 페이지 234-44–44에 의해 편집된 고틀롭 프레지의 철학 글 번역본의 "러셀의 역설에 관한 프레지"를 참조한다.
  4. ^ Wolchover, Natalie (7 April 2020). "Does Time Really Flow? New Clues Come From a Century-Old Approach to Math". QuantaMagazine.org. Quanta Magazine.

추가 정보

39장에서 20세기에 관한 앵글린은 플라톤주의(고델에 관한), 형식주의(힐베르트에 관한), 직관주의(브라우어에 관한)에 대해 매우 정확하고 짧은 설명을 하고 있다.
  • 마틴 데이비스(ed.)(1965), The Undecomable, Raven Press, Hewlett, NY. Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser 및 Post의 원본 논문 편집.로서 재게시됨
  • Martin Davis (2000). Engines of Logic: Mathematicians and the origin of the Computer (1st ed.). W. W. Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson 주니어, 논리적 딜레마: The Life and Work of Kurt Gödel, A. K. Peters, MA, Wellesley, 1997.
Goldstein보다 가독성은 떨어지지만, 제3장에서 Dawson은 훌륭한 "1928년 논리 발전의 캡슐 역사"를 제공한다.
  • Rebecca Goldstein, 불완전성: The Proof and Paradox of Kurt Godel, Atlas Books, W.W. Norton, 2005, 뉴욕.
제2장에서 힐버트와 형식주의자들은 더 많은 역사적 맥락을 제공한다.플라톤주의자로서 괴델은 비엔나 학회의 논리적 실증주의 앞에서 말을 아꼈다.Goldstein은 비트겐슈타인의 영향과 형식주의자들의 영향에 대해 논한다.골드스타인은 직관주의자들이 형식주의보다 플라톤주의에 훨씬 더 반대했다고 지적한다.
  • From Frege to Gödel, J., 수학논리학의 소스북, 1879-1931, 하버드 대학교 출판부, 케임브리지, 매사추세츠, 1967.1977년 수정본으로 전재되었습니다.반 하이제노르트에는 다음과 같은 논문이 게재되어 있습니다.
  • L.E.J. Brower, 1923년, 수학, 특히 함수 이론에서 제외된 중간 원리의 의의에 대하여 [해설, 페이지 334, 반 하이제노르트]
  • 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프, 1925년, 제외중도의 원칙에 대하여 [해설로 재인쇄, 페이지 414, 판 하이제노르트]
  • L.E.J.Brower, 1927, 함수의 정의 영역에 대하여 [해설 446, van Heijenoort로 재인쇄]
직접적으로 관련이 있는 것은 아니지만, 브루어는 그의 (1923)에서 이 문서에서 정의된 특정 단어를 사용합니다.
  • L.E.J.Brower, 1927(2), 형식주의에 대한 직관주의적 성찰 [해설로 재인쇄, 490페이지, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), "산술의 일관성에 대하여", [해설로 재인쇄, 페이지 618ff, van Heijenoort]
반 헤이제노르트의 논평에서 헤르브란트가 진정한 직설주의자인지 아닌지는 확실하지 않다; 괴델(1963년)은 정말로 ...라고 주장했다.Herbrand는 직관주의자였다.그러나 반 헤이제노르트는 헤르브란트의 개념은 전반적으로 힐베르트의 '완결하다'는 단어에 훨씬 더 가까웠으며, 이는 브루어의 교리에 적용된 '직관적'에 해당한다고 말한다.
  • Hesseling, Dennis E. (2003). Gnomes in the Fog. The Reception of Brouwer's Intuitionism in the 1920s. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6536-6.
  • Arend Heyting: Heyting, Arend (1971) [1956]. Intuitionism: An Introduction (3d rev. ed.). Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2239-6.
  • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (Tenth impression 1991 ed.). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9.
제3장 수학 추론의 비평, § 11. 클린은 직관주의와 형식주의를 깊이 있게 논한다.책의 나머지 부분에서 그는 형식주의(고전주의) 논리와 직관주의 논리를 모두 다루고 비교한다.
  • 노스홀랜드 출판사 직감 수학 재단 스티븐 콜 클린과 리처드 유진 베슬리암스테르담, 1965년선두 문장은 모두 "수학의 건설적 경향..①전문가를 위한 텍스트로, 클라인의 문체로 매우 선명하게 쓰여져 있습니다.
  • 힐러리 퍼트남과 폴 베나크라프, 수학 철학: 노스캐롤라이나 주, 잉글우드 절벽의 엄선된 판독치:프렌티스 홀, 1964년제2판 (캠브리지):케임브리지 대학 출판부, 1983년.ISBN 0-521-29648-X
제1부. 수학의 기초, 수학의 기초에 관한 심포지엄
  • 루돌프 카르납, 수학의 논리주의 기초, 페이지 41
  • 아렌드 헤이팅, 수학의 직관주의 기반, 페이지 52
  • 요한 폰 노이만, 수학의 형식주의 기반, 페이지 61
  • Arend Heyting, 논쟁, 66페이지
  • L. E. J. 브루어, 직관주의와 형식주의, 77페이지
  • L. E. J. 브루어, 의식, 철학, 수학, 페이지 90
  • Constance Reid, Hilbert, Copernicus – Springer-Verlag, 1970년 제1판, 1996년 제2판
힐베르트의 결정적인 전기는 그의 "프로그램"을 직감주의자들과 형식주의자들 사이의 그 후의 싸움, 때로는 앙심을 품은 싸움과 함께 역사적 맥락에 놓는다.
  • Paul Rosenbloom, The Elements of Mathematical Logic, Dover Publications Inc, 뉴욕, 미네올라, 1950.
Principia Mathematica(프린키피아 매스매티카)의 문체로 많은 기호, 골동품, 독일어 문자 중 일부입니다.다음 위치에서 직관주의에 대한 매우 좋은 토론: 섹션 4 많은 가치 있는 논리학, 모달 논리학, 직관주의, 페이지 69-73 III 프로포셔널 기능의 논리 섹션 1 비공식 소개, 페이지 146-151 섹션 7 선택의 공리.
건설적 수학과 비표준적 분석의 관점에서 직관주의의 재평가.

2차 레퍼런스

  • A. 마르코프(1954년)알고리즘 이론[Jacques J. Schorr-Kon 및 PST 직원 옮김]임프린트 모스크바, 소련 과학 아카데미, 1954년 [즉,예루살렘, 이스라엘 과학번역을 위한 프로그램, 1961년, 워싱턴, 미국 상무부 기술서비스국에서 입수 가능) 설명 444 페이지 28 cm.구소련 과학아카데미 러시아어 번역서 제42절 추가원제목:테오리야 알고리프무브.[QA248]M2943 다트머스 대학 도서관.미국 상무부, 기술 서비스국, OTS 60-51085번]
전문가를 위한 2차 참고 자료:마르코프 교수는 "하지만 알고리즘의 개념을 보다 정확하게 표현하는 수학의 전체 의의는 수학의 건설적인 기초의 문제와 관련하여 나타난다.[p.3, 이탤릭체 추가]마르코프는 그의 작품에 대한 더 많은 응용이 "저자가 미래에 쓰고 싶어하는 특별한 책을 써라"라고 믿었다.슬프게도, 작품은 나타나지 않았다고 말했다.
위키 인용문에는 직감주의와 관련된 인용문이 있다.
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