덧셈

교과서에서^[1] 인기 있는 선택인 3 + 2 = 5 사과 포함

덧셈(보통 더하기 기호 +로 표시)은 산술의 4가지 기본 연산 중 하나이며, 나머지 세 가지는 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이다.두 개의 정수를 더하면 그러한 값의 합계 또는 총합이 된다.인접한 이미지에서 예시는 사과 3개와 사과 2개를 조합하여 총 5개의 사과를 만드는 것을 보여준다.이 관측치는 수학 식 "3 + 2 = 5"(즉, "3 + 2는 5와 같다")와 같다.

항목을 세는 것 외에도 정수, 실수, 복잡한 숫자와 같이 대신 숫자로 불리는 추상화를 사용하여 구체적인 대상을 언급하지 않고 덧셈을 정의하고 실행할 수도 있다.덧셈은 수학의 한 분야인 산수에 속한다.수학의 또 다른 영역인 대수학에서 벡터, 행렬, 서브 스페이스 및 하위 그룹과 같은 추상적인 물체에 대한 추가도 수행할 수 있다.

덧셈에는 몇 가지 중요한 성질이 있다.순서는 중요하지 않다는 뜻의 역순이며, 연관성이 있는 것으로, 한 사람이 두 개 이상의 숫자를 더하면 덧셈이 행해지는 순서는 중요하지 않다는 뜻이다(합계 참조).반복적으로 1을 더하는 것은 세는 것과 같다.0을 더해도 숫자는 변하지 않는다.또한 뺄셈과 곱셈과 같은 관련 작업에 관한 예측 가능한 규칙을 준수한다.

추가 수행은 가장 간단한 숫자 작업 중 하나이다.아주 작은 숫자의 추가는 유아들이 접근할 수 있다; 가장 기본적인 임무인 1 + 1은 5개월 정도의 어린 유아들과 심지어 다른 동물 종의 일부 구성원들이 수행할 수 있다.초등교육에서 학생들은 한 자리수부터 시작하여 점차적으로 더 어려운 문제를 다루면서 소수점제로 숫자를 추가하는 법을 배운다.기계 보조 기구는 고대 주판에서부터 현대 컴퓨터까지 다양하며, 여기서 가장 효율적인 덧셈 구현에 대한 연구가 오늘날까지 계속되고 있다.

산술 연산 v t

추가(+) $왼쪽.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}$ 빼기(-) $왼쪽.{\\cHB}\scriptstyle {\text{term}\,-\, {\text{term}\\scriptstyle {\text{minuend}\,-\,-\,\\\\\\\\\\text{textrahend}\right\,=,}$ ${\displaystyle \scriptstyle{\text}}$ 곱하기(×) $왼쪽.{\\cHB}\scriptstyle {\text{text}}\\cHB\\cHB\\cHB\\\cHBFF}\\cHB\\\cHBFFICand}\data.\right\,=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}$ 분할(÷) $왼쪽.{\cHB}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{divisor}}\\\scriptstyle {\criptstyle{\text}}{\scriptstyle}{\criptor}}{dictext}}}\end{priptor},=\}$ ${\displaystyle {\discript}\scriptstyle {\text{data}\\textient}\\scriptstyle {\text{data}\end}}}}$ 지수(^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}^{\text}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}$ n번째 루트(root) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{do}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}$ 로그(로그) ${\displaystyle \scriptstyle \log_{\text{base}({\text{anti-logarithm})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}$

표기 및 용어

플러스 부호

추가는 용어 사이의 더하기 기호 "+"를 사용하여 작성된다.^[2] 즉, infix 표기법이다.결과는 동등의 기호로 표현된다.예를 들어,

${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1+1=2}("$1 + 1은 2")

${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2+2=4}("$2 + 2는 4")

${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1+2=3}("$1 + 2는 3")

${\displaystyle 5}$+ ${\displaystyle 4}$+ 2${\displaystyle }$= ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle 5+4+2=11}($아래 "관련성" 참조)

${\displaystyle 3}$+${\displaystyle }$3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$= ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 3+3+3+3=12}($아래 "복수" 참조)

Columnar addition – 열의 숫자를 추가하며, 밑줄 친 숫자 아래에 합계가 기록된다.

기호가 나타나지 않더라도 덧셈을 "이해"하는 상황도 있다.

• 정수 바로 뒤에 분수가 붙으면 혼합수라 불리는 두 개의 합을 나타낸다.^[3]예를 들어,
  $${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$

  
  이 표기법은 대부분의 다른 맥락에서 대등사치는 대신 곱셈을 의미하기 때문에 혼동을 일으킬 수 있다.^[4]

일련의 관련 숫자의 합은 capital sigma 표기법을 통해 표현할 수 있는데, 이 표기는 이 반복을 압축적으로 나타낸다.예를 들어,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

일반적으로 추가될 숫자 또는 개체는 용어,^[5] 부록^[6][7][8] 또는 합계라고 총칭된다.^[9] 이 용어는 복수 용어의 합계로 이어진다.이것은 증식하는 요인과 구별되어야 한다.일부 저자들은 첫 번째 추가사항을 증보라고 부른다.^[6][7][8]사실, 르네상스 시대 동안 많은 작가들은 첫 번째 덧셈을 전혀 "추가"라고 생각하지 않았다.오늘날에는 덧셈이라는 상호 교환적인 성질 때문에 "증언"은 거의 사용되지 않으며, 두 용어는 일반적으로 덧셈이라고 불린다.^[10]

위의 모든 용어는 라틴어에서 유래되었다."addition"과 "add"는 라틴어 동사 부록에서 파생된 영어 단어인데, 이는 다시 "to"와 "to"의 합성어로, 프로토-인도-유럽어 루트 *dehh- "to"에서 "to"와 "to"의 합성어로, 즉 "to"는 "to"에서 유래된 것이다. 따라서 덧붙이는 것이다.^[10]생식 접미사 -nd를 사용하면 "추가", "추가 대상"이 된다.^[a]"증가"에서와 마찬가지로, "증가"에서 "증가"를 얻는다.

15세기 최초의 영어 산수 원문 중 하나인 '노름의 예술'에서 삽화를 다시 그렸다.^[11]

"sum"과 "summand"는 라틴 명사 summa "최고, 최고"와 관련 동사 summar에서 유래한다.이것은 두 양의 숫자의 합이 어느 쪽보다 클 뿐만 아니라, 아래로 더하는 현대적인 관습과는 달리, 고대 그리스인과 로마인들이 위로 더하는 것이 일반적이었기 때문에 합이 말 그대로 덧셈보다 더 높았기 때문에 적절하다.^[12]비트루비우스나 프론티누스와 같은 초기 로마 작가들은 아니더라도, 아데레와 요약은 적어도 보에티우스에게 거슬러 올라간다. 보에티우스는 추가 작전에 몇 가지 다른 용어를 사용하기도 했다.후기 중세 영어 용어인 "adden"과 "adding"은 초서에 의해 대중화되었다.^[13]

더하기 기호 "+"(유니코드:U+002B, ASCII:+)는 라틴어 et의 약어로, "and"^[14]를 의미한다.그것은 적어도 1489년까지 거슬러 올라가는 수학적인 작품에 등장한다.^[15]

해석

추가는 많은 물리적 프로세스를 모델링하는 데 사용된다.자연수를 추가하는 단순한 경우라도, 가능한 많은 해석과 더 많은 시각적 표현이 있다.

세트 결합

추가에 대한 가장 근본적인 해석은 다음과 같은 집합들을 결합하는 것이다.

• 두 개 이상의 분리 컬렉션을 하나의 컬렉션으로 결합할 때, 단일 컬렉션의 개체 수는 원래 컬렉션의 개체 수를 합한 것이다.

이 해석은 시각화하기 쉬우며, 모호함의 위험은 거의 없다.또한 고등수학에서도 유용하다(그것이 영감을 주는 엄격한 정의에 대해서는 아래의 § Natural number 참조).그러나 이 추가 버전을 어떻게 확장하여 소수 또는 음수를 포함시켜야 하는지는 명확하지 않다.^[16]

한 가지 가능한 해결책은 파이와 같이 쉽게 분할할 수 있는 물체의 집합이나, 더 나은 분할 막대들을 고려하는 것이다.^[17]단순히 세그먼트 컬렉션을 결합하는 것이 아니라 로드 길이를 추가하는 또 다른 추가 개념을 보여준다.

길이 연장

대수적 덧셈 2 + 4 = 6의 숫자 선 시각화. 2를 곱한 다음 4를 곱한 것은 6을 곱한 것과 같다.

단항 덧셈 2 + 4 = 6의 숫자 선 시각화. 4의 번역은 1의 4개의 번역과 같다.

추가에 대한 두 번째 해석은 초기 길이를 주어진 길이로 연장하는 것에서 나온다.

• 원래 길이를 주어진 양만큼 늘렸을 때, 최종 길이는 원래 길이와 연장 길이의 합이다.^[18]

a + b의 합은 대수적 의미에서 a와 b를 결합한 이진 연산 또는 a에 b 단위를 더 추가하는 것으로 해석할 수 있다.후자의 해석에 따르면, 합계 a + b의 부분은 비대칭적인 역할을 하고, 연산 a + b는 단항 연산 +b를 a에 적용하는 것으로 본다.^[19]a와 b의 덧셈을 모두 부르기보다는 소극적인 역할을 하기 때문에 이 경우 어젠드를 부르는 것이 더 적절하다.단항 추가 연산은 역방향 단항 뺄셈 연산을 가지며, 그 반대의 경우도 있기 때문에 뺄셈을 논할 때도 유용하다.

특성.

동시성

4 + 2 = 2 + 4(블록 포함)

덧셈은 합계로 용어의 순서를 바꿀 수 있지만, 여전히 같은 결과를 얻을 수 있다는 것을 의미한다.상징적으로 a와 b가 두 개의 숫자라면

a + b = b + a.

덧셈이 서로 상통한다는 사실은 "더하기의 상법" 또는 "더하기의 상법"으로 알려져 있다.어떤 다른 이항 연산은 곱셈과 같이 서로 상응하지만, 다른 많은 이항 연산은 뺄셈과 나눗셈과 같이 그렇지 않다.

연관성

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 세그먼트 로드 포함 3

덧셈은 연관성이 있는데, 이것은 세 개 이상의 숫자를 함께 더해도 운영 순서가 결과를 바꾸지 않는다는 것을 의미한다.

예를 들어, a + b + c 식을 (a + b) + c 또는 a (b + c)로 정의해야 하는가?그 추가가 연관성이 있다는 것을 고려하면, 정의의 선택은 무관하다.어떤 세 개의 숫자 a, b, c에 대해, (a + b) + c = a + (b + c)는 사실이다.예를 들어 (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

덧셈을 다른 운용과 함께 사용하면 운용의 순서가 중요해진다.표준 연산 순서에서 덧셈은 지수, n번째 뿌리, 곱셈, 나눗셈보다 낮은 우선순위지만 뺄셈에 동일한 우선순위가 부여된다.^[20]

아이덴티티 요소

5 + 0 = 점 주머니가 있는 5

0을 임의의 숫자에 추가해도 숫자가 변경되지 않는다. 이는 0이 추가를 위한 ID 요소라는 것을 의미하며, 가법 ID로도 알려져 있다.기호는, 모든 a에 대해,

a + 0 = 0 + a = a.

이 법칙은 서기 628년 브라흐마스푸타시드한타(Brahmasphutasiddhanta)에서 처음 확인되었는데, 비록 a가 음수인지 양수인지 영수인지에 따라 3개의 별도 법칙으로 썼고, 대수 기호보다는 단어를 사용했다.후에 인도의 수학자들은 그 개념을 다듬었다; 830년경, 마하비라는 "0은 거기에 첨가된 것과 같아진다"라고 썼는데, 이는 단항성명 0 + a = a에 해당한다.12세기에 바스카라는 단성문 a + 0 = a에 해당하는 "암호, 즉 그것의 뺄셈을 더하면 양수(양수)나 음수(음수)는 그대로 유지된다"고 썼다.^[21]

후계자

정수의 맥락 안에서, 하나의 추가는 또한 특별한 역할을 한다: 어떤 정수 a에 대해서도, 정수(a + 1)는 a의 후계자라고도 알려진 a보다 큰 최소 정수다.^[22]예를 들어 3은 2의 후계자, 7은 6의 후계자다.이러한 계승 때문에, + b의 가치도 a의 b번째 계승자로 볼 수 있어, 추가적인 반복적인 계승이 된다.예를 들어 6 + 2는 8인데, 8은 7의 후계자, 즉 6의 후계자이기 때문에 8은 6의 2번째 후계자가 된다.

단위

단위와 함께 물리적 양을 숫자로 추가하려면 공통 단위로 표현해야 한다.^[23]예를 들어 150밀리리터에 50밀리리터를 더하면 200밀리리터를 준다.그러나, 만약 5피트의 측정치를 2인치로 늘린다면, 60인치는 5피트와 동의어이기 때문에, 합계는 62인치다.반면에, 3미터와 4제곱미터를 추가하려고 하는 것은 보통 무의미하다. 왜냐하면 이러한 종류의 고려는 치수 분석에서 기본이기 때문이다.^[24]

추가 수행 중

타고난 능력

1980년대경부터 시작된 수학발전에 관한 연구들은 습관화 현상을 이용했다: 유아들은 예상치 못한 상황을 더 길게 본다.^[25]1992년 카렌 윈이 스크린 뒤에서 조작한 미키마우스 인형을 실험한 결과 생후 5개월 된 유아들은 1+1이 2가 될 것으로 예상했고, 신체적인 상황이 1+1이 1이나 3이라는 것을 암시하는 것처럼 보일 때 비교적 놀랐다.이 발견은 그 이후 다양한 연구소에서 서로 다른 방법론을 사용하여 확인되었다.^[26]또 다른 1992년, 18개월에서 35개월 사이의 유아들을 대상으로 한 실험은 박스에서 탁구공을 회수할 수 있게 함으로써 그들의 운동 제어의 발전을 이용했다; 가장 어린 아이들은 적은 숫자에 대해 좋은 반응을 보인 반면, 나이가 많은 피실험자들은 5까지 합계를 계산할 수 있었다.^[27]

심지어 어떤 비인간적인 동물들 조차도, 특히 영장류를 추가하는 제한된 능력을 보여준다.윈의 1992년 결과를 모방한 1995년 실험에서(그러나 인형 대신 가지들을 사용), 붉은털 마카크, 목화톱 타마린 원숭이는 인간의 유아들과 비슷하게 수행되었다.더 극적으로, 아라비아 숫자 0에서 4까지의 의미를 배운 후, 침팬지 한 마리가 추가 훈련 없이 두 숫자의 합을 계산할 수 있었다.^[28]좀 더 최근에, 아시아 코끼리들은 기본적인 산수를 할 수 있는 능력을 보여주었다.^[29]

유년기 학습

전형적으로, 아이들은 먼저 세는 것을 마스터한다.두 가지 아이템과 세 가지 아이템을 조합해야 하는 문제가 주어졌을 때, 어린 아이들은 종종 손가락이나 그림처럼 물리적인 물체로 상황을 모델링한 다음, 총계를 세어본다.경험을 쌓으면서 그들은 "카운트온" 전략을 배우거나 발견한다: 2 더하기 3을 찾도록 요청하고, 아이들은 2를 세고, "3, 4, 5"라고 말하고, 5시에 도착한다.이 전략은 거의 보편적인 것 같다; 아이들은 또래나 교사들로부터 쉽게 얻을 수 있다.^[30]대부분은 독립적으로 발견한다.추가적인 경험으로, 아이들은 더 많은 숫자의 숫자를 세어 덧셈의 동시성을 이용함으로써 더 빨리 덧셈하는 법을 배우게 된다. 이 경우, 세 개로 시작해서 "4, 5"를 세는 것이다.결국 아이들은 경험이나 암기를 통해 특정한 추가 사실("숫자 결합")을 기억하기 시작한다.일단 어떤 사실들이 기억되기 시작하면, 아이들은 알려지지 않은 사실들을 알려진 것들로부터 이끌어내기 시작한다.예를 들어, 6과 7을 추가해 달라고 한 아이는 6 + 6 = 12를 알고 6 + 7이 하나 더, 즉 13을 더하는 이유를 알 수 있다.^[31]그러한 파생된 사실들은 매우 빨리 발견될 수 있고 결국 대부분의 초등학생들은 유창하게 더하기 위해 암기된 사실과 파생된 사실들의 혼합에 의존한다.^[32]

다른 나라들은 정수와 산수를 다른 나이에 도입하고, 많은 나라들이 예비학교에서 추가수업을 가르치고 있다.^[33]그러나 전 세계적으로 초등학교 1학년이 끝날 때까지 덧셈을 가르친다.^[34]

테이블

아이들은 종종 외우기 위해 0부터 9까지의 숫자 쌍의 추가 표를 제시 받는다.이것을 알면, 아이들은 어떤 추가도 할 수 있다.

십진법

소수점 체계에서 추가하기 위한 전제조건은 100개의 한자리 "추가 사실"을 유창하게 회수하거나 도출하는 것이다.사람들은 모든 사실을 암기할 수 있지만, 패턴 기반 전략은 더 계몽적이고, 대부분의 사람들에게 더 효율적이다.^[35]

• 상호 교환 특성:위에서 언급한 패턴 a + b = b + a를 사용하면 "추가 사실"의 수가 100개에서 55개로 줄어든다.
• 하나 또는 두 개 더:1이나 2를 추가하는 것은 기본적인 작업이며, 그것은 의존하거나 궁극적으로는 직관을 통해 성취될 수 있다.^[35]
• 제로: 0은 부가적인 정체성이기 때문에 0을 추가하는 것은 사소한 것이다.그럼에도 불구하고, 산수를 가르칠 때, 어떤 학생들은 항상 덧셈을 증가시키는 과정으로 추가되도록 소개된다; 단어 문제들은 0의 "예외"를 합리화하는 데 도움을 줄 수 있다.^[35]
• 두 배:숫자를 추가하는 것 자체가 2로 세고 곱셈과 관련이 있다.복식사실은 많은 관련 사실의 근간을 이루고, 학생들은 비교적 이해하기 쉽다는 것을 알게 된다.^[35]
• 거의 의심스러운 경우:6 + 7 = 13과 같은 합은 2중 팩트 6 + 6 = 12에서 1을 더 추가하면 금방 얻을 수 있고, 7 + 7 = 14에서 1을 빼면 얻을 수 있다.^[35]
• 5와 10: 5 + x와 10 + x 형식의 합은 보통 일찍 외우고 다른 사실을 도출하는 데 사용할 수 있다.예를 들어 6 + 7 = 13은 하나를 더 추가하여 5 + 7 = 12에서 도출할 수 있다.^[35]
• 만들기 10: 고급 전략은 8 또는 9를 포함하는 합계에 대해 10을 중간으로 사용한다. 예를 들어 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.^[35]

학생들은 나이가 들면서 더 많은 사실을 기억하게 되고, 다른 사실을 빠르고 유창하게 도출하는 법을 배운다.많은 학생들은 모든 사실을 기억하지 못하지만, 여전히 어떤 기본적인 사실들을 빨리 찾을 수 있다.^[32]

운반하다

다중값 번호를 추가하는 표준 알고리즘은 오른쪽의 열에서 시작하여 추가값을 수직으로 정렬하고 열을 추가하는 것이다.열이 9를 초과하면 여분의 숫자가 다음 열로 "캐리어"된다.예를 들어, 추가 27 + 59

¹   27 + 59 ————   86

7 + 9 = 16이고 숫자 1은 캐리어다.^[b]대체 전략은 왼쪽의 가장 중요한 숫자에서 추가하기 시작한다. 이 경로는 좀 더 서툴지만, 대략적인 합계를 얻는 데는 더 빠르다.여러 가지 대안이 있다.

소수분수

위의 과정을 간단히 수정하면 소수점 분수를 추가할 수 있다.^[36]하나는 같은 위치에 있는 소수점과 두 개의 소수점을 서로 정렬한다.필요한 경우 후행 0을 더 짧은 소수점에 추가하여 긴 소수점과 같은 길이로 만들 수 있다.마지막으로, 소수점은 답안에 배치되는 것을 제외하고, 그것은 정확히 요약에 배치되는 것을 제외하고, 위와 같은 추가 과정을 수행한다.

예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 해결할 수 있다.

4 5 . 1 0 +  0 4 . 3 4 ————————————    4 9 . 4 4

과학 표기법

과학적 표기법에서 숫자는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ b ${\$ x$=a=\times 10^{b}$ 형식으로 쓰여 있는데$,$ $여기$서 ${\displaystyle a}$은 의의, ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$는 지수 부분이다.덧셈은 동일한 지수 파트를 사용하여 과학 표기법에서 두 개의 숫자를 나타내도록 요구하므로, 두 개의 의의는 간단히 추가될 수 있다.

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle 2.34\cHB 10^{-5}+5.67\cHB 10^{-6}=2.34\cHB 10^{-5}+0.567\cHB 10^{5}=2.907\cHB{-5}}}}}}}표시장치 10^{-5}$

십진수 이외

다른 염기서열에서 덧셈은 십진법 덧셈과 매우 비슷하다.예를 들어, 이진법에서의 추가를 고려할 수 있다.^[37]한 자릿수의 이진수 두 개를 추가하는 것은 운반 형식을 사용하여 비교적 간단하다.

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, 1을 운반한다(1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹)

"1"자리 두 개를 추가하면 숫자 "0"이 생성되고, 1은 다음 열에 추가되어야 한다.이는 특정 한 자릿수 숫자가 함께 추가될 때 십진수에서 발생하는 것과 유사하며, 결과가 라디스의 값(10)과 같거나 초과될 경우 왼쪽에 있는 자릿수가 증가된다.

5 + 5 → 0, 1을 운반한다(5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹)

7 + 9 → 6, 1을 운반한다(7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹)

이것을 운반하는 것으로 알려져 있다.^[38]덧셈의 결과가 자릿수 값을 초과했을 때, 그 초과량을 라디스로 나눈 값(즉, 10/10)을 왼쪽으로 "캐리(carry)"하여 다음 위치 값에 더하는 것이다.다음 위치는 라디스와 동일한 인자에 의해 더 높은 가중치를 가지기 때문에 이것은 정확하다.운반은 2진수로 동일한 방식으로 작동한다.

1 1 1 1 1 (자릿수) 0 1 0 1 + 1 0 1 1 1 -—————————————————— 1 0 1 0 = 36

이 예에서는 01101₂(13₁₀)과 10111₂(23₁₀)의 두 숫자를 함께 추가하고 있다.맨 위 행은 사용된 운반 비트를 보여준다.맨 오른쪽 열에서 시작하여 1 + 1 = 10₂.1은 왼쪽으로 옮겨지고, 0은 가장 오른쪽 열의 맨 아래에 쓰여진다.오른쪽에서 두 번째 열이 추가된다: 1 + 0 + 1 = 10₂, 1은 운반되고, 0은 하단에 기록된다.세 번째 열: 1 + 1 + 1 = 11₂.이번에는 1을 들고, 맨 아래 줄에 1을 쓴다.이렇게 진행하면 100100₂(36₁₀)의 최종 답이 나온다.

컴퓨터

추가(Op-amp 포함)자세한 내용은 요약 앰프를 참조하십시오.

아날로그 컴퓨터는 물리적인 양으로 직접 작동하기 때문에 추가 메커니즘은 덧셈의 형태에 따라 달라진다.기계적 부속기는 슬라이딩 블록의 위치로 두 개의 덧셈을 나타낼 수 있으며, 이 경우 평균 레버를 사용하여 추가할 수 있다.추가가 2축의 회전 속도인 경우, 차동축으로 추가할 수 있다.수압 부속기는 피스톤의 조립체에서 힘의 균형을 맞추기 위한 뉴턴의 두 번째 법칙을 이용하여 두 개의 챔버에 압력을 가할 수 있다.범용 아날로그 컴퓨터의 가장 일반적인 상황은 두 개의 전압(접지에 참조)을 추가하는 것이다. 이 전압은 저항기 네트워크를 통해 대략적으로 달성될 수 있지만 더 나은 설계는 작동 증폭기를 이용한다.^[39]

추가는 디지털 컴퓨터의 작동에도 기본이며, 추가의 효율, 특히 운반 메커니즘은 전체적인 성능에 중요한 한계가 된다.

추가 및 운반 메커니즘을 포함한 찰스 배비지의 차이 엔진의 일부

계산틀이라고도 불리는 주판은 현대 숫자 체계가 채택되기 수 세기 전에 사용되었던 계산 도구로, 아시아, 아프리카 등지에서 상인, 상인, 점원들에 의해 여전히 널리 사용되고 있다; 그것은 수메르에서 사용되었던 기원전 2700–2300년으로 거슬러 올라간다.^[40]

Blaise Pascal은 1642년에 기계식 계산기를 발명했다;^[41] 그것은 최초의 작동 덧셈 기계였다.그것은 중력 지지 운반 메커니즘을 이용했다.그것은 17세기에^[42] 작동되는 유일한 기계식 계산기였고 가장 초기 자동 디지털 컴퓨터였다.파스칼의 계산기는 운반 메커니즘에 의해 제한되었고, 이것은 바퀴가 추가될 수 있도록 한 방향으로만 회전하도록 강요했다.빼기 위해서는 운영자가 파스칼의 계산기 보완장치를 사용해야 했는데, 이 계산기는 덧셈과 같은 많은 단계가 필요했다.지오바니 폴레니는 파스칼을 따라 1709년에 두 번째 기능 기계 계산기를 만들었는데, 이 계산 시계는 일단 설정되면 자동으로 두 개의 숫자를 곱할 수 있는 나무로 만들어졌다.

"완전 Adder" 로직 회로는 2진수 A와 B를 캐리어 입력 C와_in 함께 추가하여 합계 비트, S 및 캐리어 출력 C를_out 생성한다.

추가자는 전자 디지털 컴퓨터에서 정수 추가를 실행하며, 보통 이진 산수를 사용한다.가장 단순한 아키텍처는 표준 다자리 알고리즘을 따르는 리플 운반 애더다.한 가지 약간 개선된 점은 운반 건너뛰기 설계로, 인간의 직관에 따라 다시 한번 설계하는 것이다. 999 + 1 계산에서 모든 운반 작업을 수행하는 것은 아니지만, 9s 그룹을 우회하여 답을 건너뛰는 것이다.^[43]

실제로 연산 추가는 아래 유사코드에 나타난 비트시프트 연산과 관련하여 XOR 및 AND 비트 와이즈 논리 연산을 통해 달성할 수 있다.XOR와 AND 게이트는 모두 디지털 로직에서 실현하기 쉬우며, 이를 보다 복잡한 논리 연산으로 결합할 수 있는 완전한 추가 회로를 실현한다.현대의 디지털 컴퓨터에서 정수 첨가는 일반적으로 가장 빠른 산술 명령이지만, 모든 부동 소수점 연산은 물론 메모리 액세스 중 주소 생성 및 분기 중 명령어 가져오기 등과 같은 기본적인 작업의 기초가 되기 때문에 성능에 가장 큰 영향을 미친다.속도를 증가시키기 위해, 현대 디자인은 숫자를 병렬로 계산한다; 이러한 방법들은 carrier select, carrier ahead, Ling philosocarry와 같은 이름으로 통한다.사실 많은 구현은 이 마지막 세 가지 설계의 혼합물이다.^[44][45]종이에 추가되는 것과 달리, 컴퓨터에 추가되는 것은 종종 덧셈을 바꾼다.고대 주판과 덧판에는 두 가지 덧셈이 모두 파괴되어 합금만 남는다.수학적 사고에 대한 주판의 영향력은 라틴어 초기의 문헌에서는 '숫자에 숫자'를 추가하는 과정에서 두 숫자가 모두 사라진다고 주장할 정도로 강했다.^[46]현대에는 마이크로프로세서의 ADD 지시는 종종 합계를 대체하지만 부록을 보존한다.^[47]높은 수준의 프로그래밍 언어에서, + b를 평가하는 것은 a나 b 둘 중 어느 쪽도 변경되지 않는다; 만약 a를 합으로 대체하는 것이 목표라면, 이것은 명시적으로 요청되어야 한다, 일반적으로 a = + b. C 또는 C++와 같은 일부 언어들은 이것을 += b로 축약할 수 있다.

// 반복 알고리즘 인트로 덧셈을(인트로 x, 인트로 y) {     인트로 나르다 = 0;     하는 동안에 (y != 0) {               나르다 = AND(x, y);   // 논리적 AND         x     = XOR(x, y);   // 논리적 XOR         y     = 나르다 << 1;  // 비트를 1개씩 날라다.     }     돌아오다 x;  }  // 재귀 알고리즘 인트로 덧셈을(인트로 x, 인트로 y) {     돌아오다 x 만일 (y == 0) 다른 덧셈을(XOR(x, y), AND(x, y) << 1); } 

컴퓨터에서 덧셈의 결과가 너무 커서 저장할 수 없을 경우 산술 오버플로가 발생하여 오답이 발생한다.예상치 못한 산술적 오버플로가 프로그램 오류의 꽤 흔한 원인이다.이러한 오버플로 버그는 유효성 검사 테스트에 사용될 가능성이 낮은 매우 큰 입력 데이터 집합에 대해서만 나타날 수 있기 때문에 발견하고 진단하기가 어려울 수 있다.^[48]2000년 문제는 수년 동안 두 자릿수 형식을 사용했기 때문에 오버플로 오류가 발생한 버그 시리즈였다.^[49]

숫자 추가

일반적인 추가 특성을 입증하려면 먼저 해당 컨텍스트에 대한 추가를 정의해야 한다.덧셈은 먼저 자연수에 대해 정의된다.집합론에서는 자연수, 즉 정수, 이성수, 실수를 포함하는 점진적으로 큰 집합으로 추가된다.^[50] (수학 교육에서는 음수를 고려하기도 전에 양의 분수가 추가된다.^[51] 이것이 역사적 경로이기도 하다.)^[52]

자연수

두 개의 자연수 a와 b의 합을 정의하는 두 가지 일반적인 방법이 있다.만일 자연수를 유한 집합의 추기경( 집합의 카디널리티는 집합의 원소 수)으로 정의한다면, 그 합을 다음과 같이 정의하는 것이 적절하다.

• N(S)을 S 집합의 카디널리티로 한다.N(A) = a, N(B) = b와 함께 두 개의 분리형 세트 A와 B를 취하십시오. 그러면 a + $b$는${\displaystyle }$N(${\displaystyle A}$b ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle N(A\cup B)}$로 정의된다$.$^[53]

여기서 A and B는 A와 B의 결합이다.이 정의의 대체 버전은 A와 B가 중복될 수 있도록 한 다음 이들의 분리 결합을 취하는데, 이것은 공통 요소를 분리하여 두 번 계수할 수 있는 메커니즘이다.

다른 일반적인 정의는 재귀적이다.

• n을⁺ n의 후계자가 되게 하라, 그것은 자연수에서 n을 따르는 숫자이므로 0⁺=1, 1⁺=2.+ 0 = a를 정의하십시오.일반 합계를 + (b⁺) = (a + b)로 재귀적으로 정의한다.⁺따라서 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)^+[54] = 1 = 2⁺

다시 말하지만, 문헌에는 이 정의에 대한 약간의 변화가 있다.문자 그대로, 위의 정의는 부분적으로 순서가 정해진 N에² 대한 재귀 정리를 적용한 것이다.^[55]한편, 일부 출처는 자연수 집합에만 적용되는 제한된 재귀 정리를 사용하는 것을 선호한다.그런 다음 a가 일시적으로 "고정"된 것으로 간주하고, b에 반복을 적용하여 함수 "a +"를 정의하며, 이러한 단항연산을 전체 이진연산을 구성하기 위해 함께 붙여넣는다.^[56]

이 반복적인 덧셈의 공식은 1854년에 드데킨드에 의해 개발되었고, 그는 이후 수십 년 안에 그것을 확장시킬 것이다.^[57]그는 수학적 유도를 통해 다른 것들 중에서도 연상적이고 상통적인 성질을 증명했다.

정수

정수의 가장 간단한 개념은 절대값(자연수)과 부호(일반적으로 양수 또는 음수)로 구성된다는 것이다.정수 0은 양수도 음수도 아닌 특수한 제3의 경우다.해당 추가 정의는 다음과 같은 경우에 의해 진행되어야 한다.

• 정수 n의 경우 n을 절대값으로 한다.a와 b를 정수가 되게 하라.a 또는 b 중 하나가 0이면, 그것을 정체성으로 취급한다.a와 b가 모두 양이면 + b = a + b를 정의하고, a와 b가 모두 음이면 + b = -( a + b )를 정의한다.a와 b가 기호가 다르면 절대값이 더 큰 용어의 기호로 a와 b의 차이를 + b로 정의한다.^[58]예를 들어 -6 + 4 = -2; -6과 4는 부호가 다르기 때문에 절대값을 뺄 수 있고, 음의 항 절대값이 크므로 정답은 음의 값이다.

비록 이 정의가 구체적인 문제에 유용할 수 있지만, 고려해야 할 경우의 수는 불필요하게 증거를 복잡하게 만든다.그래서 다음 방법은 일반적으로 정수를 정의하는 데 사용된다.모든 정수는 두 개의 자연 정수의 차이이며, a – b와 c – d는 + d = b + c인 경우에만 동일하다는 말에 근거한다. 따라서 정수는 공식적으로 동등성 관계에 따라 순서가 지정된 자연수 쌍의 동등성 등급으로 정의할 수 있다.

(a, b) ~ (c, d) + d = b + c인 경우에만 해당.

(a, b)의 등가 등급은 a b일 경우 (a – b, 0) 또는 (0, b – a) 중 하나를 포함한다.n이 자연수인 경우, 동등성 등급은 (n, 0), 동등성 등급은 (0, n)로 +n을 나타낼 수 있다.이를 통해 자연수 n을 동등성 등급 +n으로 식별할 수 있다.

순서가 지정된 쌍의 추가는 구성 요소별로 수행된다.

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

간단한 계산을 통해 결과의 동등성 등급은 요약의 동등성 등급에만 의존한다는 것을 알 수 있으며, 따라서 이것은 정수인 동등성 등급의 추가를 정의한다.^[59]다른 간단한 계산은 이 추가가 위의 사례 정의와 동일하다는 것을 보여준다.

정수를 자연수 쌍의 동등성 등급으로 정의하는 이 방법은 취소 속성을 가진 모든 상호 교환적 의미 그룹을 그룹에 포함시키는 데 사용될 수 있다.여기서, 세미그룹은 자연수에 의해 형성되고 그룹은 정수의 첨가된 그룹이다.합리적인 숫자는 곱셈을 가진 0이 아닌 정수를 세미그룹으로 취함으로써 유사하게 구성된다.

이 건설은 또한 그랜디크 그룹이라는 이름으로 교환적인 세미그룹의 경우에 일반화되었다.취소 속성이 없다면, 세미그룹에서 그룹으로의 세미그룹 동형성은 비주관적일 수 있다.원래 그로텐디크 집단은 보다 구체적으로 아벨 범주 객체의 이형화 하의 동등성 등급에 적용되는 이 건설의 결과로서 직접 합계가 세미그룹 운영으로 적용되었다.

합리적 수(추정)

합리적인 숫자의 추가는 최소 공통 분모를 사용하여 계산할 수 있지만, 개념적으로 단순한 정의는 정수 추가와 곱셈만 포함한다.

• ${\displaystyle \frac{b}{}}$+ ${\displaystyle c\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$= d${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\frac 스타일 {\$frac {a$}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$을(를) 정의하십시오.$}$

As an example, the sum ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$.

Addition of fractions is much simpler when the denominators are the same; in this case, one can simply add the numerators while leaving the denominator the same: ${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$, so ${\displaystyle {\frac {1}{4}}$$+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4$$}$$}}}={\frac{3}{4$^[60]

합리적 덧셈의 동시성과 연상성은 정수 산술 법칙의 쉬운 결과물이다.^[61]보다 엄격하고 일반적인 설명은 분수 필드를 참조하십시오.

실수

Dedekind² cuts of rationals를 사용하여 //6 및 e를 추가한다.

실수의 집합에 대한 일반적인 구조는 합리적인 숫자 집합의 디데킨드 완성이다.실제 숫자는 아래로 닫히고 가장 큰 요소가 없는, 비어 있지 않은 이성들의 집합인 데데킨드 이성들의 집합으로 정의된다.실제 숫자 a와 b의 합은 요소별로 정의된다.

• ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$= {${\displaystyle q}$+ r${\displaystyle }$∣ ${\displaystyle q}$q ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.$$}$^[62]

이 정의는 1872년 리차드 데데킨드에 의해 약간 수정된 형태로 처음 발표되었다.^[63]실제 덧셈의 공통성과 연상성은 즉각적이다; 실제 숫자 0을 부정적인 이성들의 집합으로 정의하면, 그것은 첨가된 정체성으로 쉽게 보여진다.아마도 첨가와 관련된 이 구성의 가장 까다로운 부분은 첨가제의 정의일 것이다.^[64]

Cauchy 시퀀스 of rationals를 사용하여 π²/6 및 e를 추가한다.

불행히도, 디데킨드 컷의 곱셈을 다루는 것은 서명된 정수의 추가와 유사하게 시간 소모적인 사례별 과정이다.^[65]또 다른 접근방식은 합리적인 숫자의 미터법 완성이다.실제 숫자는 본질적으로 cauchy sequence of rationals, im im_n a로 정의된다.추가는 용어별로 정의된다.

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ n (${\displaystyle \underset{}{}{n}_{}}$+ ${\displaystyle b_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_${n$}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})$을 정의하십시오.$}$^[66]

이 정의는 게오르크 칸토르에 의해 처음 발표되었는데, 1872년 역시 그의 형식주의는 약간 달랐다.^[67]이 작전이 잘 정의되어 있다는 것을 증명해야 하며, 공동의 카우치 시퀀스를 다루어야 한다.일단 그 작업이 완료되면, 실제 덧셈의 모든 속성은 합리적인 숫자의 속성에서 즉시 따라온다.게다가, 곱셈을 포함한 다른 산술 연산들은 직설적이고 유사한 정의를 가지고 있다.^[68]

콤플렉스

평행사변형을 구성하면 두 개의 복잡한 숫자를 기하학적으로 추가할 수 있다.

복합적인 숫자는 총수의 실제와 가상의 부분을 추가함으로써 추가된다.^[69][70]즉, 다음과 같다.

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

복잡한 평면에서 복잡한 숫자의 시각화를 이용하여 덧셈은 다음과 같은 기하학적 해석을 가지고 있다: 복합 평면의 점으로 해석되는 두 개의 복잡한 숫자 A와 B의 합은 정점 3의 평행사변형을 만들어 얻은 X이다.마찬가지로 X는 정점 O, A, B, X, B, A가 있는 삼각형이 합치되는 지점이다.

일반화

실수에 대한 추가 연산의 일반화로 볼 수 있는 많은 이진 연산이 있다.추상대수학 분야는 이러한 일반화된 연산을 중심적으로 다루고 있으며, 집합 이론과 범주 이론에도 나타난다.

추상대수학

벡터

선형대수학에서 벡터공간은 어떤 두 벡터를 추가하고 벡터를 스케일링할 수 있는 대수적 구조다.친숙한 벡터 공간은 순서가 정해진 모든 실수 쌍의 집합이다. 순서 쌍(a,b)은 유클리드 평면의 원점에서 평면 내의 지점(a,b)까지 벡터로 해석된다.두 벡터의 합은 개별 좌표를 추가하여 구한다.

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

이 추가 연산은 속도, 가속도, 힘이 모두 벡터로 표현되는 고전 역학의 중심이다.^[71]

행렬

매트릭스 추가는 동일한 치수의 두 행렬에 대해 정의된다.A + B로 표시된 2 m × n ("m by n"으로 발음되는) 행렬 A와 B의 합은 다시 해당 요소를 추가하여 계산한 m × n 행렬이다.^[72][73]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}+\mathbf{B}&={\begin{bmatrix}a_{11}&, a_{12}&, \cdots &, a_{1n}\\a_{21}&, a_{22}&, \cdots, a_{2n}\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\a_{m1}&, a_{m2들}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&, b_{12}&, \cdots & &, b_{1n}\\b_{21}&, b_{22}&, \cdots.&b_{2n}\\\vdots, \vdots &, \ddots &, \vdots \\b_{m1}&, b_{m2들}&, \cdots &, b_{중성자의 정지 질량}\ &.\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

모듈식 산술

모듈형 산술에서 사용 가능한 숫자의 집합은 정수의 유한 부분집합으로 제한되며, 계량이라 불리는 특정 값에 도달하면 "주위를 휘감는다"는 덧셈이 있다.예를 들어, 정수모듈로 12의 집합은 12개의 요소를 가지고 있다; 그것은 음악 세트 이론의 중심인 정수로부터 추가 연산을 계승한다.정수 modulo 2의 집합은 단지 두 개의 요소만 가지고 있다; 그것이 계승하는 추가 연산은 부울 논리에서는 "독점 또는" 함수로 알려져 있다.기하학적 구조에서 유사한 "주변 덫" 연산이 발생하는데, 여기서 두 각도 측정의 합은 종종 실제 숫자 modulo 2㎛로 취해진다.이는 원의 추가 작업에 해당하며, 이는 다시 다차원 토리에 대한 추가 작업에 일반화된다.

일반론

추상 대수학의 일반 이론은 집합에서 "추가" 연산이 어떤 연관성 있고 조합적인 연산이 될 수 있도록 한다.그러한 추가 연산을 가진 기본적인 대수학적 구조는 역행성 모노이드와 아벨리아 그룹을 포함한다.

이론 및 범주 이론 설정

자연수를 추가하는 광범위한 일반화는 집합 이론에서 서수 숫자와 기수를 추가하는 것이다.이것들은 두 가지의 다른 일반화를 통해 트랜스피나이트에 자연수를 더하는 것을 제공한다.대부분의 추가 연산과는 달리, 순서형 번호의 추가는 서로 일치하지 않는다.^[74]그러나 추기경 숫자 추가는 노조 분열 운영과 밀접한 관련이 있는 상호 교환적 운영이다.

범주 이론에서, 분리 결합은 공동 결합 작업의 특정한 사례로 간주되며,^[75] 일반 결합은 아마도 추가의 모든 일반화 중 가장 추상적인 것일 것이다.직접 합과 쐐기 합과 같은 일부 합금들은 덧셈과의 연관성을 환기하기 위해 이름이 붙는다.

관련업무

덧셈은 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 함께 기본 연산 중 하나로 간주되어 초등 산술에 사용된다.

산술

뺄셈은 일종의 덧셈, 즉 덧셈 역의 덧셈으로 생각할 수 있다.뺄셈은 x를 더하는 것과 빼는 것이 역함수라는 점에서 그 자체가 덧셈에 대한 일종의 역함수다.

추가 연산이 있는 집합이 주어진다면, 항상 해당 집합에 해당하는 감산 연산을 정의할 수 없다. 자연수 집합은 간단한 예다.한편, 뺄셈 연산은 덧셈 연산, 덧셈 역 연산, 덧셈 아이덴티티를 고유하게 결정하므로, 덧셈 그룹은 뺄셈에서 닫히는 집합으로 설명할 수 있다.^[76]

곱셈은 반복적인 덧셈이라고 생각할 수 있다.하나의 용어 x가 n번 합으로 나타난다면, 합은 n과 x의 산물이다. n이 자연수가 아니라면, 제품은 여전히 타당할 수 있다. 예를 들어, 곱셈은 숫자의 역수를 산출한다.

원형 슬라이드 규칙

실제 숫자와 복잡한 숫자에서 덧셈과 곱셈은 지수함수에 의해 상호 교환될 수 있다.^[77]

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

이 아이덴티티는 로그 표를 참조하고 손으로 계산하는 방식으로 곱셈을 할 수 있으며 슬라이드 규칙에 곱셈을 할 수도 있다.이 공식은 여전히 Lie 그룹의 넓은 맥락에서 훌륭한 1차 근사치로, 관련된 Lie 대수에서 벡터 추가와 소수 그룹 요소의 곱셈을 연관시킨다.^[78]

덧셈보다 곱셈의 일반화가 훨씬 더 많다.^[79]일반적으로 곱셈 연산은 항상 덧셈에 따라 분포한다. 이 요구 조건은 링의 정의에서 공식화된다.정수, 덧셈에 대한 분배성, 그리고 곱셈적 아이덴티티의 존재와 같은 어떤 맥락에서는 곱셈 연산을 고유하게 결정하기에 충분하다.또한 분배속성은 추가에 대한 정보를 제공한다; 두 가지 방법으로 제품(1 + 1)(a + b)을 확장함으로써, 추가가 상응할 수밖에 없다고 결론짓는다.이러한 이유로 링 추가는 일반적으로 상응한다.^[80]

나눗셈은 덧셈과 관련된 산술 연산이다.a/b = a(b⁻¹)^[81]이므로, (a + b) / c = a/c + b/c.그러나, 추가에 대한 분할은 좌분할이 아니다; 1 / (2 + 2)는 1/2 + 1/2과 같지 않다.

주문

x = 0.001 ~ 1000의^[82] x + 1 및 최대(x, 1)의 로그 그림

최대 연산 "max (a, b)"는 덧셈과 유사한 이진 연산이다.실제로 두 개의 음수가 아닌 a와 b의 크기가 서로 다른 경우, 이들의 합은 대략 최대값과 같다.이 근사치는 예를 들어 Taylor 시리즈를 잘라내는 것과 같이 수학의 응용에 매우 유용하다.그러나 "max"는 수치로 환산할 수 없기 때문에 수치 분석에 영구적인 난이도를 나타낸다.b가 a보다 훨씬 크면 (a + b) - b의 간단한 계산은 수용할 수 없는 반올림 오차를 누적할 수 있으며, 어쩌면 0을 반환할 수도 있다.유의성 상실을 참조하십시오.

근사치는 일종의 무한 한계에서 정확해진다. a 또는 b 중 하나가 무한 기수라면 그들의 기수 합은 둘 중 더 큰 것과 정확히 같다.^[83]이에 따라 무한 추기경에게는 뺄셈 수술이 없다.^[84]

최대화는 덧셈과 같이 상호적이고 연상적이다.또한 덧셈은 실제 숫자의 순서를 보존하기 때문에 덧셈은 덧셈보다 곱셈이 더해지는 것과 같은 방식으로 "최대"에 걸쳐 분포한다.

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)}$

이러한 이유로 열대 기하학에서는 곱셈을 덧셈으로 대체하고, 덧셈을 최대로 한다.이런 맥락에서 덧셈은 "열대 곱셈"이라고 하고, 극대화는 "열대 덧셈"이라고 하며, 열대 "가용성 정체성"은 음의 무한대라고 한다.^[85]일부 저자들은 덧셈을 최소화로 대체하는 것을 선호한다. 그러면 첨가된 아이덴티티는 양의 무한성이 된다.^[86]

이러한 관측치를 하나로 묶으면 열대 추가는 로그에 의한 정규 추가와 거의 관련이 있다.

${\displaystyle \log(a+b)\cHB 관련 \max(\log a,\log b),}$

로그의 기저값이 증가함에 따라 정확도가 높아진다.^[87]근사치는 양자역학에서 플랑크의 상수와 유추하여 명명된 상수 h를 추출하고,^[88] h가 0이 되는 경향이 있는 "클래식 한계"를 취함으로써 정확하게 만들 수 있다.

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

이런 의미에서 최대 연산은 추가의 양적화 버전이다.^[89]

기타 추가 방법

후속작전으로도 알려진 증가는 숫자에 1을 더하는 것이다.

Summary는 임의로 많은 수의 숫자를 추가하는 것을 기술하는데, 보통 2개 이상이다.그것은 그 자체인 단일수의 합과 0인 빈수의 합을 포함한다.^[90]무한정 합치는 시리즈로 알려진 섬세한 절차다.^[91]

유한 집합을 계산하는 것은 집합에 대한 합계 1과 같다.

통합은 연속체에 대한 일종의 "요약"이며, 더 정확하고 일반적으로는 다른 다지관에 대한 것이다.0차원 다지관을 통한 통합은 합산으로 감소한다.

선형 결합은 곱셈과 합계를 결합한다; 그것들은 각 항이 일반적으로 실제 또는 복잡한 숫자로 승수를 갖는 합이다.선형 결합은 게임 이론에서의 전략의 혼합이나 양자 역학에서의 상태의 중첩과 같이 간단한 덧셈이 일부 정규화 규칙을 위반하는 맥락에서 특히 유용하다.^[92]

콘볼루션은 분포 함수에 의해 정의된 두 개의 독립 랜덤 변수를 추가하는 데 사용된다.그것의 통상적인 정의는 통합, 뺄셈, 곱셈을 결합한다.^[93]일반적으로, 콘볼루션은 일종의 도메인 측 추가로서 유용하다. 반대로 벡터 추가는 범위 측 추가의 일종이다.

참고 항목

• 월산수
• 암산
• 병렬 추가(수학)
• 구두 산술(암호라고도 함), 추가가 포함된 퍼즐

메모들

각주

참조

추가 읽기

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. p. 75. ISBN 0-8058-3155-X.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8.
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0.
• Poonen, Bjorn (2010). "Addition". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743.
• Weaver, J. Fred (1982). "Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective". Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. p. 60. ISBN 0-89859-171-6.