궤적

오르막 표적을 향해 발사된 총알의 궤적을 보여주는 그림입니다.

궤도 또는 비행 경로는 움직이는 질량을 가진 물체가 시간의 함수로 공간을 통과하는 경로입니다.고전 역학에서 궤적은 표준 좌표를 통해 해밀턴 역학에 의해 정의된다. 따라서 완전한 궤적은 위치와 운동량에 의해 동시에 정의된다.

그 덩어리는 발사체일 수도 있고 ^[1]인공위성일 수도 있다.예를 들어, 그것은 궤도가 될 수 있다 – 행성, 소행성 또는 혜성이 중심 질량 주위를 이동할 때의 경로.

제어 이론에서 궤적은 동적 시스템의 시간 순서 집합이다(예:Poincaré 지도).이산수학에서 궤적은 $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ ( $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ ) $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ k $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ N ${displaystyle (f^{k}($ )))이다. $소스$ $요소$ x $(\$ displaystylex)에 $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ 대한 $x$ $매핑$ f\ $displaystyle$ f $}$ 의 $f$ 반복 적용에 의해 계산된 값의 _ ${k\in$ \ $mathbb {N}}.$

궤도 물리학

궤도의 친숙한 예는 던져진 공이나 돌과 같은 발사체의 경로입니다.상당히 단순화된 모형에서 물체는 균일한 중력장의 영향 아래에서만 움직입니다.이것은 달 표면과 같이 가까운 거리에 던져진 바위에 대한 좋은 근사치가 될 수 있습니다.이 간단한 근사치에서는 궤적이 포물선 모양을 취합니다.일반적으로 궤적을 결정할 때는 불균일한 중력 및 공기저항(끌림 및 공기역학)을 고려해야 할 수 있습니다.이것이 탄도학 규율의 초점이다.

뉴턴 역학의 주목할 만한 업적 중 하나는 케플러의 행성 운동 법칙의 파생이었다.점 질량이나 (태양과 같이) 구대칭으로 확장된 질량의 중력장에서, 움직이는 물체의 궤적은 보통 타원 또는 쌍곡선인 ^[a]원뿔 단면입니다.혜성이 태양 근처를 지나가면 궤도를 수정하고 혜성이 우주로 물질을 방출하는 태양풍과 복사압과 같은 다른 힘에 의해 영향을 받지만, 이것은 행성, 혜성, 인공 우주선의 관측된 궤도와 상당히 좋은 근사치와 일치합니다.

뉴턴의 이론은 나중에 고전 역학으로 알려진 이론 물리학의 한 분야로 발전했다.그것은 미적분학의 수학을 사용한다.수세기에 걸쳐, 수많은 과학자들이 이 두 분야의 발전에 기여해 왔다.고전 역학은 이성적 사고, 즉 과학 및 기술에서 가장 두드러진 증명서가 되었다.그것은 방대한 범위의 현상을 이해하고 예측하는 데 도움이 됩니다. 궤적은 하나의 예에 불과합니다.

질량 $({displaystyle$ m $m$ 입자가 잠재적 $V$ ({ $displaystyle$ V $V$ 내에서 이동한다고 가정합니다. 물리적으로 질량은 관성을 나타내며 $필드$ V $({displaystyle$ V})는 "보수적"으로 알려진 특정 종류의 외부 힘을 나타냅니다 $V$ .모든 관련 위치에서 V{\ $displaystyle$ V $}$ 를 $V$ $V$ 하면, 중력에서와 같이 해당 위치에서 작용하는 관련 힘을 추론할 수 있는 방법이 있습니다.그러나 모든 힘이 이런 식으로 표현될 수 있는 것은 아니다.

입자의 움직임은 2차 미분 방정식으로 설명됩니다.

\displaystyle m440frac {mathrm {d}^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}=-\vec V({\vec {x}}}(t){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}

오른쪽에는 궤적을 따라 위치하는 $\nabla V$ 의 기울기인 $\nabla V$ § V $(\displaystyle\nabla$ V $\nabla V$ 로 힘이 주어진다.이것은 뉴턴의 운동 제2법칙의 수학적인 형태입니다: 그러한 상황에서 힘은 질량에 가속도를 곱한 것과 같습니다.

예

항력도 바람도 없는 균일한 중력

70° 각도로 던진 질량의 궤적
힘들이지 않고
Stokes 드래그 포함
뉴턴 드래그와 함께

다른 힘(공기 항력 등)이 없을 때 균일한 중력장에서 발사체가 움직이는 이상적인 사례는 갈릴레오 갈릴레이에 의해 처음 연구되었다.궤적을 형성하는데 있어서 대기의 작용을 무시하는 것은 유럽의 중세 내내 실용적인 생각을 가진 연구자들에 의해 헛된 가설로 여겨졌을 것이다.그럼에도 불구하고, 나중에 그의 협력자인 에반젤리스타 토리첼리에^{[citation needed]} 의해 지구에서 입증될 진공의 존재를 예상함으로써, 갈릴레오는 미래의 ^{[citation needed]}역학 과학을 시작할 수 있었다.가까운 진공상태에서, 예를 들어 달에서 밝혀진 것처럼, 그의 단순화된 포물선 궤적은 본질적으로 옳다는 것을 증명한다.

다음 분석에서는 정지 상태의 관성 프레임에서 지면에 대해 측정된 발사체의 운동 방정식을 도출한다.프레임과 관련된 것은 발사체의 발사 지점에서 원점을 갖는 우측 좌표계입니다. $x(\$ displaystyle $x$ $)$ 축은 $x$ 지면과 접하며 y $(\displaystyle$ y $)$ 축은 $y$ 지면과 수직입니다(중력장 라인과 평행).g $\displaystyle$ g를 $g$ 중력가속도로 $합니다$ .평탄한 지형을 기준으로 초기 $v_{h}=v\cos(\theta )$ $속도$ 를 $v_{h}=v\cos(\theta )$ h = v cos $v_{h}=v\cos(\theta )$ ( （ \ $theta$ $v_{v}=v\sin(\theta )$ $）$ 로 $v_{h}=v\cos(\theta )$ 하고, 초기 수직 속도를 $v_{v}=v\sin(\theta )$ $2v_{h}v_{v}/g$ $= v$ （ \ $theta$ ）로 $v_{v}=v\sin(\theta )$ . 또한 v $/h$ 범위도 $2v_{h}v_{v}/g$ 됩니다.최대 고도는 v $v_{v}^{2}/2g$ / $v_{v}^{2}/2g$ g({ $display v_{$ v}^ $2}/2g$ 입니다.특정 초기 $속도$ v {\ $displaystyle$ v}의 $v$ 최대 범위는 $v_{h}=v_{v}$ h $v_{h}=v_{v}$ $v_{h}=v_{v}$ {\ $displaystyle v_{h$ } $=$ $v_{$ $v$ $v_{h}=v_{v}$ 일 때 구합니다. 이 범위는 v $v^{2}/g$ / $v^{2}/g$ {\ $displaystyle$ v $^{\$ display $^{\circ }$ $g$ 이고 최대 범위에서의 고도는 $v^{2}/(4g)$ v $v^{2}/(4g)$ / $v^{2}/(4g)$ 입니다. $(\displaystyle$ v $^{2}/(4g$

운동 방정식의 유도

발사체의 움직임이 t = 0에서 (x,y) = (0,0)에 있는 자유 낙하 프레임에서 측정된다고 가정합니다.(등가 원리에 따라) 이 $y=x\tan(\theta )$ 에서 발사체의 운동 방정식은 y $y=x\tan(\theta )$ $y=x\tan(\theta )$ tan $y=x\tan(\theta )$ ( $\$ $displaystyle$ y $= x$ \ $tan$ ( \ $theta$ ) 입니다 $y=x\tan(\theta )$ 관성 프레임에 대한 이 자유 낙하 프레임의 공칭은 y $y=-gt^{2}/2$ - $y=-gt^{2}/2$ t $y=-gt^{2}/2$ / $y=-gt^{2}/2$ $({$ $displaystyle$ y = - $gt$ } / $y=-gt^{2}/2$ 2)가 $y=-gt^{2}/2$ . 즉, $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ - $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ g ( $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ / $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ h ) $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ / $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ ({ $displaystyle$ y = - $g$ ( $x$ / v _ h )^2 $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$ .

이제 관성 프레임으로 환산하면 발사체의 좌표는 y $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ tan $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ θ ( $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ ) - $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ g ( $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ / $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ h ) $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ / $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ ( \ $display$ y $= x$ \ $tan$ ( \ $theta$ ) - $g$ ( $x$ / $v$ _ { $h$ } )^{ $2$ / $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ 2 }가 $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$ . 즉, 다음과 같습니다.

y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}x^{2}+x\tan \theta,

(여기서₀ v는 초기 속도, $\theta$ { $displaystyle \theta}$ 는 $\theta$ 상승 각도, g는 중력에 의한 가속도입니다).

범위 및 높이

10m/s의² 진공 및 균일한 하향 중력장에서 10m/s의 동일한 속도로 발사된 발사체의 궤적.지점의 간격은 0.05초이며 꼬리 길이는 속도에 선형 비례한다. t = 발사 후 시간, T = 비행 시간, R = 범위 및 H = 궤적의 가장 높은 지점(화살표 포함)

범위 R은 물체가 I 섹터에서 x축을 따라 이동하는 가장 큰 거리입니다.초기속도 v는_i 해당 물체가 원점에서 발사되는 속도이다.초기 각도 θ는_i 해당 물체가 방출되는 각도이다.g는 null-media 내의 물체에 대한 각각의 중력입니다.

({displaystyle R={v_{i}^2}\sin 2\theta _{i}\over g})

높이, h는 물체가 궤적 내에서 도달하는 가장 큰 포물선 높이입니다.

({displaystyle h={v_{i}^2}\sin^{2}\theta_{i}\over 2g})

입면각

탄환 궤적을 계산하는 방법을 보여 주는 예

$\theta$ ${\(\displaystyle$ \ $theta)$ 및 $\theta$ 초기 $속도$ v(\ $displaystyle$ v $v$

\displaystyle v_{h}=v\cos \theta,\display v_{v}=v\sin \theta \;}

로서 범위를 주다

\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta)\sin(\theta)/g=v^{2}\sin(2\theta)/g,

이 방정식은 필요한 범위의 각도를 찾기 위해 재배치할 수 있습니다.

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

= 1

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

-

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

( (

g

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

v

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

2 ) {

displaystyle

\

theta

=

sin ^

{ -

1

} \ sin ^ {

}

\

left frac

{

gR

} { v^

{

2

}

} \ right

\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)

} (

그림

II : 발사체 발사 각도)

사인함수는 $d_{h}$ 의 범위 $(\$ h $d_{h}$ 에 대해 "\ $displaystyle \theta"$ 에 $\theta$ 대해2개의 솔루션이 있는 것에 주의해 주십시오.최대범위를 주는 $(\displaystyle\theta)$ 는 $\theta$ (\ $displaystyle\theta)$ 에 $\theta$ 대한 도함수 $또는$ R $(\displaystyle$ R $)$ 을 $R$ 고려하여 0으로 설정하면 구할 수 있습니다.

{\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta } = {2v^{2} \over g} \cos(2\theta) = 0

즉, 2 $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ { $displaystyle$ 2 $\theta$ = \ $pi$ / $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ 2 $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ = $90^{\$ $display$ $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ 또는 $\theta =45^{\circ }$ $\theta =45^{\circ }$ = 45 $\theta =45^{\circ }$ { $displaystyle$ \ $theta$ = $45$ ^{\displaystyle $\theta =45^{\circ }$ 에 $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$ 한 용액이 있습니다. $R_{\max }=v^{2}/g\,$ 범위는 $R_{\max }=v^{2}/g\,$ max $R_{\max }=v^{2}/g\,$ $R_{\max }=v^{2}/g\,$ / $R_{\max }=v^{2}/g\,$ (\ $displaystyle R_{\max$ }= $v^{2}/g$ 입니다. 이 $\sin(\pi /2)=1$ 에서는 sin $\sin(\pi /2)=1$ ( $\sin(\pi /2)=1$ / $\sin(\pi /2)=1$ ) $\sin(\pi /2)=1$ 1 ( \ $displaystyle$ \ $sin$ ( \ $\sin(\pi /2)=1$ $pi$ / 2) $= 1$ $\sin(\pi /2)=1$ 이므로 최대 높이는 ${v^{2} \over 4g}$ 2 ${v^{2} \over 4g}$ ( \ $displaystyle$ { $v }$ \ $over$ 4 )입니다.

주어진 속도에 대해 최대 높이를 부여하는 각도를 구하려면 $\theta$ ({ $displaystyle \theta$ })에 대한 최대 $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ H $= v$ $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ 2 $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ (( $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ ) $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ / ( $2$ ) { \ sin ^ { $2}$ / ( 2 g $)$ 의 $도함수를 계산$ 합니다. 즉, ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ cos ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ cos 2 ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$ 입니다 $H=v^2 \sin^2(\theta) /(2g)$ . $yle {mathrm {d} H$ \ $over \theta$ } \ $theta$ } = $v^{2}2\cos(\$ theta $)\sin$ (\ $\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $)/(2g$ $\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $\theta =\pi /2=90^{\circ }$ $=$ ${\$ { $display$ \ $theta$ =\ $pi2/90^{\h$ }일 때 0이므로 최대 $H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}$ $H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}$ $H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}$

궤도를 도는 물체

만약 우리가 서로 간의 중력을 가지고 궤도를 돌고 있는 두 물체에 대해 동일한 하향 중력 대신 고려한다면, 우리는 케플러의 행성 운동 법칙을 얻을 수 있습니다.이들의 기원은 아이작 뉴턴의 주요 작품들 중 하나였으며 미적분학의 발전에 많은 동기를 제공했다.

캐치볼

야구공이나 크리켓공과 같은 발사체가 공기저항이 거의 없는 포물선 경로로 이동하면 선수가 하강할 때 이를 잡도록 배치되면 비행 내내 상승각이 지속적으로 증가하는 것을 볼 수 있다.높이 각도의 접선은 공이 공중에 날아간 이후의 시간에 비례하며, 일반적으로 방망이로 때립니다.공이 실제로 하강하고 있을 때에도 비행이 끝날 무렵에는 플레이어가 보는 상승각도가 계속 높아집니다.따라서 플레이어는 마치 일정한 속도로 수직으로 상승하는 것처럼 인식합니다.공이 꾸준히 올라오는 곳을 찾는 것은 선수가 공을 잡기 위해 자신을 올바르게 배치하는 데 도움이 된다.공을 친 타자에게 너무 가까이 다가가면 빠른 속도로 상승할 것으로 보인다.만약 그가 타자와 너무 멀리 떨어져 있다면, 그것은 빠르게 느려진 후 내려오는 것처럼 보일 것이다.

메모들

^ 이론적으로 궤도는 반경 직선, 원 또는 포물선이 될 수 있습니다.이것들은 현실에서 발생할 가능성이 전혀 없는 제한적인 경우들이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Metha, Rohit. "11". The Principles of Physics. p. 378.

외부 링크

2008년 9월 14일 Wayback Machine에서 아카이브된 발사체 모션 플래시 애플릿:)
궤적 계산기
발사체 운동에 대한 대화형 시뮬레이션
Projectile Lab, JavaScript 궤도 시뮬레이터
포물선 발사체 모션: 로베르토 카스티야-멜렌데즈, 록사나 라미레즈-에레라, 호세 루이스 고메즈-무뇨즈의 쓰러지는 원숭이를 향해 무해한 신경안정제 다트를 쏜다.
궤적, 사이언스 월드
1차 공기 저항을 가진 자바 발사체 모션 시뮬레이션.2012년 7월 3일 Wayback Machine에서 아카이브 완료
Java 발사체 모션 시뮬레이션, 타겟팅 솔루션, 안전 포물라.

[2] 이론적으로 궤도는 반경 직선, 원 또는 포물선이 될 수 있습니다.이것들은 현실에서 발생할 가능성이 전혀 없는 제한적인 경우들이다.

[1] Metha, Rohit. "11". The Principles of Physics. p. 378.

[1]

[a]

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