벤도

그리스어, 라틴어, 키릴어 알파벳이 공유하는 대문자 문양을 나타내는 벤도

벤 다이어그램은 집합 간의 논리적 관계를 보여주는 널리 사용되는 다이어그램 스타일로, 1880년대에 존 벤(1834–1923)에 의해 널리 보급되었습니다.이 다이어그램은 기본 집합론을 가르치고 확률, 논리, 통계, 언어학 및 컴퓨터 과학에서 단순한 집합 관계를 설명하기 위해 사용됩니다.벤 다이어그램은 평면에 그려진 단순 닫힌 곡선을 사용하여 세트를 나타냅니다.대부분의 경우 이러한 곡선은 원이나 타원형입니다.

비슷한 생각들이 벤 이전에 제안되었다.예를 들어, 1712년의 크리스티안 바이제(Nucleus Logicoe Wiesianoe)와 1768년의 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 비슷한 아이디어를 생각해냈다.벤은 1881년 제5장 "도형적 표현"에서 이 아이디어를 널리 알렸다.

세부 사항

벤 다이어그램은 집합 다이어그램 또는 논리 다이어그램이라고도 합니다.이것은 서로 다른 집합의 유한한 집합 사이에 가능한 모든 논리적 관계를 보여주는 다이어그램입니다.이러한 다이어그램은 요소를 평면에서 점으로 묘사하고 닫힌 원곡선 내부의 영역으로 설정합니다.Venn 다이어그램은 여러 겹치는 닫힌 곡선(일반적으로 원)으로 구성되어 있으며, 각 곡선은 세트를 나타냅니다.S 레이블이 지정된 곡선 내부의 점은 집합 S의 요소를 나타내며, 경계 외부의 점은 집합 S에 없는 요소를 나타냅니다.이는 직관적인 시각화에 도움이 된다. 예를 들어, S t T로 표시되고 "S와 T의 교차점"으로 판독되는 두 집합의 구성원인 모든 요소의 집합은 영역 S와 ^[1]T의 중첩 영역으로 시각적으로 표현된다.

벤 다이어그램에서는 곡선이 가능한 모든 방식으로 중첩되어 세트 간의 가능한 모든 관계를 보여줍니다.따라서 그것들은 반드시 모든 관계를 보여주지는 않는 오일러 다이어그램의 특별한 경우이다.벤 도표는 1880년경 존 벤에 의해 고안되었다.이들은 확률, 논리, 통계, 언어학, 컴퓨터 과학에서 단순한 집합 관계를 설명할 뿐만 아니라 기초 집합론을 가르치는 데 사용됩니다.

각 형상의 면적이 포함된 요소의 수에 비례하는 벤 도표를 면적 비례(또는 스케일링) 벤 도표라고 합니다.

예

A(두 다리로 작성)와 B(날고 있는 작성)를 설정합니다.

이 예에서는 A와 B라는2개의 세트를 사용하고 있습니다.이 세트는 컬러 원으로 표시됩니다.주황색 원 세트 A는 다리가 두 개인 모든 종류의 생물들을 나타냅니다.파란색 원 세트 B는 날 수 있는 생명체를 나타냅니다.각각의 개별적인 유형의 생물은 다이어그램의 어딘가에서 하나의 점으로 상상할 수 있습니다.날 수 있고 두 개의 다리를 가진 생물(예: 앵무새)은 두 세트 모두에 있으므로 파란색과 주황색 원이 겹치는 영역의 점에 해당합니다.이 겹치는 영역에는 A 세트(이 예에서는 생물)와 B 세트(날으는 생물)의 구성원인 요소만 포함됩니다.

인간과 펭귄은 두 발로 걸으며 주황색 원 안에 있지만 날 수 없기 때문에 파란색 원과 겹치지 않는 주황색 원 왼쪽에 나타납니다.모기는 날 수 있지만 다리가 두 개가 아니라 여섯 개이기 때문에 모기의 포인트는 파란색 원의 주황색 원과 겹치지 않는 부분입니다.두 다리가 없고 날 수 없는 생물들은 모두 두 원의 바깥쪽에 있는 점으로 표현될 것이다.

집합 A와 집합 B의 결합 영역을 A와 집합 B의 결합이라고 합니다.^[2]이 경우 결합체에는 다리가 두 개이거나 날 수 있는(또는 둘 다) 모든 생명체가 포함되어 있습니다.

두 세트가 겹치는 A와 B의 영역을 A와 B의 교차점이라고 하며, A b ^[2]B로 나타낸다.이 예에서는 주황색 원과 파란색 원 둘 다에 있는 생물을 나타내는 점이 있기 때문에 두 세트의 교차점이 비어 있지 않습니다.

이력

캠브리지 곤빌과 카이우스 칼리지의 벤 다이어그램이 있는 스테인드글라스 창문

벤 다이어그램은 1880년 존 벤에 의해 철학잡지와 ^[4]과학저널의 "명제와 ^[3]이성의 도표적, 기계적 표현에 대하여"라는 제목의 논문에서 ^[5]^[6]^[7]도표로 명제를 표현하는 다양한 방법에 대해 소개되었습니다.프랭크 러스키와 마크 웨스턴에 따르면 이러한 유형의 도표를 형식 논리에 사용하는 것은 "추적이 쉽지 않은 역사이지만, 사실 벤과 일반적으로 연관된 도표는 훨씬 전에 만들어진 것이 확실하다.그러나 벤은 그 용법을 종합적으로 조사하고 공식화했으며, 최초로 일반화한 사람이기 때문에 벤과 연관성이 있다."^[8]

벤 자신은 "벤 다이어그램"이라는 용어를 사용하지 않았고 그의 발명품을 "울레리안 서클"^[7]이라고 불렀다.예를 들어, 1880년 그의 기사의 첫 문장에서 벤은 다음과 같이 쓰고 있다. "그래픽 표현의 스켐은 지난 세기 동안 논리적인 논문에 매우 친숙하게 도입되었다. 그래서 많은 독자들은 심지어 논리에 대한 전문적인 연구를 하지 않은 사람들조차도 suc의 일반적인 본질과 대상을 알고 있을 것이다.h개의 디바이스이 계획들 중, 흔히 '울러 서클'이라고 불리는 단 한 가지 계획만이 일반적인 인정을 받았다.루이스 캐럴(^[5]^[6]찰스 L. 도그슨)은 그의 저서 심볼 논리(Symbolic Logic, 1896년 제4판)의 부록에 "벤의 도표 방법"과 "울러의 도표 방법"을 포함합니다."벤 다이어그램"이라는 용어는 후에 1918년 클라렌스 어빙 루이스가 그의 책 "심볼 ^[8]^[9]논리학의 조사"에서 사용하였습니다.

벤 다이어그램은 18세기에 ^{[note 1]}^[10]^[11]레온하르트 오일러에 의해 발명된 오일러 다이어그램과 매우 유사합니다.마가렛 바론은 라이프니츠 (1646–1716)가 17세기에 오일러 이전에 비슷한 도표를 만들었지만,^[12] 그 대부분은 출판되지 않았다.그녀는 또한 13세기 ^[13]라몬 룰의 오일러와 같은 초기 도표를 관찰한다.

20세기에 벤 도표는 더욱 발전되었다.1963년 데이비드 윌슨 헨더슨은 n배 회전 대칭을 가진 n-Venn 다이어그램의 존재가 n이 ^[14]소수임을 암시한다는 것을 보여주었다.그는 또한 n이 5 또는 7일 때 이러한 대칭 Ven 도표가 존재한다는 것을 보여주었다.2002년 피터 햄버거는 n = 11에 대한 대칭 벤 도표를 찾았고, 2003년 그리그스, 킬리안, 새비지는 다른 모든 소수점에 대해 대칭 벤 도표가 존재함을 보여주었다.이러한 결합된 결과는 n이 ^[15]소수인 경우에만 회전 대칭 Ven 도표가 존재한다는 것을 보여준다.

벤 다이어그램과 오일러 다이어그램은 집합론 교육의 일부로, 1960년대 새로운 수학 운동의 일부로 통합되었습니다.그 이후로,^[16] 그것들은 읽기와 같은 다른 분야의 커리큘럼에도 채택되었다.

개요

$~A\cap B$ $~A\cap B$ 의 교차점 B $(\displaystyle ~A\cap$ B $)$
$2세트$ A $~A\cup B$ of B \ $displaystyle ~$ A \ $cup$ B $~A\cup B$ }의 합집합
두 $A~\triangle ~B$ 의 대칭 차이 A $A~\triangle ~B$ {\ $displaystyle$ A $~\triangle ~B}$
B(오른쪽)에서 A(왼쪽)의 상대보어 A c $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$ B $=$ $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$ A \ $displaystyle$ A $^{c}\cap$ B ~=~ $B\setminus$ A $A^{c}\cap B~=~B\setminus A$ }
A $A^{c}~=~U\setminus A$ in U $A^{c}~=~U\setminus A$ $=$ $A^{c}~=~U\setminus A$ A \ $displaystyle$ A $^{c$ }~=~ $U\setminus$ A $}$ 의 절대적 보완

벤 다이어그램은 평면에 그려진 단순 닫힌 곡선의 집합으로 구성됩니다.루이스에 ^[9]따르면, "이러한 다이어그램의 원칙은 클래스(또는 세트)가 서로에 대한 관계에서 지역에 의해 표현되어 이러한 클래스의 가능한 모든 논리적 관계가 동일한 다이어그램에 표시될 수 있다는 것입니다.즉, 이 다이어그램은 처음에 클래스의 가능한 관계를 위한 여지를 남겨두고, 실제 또는 주어진 관계를 특정 영역이 null 또는 null이 아님을 표시함으로써 지정할 수 있습니다."^[9]^{: 157}

벤 다이어그램은 일반적으로 겹치는 원으로 구성됩니다.원의 내부는 세트의 요소를 상징적으로 나타내며 외부는 세트의 구성원이 아닌 요소를 나타냅니다.예를 들어 2세트 벤 다이어그램에서 한 원은 모든 나무 객체의 그룹을 나타내고 다른 원은 모든 테이블의 집합을 나타낼 수 있습니다.그러면 겹치는 영역 또는 교차점은 모든 나무 테이블의 집합을 나타냅니다.원 이외의 모양은 Venn의 자체 상위 집합 다이어그램에 따라 아래와 같이 사용할 수 있습니다.벤 다이어그램에는 일반적으로 세트의 상대 크기 또는 절대 크기(심도)에 대한 정보가 포함되어 있지 않습니다.즉, 일반적으로 축척에 따라 그려지지 않는 개략도입니다.

벤 다이어그램은 오일러 다이어그램과 유사합니다.단, n개의 성분 세트에 대한 벤 다이어그램은 각 성분 ^[17]세트에 포함 또는 제외의 일부 조합에 해당하는 가정적으로 가능한 2개의 구역을 모두 포함해야ⁿ 한다.오일러 다이어그램은 주어진 맥락에서 실제로 가능한 구역만 포함합니다.벤 다이어그램에서 음영 구역은 빈 구역을 나타내지만, 오일러 다이어그램에서는 해당 구역이 다이어그램에서 누락됩니다.예를 들어, 한 세트가 유제품과 다른 치즈를 나타내는 경우, 벤 다이어그램에는 유제품이 아닌 치즈를 위한 구역이 포함됩니다.문맥에서 치즈가 유제품의 어떤 종류를 의미한다고 가정할 때, 오일러 다이어그램은 유제품 구역 내에 치즈 구역이 완전히 포함되어 있다. (존재하지 않는) 비유제품 치즈는 구역이 없다.즉, 등고선의 수가 증가함에 따라 오일러 다이어그램은 동등한 벤 다이어그램보다 시각적으로 덜 복잡하며, 특히 비어 있지 않은 교차점의 수가 ^[18]적은 경우 더욱 그러하다.

오일러와 벤 다이어그램의 차이는 다음 예에서 볼 수 있습니다.3종류의 세트를 준비합니다.

$A=\{1,2,5\}$
$B=\{1,6\}$
$C=\{4,7\}$

이들 집합의 오일러 및 벤 다이어그램은 다음과 같습니다.

오일러 도표
벤도

더 많은 수의 세트에 대한 확장

벤 다이어그램은 일반적으로 2개 또는 3개의 세트를 나타내지만 더 높은 수치를 허용하는 형태가 있습니다.아래 그림과 같이 4개의 교차구가 심플렉스의 대칭을 가지며 시각적으로 표현될 수 있는 가장 높은 차수의 벤 도표를 형성합니다.16개의 교차로는 정삼각형의 꼭지점(또는 각각 16셀의 셀)에 대응합니다.

집합 수가 많을 경우 다이어그램의 대칭 손실이 불가피합니다.벤은 "대칭 수치"를 찾는 데 열심이었다..sets 그 자체"^[10]는 더 많은 수의 집합을 나타내며, 그는 타원형을 사용한 우아한 4세트 도표를 고안했다(아래 참조).그는 또한 임의의 수의 세트에 대한 벤 다이어그램에 대한 구성을 제공했는데, 여기서 세 개의 원 다이어그램에서 시작하여 세트 인터리브가 이전 곡선과 구분되는 각 연속 곡선이 있다.

4세트에 대한 Venn의 구성(계조 코드 사용, 숫자 1은 세트에 포함, 숫자 0은 세트에 포함되지 않음을 의미)
벤의 5세트 구성
벤의 6세트 구성
타원을 사용한 벤의 4세트 도표
비예:이 오일러 다이어그램은 14개의 영역(2=16개의 영역이 아님⁴)만 있기 때문에 4개의 집합에 대한 벤 다이어그램이 아니다. 노란색과 파란색 또는 빨간색과 녹색 원만 만나는 영역은 없다.
브란코 그룬바움이 고안한 5배 회전 대칭 배열의 합동 타원형을 사용한 5세트 벤 다이어그램.예를 들어 A는 A greater B c^c C d^c D eE를^c 나타내고 BCE는 A b^c B ∩ C ∩ D^c eE를 나타냅니다^c.
삼각형으로만 구성된 6세트 벤 다이어그램(인터랙티브 버전)

Edwards-Venn 다이어그램

3세트
4세트
5세트
6세트

Anthony William Fairbank Edwards는 Edwards-Venn ^[19]도표로 알려진 구의 표면을 분할하여 더 많은 수의 집합을 위한 일련의 벤 도표를 만들었습니다.예를 들어, 구의 반구 3개(x = 0, y = 0 및 z = 0)를 직각으로 취하면 세 세트를 쉽게 나타낼 수 있습니다.적도를 따라 오르내리는 테니스공의 심과 같은 곡선을 취하는 등 4세트를 추가할 수 있다.그런 다음 결과 세트를 평면으로 다시 투영하여 톱니 수가 증가하는 톱니바퀴 다이어그램을 제공할 수 있습니다.이 그림들은 벤을 ^[19]추모하는 스테인드글라스 창을 디자인하면서 고안되었다.

기타 그림

Edwards-Venn 다이어그램은 위상적으로 Branko Grünbaum이 고안한 다이어그램과 동일하며, 이는 변의 수가 증가하는 교차 폴리곤을 기반으로 한다.그것들은 또한 하이퍼큐브의 2차원적인 표현이다.

헨리 존 스티븐 스미스는 일련의 방정식과 사인^[19] 곡선을 사용하여 유사한 n-set 도표를 고안했다.

y_{i}=frac {\sin\left(2^{i}x\right)}{\text{\text{\leq i\leq n-1\text{및 }}i\in \mathbb {N}}

Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll로도 알려져 있음)은 Carroll's Square로 알려진 5세트 도표를 고안했다.한편, Joaquin과 Boyles는 특정 문제 사례를 설명하기 위해 표준 벤 다이어그램에 대한 보충 규칙을 제안했다.예를 들어, 단수 문장의 표현 문제에 대해서는 벤 다이어그램 원을 사물의 집합의 표현으로 간주하고, 1차 논리와 집합론을 사용하여 범주 문구를 집합에 대한 진술로 취급할 것을 제안한다.또한, 이들은 단수 문장을 집합 멤버쉽에 대한 문장으로 취급할 것을 제안한다.따라서 예를 들어 이 재툴링된 벤 다이어그램에서 "a is F"라는 문구를 표현하기 위해 집합 ^[20]F를 나타내는 원 안에 작은 문자 "a"를 넣을 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

실존 그래프(Charles Sanders Peirce)
논리 접속
정보도
마르칸드 다이어그램(및 추가 파생 Veitch 차트 및 Karnaugh 맵)
구면 팔면체 – 정팔면체의 입체 투영을 통해 3개의 직교 대원으로 구성된 벤 다이어그램이 생성되며, 각 다이어그램은 공간을 두 부분으로 나눕니다.
세 개의 원 모형
트리케트라
베시카피시스

메모들

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레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

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[Johnson_2001-23] Johnson, David L. (2001). "3.3 Laws". Elements of logic via numbers and sets. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin, Germany: Springer-Verlag. p. 62. ISBN 978-3-540-76123-5.

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v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(설정 차이) 드 모르간의 법칙 분리 결합 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

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