정다각형

모서리 및 정점
슐레플리 기호
콕서터-딘킨 도표
대칭군	Dn, 주문 2n
이중 폴리곤	셀프듀얼
지역; (측면 s s
내부 각도
내부 각도 합계
내접원 직경
외접원 지름
특성.	볼록형, 순환형, 등변형, 등변형, 등변형, 등변형

정다각형

유클리드 기하학에서, 정다각형은 정다각형(모든 각도가 동일함)과 정다각형(모든 변의 길이가 동일함)이다.정다각형은 볼록형 또는 별 모양일 수 있습니다.한계에서 변의 수가 증가하는 정다각형 배열은 둘레 또는 면적이 고정되어 있으면 원에 가깝고, 엣지 길이가 고정되어 있으면 정다각형(효과적인 직선)에 가깝다.

일반 속성

Schléfli 기호로 라벨이 지정된 3~12개의 정점이 있는 일반 볼록 및 별 폴리곤

이러한 특성은 볼록한 폴리곤이든 별이든 상관없이 모든 정규 폴리곤에 적용됩니다.

정n면 폴리곤은 차수 n의 회전대칭을 가진다.

일반 폴리곤의 모든 정점은 공통 원(외접된 원) 위에 있습니다. 즉, 이들은 순환점입니다.즉, 일반 폴리곤은 순환 폴리곤입니다.

이는 길이가 같은 변의 특성과 함께 모든 정다각형에 중간점에서 모든 변에 접하는 내접원 또는 절점이 있음을 의미합니다.따라서 일반 폴리곤은 접선 폴리곤입니다.

n의 홀수 소수 인수가 구별되는 페르마 소수인 경우에만 나침반과 직선으로 정규 n면 폴리곤을 구성할 수 있다.구성 가능한 폴리곤을 참조하십시오.

n $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 2 $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 3 $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 1 $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ r {\ $displaystyle$ n $=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 의 $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 일부 $r\in \mathbb {N}$ N {\ $displaystyle$ r $\in \mathbbb$ {N $r\in \mathbb {N}$ 에 대하여 n면 폴리곤을 종이접기로 구성할 수 있다.여기서 $p_{i}$ $p_{i}$ 의 개별 $p_{i}$ $p_{i}=2^{c}3^{d}+1$ ${\$ displaystyle p_n} 형태이다. ${i$ $a,b,c,d\geq 0$ $}3^{d}+1$ $a,b,c,d\geq 0$ a, $a,b,c,d\geq 0$ c, d $a,b,c,d\geq 0$ 0 $a,b,c,d\geq 0$ { $display style$ a, $b, c, d\geq$ 0 $a,b,c,d\geq 0$ ^[1]）。

대칭

n변 정다각형의 대칭군은 (2n 차수의) 이면체군_n D이다: D₂, D₃, D₄, ...C의_n 회전과 중심을 통과하는 n개의 축의 반사 대칭으로 구성됩니다.n이 짝수일 경우 이들 축의 절반은 서로 반대되는 두 정점을 통과하고 나머지 절반은 서로 반대되는 변의 중간점을 통과합니다.n이 홀수일 경우 모든 축이 정점과 반대쪽 중간점을 통과합니다.

정다각형 볼록형

모든 규칙적인 단순 폴리곤(단순 폴리곤은 어디에도 교차하지 않는 폴리곤)은 볼록하다.변의 수가 같은 것도 비슷합니다.

n면 볼록 정다각형은 Schléfli 기호 {n}으로 표시됩니다.n < 3의 경우, 2개의 퇴화 케이스가 있습니다.

모노곤 {1}: 평범한 공간에서 타락하다.(대부분의 권위자들은 모노곤을 진정한 다각형으로 간주하지 않는데, 그 이유는 부분적인 이유와 아래의 공식이 작용하지 않고 그 구조가 추상 다각형과 다르기 때문입니다.)
Digon {2}, "복선 세그먼트": 평범한 공간에서 타락하다.(일부 당국에서는 이 때문에 디곤을 실제 폴리곤으로 간주하지 않습니다.)

특정 컨텍스트에서는 고려되는 모든 폴리곤이 규칙적입니다.이러한 상황에서는, 통상, 프리픽스를 드롭 하는 것이 통례입니다.예를 들어, 균일한 다면체의 모든 면은 규칙적이어야 하며 면은 단순히 삼각형, 정사각형, 오각형 등으로 표현됩니다.

각도

정규 볼록 n-곤의 경우 각 내부 각도는 다음 측정값을 가집니다.

{\frac {180(n-2)}{n}}

-

{\frac {180(n-2)}{n}}

)

(

스타일)

{180(n-2)}{n}}

도

{\frac {180(n-2)}{n}}

;

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

-

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

)

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

\

style

\

frac

{ ( n - 2 ) \

pi

} {

n

} 라디안

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

또는

{\frac {(n-2)}{2n}}

-

{\frac {(n-2)}{2n}}

)

{\frac {(n-2)}{2n}}

(

\

displaystyle {

（ n - 2 ） }{

2n

} )풀턴

{\frac {(n-2)}{2n}}

,

각 외부 각도(즉, 내부 각도의 보충)는 $({$ 도 ${\tfrac {360}{n}}$ )의 ${\tfrac {360}{n}}$ 을 가지며, 외부 각도의 합계는 360도 또는 2° 라디안 또는 1바퀴에 해당합니다.

n이 무한대에 가까워지면 내부 각도가 180도에 가까워집니다.10,000개의 변(무리각형)을 가진 일반 폴리곤의 경우 내부 각도는 179.964°입니다.변의 수가 증가함에 따라 내부 각도가 180°에 매우 가까워지고 다각형 모양이 원의 모양에 가까워진다.그러나 폴리곤은 결코 원이 될 수 없습니다.원주가 사실상 직선이 되기 때문에 내부 각도의 값은 180°와 정확히 같을 수 없습니다.이러한 이유로, 원은 변의 수가 무한히 많은 다각형은 아니다.

대각선

n > 2의 경우 대각선의 수는 ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ $n$ $){$ $tfrac$ {1 $}{n$ (3 $n$ (n-3 $)$ 입니다.즉, 삼각형, 정사각형, 오각형, 육각형, ...의 경우는 0, 2, 5, 9, ...입니다.대각선은 폴리곤을 1, 4, 11, 24, ...으로 나눕니다.OE78.

단위 반지름 원에 새겨진 정규 n-곤의 경우, 주어진 정점에서 다른 모든 정점(인접 정점과 대각선으로 연결된 정점을 포함)까지의 거리의 곱은 n이 된다.

평면의 점

평면의 임의의 지점에서 정점까지의 거리_i d와 원반경을 갖는 규칙적인 단순한 n-곤의 경우, 우리는^[2] 다음을 가진다.

{\displaystyle {frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}^{4}=\left({\frac {1}{n})\sum _{i}^{2}+R^{2}\right)^{2}.

평면의 임의의 지점에서 $일반$ n $(\displaystyle$ n $)$ -gon의 $n$ 정점까지의 $d_{i}$ $(\$ })의 $d_{i}$ 높은 파워의 경우,

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

n (

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

)

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

i

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

m ( \

displaystyle

S _ {

n

}^{ ( 2 m ) =

flac {

1

}

{n}

\

sum

_ { i

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

= 1 ^{

n

}

d _

{

i

}^{ 2 m

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

} ,

그럼^[3]

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

k}{k}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\오른쪽)

^{k}\left(S_{n}^{(2)\right)^{m-2k

그리고.

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

frac {1}{2^{k}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\binom{k}\right)

^{k}\left(S_{n}^{(2)\right)^{m-2k

$m$ 서 m $\displaystyle$ m은n $m$ $displaystyle n$ 보다 작은 양의 $n$ 입니다.

L{\ $displaystyle$ L $}$ 이 $L$ 평면의 임의의 지점에서 원주근반경 $R$ {\ $displaystyle$ R $R$ 인 $일반$ n {\ $displaystyle$ n $}$ -gon의 $n$ 중심까지의 거리인 $경우$ ^[3],

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)

m {m}{2k}{\binom {2k}{k}R^{2k}L^{2k}\

left

(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right

$m$ 서 m{\ $displaystyle$ m $}$ = $m$ 1, 2, …, $n-1$ - $n-1$ (\ $displaystyle n-1$ 입니다.

내부 포인트

정규 n곤의 경우 내부점에서 n변까지의 수직거리의 합은 아포템^[4]^{: p. 72}(아포템은 중심에서 어느 변까지의 거리)의 n배입니다.이것은 n = 3 ^[5]^[6]경우에 대한 Viviani의 정리의 일반화이다.

서클라디우스

변, 원주경 R 및 아포테마가 있는 일반 오각형(n = 5)

면, s; 아포템, a 및 면적의 그래프, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 밑면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면, 면녹색 선은 대/소문자 n = 6을 나타냅니다.

정다각형 중심에서 정점 중 하나까지의 원둘레 반지름 R은 다음과 같은 변 길이 s 또는 원점과 관련됩니다.

R=frac {s}{2\sin\leftfrac\frac{n}}\오른쪽)}}=paramfrac {a}{\cos \leftfrac\frac {n}}\오른쪽)}}

구성 가능한 폴리곤의 경우 이러한 관계에 대한 대수식이 존재합니다. Biccentric polygon#Regular polygons를 참조하십시오.

일반 n-곤의 정점에서 원주면에 접하는 선까지의 수직선의 합계는 원주경의 ^[4]^{: p. 73}n배입니다.

일반 n-곤의 정점에서 원주상의 임의의 점까지의 거리의 제곱합은 2nR입니다².여기서 R은 ^[4]^{: p.73}원주반경입니다.

일반 n-곤 변의 중간점에서 원상의 임의의 점까지의 거리 제곱의 합은 2nR이다².1/4ns². 여기서 s는 측면 길이, R은 원둘레 반지름입니다.^[4]^{: p. 73}

$(\$ i $d_{i}$ })가 $일반$ n $(\displaystyle$ n $)$ -gon의 $n$ 정점에서 원주상의 임의의 점까지의 거리인 $d_{i}$ ,

3

(

i

i

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

2

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

n

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

i = 1

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

4

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

( \

display style

3 \ left ( \

sum

_ {

i = 1

）^{

n

}^{

n

} = 2 n \

sum

_ {

n

}

d _

{

i

}^{ 4

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

} )

디섹션

Coxeter는 모든 조노곤(대면이 평행하고 길이가 같은 2m-곤)을 ${\tbinom {n}{2}}$ 2 $)\displaystyle$ { $tbinom {n}{2}}$ 또는 ${\tbinom {n}{2}}$ 1/2m(m - 1) 평행사변형으로 해부할 수 있다고 밝혔습니다.이러한 타일링은 직교 투영 m-입방체에서 ^[7]정점, 모서리 및 면의 하위 집합으로 포함됩니다.특히, 이는 짝수 변을 가진 모든 정다각형에 해당하며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모꼴입니다.OEIS: A006245 목록은 작은 다각형에 대한 솔루션 수를 나타냅니다.

선택한 짝수 변 정규 폴리곤에 대한 단면 분석 예제

2m	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
이미지
롬스	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

지역

변 s, 원둘레 반지름 R, 아포템 a 및 둘레 p를 갖는 볼록한 정 n면 다각형 영역 A는 다음과^[8]^[9] 같이 주어진다.

{{displaystyle A=tfrac {1}{2}}pa=tfrac {1}{2}ns^{2}\cot \tfrac {1}{n}}\tan \tan \tfrac {n}\right} {tfrac {1}{n}}\cot\tfrac {1}{n}{2}

측면 s과 정기적인 다각형의 경우=1, 외접원의 반경 R=1, 또는 apothem a=1, 이것이 만들어 내 아래 표:[10](주가 침대 ⁡)→ 1/){\displaystyle\cot x\rightarrow 1/x}로 계산 → 0{\displaystyle x\rightarrow 0}, 부위 s=1{\displaystyle s=1}는 경향이 있는 n 2/4π{\displaystyle n^{2}/4\pi. } n $\displaystyle$ n이 $n$ 커짐에 $따라$ ).

번호 측면의	측면 s = 1일 때의 면적		반지름 R = 1일 때의 면적			a = 1일 때의 면적
번호 측면의	정확한	근사치	정확한	근사치	상대적인 원주 면적	정확한	근사치	상대적인 절개부
n	$(\displaystyle\tfrac{n}{4}\cot\tfrac{n}\right)$		${tfrac {n}{2}}\sin \tfrac {2\pi }{n}\right$		${tfrac {n}{2\pi }}\sin \leftfrac {2\pi }{n}}\right$	$(\displaystyle n\tan\leftfrac\pi }{n}\right)$		$(\displaystyle\tfrac{n}{\pi}}\tan\leftfrac{n}\right)$
3	$(\displaystyle\tfrac{3}}{4})$	0.433012702	${3sqrt {3}} {4}$	1.299038105	0.4134966714	$3sqrt {3}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	${tfrac {1}{4}}{\displayrt {25+10grt {5}}}$	1.720477401	${\tfrac {5}{4}}{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\twrt {5}}\오른쪽)}}$	2.377641291	0.7568267288	$5grt {5-2grt {5}}$	3.632712640	1.156328347
6	${3sqrt {3}}{2}$	2.598076211	${3sqrt {3}}{2}$	2.598076211	0.8269933428	${{displaystyle 2sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	${{displaystyle 2+2sqrt {2}}$	4.828427125	$2sqrt {2}$	2.828427125	0.9003163160	${{displaystyle 8\leftrt {2}}-1\right}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	${ tfrac { 5 } {2} } {\syslogrt {5}$	7.694208843	${tfrac {5}{2}}{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\tft {5}}\오른쪽)}}$	2.938926262	0.9354892840	$({displaystyle 2grt {25-10grt {5}}})}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	$6+3cfrt {3}$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	$12\left(2-{\displayrt {3}}\right)$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	^[11]	17.64236291	^[12]	3.050524822	0.9710122088	^[13]	3.188348426	1.014882824
16	^[14]	20.10935797	$4sqrt {2-{\sqrt {2}}$	3.061467460	0.9744953584	^[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	^[16]	31.56875757	^[17]	3.090169944	0.9836316430	^[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

모서리 길이가 동일한 일반 폴리곤의 크기를 3변에서 60변까지 비교합니다.변의 수가 무한대에 가까워질수록 크기가 제한 없이 증가합니다.

주어진 둘레를 가진 모든 n-gon 중에서 면적이 가장 큰 n-gon은 ^[19]정규입니다.

구성 가능한 폴리곤

일부 일반 폴리곤은 나침반과 직선 모서리를 사용하여 쉽게 구성할 수 있으며, 다른 일반 폴리곤은 전혀 구성할 수 없습니다.고대 그리스 수학자들은 3개, 4개 또는 5개의 ^[20]^{: p. xi}변을 가진 정다각형을 만드는 방법을 알았고, 주어진 ^[20]^{: pp. 49–50}정다각형의 변의 수가 두 배인 정다각형을 만드는 방법을 알았다.이 때문에 다음과 같은 의문이 제기되었다: 모든 일반 n-gon을 나침반과 직선으로 구성할 수 있는가?그렇지 않은 경우, 어떤 n-gon이 구성 가능하고 어떤 n-gon이 구성 불가능한가?

칼 프리드리히 가우스는 1796년에 규칙적인 17-곤의 구성 가능성을 증명했다.5년 후, 그는 그의 디스퀴지스 산술에서 가우스 기간의 이론을 발전시켰다.이 이론을 통해 그는 정다각형 구성 가능성을 위한 충분한 조건을 공식화할 수 있었다.

n이 2의 거듭제곱과 임의의 수의 구별되는 페르마 소수(없음)의 곱일 경우 일반 n-곤은 나침반과 직선으로 구성할 수 있다.

(페르마 소수는 2 $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ + $.\displaystyle$ 2 $^{\left(2^{n}\right)}+1$ 형식의 $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ 이다.가우스는 이 조건도 필요하다고 증거 없이 말했지만 그의 증거를 발표하지는 않았다 $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ 필연성의 완전한 증거는 1837년 Pierre Wantzel에 의해 제시되었다.그 결과는 가우스-완첼 정리라고 알려져 있다.

마찬가지로, 일반 n-곤은 공통 각도의 코사인이 구성 가능한 숫자인 경우에만 구성 가능하다. 즉, 네 가지 기본 산술 연산과 제곱근 추출의 관점에서 쓸 수 있다.

일반 스큐 폴리곤

큐브는 큐브의 대각선 축에 수직인 두 평면 사이에서 지그재그하는 6개의 빨간색 모서리로 보이는 비스듬한 정육각형을 포함합니다.	n-안티프리즘의 지그재깅 측면 가장자리는 이 17-곤 안티프리즘에 나타나듯이 정규 스큐 2n곤을 나타낸다.

3공간에서의 규칙적인 스큐 폴리곤은 2개의 평행 평면 사이에서 지그재그하는 비평면 경로로 볼 수 있으며, 균일한 안티프리즘의 측면 모서리로 정의된다.모든 모서리와 내부 각도가 동일합니다.

플라톤 고체(이십면체, 입방체, 8면체, 12면체 및 이십면체)는 각각 변 4, 6, 6, 10, 10을 가진 빨간색으로 보이는 페트리 폴리곤을 가지고 있습니다.

보다 일반적인 스큐 폴리곤은 n공간으로 정의할 수 있습니다.예를 들어, Petrie 폴리곤, 일반 폴리토프를 두 부분으로 나누는 모서리의 폴리곤 경로 및 직교 투영에서 일반 폴리곤으로 표시됩니다.

무한 제한에서는 정규 스큐 폴리곤이 스큐 아파이로곤이 됩니다.

일반 별 폴리곤

2 < 2q < p, gcd(p, q) = 1

{5/2}	{7/2}	{7/3}...

슐레플리 기호

{p/q}

정점과 모서리

p

밀도

q

콕서터 다이어그램

대칭군

이면체(D_p)

이중 폴리곤

셀프듀얼

내부 각도
(표준)

180-{\frac {360q}{p}}

^[21]

비볼록 정다각형은 정다각형이다.가장 일반적인 예는 펜타곤과 같은 꼭지점을 가지지만 서로 다른 꼭지점을 연결하는 펜타그램입니다.

n면별 폴리곤의 경우, 슐레플리 기호는 폴리곤의 밀도 또는 "별" m을 나타내도록 수정됩니다({n/m).예를 들어 m이 2일 경우 매초 점이 결합됩니다.m이 3이면 모든 세 번째 점이 결합됩니다.폴리곤의 경계는 중심을 m회 감습니다.

최대 12개의 변으로 이루어진 (비퇴화) 규칙별은 다음과 같습니다.

펜타그램 – {5/2}
헵타그램 – {7/2} 및 {7/3}
옥타그램 – {8/3}
Enneagram – {9/2} 및 {9/4}
데카그램 – {10/3}
헨데카그램 – {11/2}, {11/3}, {11/4} 및 {11/5}
도데카그램 – {12/5}

m과 n은 공존해야 합니다.그렇지 않으면 수치가 저하됩니다.

최대 12개의 변으로 이루어진 퇴화된 일반 별은 다음과 같습니다.

테트라곤 – {4/2}
16진수 – {6/2}, {6/3}
옥타곤 – {8/2}, {8/4}
Enneagon – {9/3}
데카곤 – {10/2}, {10/4} 및 {10/5}
Dodecagons – {12/2}, {12/3}, {12/4} 및 {12/6}

{6/2}의 두 가지 해석

그룬바움 {6/2} 또는 2{^[22]3}	콕서터 2{3} 또는 {6}[2{3}]{6}

이중감기 육각형	화합물로서의 헥사그램 두 삼각형의

Schléfli 기호의 정확한 유래에 따라 퇴화된 도형의 성격에 대한 의견이 다르다.예를 들어 {6/2}은(는) 다음 두 가지 방법 중 하나로 처리될 수 있습니다.

20세기 대부분 동안(예를 들어 Coxeter(1948 참조) 우리는 볼록 {6}의 각 정점을 두 걸음 떨어진 인접에 결합하는 것을 나타내는 /2를 사용하여 두 개의 삼각형 또는 헥사그램의 규칙적인 화합물을 얻었다.
Coxeter는 {p/k} 화합물에 대해 {kp}[k{p}]{kp} 표기법으로 이 정규 화합물을 명확히 하므로 육각형은 {6}[2{3}]{6}^[23]으로 표시됩니다.좀 더 간결하게 콕서터는 또한 일치 해석과 ^[24]구별하기 위해 선행 인자에 기울임꼴을 사용하여 정규 짝수 변 폴리곤의 교대로 6진수의 2{n/2}와 같은 2{3}를 복합체로 쓴다.
Grünbaum(2003)^[22]과 같은 많은 현대 기하학자들이 이것을 부정확하다고 여긴다.각 단계에서 /2를 사용하여 {6} 주위를 두 곳으로 이동하여 각 모서리에 두 개의 정점이 중첩되고 각 선분을 따라 두 개의 가장자리가 있는 "이중 감긴" 삼각형을 얻습니다.이는 추상 폴리토프에 대한 현대 이론과 더 잘 맞을 뿐만 아니라, Poinsot(1809)가 자신의 별 폴리곤을 만든 방식을 더 가깝게 모방할 수 있습니다. 즉, 하나의 와이어 길이를 취해서 도형이 닫힐 때까지 같은 각도로 연속적으로 구부림으로써요.

일반 폴리곤의 이중성

모든 정다각형은 일치에 대해 자기 쌍대이고 홀수 n의 경우 동일성에 대해 자기 쌍대입니다.

또한 일반 다각형으로 구성된 일반 별 모양(구성체)도 자가 이중화됩니다.

다면체의 면으로서의 정다각형

균일한 다면체는 정다각형을 면으로 가지므로 두 정점에 대해 정다각형과 마찬가지로 정다각형을 다른 정점으로 매핑하는 등각형이 있습니다.

준정규 다면체는 각 꼭지점 주위를 번갈아 도는 두 종류의 면만을 가진 균일한 다면체이다.

정다면체는 하나의 면만을 가진 균일한 다면체이다.

정면이 있는 나머지(비균일한) 볼록 다면체를 Johnson 고체라고 합니다.

정삼각형을 면으로 하는 다면체를 다면체라고 한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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f := 프로세서 (n) 옵션들 교환입니다., 화살표; [  [개종시키다(1/4*n*요람(파이/n), 급진적인), 개종시키다(1/4*n*요람(파이/n), 흘러가다)],  [개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n), 급진적인), 개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n), 흘러가다), 개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n)/파이, 흘러가다)],  [개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n), 급진적인), 개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n), 흘러가다), 개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n)/파이, 흘러가다)] ] 끝. 프로세서

n = 16에 대한 식은 탄젠트 반각 공식을 두 번 적용하여 구한다.

^ $({displaystyle {tfrac {15}\leftrt {15}}+{\fright {3}}+{\fright {2\left(5+{\fright {5}}\right}}}}}}\right})$
^ $({displaystyle {tfrac {15}\leftrt {15}}+{\paramrt {3}}-{\paramrt {5}}}\right)}$
^ $({displaystyle {tfrac {15}}\left(3440rt {3})-{\paramrt {15}}-{\paramrt {2\left(25-1140rt {5}\right)}}}\right})}$
^ $4\left(1+{\signrt {2}})+{\signrt {2+{\signrt {2}}\right}}\right$
^ $16\left(1+{\signrt {2}}\right)\left\signrt {2\left(2-{\signrt {2}}\right)}-1\right$
^ $5\left(1+{\displayrt {5}}+{\displayrt {5}}}\right$
^ $(\displaystyle { tfrac { 5 } {2} } \ left \ left { 5 } - 1 \ right )$
^ $20\left(1+{\displayrt {5}}-{\displayrt {5}}}\right$
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^ 콕서터, 정규 폴리토페스의 밀도 II, 1932, 페이지 53

레퍼런스

이화영 "원래 구성 가능한 숫자"
Coxeter, H.S.M. (1948). "Regular Polytopes". Methuen and Co. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
그룬바움, B;당신의 다면체는 나의 다면체와 같습니까? 이산형, 계산형입니다. 검: 굿맨-폴락 축제, 에드.Aronov 등, Springer(2003), 페이지 461–488.
포인소, L.; Memoire sur les polygones et polyédres.J. de l'cole Polytecique 9(1810), 페이지 16-48.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Regular polygon". MathWorld.
대화형 애니메이션을 사용한 일반 폴리곤 설명
인터랙티브 애니메이션을 사용하는 일반 폴리곤의 초점
정다각형 영역 인터랙티브 애니메이션을 사용한 세 가지 공식
르네상스 예술가들이 컨버전스에 사용한 정다각형 건축

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

[1] Hwa, Young Lee (2004). "Origami-Constructible Numbers" (PDF). Graduate Faculty of the University of Georgia: 55–59.

[2] 박, 푸성."정규 폴리토프 거리", 포럼 지오메트리컬럼 16, 2016, 227-232.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[Mamuka-3] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355.

[Johnson-4] Johnson, Roger A., Advanced Euclide Geometry, Dover Publ., 2007(출처: 1929).

[5] Pickover, Clifford A, The Math Book, Sterling, 2009: 150 페이지

[6] 첸, 지보, 량, 톈."비비아니의 정리 역", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, 390–391페이지.

[7] 콕서터, 수학 레크리에이션 및 에세이, 제13판, 페이지 141

[8] "Math Open Reference". Retrieved 4 Feb 2014.

[9] "Mathwords".

[10] 함수 정의를 사용하여 Maple에서 얻은 R = 1 및 a = 1에 대한 결과:
f := 프로세서 (n) 옵션들 교환입니다., 화살표; [ [개종시키다(1/4*n*요람(파이/n), 급진적인), 개종시키다(1/4*n*요람(파이/n), 흘러가다)], [개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n), 급진적인), 개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n), 흘러가다), 개종시키다(1/2*n*죄(2*파이/n)/파이, 흘러가다)], [개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n), 급진적인), 개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n), 흘러가다), 개종시키다(n*햇볕에 그을 띠다(파이/n)/파이, 흘러가다)] ] 끝. 프로세서
n = 16에 대한 식은 탄젠트 반각 공식을 두 번 적용하여 구한다.

[11] $({displaystyle {tfrac {15}\leftrt {15}}+{\fright {3}}+{\fright {2\left(5+{\fright {5}}\right}}}}}}\right})$

[12] $({displaystyle {tfrac {15}\leftrt {15}}+{\paramrt {3}}-{\paramrt {5}}}\right)}$

[13] $({displaystyle {tfrac {15}}\left(3440rt {3})-{\paramrt {15}}-{\paramrt {2\left(25-1140rt {5}\right)}}}\right})}$

[14] $4\left(1+{\signrt {2}})+{\signrt {2+{\signrt {2}}\right}}\right$

[15] $16\left(1+{\signrt {2}}\right)\left\signrt {2\left(2-{\signrt {2}}\right)}-1\right$

[16] $5\left(1+{\displayrt {5}}+{\displayrt {5}}}\right$

[17] $(\displaystyle { tfrac { 5 } {2} } \ left \ left { 5 } - 1 \ right )$

[18] $20\left(1+{\displayrt {5}}-{\displayrt {5}}}\right$

[19] Chakerian, G.D. "기하학의 왜곡된 시각"수학 자두(R) 7장.혼스버거 편집장).워싱턴 DC: 미국 수학 협회, 1979: 147.

[Bold-20] 대담해, 벤자민기하학의 유명한 문제와 해결 방법, 도버 출판사, 1982년(출처: 1969년).

[21] Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-22] 당신의 다면체는 나의 다면체와 같습니까?Branko Grünbaum (2003년), 그림 3

[23] 일반 폴리토퍼스, 페이지 95

[24] 콕서터, 정규 폴리토페스의 밀도 II, 1932, 페이지 53

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