치아교정 4각형

유클리드 기하학에서 교정치각형 사각형은 대각선이 직각으로 교차하는 사각형이다. 즉, 비인접 정점 사이의 선분할이 서로 직교(수직)되어 있는 4면형이다.

특례

연은 한 대각선이 대칭선인 교정치각형 사각형이다. 연은 정확히 4개의 면에 접하는 원을 포함하는 치아교정 4각선 측정기 입니다. 즉, 연은 접선교정 4각 측정기 입니다.^[1]

광맥은 두 쌍의 평행한 면(즉, 역시 평행한 정사각형)을 가진 교정치각형 사각형이다.

정사각형은 연과 광맥 둘 다의 제한적인 경우다.

대각선이 적어도 대각선인 교정치각형 4각형 측정검사는 모든 4각 측정검사에서 직경에 대한 최대 면적이 있는 한 가장 큰 다각형 문제의 n = 4 사례를 해결한다. 광장은 그런 4각형의 하나지만, 다른 것도 무한히 많다. 또한 등각형인 교정치각형 사각형은 Varigan 평행사변형이 정사각형이기 때문에 중사각형 사각형이다. 그 영역은 순전히 측면으로 표현할 수 있다.

특성화

모든 교정치형 사각형의 경우, 두 반대편의 제곱합은 다른 반대편의 제곱합과 같다: 연속적인 면 a, b, c, d의 경우, 우리는

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

이것은 피타고라스의 정리로부터 따르며, 이 두 제곱의 두 합 중 하나를 정점으로부터 대각선이 교차하는 지점까지의 네 제곱 거리의 합과 같도록 확장할 수 있다. 반대로², + c² = b² + d가² 있는 모든 4각형은 교정치료여야 한다.^[4] 이것은 코사인, 벡터, 간접증거, 복잡한 숫자의 법칙을 사용하는 등 여러 가지 방법으로 증명될 수 있다.^[5]

볼록한 4각형의 대각선은 두 개의 바이메디언의 길이가 같은 경우에만 수직이다.^[5]

또 다른 특징에 따르면 볼록한 사각형 ABCD의 대각선은 만약의 경우만 수직이다.

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

여기서 P는 대각선의 교차점이다. 이 방정식에서 거의 즉시 대각선 사각형의 대각선이 4각형의 횡방향에 대한 대각선 교차점의 돌출부가 주기적인 4각형의 정점일 경우에만 수직이 된다.^[5]

볼록한 4각형은 그것의 Varigan 평행사변형(정점이 옆면의 중간점인 경우)이 직사각형인 경우에만 교정치각이 된다.^[5] 이와 관련된 특징에 따르면 볼록한 사각형은 4개의 위도의 중간점과 발점이 8개의 순환점인 경우에만 교정치각이라고 한다. 이 원의 중심은 사각형의 중심이다. 경도의 발에 의해 형성된 정사각형을 정사각형이라고 부른다.^[6]

If the normals to the sides of a convex quadrilateral ABCD through the diagonal intersection intersect the opposite sides in R, S, T, U, and K, L, M, N are the feet of these normals, then ABCD is orthodiagonal if and only if the eight points K, L, M, N, R, S, T and U are concyclic; the second eight point circle. 관련 특성에는 RSTU가 ABCD의 대각선과 평행한 직사각형인 경우에만 볼록한 사각형이 교정치각이라고 명시되어 있다.^[5]

대각선 교차점 P에 의해 형성된 4개의 삼각형과 볼록한 4각형 ABCD의 정점에 관한 몇 가지 미터법이 있다. m₁, m₂, m₃, m을₄ 삼각형 ABP, BCP, CDP, DAP를 각각 옆면 AB, BC, CD, DA로 나타낸다. R₁, R₂, R₃, R₄ 및 h₁, h, h₂, h, h가₃₄ 이들 삼각형의 반지름과 고도를 각각 나타내는 경우, 4각 ABCD는 다음과 같은 동일성 중 하나가 유지되는 경우에만 교정치각이 된다.^[5]

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}:$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{1}:{2}}+{\frac {1}{1}{3}^{2}}:}={\frac {1}{h_{2}^}}+{\frac {1}{1}{4}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{1}$

또한 대각선의 교차점 P가 있는 사각형 ABCD는 삼각형 ABP, BCP, CDP 및 DAP의 원곡선이 사각형 변의 중간점인 경우에만 교정치각이 된다.^[5]

접선 사각형과의 비교

이 표에서 볼 수 있듯이, 접선 사변측정감시 및 교정치각 사변측정감시 몇 가지 지표 특성은 외관상 매우 유사하다.^[5] 측면의 a, b, c, d, 원곡선 R₁, R₃, 고도₂₄ h₁, h, h는₂₃ 두₄ 가지 사변측정감시 유형에서 모두 위와 동일하다.

접선 사각형	치아교정 4각형
$(\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}:$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}+{\frac {1}{3}}}={\frac {1}{h_{2}}+{\frac {1}{1}{4}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{1}:{2}}+{\frac {1}{1}{3}^{2}}:}={\frac {1}{h_{2}^}}+{\frac {1}{1}{4}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{1}$

면적

치아교정 사각사각형의 면적 K는 대각선 p와 q 길이의 절반에 해당한다.^[7]

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}.}$

반대로, 이 공식으로 면적을 계산할 수 있는 볼록한 사각형은 교정치교정이 되어야 한다.^[5] 치아교정 사각사각형은 대각선이 주어진 모든 볼록한 4각측면 중에서 가장 큰 영역을 가진다.

기타 속성

• 교정치각 4차측정은 대각선에 의해 형성된 각도와 면이 지역을 고유하게 결정하지 않는 유일한 4차측측측이다.^[3] 예를 들어, 두 rhombi는 모두 공통측면 a를 가지고 있지만(그리고 모든 rhombi는 대각선 사이에 직각을 가지고 있다), 다른 쪽보다 더 작은 예각(예측 각도가 0에 가까워질 때 전자가 0에 근접하는 영역)을 가지고 있다.
• 정사각형이 4각형(정사각형, 오목형 또는 교차형)의 면에 바깥쪽으로 세워져 있다면, 중심(중심형)은 또한 등각형(즉, 대각선 길이가 같은 대각선)인 교정치각형 사각형의 정점이다. 이것을 반 아우벨의 정리라고 한다.
• 교정 사각 사각형의 각 면에는 파스칼 포인트 원과 적어도 하나의 공통점이 있다.^[8]

주기적인 교정치각형 4차측정의 특성

회반도와 면적

주기적인 교정치정의 경우(원 모양으로 새겨질 수 있는 사각형) 대각선의 교차점이 하나의 대각선을 길이 p와₁ p로₂ 나누고 다른 대각선을 길이 q와₁ q로₂ 나눈다고 가정한다. 그러면^[9] (첫 번째 평등은 아르키메데스 레마스의 책에 있는 발의안 11)

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}=b^{2}+d^{2}+d^{2}}}$

여기서 D는 원주의 지름이다. 이것은 대각선이 원의 수직 화음이기 때문에 지탱한다. 이 방정식들은 회음이의 표현을 만들어 낸다.

${\displaystyle R={\tfrac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}:$

또는, 4각형의 측면으로 볼 때, 다음과^[2] 같다.

${\displaystyle R={\tfrac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}={\tfrac {1}{1}:{2}}: {\sqrt{b^{2}+d^{2}}.}$

또한^[2] 그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}}$

따라서 오일러의 사방정리에 따르면 대각선 p와 q, 대각선 중간점 사이의 거리 x를 대각선 p로 표현할 수 있다.

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}}{8}}}.}$

프톨레마이오스의 정리와 치아교정 사각형의 면적에 대한 공식을 결합할 때 4면 기준의 주기교정 사각형의 면적 K에 대한 공식을 직접 구한다. 결과는^{[10]: p.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{1}:{2}}(ac+bd).}$

기타 속성

• 주기적인 교정치교정에서는 대각선이 교차하는 지점과 반창고가 일치한다.^[2]
• 브라마굽타의 정리는 주기적인 교정의 경우 대각선의 교차점을 통과하는 어떤 면으로부터도 수직이 반대쪽을 이등분한다고 명시하고 있다.^[2]
• 교정치형 사각형도 주기적인 경우, 원곡선(원형의 중심)에서 어느 한쪽으로의 거리는 반대쪽 길이의 절반과 같다.^[2]
• 주기적인 교정치교정에서 대각선의 중간점 사이의 거리는 대각선이 교차하는 지점과 원심점 사이의 거리와 같다.^[2]

무한히 새겨진 직사각형 세트

모든 치아교정 사각형의 경우 두 개의 무한 사각형 세트를 내접할 수 있다.

(i) 면이 사각형의 대각선과 평행한 직사각형 세트

(ii) Pascal 포인트 서클에 의해 정의된 직사각형 세트.^[11]

참조