이상 삼각형

쌍곡 기하학에서 이상적인 삼각형은 세 개의 꼭지점이 모두 이상적인 점인 쌍곡 삼각형이다. 이상적인 삼각형은 때로는 삼각형 또는 삼단형 삼각형이라고도 불린다. 정점은 때때로 이상적인 정점이라고 불린다. 이상적인 삼각형은 모두 일치한다.

특성.

이상적인 삼각형에는 다음과 같은 속성이 있다.

모든 이상적인 삼각형은 서로 일치한다.
이상적인 삼각형의 내부 각도는 모두 0이다.
이상적인 삼각형은 둘레가 무한하다.
이상적인 삼각형은 쌍곡 기하학에서 가능한 가장 큰 삼각형이다.

표준 쌍곡면(상수 가우스 곡면성이 -1)인 표면에서 우리는 다음과 같은 특성도 가지고 있다.

어떤 이상적인 삼각형도 영역 π을 가지고 있다.^[1]

이상적인 삼각형에서의 거리

이상적인 삼각형과 그 근골과 관련된 치수(왼쪽) 및 Poincaré 디스크 모델(오른쪽)에 묘사된 모델

이상적인 삼각형에 새겨진 원은 반지름을 가지고 있다.

$r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=$ ${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=$ $\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}{\\sqrt{3}}\약 0.549}.$ ^[2]

삼각형의 어떤 점에서든 삼각형의 가장 가까운 면까지의 거리는 위의 반지름 r보다 작거나 같으며, 새겨진 원의 중심에 대해서만 동일하다.

이 새겨져 원 접촉의 3점에, 면의 길이가 d와 함께 등변 접촉하기 탭의 삼각형을 만나ln ⁡(5+15− 1)=2ln ⁡ φ ≈ 0.962{\displaystyle d=\ln \left({\frac{{\sqrt{5}}+1}{{\sqrt{5}}-1}}\right)=2\ln \approx 0.962 \varphi}[2]어디 φ)1+52{\displaystyle cm이다.초본 $phi ={\frac{1+{\sqrt{5}}{2}}:}$ 가 $\varphi ={\frac {1+{\sqrt 5}}{2}}$ 황금비율이다.

삼각형 내부의 한 점을 중심으로 반지름이 d인 원은 삼각형의 최소한 두 면을 만나거나 교차한다.

삼각형의 한 쪽에 있는 어떤 점으로부터 삼각형의 다른 면까지의 $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ 는 $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ a = $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ ( $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ ) $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ 0. ${\displaystyle a=\ln$ \ln \ $left(1+{\sqrt{2}}\오른쪽)\$ 약 0. $881$ 과 $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881$ 같거나 작으며, 위에서 설명한 접선점에 대해서만 동일하다.

a는 또한 Schweikart 삼각형의 고도 이다.

곡률이 -1이 아닌 -K이면 위의 면적에 1/K를 곱하고 길이와 거리에 1/2K를 곱해야 한다.^{[citation needed]}

얇은 삼각형 조건

Δ-hyperbolic 공간에서 사용되는 Δ-thin 삼각형 조건

이상적인 삼각형은 쌍곡 기하학에서 가능한 가장 큰 삼각형이기 때문에, 위의 측정은 쌍곡 삼각형에 대해 가능한 최대치이기 때문에, 이 사실은 Δ-하이퍼볼릭 공간 연구에 중요하다.

모델

쌍곡면의 푸앵카레 디스크 모델에서 이상적인 삼각형은 경계 원을 직각으로 교차하는 세 개의 원으로 경계를 이룬다.

푸앵카레 반평면 모델에서 이상적인 삼각형은 서로 접하는 세 개의 반원 사이의 그림인 아르벨로(Arbelos)에 의해 모델링된다.

쌍곡면의 벨트라미-클레인 모델에서 이상적인 삼각형은 경계 원에 의해 제한되는 유클리드 삼각형에 의해 모델링된다. Beltrami-Klein 모델에서는 이상적인 삼각형의 꼭지점에 있는 각도가 0이 아니라는 점에 유의하십시오. 왜냐하면 Beltrami-Klein 모델은 Poincaré 디스크 및 반평면 모델과는 달리 정합성이 없기 때문이다. 즉, 각도를 보존하지 않는다.

실제 이상적인 삼각형 그룹

이상적인 삼각형으로 타일링된 푸앵카레 디스크 모델
이상적인 ( ( ∞ ∞) 삼각형 그룹	또 다른 이상적인 타일링

실제 이상적인 삼각형 그룹은 이상적인 삼각형의 측면을 통과하는 쌍곡면의 반사에 의해 생성되는 반사 그룹이다. 대수적으로, 3개의 순서 2 그룹의 자유 상품에 대해 이형적이다(Schwarz 2001).

참조

^ Thurston, Dylan (Fall 2012). "274 Curves on Surfaces, Lecture 5" (PDF). Retrieved 23 July 2013.
^ ^a ^b "What is the radius of the inscribed circle of an ideal triangle". Retrieved 9 December 2015.

참고 문헌 목록

Schwartz, Richard Evan (2001). "Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis". Annals of Mathematics. Ser. 2. 153 (3): 533–598. arXiv:math.DG/0105264. doi:10.2307/2661362. JSTOR 2661362. MR 1836282.

[Thurston_2012-1] Thurston, Dylan (Fall 2012). "274 Curves on Surfaces, Lecture 5" (PDF). Retrieved 23 July 2013.

[MSE1566126-2] "What is the radius of the inscribed circle of an ideal triangle". Retrieved 9 December 2015.

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특성.

이상적인 삼각형에서의 거리

얇은 삼각형 조건

모델

실제 이상적인 삼각형 그룹

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